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GRAVITAZIONE: ENERGIA POTENZIALE EFFICACE
Sommario. In queste pagine studiamo il problema delle orbite dei corpi soggetti ad un campo gravitazionale centrale,
m
g = −G 3 r
r
(dove m è la massa del corpo centrale) e ridurremo questo problema ad un
problema equivalente di un corpo che si muove in una sola dimensione, soggetto
all’energia potenziale efficace
L2z 1
mm0
−G
2m0 r2
r
(m0 è la massa del corpo orbitante, e Lz è il suo momento angolare rispetto
ad un riferimento fisso con l’origine nel centro di attrazione).
Una volta stabilita questa equivalenza formale saremo in grado di determinare la distanza minima e quella massima del corpo orbitante dal centro di
attrazione lungo l’orbita, partendo dai dati iniziali - posizione e velocità.
U (r) =
1. Introduzione: orbite circolari
La situazione più semplice è quella in cui un corpo compie un’orbita circolare
attorno ad un corpo centrale.
Affinché si realizzi l’orbita circolare devono verificarsi due circostanze:
(1) in un dato istante la velocità del corpo deve essere perpendicolare al vettore
che collega il centro di attrazione con il corpo;
(2) il modulo della velocità, inoltre, non deve essere né troppo piccolo né troppo
grande, esiste in altri termini, per ogni distanza dal centro di attrazione, un
solo valore della velocità che consente al corpo di proseguire lungo l’orbita
circolare.
In questa sezione ci concentriamo su questo caso speciale e determiniamo la relazione tra la velocità orbitale ed il raggio dell’orbita.
1.1. Equazione della dinamica. Se l’orbita è circolare e percorsa a velocità
costante l’accelerazione è radiale e centripeta:
(1.1)
vk2
ar = −
r
Dato che la forza di gravità è radiale, possiamo limitarci a scrivere l’equazione
del II principio lungo l’asse r:
[IIp, r] m0
−
vk2
!
= −G
r
Semplificando m0 ed r otteniamo:
(1.2)
vk2 = G
1
m
r
mm0
r2
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Questa equazione permette di determinare la velocità di percorrenza dell’orbita
circolare con un dato raggio: in altri termini, se vogliamo collocare un satellite
su
p
una data orbita circolare di raggio r dobbiamo dargli la velocità iniziale Gm/r.
1.2. Conservazione dell’energia. In un’orbita circolare il principio di conservazione dell’energia si riduce all’equazione
1 0 2
mm0
m vk − G
=E
2
r
Sostituendo la 1.2 nella formula dell’energia potenziale gravitaziononale otteniamo
(1.3)
Egr = −2Ecin
(1.4)
ed inserendo questa relazione nell’equazione 1.3 otteniamo
E = −Ecin
(1.5)
o anche (attenti ai segni!)
(1.6)
E=
1
Egr.
2
Le equazioni 1.4, 1.5 e 1.6 sono valide solo nel caso dell’orbita circolare1. In
particolare la 1.6 mostra che l’energia orbitale è funzione del raggio dell’orbita ed
è negativa.
1.3. Cambio di orbita. Se decidiamo di portare un satellite da un’orbita di raggio r1 ad un’orbita di raggio r2 > r1 dobbiamo fornirgli come minimo l’energia
corrispondente alla differenza delle energie delle due orbite:
(1.7)
1
4E = Gmm0
2
1
1
−
r1
r2
Notiamo il fattore 1/2 e il cambio di segno rispetto all’energia potenziale gravitazionale. Entrambi sono dovuti al fatto che a due orbite differenti corrispondono
energie potenziali differenti ma anche diverse energie cinetiche.
2. Orbite ellittiche
Nel caso più generale le orbite chiuse di un corpo soggetto ad un campo gravitazionale centrale hanno la forma di ellissi, e uno dei problemi più semplici che
possiamo risolvere è determinare la distanza minima e quella massima dell’orbita
dal centro di attrazione.
Per risolvere questo problema dobbiamo partire da due principi di conservazione:
quello del momento angolare e quello dell’energia.
1In realtà in un’orbita chiusa qualsiasi continua ad essere valide le stesse relazioni per i valori
medi lungo l’orbita dell’energia cinetica e dell’energia potenziale.
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2.1. Momento angolare orbitale. Il momento della forza di gravità (rispetto al
centro di attrazione) è identicamente nullo lungo tutta l’orbita, perché la forza è
parallela al raggio.
mm0
τ = r × −G 3 r = 0
r
Questo significa che il momento angolare, calcolato rispetto al centro di attrazione, è costante:
dL
= 0 ⇒ L = costante
dt
Ricordiamo ora che il momento angolare è determinato dalla formula
L = r × mv
Usando questa formula vediamo subito che
(r × mv) · r ≡ 0
e che
(r × mv) · v ≡ 0
(basta usare la proprietà ciclica del prodotto misto). Questo significa che in ogni
istante il raggio vettore dell’orbita e la sua velocità sono vettori perpendicolari al
momento angolare, e dato che il momento angolare è un vettore costante r e v
appartengono in ogni istante al piano perpendicolare ad L: in altri termini, tutta
l’orbita si svolge su questo piano.
Se indichiamo con z l’asse perpendicolare al piano possiamo esprimere la conservazione del momento angolare affermando che
Lz = kLk = costante
e che l’orbita si svolge sul piano perpendicolare a z.
2.2. Energia cinetica. Se indichiamo con ûr il versore radiale e con ûϕ il versore perpendicolare (ûr × ûϕ = ûz ) possiamo esprimere il vettore velocità con la
combinazione lineare
v = vr ûr + vϕ ûϕ
Usiamo questa relazione per calcolare il momento angolare:
L = m0 rûr × (vr ûr + vϕ ûϕ ) = m0 rvϕ ûz
La componente z del momento angolare ci permette così di esprimere la legge di
conservazione discussa nel paragrafo precedente:
Lz
m0 r
Ora usiamo la 2.1 per calcolare l’energia cinetica:
(2.1)
m0 rvϕ = Lz ⇒ vϕ =
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1 0 2
m vr + vϕ2 =
2
2
1
1
Lz
=
= m0 vr2 + m0
2
2
m0 r
1
L2 1
(2.2)
= m0 vr2 + z 0 2
2
2m r
La formula 2.2 è la chiave di tutti i ragionamenti, come vedremo tra poco.
Ecin =
2.3. Energia potenziale efficace: introduzione. Sostituiamo la 2.2 nel principio di conserfvazione dell’energia:
1 0 2
L2 1
mm0
m vr + z 0 2 − G
=E
2
2m r
r
Osserviamo che è rimasta solo la velocità radiale e che gli altri due addendi
dipendono solo dal raggio.
Possiamo introdurre a questo punto il «energia potenziale efficace» con la definizione
(2.3)
L2z 1
mm0
−G
0
2
2m r
r
In tal modo l’equazione dell’energia diventa
(2.4)
def
U (r) =
2
1 0 dr
(2.5)
m
+ U (r) = E
2
dt
Se ci dimentichiamo per un attimo dell’origine dell’equazione 2.5 vediamo che
essa esprime la conservazione dell’energia per un corpo di massa m0 che si muove
lungo l’asse r, soggetto all’energia potenziale U (r): il problema delle orbite si è
ridotto così ad un problema unidimensionale.
3. Energia potenziale efficace e orbita
Vedremo qui che la funzione U (r) ha un minimo; questo significa che esiste una
«buca di potenziale» e che per i valori del raggio in cui
U (r) = E
abbiamo dr/dt = 0: questi valori corrispondono ai «punti di inversione del moto»
del problema unidimensionale equivalente a quello delle orbite.
Teniamo sempre presente, inoltre, che il valore dell’energia totale è determinato
dai dati iniziali.
3.1. Grafico del potenziale efficace. La funzione U (r) ha una sola intersezione
con l’asse r:
L2z
L2z 1
mm0
≥
0
⇒
r
≤
−
G
2m0 r2
r
2Gmm02
Usando questa informazione vediamo anche che
lim U (r) = 0−
r→∞
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Ciò significa che l’asse r è un asintoto orizzontale della funzione (che gli si avvicina
da valori negativi).
È ancora più facile vedere che r = 0 è un asintoto verticale:
2
Lz
1
0
−
Gmm
r
=
2m0
r→0+
r→0+ r 2
L2
= +∞ · z 0 = +∞
2m
La funzione ha, infine, un punto di minimo:
lim U (r) = lim
dU
mm0
L2 1
= − z0 3 + G 2 =
dr
m r
r
1
L2 1
0
= 2 Gmm − z0
r
m r
L2z
dU
≥0⇒r≥
dr
Gmm02
Per semplificare più avanti il discorso indichiamo con a la coordinata del minimo
della funzione:
L2z
Gmm02
Il grafico dell’energia è mostrato in fig. 3.1.
a=
Figura 3.1.
3.2. Barriera centrifuga. Dato che il momento angolare si conserva la velocità
tangenziale deve essere inversamente proporzionale alla distanza del corpo orbitante
dal centro di attrazione:
Lz
(3.1)
v0ϕ = 0
mr
Questo significa che tanto più il corpo si avvicina al centro di attrazione, tanto
più grande deve essere la sua velocità tangenziale.
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Per classificare le orbite dobbiamo discutere la loro forma in funzione dei valori
di E e di LZ .
Caso degenere: Lz = 0. Il momento angolare può essere uguale a zero se la velocità
iniziale è zero ovvero, più in generale, se la velocità iniziale è allineata con il raggio.
In questo caso il potenziale efficace si riduce al potenziale gravitazionale e il corpo
si muove radialmente verso il centro di attrazione o se ne allontana in direzione
radiale.
Figura 3.2.
Se Lz 6= 0 la forma dell’orbita, ed in particolare la possibilità che sia chiusa,
dipende dal valore dell’energia (vedi fig. 3.2).
Primo caso: Lz 6= 0 e E > 0. Il corpo, in questo caso, si muove lungo un’orbita
aperta (per informazione: un ramo di iperbole con il centro di attrazione collocato
nel fuoco). Vediamo difatti nel grafico dell’energia che esiste una distanza minima
dal centro di attrazione ma non una distanza massima.
Secondo caso: Lz 6= 0 e E = 0. È qualitativamente simile al precedente, solo che in
questo caso l’orbita è parabolica (ed il centro di attrazione coincide con il fuoco).
Terzo caso: Lz 6= 0 e E < 0. Il grafico dell’energia mostra che esistono, in questo
caso, due «punti di inversione del moto», ossia una distanza minima ed una massima
dal centro di attrazione: queste distanze sono le ascisse delle intersezioni della linea
dell’energia con la curva dell’energia potenziale. In questo caso l’orbita è ellittica.
Se confrontiamo il primo caso, classificato come degenere, rispetto agli altri
tre, vediamo che la presenza di un momento angolare orbitale non nullo rende
impossibile al corpo orbitante avvicinarsi al centro di attrazione oltre un certo
limite.
Possiamo dire in altro modo che è come si costituisse una barriera inviolabile,
che respinge il corpo dalla zona centrale; questa barriera è dovuta al fatto che tanto
più il corpo è vicino e tanto più la sua velocità tangenziale deve essere grande (eq.
3.1), e quindi nella sua rotazione attorno al corpo centrale il corpo se ne allontana
(dal suo punto di vista), per effetto centrifugo.
Questo meccanismo è detto «barriera centrifuga».
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3.3. L’orbita circolare come caso speciale. Cosa succede se l’energia coincide
esattamente con il valore del minimo dell’energia potenziale?
In questo caso è possibile un solo valore del raggio, r = a, poiché la linea
dell’energia è tangente alla curva dell’energia potenziale; il momento angolare è
Lz = m0 vϕ a
e la velocità radiale è zero in ogni istante, perché il corpo non si allontana né si
avvicina al centro di attrazione.
Riconosciamo facilmente così il caso dell’orbita circolare (e a questo punto la
velocità è tangente all’orbita e possiamo scrivere vϕ = vk ).
4. Un’applicazione della teoria
Un satellite si muove su un’orbita circolare di raggio r. Grazie ad un meccanismo
di propulsione, attivato solo per pochi istanti, la sua velocità raddoppia (rimandendo tangente all’orbita originale). Determina la distanza minima e quella massima
della nuova orbita dal centro di attrazione (il risultato dovrà essere espresso in
rapporto al raggio originale r).