Algebra lineare 1. Stabilire per quali valori del parametro reale α il

Algebra lineare
1. Stabilire per quali valori del parametro reale α il seguente sistema ammette solo
la soluzione nulla
( 3x + y + z = 0
x + y + αz = 0
x − y − 2z = 0
.
[α 6= 3/2]
2. Sia Lα : R3 → R3 l’operatore lineare rappresentato, rispetto alla base canonica,
dalla matrice


α 1 2
Aα =  1 α α  .
0 0 1
i) Stabilire per quali valori reali di α la matrice Aα è diagonalizzabile.
ii) Per α = 1 e α = 2 determinare una matrice Sα che diagonalizza Aα e la matrice
diagonale equivalente ad Aα .
iii) Senza fare ulteriori calcoli, individuare un valore di α in corrispondenza al quale
Aα ha rango 2 e, per tale valore di α, scrivere l’equazione cartesiana di Lα (R3 ).






1 0 0
1 1 1
1
1 1
[i) α 6= 0; ii) S1 =  2 1 −1  , Λ1 =  0 2 0 ; S2 =  1 −1 1  , Λ2 =
1 0 0
−1 0 0

 0 0 0

1 0 0
y1
 0 1 0 ; iii) per α = 1 e ponendo y =  y2  = L1 (x), piano y1 − y2 − y3 = 0.]
0 0 3
y3
3.
Al variare del parametro reale α, si

1

Aα = 2
1
consideri la matrice

0 1
α2 1  .
4 0
i) Al variare di α, si determini il numero delle soluzioni dell’equazione
Aα x = 0 ;
ii) si individuino tutte le soluzioni dell’equazione di cui sopra per α = 2 ;
iii) al variare di α, si discuta esistenza e unicità delle soluzioni dell’equazione
 
α

Aα x = 0  .
2
[i) unasola soluzione per α 6= ±2, una semplice infinità di soluzioni per α = ±2 ; ii)

−4k
 k  , k ∈ R ; iii) una sola soluzione per α 6= ±2, una semplice infinità di soluzioni
4k
per α = −2, nessuna soluzione per α = 2.]
4. Sia {e1 , e2 , e3 } la base canonica di R3 e sia L : R3 → R3 l’operatore lineare
definito da
L(e1 ) = e1 ;
L(e2 ) = e1 + e2 ;
L(e3 ) = 2e2 + e3 .
i) si scriva la matrice A che rappresenta L rispetto alla base canonica;
ii) si stabilisca se L può essere rappresentato da una matrice diagonale D, giustificando la risposta;
iii) si calcoli la matrice B che rappresenta L rispetto alla base {v1 , v2 , v3 } dove
(rispetto alla base canonica)

 



0
0
1
v3 =  0  .
v2 =  2 
v1 =  −2 
1
−2
1


1 1 0
[i) A =  0 1 2 ; ii) A − I ha rango 2, dunque A non è diagonalizzabile; iii) B =
0 
0 1

−1 2 0
 −1 1 1 ]
0 −2 3
5. Sia {e1 , e2 , e3 } la base canonica di R3 . per ogni valore del parametro reale α sia
Lα : R3 → R3 l’operatore lineare definito da

 
 

−1
1
1





1
; Lα (e2 ) = 0
; Lα (e3 ) = α  .
Lα (e1 ) =
0
α
1
i) Al variare di α ∈ R si determini il nucleo di Lα ,
precisandone
la dimensione.

1
ii) Si stabilisca per quali valori di α il vettore w =  1  appartiene a Lα (R3 ).
1
iii) Si stabilisca per quali valori di α il vettore w definito sopra è un autovettore di
Lα .

√
−αt
5
−1
±
[i) ker Lα =  −(1 + α)t  con t ∈ R ha dimensione 1 per ogni α; ii) α =
; iii)
2
t
α = 0]
