LA GRANDEZZA POSIZIONE L`operatore posizione Le funzioni (1) u

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LA GRANDEZZA POSIZIONE
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LA GRANDEZZA POSIZIONE
L’operatore posizione
Le funzioni
ux̄ (x) = hx|x̄i = δ (3) (x − x̄)
(1)
sono autofunzioni improprie, corrispondenti rispettivamente agli autovalori impropri x̄, ȳ e z̄,
della terna di operatori
{xop , yop , zop } ≡ xop ,
definita da
xop f (x) = xf (x).
Esse sono un sistema completo
e sono normalizzate (nel senso delle autofunzioni improprie) in modo che sia
Z
(2)
hx̄0 |x̄i = d3 x hx̄0 |xihx|x̄i = δ (3) (x̄ − x̄0 )
ma non sono normalizzabili in senso proprio
e quindi non corrispondono a stati della nostra particella.
Loro sovrapposizioni continue
(3)
Z
ψ(x) = hx|ψi = d3 x̄ hx|x̄ihx̄|ψi
con coefficiente hx̄|ψi a modulo quadrato integrabile sono invece normalizzabili
e quindi corrispondono a possibili stati della particella.
Se hx|ψi è apprezzabilmente diverso da zero solo in un piccolo intorno del valore x0 di x
ψ(x) è una funzione d’onda per cui la distribuzione di valori di x è concentrata attorno al valore x0 ,
cioè descrive una particella di posizione quasi definita x0 .
Appare quindi naturale
associare la terna di operatori xop definiti sopra, che diremo sinteticamente operatore posizione,
alla grandezza fisica x posizione della particella
nel senso che le sue autofunzioni hx|x̄i corrispondono a stati impropri di posizione definita
e i suoi autovalori x̄ sono i corrispondenti valori della posizione.
Poiché le autofunzioni hx|x̄i non sono normalizzabili in senso proprio,
esse non corrispondono in realtà a stati fisici della particella;
tuttavia, scegliendo opportunamente il coefficiente hx̄|ψi che compare nella (3),
si possono costruire stati fisici ψ(x)
che approssimano quanto si vuole gli stati impropri hx|x̄i
e che si avvicinano quanto si vuole ad avere una posizione perfettamente definita.
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Notazione
D’ora in avanti indicheremo con x̂ l’operatore posizione, cioè scriveremo
x̂f (x) = xf (x).
Useremo questo tipo di notazione anche per le grandezze fisiche che introdurremo successivamente,
cioè ĝ sarà l’operatore associato alla grandezza g (diremo anche che rappresenta la grandezza g).
Tuttavia, quando la distinzione non sia concettualmente rilevante,
non distingueremo tra la grandezza fisica e l’operatore che la rappresenta,
cioè useremo espressioni semplificate del tipo "la grandezza ĝ".
Di norma non useremo il soprassegno ˆ per gli operatori che non rappresentano grandezze fisiche.
La rappresentazione della posizione
Abbiamo già considerato la rappresentazione x definita dalla base ortonormale
ux̄ (x) = hx|x̄i = δ 3 (x − x̄)
delle autofunzioni dell’operatore x̂.
Avendo identificato x̂ come l’operatore associato alle grandezza fisica posizione,
designeremo tale rappresentazione anche come rappresentazione della posizione.
Distribuzione di valori della posizione
Secondo quanto abbiamo stabilito dianzi
i valori possibili della posizione sono le terne di numeri reali,
che anche costituiscono le terne di autovalori dell’operatore posizione x̂.
La distribuzione di valori della posizione sull’insieme dei suoi valori possibili
quando la particella è nello stato ψ(x)
(e anche la distribuzione di probabilità dei risultati di un’eventuale misurazione della posizione)
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2
è data da %(x) = ψ(x) e coincide con il modulo quadrato hx|ψi , cioè si può scrivere
(4)
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%(x) = hx|ψi ,
dove hx|ψi è la componente di |ψi
sul sistema completo di autoket |xi dell’operatore posizione x̂, normalizzati secondo la (2),
o, ciò che è lo stesso,
è il coefficiente nello sviluppo di ψ(x) sulle autofunzioni (1) dell’operatore x̂.
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