T - Dipartimento di Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni

Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni
2 - SEGNALI E SPETTRI
Prof. Mario Barbera
[parte 2]
1
Fondamenti di TLC - Prof. M. Barbera
Liberamente tratto da Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
2 - Segnali e spettri [parte 2]
Convoluzione
„
Definizione:
w3 (τ ) = ( w1 * w2 )(τ ) ≡ ∫
+∞
−∞
„
w1 (t ) ⋅ w2 (τ − t ) dt
La convoluzione è ottenuta:
„
„
„
invertendo per w2(t) l’asse temporale in modo da ottenere w2(-t);
traslando w2(-t) di τ secondi per ottenere w2(τ-t) ;
moltiplicando il risultato per w1(t) .
[VEDI ESEMPIO NELLA SLIDE SUCCESSIVA]
2
1
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-7: convoluzione di un impulso
rettangolare con una esponenziale
w1 (t )
t
w2 (t )
ESEMPIO
w (−t + τ ) ≡ w (T )
τ =T 2
w2 (−t )
2
2
t
τ >0
w2 (−t + τ )
t = −T 2
t
w3 (τ ) = (w1 * w2 )(τ ) ≡ ∫
+∞
−∞
τ <0
τ
t
w1 (t ) ⋅ w2 (τ − t ) dt
3
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-7: convoluzione di un impulso
rettangolare con una esponenziale
w1 (t )
t
w2 (−t + τ )
τ
t
w1 (t ) ⋅ w2 (−t + τ )
τ
t
w3 (τ )
w3 (τ ) = (w1 * w2 )(τ ) ≡ ∫
+∞
−∞
w1 (t ) ⋅ w2 (τ − t ) dt
τ
τ
4
2
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-7: convoluzione di un impulso
rettangolare con una esponenziale
τ >0
0 <τ < T
w1 (t )
w1 (t ) ⋅ w2 (τ − t )
(
t
w3 (τ ) = ∫ 1 e + ( t −τ ) / T dt = T 1 − e −τ T
0
w2 (t )
t
)
τ >T
w3 (τ ) = ∫ 1 e + ( t −τ ) / T dt = T (e − 1)e −τ T
T
0
0

w3 (τ ) = T e − e −τ T
T (e − 1)e −τ T

(
)
τ <0
0 <τ < T
τ >T
5
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Calcolo dello spettro di un impulso
triangolare mediante convoluzione
6
3
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Calcolo dello spettro di un impulso
triangolare mediante convoluzione
w1 (t )
−
T
2
w2 (t )
T
2
0
t
w2 (−(t − τ ))
−
T
2
0
T
2
t
0 ≤τ ≤ T
w2 (−t )
0τ −T
2
w2 (−(t − τ ))
τ
T t
τ+
2
−T ≤τ ≤ 0
τ−
T
2
τ
τ+
T 0
2
−
T
2
0
T
2
t
t
7
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Calcolo dello spettro di un impulso
triangolare mediante convoluzione
w1 (t )
−
T
2
0
T
2
t
w2 (−(t − τ ))
0τ −T
2
0 ≤τ ≤ T
τ
T t
τ+
2
0 ≤τ ≤ T
T 2 − (τ − T 2)

w3 (τ ) = (w1 * w2 )(τ ) = (τ + T 2) − (− T 2) − T ≤ τ ≤ 0
0
Altrove

T − τ

w3 (τ ) = (w1 * w2 )(τ ) = T + τ
0

0 ≤τ ≤ T
−T ≤τ ≤ 0
Altrove
w2 (−(t − τ ))
−T ≤τ ≤ 0
τ−
T
2
τ
τ+
T 0
2
t
  t   t 
τ 
w3 (τ ) = Π  * Π  (τ ) = T ⋅ Λ 
T 
  T   T 
8
4
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Calcolo dello spettro di un impulso
triangolare mediante convoluzione
w1 (t )
 t t
w3 (τ ) = Π  * Π
 T  T
−
T
2
0
T
2
t
w2 (−(t − τ ))
0τ −T
2

τ 
 (τ ) = T ⋅ Λ 

T 
0 ≤τ ≤ T
τ
τ+
  t 
T sinc( f T ) ⋅ T sinc( f T ) = T ⋅ ℑΛ 
  T 
T t
2
w2 (−(t − τ ))
−T ≤τ ≤ 0
τ−
T
2
τ
τ+
T 0
2
  t 
ℑΛ  = T sinc 2 ( f T )
  T 
t
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9
2 - Segnali e spettri [parte 2]
Spettro di un impulso triangolare
t
w(t ) = Λ  ↔ T sinc 2 ( fT )
T 
T sinc 2 (T f )
10
5
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Trasformate di Fourier notevoli
T sinc ( fT )
T sinc 2 ( fT )
Sinusoide
a sin (2π f 0 t + ϕ )
[
]
1
j a e − jϕ δ ( f + f 0 ) − e + jϕ δ ( f − f 0 )
2
11
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Trasformate di Fourier notevoli
Cosinusoide
12
6
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-9: spettro di un IMPULSO
SINUSOIDALE
13
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-9: spettro di un IMPULSO
SINUSOIDALE
Dato che:
t
Π   ↔ T Sa (πTf ) = T sinc(Tf )
T 
θ =−
Teorema della modulazione
π
2
1
F=
T
W( f )=
A  − j π2
f − f 0  + j π2
 f + f 0 
e T sinc

 + e T sinc

2
 F 
 F 
e
W( f )= j
A 
f + f0 
 f − f 0 
T sinc
 − sinc

2 
 F 
 F 
±j
π
2
= cos
π
2
± j sin
π
2
=±j
14
7
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-9: spettro di un IMPULSO
SINUSOIDALE
W( f )= j
f + f0 
A 
 f − f 0 
T sinc
 − sinc

2 
F


 F 
Spettro di ampiezza
15
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-9: spettro di un IMPULSO
SINUSOIDALE
Lo spettro dell’impulso sinusoidale può anche essere
calcolato mediante il teorema della convoluzione, dove:
f
W1 ( f ) = T sinc 
F
A
W2 ( f ) = j [δ ( f + f 0 ) − δ ( f − f 0 )]
2
W( f )= j
A 
f + f0 
 f − f 0 
T sinc

 − sinc
2 
 F 
 F 
16
8
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Densità spettrale di potenza (DSP)
Definizione:
„
[V
[A
 W (f)2 

Pw ( f ) ≡ lim  T
T →∞
 T

dove:
w(t ) se t ≤ T 2
wT (t ) = 
0
se t > T 2
WT ( f ) = ℑ{wT (t )}
t
= w(t ) ⋅ Π 
T 
2
2
]
Hz ]
Hz
versione troncata
del segnale
Trasformata di Fourier del segnale troncato
Per mezzo del teorema di Rayleigh, possiamo calcolare
la potenza media normalizzata del segnale:
P ≡ w(t )
2
1 +T 2
1 +∞
2
2
w(t ) dt = lim ∫ WT ( f ) df
∫
T →∞ T −T 2
T →∞ T − ∞
+∞
+∞
 lim 1 W ( f ) 2  df
P = ∫ Pw ( f ) df
f
df
=
P
(
)

 T →∞
−∞
T
∫−∞ w
T


17
= lim
=∫
+∞
−∞
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Funzione di autocorrelazione
„
Definizione [per un segnale reale]:
Rww (τ ) = w(t ) ⋅ w(t + τ ) = lim
T →∞
„
1
T
T 2
−T 2
w(t ) ⋅ w(t + τ ) dt
Definizione [per un segnale complesso]:
Rww (τ ) = w * (t ) ⋅ w(t + τ ) = lim
T →∞
„
∫
1
T
∫
T 2
−T 2
w * (t ) ⋅ w(t + τ ) dt
Teorema di Wiener-Khintchine:
ℑ{Rww (τ )} = Pw ( f )
„
Calcolo della potenza media normalizzata:
P = w(t )
2
= Weff2 = ∫
+∞
−∞
Pw ( f ) df = Rww (0)
18
9
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-10:
DSP di una sinusoide
=1
sin x ⋅ sin y =
cos( x − y ) − cos( x + y )
2
19
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-10:
DSP di una sinusoide
Esercizio: calcolare la DSP del segnale
si trova che:
w(t ) = A cos(ω 0t )
perché?
20
10
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Funzioni ortogonali
„
Definizione:
ϕ m (t )
ϕ n (t )
ortogonali sull’intervallo a < t < b se:
∫
b
a
„
ϕ n (t ) ϕ m* (t ) dt = 0
n≠m
(2-77)
L’insieme di queste funzioni ha elementi tali che:
b
0 se n ≠ m
Delta di Kronecker
ϕ n (t ) ϕ m* (t ) dt = K n δ nm dove: δ nm = 
a
1 se n = m
∫
„
Se:
K n = 1 ∀n
l’insieme
{ϕ n (t )}
è un insieme di funzioni ortonormali
21
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-11: le funzioni esponenziali
complesse sono ortogonali
Le funzioni esponenziali complesse sono ortogonali in a<t<a+T0
22
11
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-11: funzioni esponenziali
complesse ortogonali
Funzioni ortonormali
23
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Insiemi ortogonali completi
„
„
Un insieme di funzioni ortogonali {ϕ n (t )} si dice completo se
può essere utilizzato per rappresentare qualsiasi segnale a
energia finita con un errore avente energia arbitrariamente
piccola
Si può dimostrare che sono insiemi complessi:
„
Funzioni esponenziali complesse
„
Funzioni armoniche sinusoidali
„
Funzioni di Bessel
„
Polinomi di Legendre
24
12
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Teorema della rappresentazione su base
ortogonale
Sia
{ϕ n (t )} un insieme di funzioni ortogonali completo.
Un generico segnale w(t) può essere rappresentato sull’intervallo
a<t<b mediante la serie:
w(t ) =
+∞
∑ a ϕ (t )
n
(1)
n
n = −∞
dove i coefficienti dello sviluppo sono dati da:
DIMOSTRAZIONE
Applichiamo l’operatore
∫ [w (t ) ]ϕ
b
a
=
*
m
(t ) dt =
+∞
∑a K δ
n
n
nm
b
∫ [⋅] ϕ
a
*
m
a
1 b
w(t )ϕ n* (t )dt (2)
Kn a
∫
(t)dt ad entrambi i membri della (1):


a nϕ n ( t ) ϕ m* (t ) dt =

 n = −∞

+∞
∫ ∑
b
an =
= am K m
+∞
∑ a ∫ϕ
b
n
n = −∞
a
n
(t )ϕ m* ( t ) dt =
(2)
n = −∞
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25
2 - Segnali e spettri [parte 2]
Serie di Fourier
„
Teorema:
„
un segnale a energia finita può essere rappresentato sull’intervallo
a<t<a+T0 dalla serie di Fourier:
Rappresentazione in
forma polare
w(t ) =
+∞
∑
n = −∞
cn e
jn ω 0 t
a < t < a + T0
dove:
T0 : ampiezza dell' intervallo temporale su cui
viene definita la serie
ω 0 = 2πf o = 2π T0
1 a +T0
− jn ω t
cn = ⋅ ∫
w(t ) e 0 dt
T0 a
coefficienti complessi dello sviluppo
26
13
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Serie di Fourier per segnali periodici
„
Se la forma d’onda w(t) è periodica con periodo T0:
„
la rappresentazione in serie di Fourier vale su tutto l’asse temporale
„
la scelta del parametro a è arbitraria; di solito si sceglie:
− ∞ < t < +∞
a=0
oppure
a=−
T0
2
„
la frequenza f0=1/T0 è chiamata frequenza fondamentale
„
la generica frequenza nf0=n/T0 è l’n-esima armonica
„
il coefficiente c0 rappresenta il valore medio della forma d’onda
27
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Proprietà principali della serie di Fourier in
forma complessa
„
Proprietà dei coefficienti:
Se w(t ) è REALE
⇒ cn = c−* n
Se w(t ) è REALE e PARI
⇒ cn REALI
Se w(t ) è REALE e DISPARI ⇒ cn IMMAGINARI
„
Teorema di Parseval:
P=
+∞
1 a +T0
2
2
⋅∫
w(t ) dt = ∑ cn
T0 a
n = −∞
Lo dimostreremo in seguito
28
14
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Serie di Fourier in forma rettangolare
Teorema:
„
„
un segnale a energia finita può essere rappresentato sull’intervallo
a<t<a+T0 dalla serie di Fourier:
Rappresentazione in
forma rettangolare
+∞
+∞
n =0
n =1
w(t ) = ∑ a n cos nω 0 t + ∑ bn sin nω 0 t
dove:
T0 : ampiezza dell' intervallo temporale su cui
viene definita la serie
ω 0 = 2πf o = 2π T0
coefficienti della serie
2 a +T0
 1 a +T0
w(t ) sin (nω 0t ) dt
w(t ) dt
se n = 0 bn = ⋅ ∫a
 T ⋅ ∫a
T0
a n =  0 a +T
2
0
 ⋅∫
w(t ) cos (nω 0t ) dt se n ≥ 1
 T0 a
29
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Serie di Fourier in forma rettangolare
„
Se la forma d’onda w(t) è periodica con periodo T0:
„
la rappresentazione in forma rettangolare in serie di Fourier vale su
tutto l’asse temporale
− ∞ < t < +∞
„
la scelta del parametro a è arbitraria; di solito si sceglie:
a=0
„
oppure
a=−
T0
2
Relazione tra
FORMA POLARE e FORMA RETTANGOLARE:
se n = 0
c0
bn = −2 Im{cn } n ≥ 1
an = 
2 Re{cn } se n ≥ 1
30
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Spettro a righe di un segnale periodico
„
„
Per un segnale periodico la rappresentazione mediante
serie di Fourier è definita su tutto l’asse temporale
Obiettivo:
„
„
vogliamo calcolare la relazione fra la trasformata di un segnale
periodico e i coefficienti di Fourier
Teorema:
„
se un segnale è periodico di periodo T0, la sua trasformata è:
W( f ) =
+∞
∑
n = −∞
cn δ ( f − n f 0 )
dove:
f 0 = 1 T0
cn : coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier del segnale
31
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Spettro a righe di un segnale periodico
„
w(t ) =
Dimostrazione:
+∞
∑
n = −∞
cn e
jn ω 0 t
calcolando la TF di entrambi i membri, otteniamo:
W( f ) = ∫
+∞
−∞
=
+∞
∑
n = −∞
„
jn ω 0 t 
 +∞
− jωt
 ∑ cn e
 ⋅ e dt =
 n = −∞

cn ∫
+∞
−∞
e − j 2π ( f − nf 0 )t dt =
+∞
∑
n = −∞
Vale su tutto
l’asse temporale,
dato che il
segnale è
periodico
cn δ ( f − nf 0 )
Nota:
„
„
„
un segnale periodico ha sempre uno spettro a righe (o discreto)
le funzioni delta sono concentrate sulle frequenze armoniche f=nf0 e
hanno area pari a cn
viceversa, se il segnale non contiene componenti periodiche, lo
spettro è continuo, eccetto per una possibile componente discreta
in f=0, se il segnale ha valore medio (componente continua) non
nullo
32
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Calcolo dei coefficienti di Fourier di un
segnale periodico dalla TF
„
È possibile ricavare i coefficienti di Fourier di un segnale
periodico:
„
„
campionando una porzione del segnale limitatata ad un singolo
periodo
Teorema:
„
se w(t) è un segnale periodico di periodo T0, rappresentato da
w(t ) =
+∞
∑
n = −∞
dove:
h(t − nT0 ) =
+∞
∑
n = −∞
cn e jnω 0t
w(t ) se t < T0

h(t ) = 
2
0
altrimenti
cn = f 0 H ( n f 0 )
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33
2 - Segnali e spettri [parte 2]
Calcolo dei coefficienti di Fourier di un
segnale periodico dalla TF
„
Dimostrazione:
cn =
+∞
∑ δ (t − nT ) =δ (t )
n = −∞
0
T T
per t ∈ − , 
 2 2
1
T0
∫
+T0 2
−T0 2
δ (t ) e − jnω t dt =
0
1
= f0
T0
34
17
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Calcolo dei coefficienti di Fourier di un
segnale periodico dalla TF
cn = f 0 H ( n f 0 )
35
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-12: coefficienti di Fourier di un
treno di impulsi rettangolari
cn =
1 a +T0
− jn ω t
⋅
w(t ) e 0 dt
T0 ∫a
nω 0
T0
1 T0
= 2 nπ
= nπ
2
T0 2
36
18
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-12: coefficienti di Fourier di un
treno di impulsi rettangolari
cn = f 0 H ( n f 0 )
t −T 2 
v(t ) = Π 

 T 
(2-112)
Esempio 2-5
↔
V ( f ) = T e − jπfT
sin (πTf )
πTf
f = nf 0 = n
1
2T
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-12: coefficienti di Fourier di un
treno di impulsi rettangolari
w(t ) = lim
T →∞
W( f ) =
+∞
∑
n = −∞
1
T
∫
T 2
−T 2
w(t ) dt
cn δ ( f − n f 0 ) (2-109): TF per un segnale periodico
38
19
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-12: coefficienti di Fourier di un
treno di impulsi rettangolari
„
„
Il primo è discreto, il secondo è continuo
Entrambi hanno lo stesso inviluppo, dato da sinc(Tf)
39
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-12: coefficienti di Fourier di un
treno di impulsi rettangolari
„
Relazione tra
FORMA POLARE e FORMA RETTANGOLARE:
se n = 0
c0
bn = −2 Im{cn } n ≥ 1
an = 
2 Re{cn } se n ≥ 1
„
Coefficienti dello sviluppo in FORMA RETTANGOLARE
40
20
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Potenza normalizzata per un segnale
periodico
Teorema:
„
„
per un segnale periodico w(t), la potenza normalizzata è pari a:
Pw = w 2 (t ) =
+∞
∑
n = −∞
cn
2
Caso particolare del
teorema di Parseval
P = w 2 (t )
Pw =
e j ( n −m ) ω t =
0
1
T0
∫
a +T0
a
e j ( n−m ) ω t dt =
0
1
⋅ T0 ⋅ δ n m = δ n m dato che le esponenziali sono
funzioni ortogonali
T0
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+∞
∑
n = −∞
cn
2
41
2 - Segnali e spettri [parte 2]
Funzione di autocorrelazione e Densità spettrale
di potenza per un segnale periodico
„
Teorema: per un segnale periodico w(t):
Funzione di autocorrelazione
Rww (τ ) =
+∞
∑
n = −∞
2
cn e jnω 0 τ
Densità spettrale di potenza
Pw ( f ) =
+∞
∑
cn δ ( f − n f 0 )
2
n = −∞
è la media rispetto a t
42
21
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Densità spettrale di potenza per un
segnale periodico
Rww (τ ) =
Pw ( f ) =
+∞
∑
n = −∞
+∞
∑
n = −∞
2
cn e jnω 0 τ
cn δ ( f − n f 0 )
2
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-13: DSP del treno di impulsi
rettangolari
Pw ( f ) =
+∞
∑
n = −∞
cn δ ( f − n f 0 )
2
(2-120)
44
22
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2 - Segnali e spettri [parte 2]
Esempio 2-13: DSP del treno di impulsi
rettangolari
45
23