Semipiani - Scuole Italiane di Asmara

RAPPRESENTAZIONE DI INSIEMI DEL PIANO
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SEMIPIANI
Una retta divide il piano in due insiemi complementari, detti semipiani e . La retta è di frontiera tra
i due semipiani.
Data una retta , i punti di un semipiano si possono trovano “sopra” ( ) o “sotto” ( ) la retta di frontiera
.
Sia data la retta . Questa fa da frontiera ai due semipiani
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Perché i semipiani si indicano con una disequazione che si ottiene
dall’equazione della retta di frontiera?
Se si sceglie un valore sull’asse delle ascisse, allora si può calcolare sulla retta l’ordinata .
Il punto ed è di frontiera per due semirette “verticali”:
1. la semiretta di tutti i punti della retta con ordinata .
2. La semiretta di tutti i punti della retta con ordinata .
Se si ripete questa procedura per tutte le possibili , si trovano tutti i punti dei due semipiani:
1. 2. Di seguito è illustrata la sequenza di costruzione del semipiano (azzurro sopra la retta di frontiera )
e (in bianco sotto la retta di frontiera). La retta tratteggiata è , che descrive i due semipiani al
crescere di .
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Retta di frontiera , , , , I due semipiani si possono scrivere in maniera più semplice, se si evitano alcune informazioni ovvie:
1. 2. In maniera ancora più semplice:
1. 2. Se uno dei due semipiani comprende la retta di frontiera, si cambia il simbolo di disuguaglianza in
1. (retta di frontiera )
oppure
2. (retta di frontiera )
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Caso generale per qualsiasi retta di frontiera Il ragionamento si può ripercorrere per qualsiasi retta di frontiera.
Supponiamo di avere una retta che è frontiera tra due semipiani. Quando si sceglie un
valore delle ascisse è possibile calcolare il punto sulla retta ed è possibile anche
individuare due insiemi:
1. tutti i punti del piano che hanno ordinata , cioè i punti della retta con ordinata
. Si tratta di una semiretta con punti sopra la frontiera . Questa semiretta si trova nel
semipiano 2. tutti i punti del piano che hanno ordinata , cioè i punti della retta con ordinata
. Si tratta di una semiretta con punti sotto la frontiera . Questa semiretta si trova nel
semipiano .
Se si ripete questa procedura per tutte le , si trovano tutti i punti dei due semipiani:
1. 2. Questi due insiemi si possono scrivere in maniera più semplice, se si evitano alcune informazioni ovvie:
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In maniera ancora più semplice:
1. 2. Se uno dei due semipiani comprende la retta di frontiera, si cambia il simbolo di disuguaglianza in
1. oppure
2. Esempi
Sia data la retta di frontiera .
Nel caso in cui la retta di frontiera non faccia parte di nessuno dei due semipiani
1. 2. Nel caso in cui la retta di frontiera faccia parte di 1. 2. 5 di 6
Nel caso in cui la retta di frontiera faccia parte di 1. 2. 6 di 6