Esercitazione di Meccanica Applicata alle Macchine

Esercitazione di Meccanica Applicata alle Macchine - 04/06/2013
Trasmissioni di potenza ad ingranaggi - rotismi
Calcolo del rapporto di trasmissione di un rotismo ordinario/epicicloidale
Si consideri il rotismo di figura, dove il primo stadio è ordinario ed il secondo è epicicloidale.
L’albero della ruota 1 è il movente ed il portasatellite p è il cedente.
E’ noto il numero di denti delle prime quattro ruote: z1 = 18, z2 = 36, z3 = 20, z4 = 25.
Tutte le ruote dentate sono normali.
Si richiede di:
A) ricavare l’espressione del rapporto di trasmissione del primo stadio, in funzione dei numeri di
denti;
B) ricavare l’espressione del rapporto di trasmissione del secondo stadio, in funzione dei numeri di
denti;
C) calcolare il valore numerico del rapporto di trasmissione dell’intero rotismo;
D) determinare se i versi di rotazione del movente e del cedente sono tra loro concordi o discordi
(motivando la risposta).
SVOLGIMENTO
A) Applicando la formula generale per il rapporto di trasmissione globale τ di un rotismo ordinario
al primo stadio, si ottiene:
I 
n 2 z1


1 1 z2
(1)
B) Applicando la formula di Willis per il rapporto di trasmissione globale τ di un rotismo ordinario
al secondo stadio, si ottiene:
 II ,0 
n   p
3   p
1
 II ,0


5   p
3   p
  5  0  
3   p
p

 p
3   p
3
1
p
 1
3
1
 1
 II ,0
p
 II ,0
 II ,0
p
3

 II ,0
 II ,0  1
(2)
(3)
(4)
(5)
Applicando la formula generale per il rapporto di trasmissione globale τ di un rotismo ordinario al
secondo stadio, si ottiene:
 II ,0 
n 5 5 4
z z
z



   p  0  3 4   3  0
 3 3  4 3
z4  z5
z5
(6)
dal momento che le ruote 3 e 5 hanno verso di rotazione discorde.
Applicando la formula generale per il rapporto di trasmissione globale τ di un rotismo epicicloidale
al secondo stadio, si ottiene:
 II 
p
3
(7)
come rapporto tra membro cedente (portasatellite p) e membro movente (ruota 3).
Sostituendo le relazioni (5) e (6) all’interno della relazione (7), si ottiene l’espressione del rapporto
di trasmissione τII del secondo stadio del rotismo in funzione dei numeri di denti:
 II 
p
3

 II ,0
 II ,0  1

 z3 / z5
z /z
z3
 3 5  z5 
( z3 / z5 )  1 z3  z5
z3  z5
(8)
C) Il rapporto di trasmissione τ dell’intero rotismo viene calcolato come prodotto dei rapporti di
trasmissione dei singoli stadi del rotismo, a partire dalle relazioni (1) e (8), nel seguente modo:
   I  II 
z3
z1

z2 z3  z5
(9)
Il numero di denti z5 della ruota 5 viene calcolato a partire da considerazioni geometriche:
R5  R3  2R4
z5  z3  2 z4  70 mm
(10)
(11)
Il valore numerico del rapporto di trasmissione τ dell’intero rotismo è quindi uguale a:

z3
z1
1 2 1

      0.11
z2 z3  z5 2  9  9
(12)
D) Studiamo il rotismo nella vista laterale B (vedi figura). Se supponiamo che l’albero della ruota 3
(movente del secondo stadio) ruoti in senso antiorario (Ω3 > 0), allora la ruota 4 (accoppiata alla
ruota 3) gira in senso orario attorno al proprio asse (Ω4 < 0) e questo asse passante per il punto O4
ruota in senso antiorario rispetto all’asse passante per il punto O3 (Ω43 > 0). Dal momento che il
portasatellite p è vincolato rotoidalmente alla ruota 4 nel punto O4, allora anche p ruota in senso
antiorario rispetto al punto O3 (Ωp > 0) e pertanto i membri 3 e p (movente e cedente del secondo
stadio) hanno verso di rotazione concorde. Il verso di rotazione dell’albero della ruota 3 (Ω3 > 0) è
quindi concorde al verso di rotazione del portasatellite p (Ωp > 0). Il verso di rotazione dell’albero
della ruota 3 (Ω3 > 0) è concorde al verso di rotazione dell’albero della ruota 2 (Ω2 > 0) perché le
ruote 2 e 3 sono coassiali. Il verso di rotazione dell’albero della ruota 1 (Ω1 < 0) è discorde al verso
di rotazione dell’albero della ruota 2 (Ω2 > 0) perché la ruota 1 è accoppiata alla ruota 2. Pertanto, i
versi di rotazione del movente (ruota 1) e del cedente (portasatellite p) dell’intero rotismo sono tra
loro discordi (Ω1 < 0, Ωp > 0).