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RISPOSTA FORZATA SISTEMI LINEARI STAZIONARI u(t) yf(t) G(s

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RISPOSTA FORZATA SISTEMI LINEARI STAZIONARI u(t) yf(t) G(s
RISPOSTA FORZATA SISTEMI LINEARI STAZIONARI
B(s)
u(t)
-
=
G(s) =
bn sn + · · · + b0
n
s + · · · + a0
A(s)
yf (t)
• Classe di funzioni di ingresso.


Q(s)
=
U := u(·) : U (s) =
P (s)
Ql
i=1 (s − zi )
,
Qr
i=1 (s − pi )


l ≤ r, A(pi ) 6= 0, i = 1, . . . , r
• Forma di Yf (s) (caso pi distinti)
Yf (s) = G(s)U (s) = H(s) +
n
X
ki
i=1 s − pi
• Scomposizione risposta forzata: yf (t) = yfG (t) + yfU (t).
– Parte dipendente dai poli di G(s) (“transitorio”).
yfG (t) = L−1 {H(s)}
– Parte dipendente dai poli di U (s) (“regime permanente”).

n
X

ki 
yfU (t) = L−1 

i=1 s − pi
RAPPRESENTAZIONI FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
• Funzione di trasferimento razionale fratta
bm sm + bm−1 sm−1 + · · · b1 s + b0
G(s) =
an sn + an−1 sn−1 + · · · a1 s + a0
• Forma poli-zeri
G(s) = K 0
(s − z1 )(s − z2 ) · · · (s − zm )
(s − p1 )(s − p2 ) · · · (s − pn )
K0 =
bm
an
• Forma costanti di tempo o di Bode
0
0
0 s
KB (1 + τ1 s) · · · (1 + τzr s)(1 + 2ζ1 ωn0 1 +
G(s) = h
s (1 + τ1 s) · · · (1 + τpr s)(1 + 2ζ1 ωs +
n
1
s2
ωn021 ) · · · (1
s2
ωn2 1 ) · · · (1
0 s
+ 2ζzc
+
ω0
nzc
+ 2ζpc ωns +
pc
s2
ωn02zc )
s2
ωn2 pc )
0−1 −2
KB = K 0 τ1 · · · τpr ωn021 · · · ωn02zc τ10−1 · · · τzr
ωn1 · · · ωn−2
guadagno di Bode
pc
τi0 = −σi0−1
ζi0 = −σi0 [σ 0 2i + ω 0 2i ]−1/2 ;
zeri reali zi = σi0
q
ωn0 i = σ 0 2i + ω 0 2i
τi = −σi−1
ζi = −σi [σi2 + ωi2 ]−1/2 ;
zeri complessi zi = σi0 + jωi0
poli reali pi = σi
q
ωni = σi2 + ωi2
poli complessi pi = σi + jωi
RISPOSTA AL GRADINO DEI SISTEMI DEL PRIMO ORDINE
• Sistema del primo ordine.
G(s) =
K
;
1 + τs
g(t) =
K −t/τ
e
τ
• Risposta al gradino (K = 1)







1
−τ 
−1
−1 1
gu (t) = L−1 
=
L
+
L
= −e−t/τ + 1



s(1 + τ s)
(1 + τ s)
s
• Andamento nel tempo (τ > 0).
( )
PARAMETRI CARATTERISTICI RISPOSTA AL GRADINO
• Massima sovraelongazione: ŝ
• Tempo di ritardo: tr
• Tempo di salita: ts% e ts
• Tempo di assestamento: ta
• Istante di massima sovraelongazione: tm
RISPOSTA AL GRADINO: SISTEMI SECONDO ORDINE
• Sistema del secondo ordine
G(s) =
1
1 + 2ζ ωsn +
s2
ωn2
• Risposta al gradino
−1
gu (t) = L




1

1
+ 2ζ ωsn +
s2
ωn2

s


 2ζ
1 + 2ζω
1
−1
n
= L −
s

 ωn 1 + 2ζ
s
ω +
q
1
−ζωn t
2
= −√
e
sin(ω
n 1 − ζ t + arctan
2
1−ζ
n
√



s2
ωn2
−1
+L


1 − ζ2
)+1
ζ
1
=
s
( )
RISPOSTA AL GRADINO: SISTEMI SECONDO ORDINE
√
• Massima sovraelongazione: ŝ = exp(−πζ/ 1 − ζ 2 )
√
• Tempo di salita: ts = ωn−1 [1 − ζ 2 ]−1/2 [π − arctan ζ −1 1 − ζ 2 ]
• Tempo di assestamento
RISPOSTA AL GRADINO: SISTEMI SECONDO ORDINE
• Aggiunta di uno zero
G(s) =
1 + τ 0s
1 + 2ζ ωsn +
s2
ωn2
• Aggiunta di un polo
G(s) =
1
(1 + τ s)(1 + 2ζ ωsn +
s2
ωn2 )
RISPOSTA AD UNA SINUSOIDE (RISPOSTA IN FREQUENZA)
u(t) = A sin ωt
-
G(s)
-
yfU (t) = F (ω) sin(ωt + ϕ(ω))
• Valutazione risposta forzata
−1
y(t) = L
Aω
k−
k+
−1
−1
G(s) 2
=
L
{H(s)}
+
L
+
|
{z
}
s + ω2
s − jω{z s + jω
|
(
)
(
yfG (t)
yfU (t)
)
}
• Teorema della risposta in frequenza (G(s) con poli a parte reale < 0)
F (ω) = A|G(jω)|;
ϕ(ω) = arg G(jω)
• Risposta in frequenza ↔ risposta impulsiva
G(jω) =
g(t) =
Z ∞
0
g(t)e−jωt dt
1 Z∞
G(jω)ejωt dω
−∞
2π
DIAGRAMMI DI BODE: PARAMETRI CARATTERISTICI
• Picco di risonanza: Mr
• Pulsazione di risonanza: ωr
• Banda a 3dB: B3
• Pulsazione di attraversamento: ωa
DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI
• Sistema statico:
G(s) = K
• Integratore: G(s) = s−1
DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI
• Sistema del primo ordine: G(s) = (1 + τ s)−1 ,
• Elemento di ritardo: G(s) = e−sT ,
( T > 0 ).
( τ > 0 ).
DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI
2
• Sistema del secondo ordine: G(s) = (1 + 2ζ ωsn + ωs 2 )−1 ,
n
• Banda a 3dB
r
B3 = ωn 1 −
2ζ 2
q
+ 2 − 4ζ 2 + 4ζ 4
• Pulsazione di risonanza
q
ωr = ωn 1 − 2ζ 2
• Picco di risonanza
Mr =
1
2ζ 1 − ζ 2
√
(ωn > 0; 0 ≤ ζ < 1).
DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI
2
• Sistema del secondo ordine: G(s) = (1 + 2ζ ωsn + ωs 2 )−1 ,
n
(ωn > 0; 0 ≤ ζ < 1).
RELAZIONI PARAMETRI SISTEMI SECONDO ORDINE
• Banda a 3dB in funzione di ζ
• Modulo alla risonanza in funzione di ζ
• Relazioni fra ŝ e Mr e fra ts e B3 .
ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI DI BODE
G(s) = e−sT
1+s
s(1 + 10s)(1 + 0.1s)2
ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI DI BODE
G(s) =
8(s2 + s + 15)
s3 + 9s2 + 15s + 120
• Forma di Bode
G(s) =
ωnz ≈ 3.873;
s2
2
ω
nz
z
2
2ζp ωsn + ωs2 )
np
p
1 + 2ζz ωsn +
(1 + sτp )(1 +
ζz ≈ 0.129;
τp ≈ 0.113;
ωnp ≈ 3.685;
ζp ≈ 0.022
DIAGRAMMI POLARI O DI NYQUIST DI G(jω)
• Il diagramma polare è la curva nel piano di complesso descritta da G(jω)
al variare della pulsazione ω in [0, ∞].
DIAGRAMMI POLARI DI SISTEMI ELEMENTARI
• Sistema statico:
G(s) = K
• Integratore: G(s) = s−1
DIAGRAMMI POLARI DI SISTEMI ELEMENTARI
• Sistema del primo ordine: G(s) = (1 + τ s)−1 ,
• Elemento di ritardo: G(s) = e−sT ,
( T > 0 ).
( τ > 0 ).
DIAGRAMMI POLARI DI SISTEMI ELEMENTARI
2
• Sistema del secondo ordine: G(s) = (1 + 2ζ ωsn + ωs 2 )−1 ,
n
(ωn > 0; 0 ≤ ζ < 1).
SINGOLARITÀ DEI DIAGRAMMI POLARI
G(s) =
1 0
G (s)
sh
• Un polo in zero (h = 1) → asintoto verticale.
G(s) =
G0o
. G0 (0);
=
G01
G0o
+ G01 + G02 s + G03 s2 + . . .
s
. d G0 (s) ;
=
|s=0
ds
G02
1 d2 0
.
=
G (s)|s=0 ;
2! ds2
G03
1 d3 0
.
=
G (s)|s=0
3! ds3
• Un polo doppio in zero (h = 2) → genericamente asintoto parabolico.
G0o G01
G(s) = 2 +
+ G02 + G03 s . . .
s
s
• Esempi.
G(s) =
1
s(s + 1)
G(s) =
1
s2 (s + 1)
SINGOLARITÀ DEI DIAGRAMMI POLARI
• Un polo per s = j ω̂ → asintoto obliquo.
1
1
0
G
(s)
=
G00 (s)
2
2
2
s + ω̂
s − j ω̂
G(s) =
G00o
G(s) =
+ G001 + G002 (s − j ω̂) + . . .
s − j ω̂
G00o
. G00 (j ω̂);
=
G001
. d G00 (s)
=
|s=j ω̂ ;
ds
G002
• Esempio.
G(s) =
1
(1 + s)(1 + s2 )
1 d2 00
.
=
G (s)|s=j ω̂
2! ds2
ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI POLARI
G(s) = e−sT
1+s
s(1 + 10s)(1 + 0.1s)2
ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI POLARI
G(s) =
8(s2 + s + 15)
s3 + 9s2 + 15s + 120
• Forma di Bode
G(s) =
ωnz ≈ 3.873;
s2
2
ω
nz
z
2
2ζp ωsn + ωs2 )
np
p
1 + 2ζz ωsn +
(1 + sτp )(1 +
ζz ≈ 0.129;
τp ≈ 0.113;
ωnp ≈ 3.685;
ζp ≈ 0.022
DIAGRAMMI DI NICHOLS DI SISTEMI ELEMENTARI
• Sistema statico:
G(s) = K
• Integratore: G(s) = s−1
• Elemento di ritardo: G(s) = e−sT
DIAGRAMMI DI NICHOLS DI SISTEMI ELEMENTARI
• Sistema del primo ordine: G(s) = (1 + τ s)−1 ,
( τ > 0 ).
2
• Sistema del secondo ordine: G(s) = (1 + 2ζ ωsn + ωs 2 )−1 ,
n
(ωn > 0; 0 ≤ ζ < 1).
RELAZIONI PARTE REALE E IMMAGINARIA DI G(jω)
• Ipotesi su G(s)
– (I) Analitica nel semipiano destro chiuso del piano complesso
– (II) Propria (lims→∞ = G(s) = G∞ )
– (III) G(s∗ ) = G∗ (s) (
∗
sta per coniugato)
• Relazione fra R(jω) := Re[G(jω)] e I(jω) := Im[G(jω)] (coppia di
trasformate di Hilbert)
R(jωo ) − G∞
1 Z +∞ I(jω)
dω =
=−
π −∞ ω − ωo
1 Z +∞ R(jω)
I(jωo ) =
dω =
π −∞ ω − ωo
TEOREMA DI BODE
• Parte reale e parte immaginaria di W (s) := lnG(s)
Re[W (jω)] = ln|G(jω)|
Im[W (jω)] = arg G(jω)
• Ipotesi: G(s) razionale fratta, propria, con coefficienti reali, con poli e
zeri a parte reale strettamente minore di zero (fase minima)
• Teorema di Bode
– Posizioni
x := lnω;
y(x) := ln|G(jω)|;
z(x) := arg G(jω)
– Formula (modulo → fase)
x − x π dy
1 Z +∞ dy dy
o
dx
z(xo ) = ·
+
−
lncotgh 2 dx |x=xo
π −∞ dx dx |x=xo
2 (
– Interpretazione formula
)
APPLICAZIONE TEOREMA DI BODE
• G(s) è a fase minima
• G(s) non a fase minima si può scrivere
G(s) = Gm (s)Gu (s),
Gm (s) a fase minima ,
|Gu (jω)| = 1
– Esempi
G1 (s) =
1+s 1−s
1−s
=
(1 + 2s)2
(1 + 2s)2 1 + s
1
1 + s + s2
1
=
G2 (s) =
1 − s + s2
1 + s + s2 1 − s + s2
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