RISPOSTA FORZATA SISTEMI LINEARI STAZIONARI u(t) yf(t) G(s
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RISPOSTA FORZATA SISTEMI LINEARI STAZIONARI u(t) yf(t) G(s
RISPOSTA FORZATA SISTEMI LINEARI STAZIONARI B(s) u(t) - = G(s) = bn sn + · · · + b0 n s + · · · + a0 A(s) yf (t) • Classe di funzioni di ingresso. Q(s) = U := u(·) : U (s) = P (s) Ql i=1 (s − zi ) , Qr i=1 (s − pi ) l ≤ r, A(pi ) 6= 0, i = 1, . . . , r • Forma di Yf (s) (caso pi distinti) Yf (s) = G(s)U (s) = H(s) + n X ki i=1 s − pi • Scomposizione risposta forzata: yf (t) = yfG (t) + yfU (t). – Parte dipendente dai poli di G(s) (“transitorio”). yfG (t) = L−1 {H(s)} – Parte dipendente dai poli di U (s) (“regime permanente”). n X ki yfU (t) = L−1 i=1 s − pi RAPPRESENTAZIONI FUNZIONE DI TRASFERIMENTO • Funzione di trasferimento razionale fratta bm sm + bm−1 sm−1 + · · · b1 s + b0 G(s) = an sn + an−1 sn−1 + · · · a1 s + a0 • Forma poli-zeri G(s) = K 0 (s − z1 )(s − z2 ) · · · (s − zm ) (s − p1 )(s − p2 ) · · · (s − pn ) K0 = bm an • Forma costanti di tempo o di Bode 0 0 0 s KB (1 + τ1 s) · · · (1 + τzr s)(1 + 2ζ1 ωn0 1 + G(s) = h s (1 + τ1 s) · · · (1 + τpr s)(1 + 2ζ1 ωs + n 1 s2 ωn021 ) · · · (1 s2 ωn2 1 ) · · · (1 0 s + 2ζzc + ω0 nzc + 2ζpc ωns + pc s2 ωn02zc ) s2 ωn2 pc ) 0−1 −2 KB = K 0 τ1 · · · τpr ωn021 · · · ωn02zc τ10−1 · · · τzr ωn1 · · · ωn−2 guadagno di Bode pc τi0 = −σi0−1 ζi0 = −σi0 [σ 0 2i + ω 0 2i ]−1/2 ; zeri reali zi = σi0 q ωn0 i = σ 0 2i + ω 0 2i τi = −σi−1 ζi = −σi [σi2 + ωi2 ]−1/2 ; zeri complessi zi = σi0 + jωi0 poli reali pi = σi q ωni = σi2 + ωi2 poli complessi pi = σi + jωi RISPOSTA AL GRADINO DEI SISTEMI DEL PRIMO ORDINE • Sistema del primo ordine. G(s) = K ; 1 + τs g(t) = K −t/τ e τ • Risposta al gradino (K = 1) 1 −τ −1 −1 1 gu (t) = L−1 = L + L = −e−t/τ + 1 s(1 + τ s) (1 + τ s) s • Andamento nel tempo (τ > 0). ( ) PARAMETRI CARATTERISTICI RISPOSTA AL GRADINO • Massima sovraelongazione: ŝ • Tempo di ritardo: tr • Tempo di salita: ts% e ts • Tempo di assestamento: ta • Istante di massima sovraelongazione: tm RISPOSTA AL GRADINO: SISTEMI SECONDO ORDINE • Sistema del secondo ordine G(s) = 1 1 + 2ζ ωsn + s2 ωn2 • Risposta al gradino −1 gu (t) = L 1 1 + 2ζ ωsn + s2 ωn2 s 2ζ 1 + 2ζω 1 −1 n = L − s ωn 1 + 2ζ s ω + q 1 −ζωn t 2 = −√ e sin(ω n 1 − ζ t + arctan 2 1−ζ n √ s2 ωn2 −1 +L 1 − ζ2 )+1 ζ 1 = s ( ) RISPOSTA AL GRADINO: SISTEMI SECONDO ORDINE √ • Massima sovraelongazione: ŝ = exp(−πζ/ 1 − ζ 2 ) √ • Tempo di salita: ts = ωn−1 [1 − ζ 2 ]−1/2 [π − arctan ζ −1 1 − ζ 2 ] • Tempo di assestamento RISPOSTA AL GRADINO: SISTEMI SECONDO ORDINE • Aggiunta di uno zero G(s) = 1 + τ 0s 1 + 2ζ ωsn + s2 ωn2 • Aggiunta di un polo G(s) = 1 (1 + τ s)(1 + 2ζ ωsn + s2 ωn2 ) RISPOSTA AD UNA SINUSOIDE (RISPOSTA IN FREQUENZA) u(t) = A sin ωt - G(s) - yfU (t) = F (ω) sin(ωt + ϕ(ω)) • Valutazione risposta forzata −1 y(t) = L Aω k− k+ −1 −1 G(s) 2 = L {H(s)} + L + | {z } s + ω2 s − jω{z s + jω | ( ) ( yfG (t) yfU (t) ) } • Teorema della risposta in frequenza (G(s) con poli a parte reale < 0) F (ω) = A|G(jω)|; ϕ(ω) = arg G(jω) • Risposta in frequenza ↔ risposta impulsiva G(jω) = g(t) = Z ∞ 0 g(t)e−jωt dt 1 Z∞ G(jω)ejωt dω −∞ 2π DIAGRAMMI DI BODE: PARAMETRI CARATTERISTICI • Picco di risonanza: Mr • Pulsazione di risonanza: ωr • Banda a 3dB: B3 • Pulsazione di attraversamento: ωa DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI • Sistema statico: G(s) = K • Integratore: G(s) = s−1 DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI • Sistema del primo ordine: G(s) = (1 + τ s)−1 , • Elemento di ritardo: G(s) = e−sT , ( T > 0 ). ( τ > 0 ). DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI 2 • Sistema del secondo ordine: G(s) = (1 + 2ζ ωsn + ωs 2 )−1 , n • Banda a 3dB r B3 = ωn 1 − 2ζ 2 q + 2 − 4ζ 2 + 4ζ 4 • Pulsazione di risonanza q ωr = ωn 1 − 2ζ 2 • Picco di risonanza Mr = 1 2ζ 1 − ζ 2 √ (ωn > 0; 0 ≤ ζ < 1). DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI 2 • Sistema del secondo ordine: G(s) = (1 + 2ζ ωsn + ωs 2 )−1 , n (ωn > 0; 0 ≤ ζ < 1). RELAZIONI PARAMETRI SISTEMI SECONDO ORDINE • Banda a 3dB in funzione di ζ • Modulo alla risonanza in funzione di ζ • Relazioni fra ŝ e Mr e fra ts e B3 . ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI DI BODE G(s) = e−sT 1+s s(1 + 10s)(1 + 0.1s)2 ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI DI BODE G(s) = 8(s2 + s + 15) s3 + 9s2 + 15s + 120 • Forma di Bode G(s) = ωnz ≈ 3.873; s2 2 ω nz z 2 2ζp ωsn + ωs2 ) np p 1 + 2ζz ωsn + (1 + sτp )(1 + ζz ≈ 0.129; τp ≈ 0.113; ωnp ≈ 3.685; ζp ≈ 0.022 DIAGRAMMI POLARI O DI NYQUIST DI G(jω) • Il diagramma polare è la curva nel piano di complesso descritta da G(jω) al variare della pulsazione ω in [0, ∞]. DIAGRAMMI POLARI DI SISTEMI ELEMENTARI • Sistema statico: G(s) = K • Integratore: G(s) = s−1 DIAGRAMMI POLARI DI SISTEMI ELEMENTARI • Sistema del primo ordine: G(s) = (1 + τ s)−1 , • Elemento di ritardo: G(s) = e−sT , ( T > 0 ). ( τ > 0 ). DIAGRAMMI POLARI DI SISTEMI ELEMENTARI 2 • Sistema del secondo ordine: G(s) = (1 + 2ζ ωsn + ωs 2 )−1 , n (ωn > 0; 0 ≤ ζ < 1). SINGOLARITÀ DEI DIAGRAMMI POLARI G(s) = 1 0 G (s) sh • Un polo in zero (h = 1) → asintoto verticale. G(s) = G0o . G0 (0); = G01 G0o + G01 + G02 s + G03 s2 + . . . s . d G0 (s) ; = |s=0 ds G02 1 d2 0 . = G (s)|s=0 ; 2! ds2 G03 1 d3 0 . = G (s)|s=0 3! ds3 • Un polo doppio in zero (h = 2) → genericamente asintoto parabolico. G0o G01 G(s) = 2 + + G02 + G03 s . . . s s • Esempi. G(s) = 1 s(s + 1) G(s) = 1 s2 (s + 1) SINGOLARITÀ DEI DIAGRAMMI POLARI • Un polo per s = j ω̂ → asintoto obliquo. 1 1 0 G (s) = G00 (s) 2 2 2 s + ω̂ s − j ω̂ G(s) = G00o G(s) = + G001 + G002 (s − j ω̂) + . . . s − j ω̂ G00o . G00 (j ω̂); = G001 . d G00 (s) = |s=j ω̂ ; ds G002 • Esempio. G(s) = 1 (1 + s)(1 + s2 ) 1 d2 00 . = G (s)|s=j ω̂ 2! ds2 ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI POLARI G(s) = e−sT 1+s s(1 + 10s)(1 + 0.1s)2 ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI POLARI G(s) = 8(s2 + s + 15) s3 + 9s2 + 15s + 120 • Forma di Bode G(s) = ωnz ≈ 3.873; s2 2 ω nz z 2 2ζp ωsn + ωs2 ) np p 1 + 2ζz ωsn + (1 + sτp )(1 + ζz ≈ 0.129; τp ≈ 0.113; ωnp ≈ 3.685; ζp ≈ 0.022 DIAGRAMMI DI NICHOLS DI SISTEMI ELEMENTARI • Sistema statico: G(s) = K • Integratore: G(s) = s−1 • Elemento di ritardo: G(s) = e−sT DIAGRAMMI DI NICHOLS DI SISTEMI ELEMENTARI • Sistema del primo ordine: G(s) = (1 + τ s)−1 , ( τ > 0 ). 2 • Sistema del secondo ordine: G(s) = (1 + 2ζ ωsn + ωs 2 )−1 , n (ωn > 0; 0 ≤ ζ < 1). RELAZIONI PARTE REALE E IMMAGINARIA DI G(jω) • Ipotesi su G(s) – (I) Analitica nel semipiano destro chiuso del piano complesso – (II) Propria (lims→∞ = G(s) = G∞ ) – (III) G(s∗ ) = G∗ (s) ( ∗ sta per coniugato) • Relazione fra R(jω) := Re[G(jω)] e I(jω) := Im[G(jω)] (coppia di trasformate di Hilbert) R(jωo ) − G∞ 1 Z +∞ I(jω) dω = =− π −∞ ω − ωo 1 Z +∞ R(jω) I(jωo ) = dω = π −∞ ω − ωo TEOREMA DI BODE • Parte reale e parte immaginaria di W (s) := lnG(s) Re[W (jω)] = ln|G(jω)| Im[W (jω)] = arg G(jω) • Ipotesi: G(s) razionale fratta, propria, con coefficienti reali, con poli e zeri a parte reale strettamente minore di zero (fase minima) • Teorema di Bode – Posizioni x := lnω; y(x) := ln|G(jω)|; z(x) := arg G(jω) – Formula (modulo → fase) x − x π dy 1 Z +∞ dy dy o dx z(xo ) = · + − lncotgh 2 dx |x=xo π −∞ dx dx |x=xo 2 ( – Interpretazione formula ) APPLICAZIONE TEOREMA DI BODE • G(s) è a fase minima • G(s) non a fase minima si può scrivere G(s) = Gm (s)Gu (s), Gm (s) a fase minima , |Gu (jω)| = 1 – Esempi G1 (s) = 1+s 1−s 1−s = (1 + 2s)2 (1 + 2s)2 1 + s 1 1 + s + s2 1 = G2 (s) = 1 − s + s2 1 + s + s2 1 − s + s2