Alcune proprieta` e dimostrazioni

ASSIOMI DEL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Uno spazio probabilistico consiste in una terna
(Ω, Α, P )
costituita dalle seguenti tre componenti:
(i)
un insieme non vuoto Ω , chiamato spazio degli eventi elementari, che
rappresenta l’insieme dei possibili risultati di un esperimento casuale;
(ii)
una sigma-algebra su Ω , detta famiglia degli eventi, che consiste in una famiglia
Α di sottoinsiemi di Ω soddisfacente ai tre assiomi
(A1) Ω ∈ Α ,
(A2) ∀A ∈ Α A ∈ Α ,
(A3) se {An } è una sottofamiglia discreta di Α , allora U An ∈ Α ;
n
(iii)
una misura di probabilità su Α rappresentata da una funzione P : Α → ℜ che
soddisfa ai tre assiomi
(P1) P(Ω ) = 1 ,
(P2) ∀A ∈ Α P( A) ≥ 0 ,
(P3) se {An } è una sottofamiglia discreta e disgiunta di Α , allora


P U An  = ∑ P( An ) .
 n
 n
FORMULE ELEMENTARI DEL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
In un qualsiasi spazio probabilistico, se A, B ∈ Α allora
(1)
A∩ B∈Α ;
(2)
A− B∈Α;
(3)
P ( A − B ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) ;
(4)
B ⊆ A ⇒ P (B ) ≤ P( A) ;
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
()
P A = 1 − P ( A) ;
P ( A) ≤ 1 ;
P(0) = 0 ;
P ( A ∪ B ) + P ( A ∩ B ) = P ( A) + P ( B ) ;
P ( A ∪ B ) ≤ P ( A ) + P (B ) ;
P ( A ∩ B ) ≥ P ( A ) + P (B ) − 1 .
Dimostrazioni.
(1)
Innanzitutto, A, B ∈ Α per l’assioma (A2) e dunque A ∪ B ∈ Α per l’assioma
(2)
(3)
(A3). Infine, A ∩ B = A ∪ B ∈ Α per (A2).
In modo analogo alla dimostrazione precedente, A − B = A ∩ B ∈ Α .
Poiché gli eventi A ∩ B e A − B sono disgiunti e A = ( A − B ) ∪ ( A ∩ B ) si ha
che P( A) = P( A − B ) + P( A ∩ B ) per l’assioma (P3).
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Dal
risultato
appena
provato
e
dall’assioma
(P2)
deriva
P( A) = P( A − B ) + P( A ∩ B ) ≥ P( A ∩ B ) , da cui segue che, se B ⊆ A , allora
P ( B ) = P ( A ∩ B ) ≤ P ( A) .
()
Applicando la formula (3) si ha P A = P (Ω − A) = P (Ω ) − P (Ω ∩ A) = 1 − P ( A)
per (P1);
Dalla formula (5) e dall’assioma (P2) segue che 0 ≤ P A = 1 − P ( A) , ovvero
P ( A) ≤ 1 .
()
( )
Sempre dalla (5), P (0 ) = P Ω = 1 − P(Ω ) = 1 − 1 = 0 per (P1).
Dal fatto che l’evento A ∪ B può scriversi come unione disgiunta degli eventi
A − B e B , dall’assioma (P3) e dalla formula (3) si ottiene
P ( A ∪ B ) = P ( A − B ) + P ( B ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) + P ( B ) .
Dalla formula precedente e dall’assioma (P2) segue immediatamente
P ( A ∪ B ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) + P ( B ) ≤ P ( A) + P ( B ) .
Dalle formule (6) e (8) si ottiene che 1 ≥ P( A ∪ B ) = P( A) − P( A ∩ B ) + P(B ) ,
ossia P( A ∩ B ) ≥ P( A) + P(B ) − 1 .
PROBABILITÀ CONDIZIONATA
In un generico spazio probabilistico (Ω, Α, P ) , se A, B ∈ Α e P(B ) > 0 , allora è
possibile definire la probabilità dell’evento A dato che si è verificato l’evento B
mediante l’uguaglianza
P( A ∩ B )
P( A | B ) =
.
P (B )
In particolare, P( A | B ) , come funzione di A , rappresenta una misura di probabilità
sulla sigma-algebra Α , dato che soddisfa agli assiomi (P1), (P2) e (P3). Di
conseguenza, per la probabilità condizionata valgono tutte le formule elementari del
calcolo delle probabilità.
Inoltre, dalla definizione di probabilità condizionata discende immediatamente la
formula della probabilità composta:
P( A ∩ B ) = P( A | B )P(B ) .
LEGGE DELLE ALTERNATIVE
In un qualunque spazio probabilistico, se E ∈ Α e {C n } è una famiglia discreta e
disgiunta di eventi con probabilità non nulla tali che
E ⊆ U Cn ,
n
allora
P (E ) = ∑ P (E | C n )P (C n ) .
n
Dimostrazione.
Scrivendo l’evento E come unione disgiunta


E = E ∩  U C n  = U (C n ∩ E )
 n
 n
e applicando l’assioma (P3) e la formula della probabilità composta si ha
P (E ) = ∑ P (E ∩ C n ) = ∑ P (E | C n )P(C n ) .
n
n
TEOREMA DI BAYES
In un qualsiasi spazio probabilistico, se E è un evento con probabilità non nulla e {C n }
è una famiglia discreta e disgiunta di eventi con probabilità non nulla tali che
E ⊆ U Cn ,
n
allora ∀m
P(C m | E ) =
P(E | C m )P(C m )
.
(
)
(
)
P
E
|
C
P
C
∑
n
n
n
Dimostrazione.
Dalla definizione di probabilità condizionata, dalla formula della probabilità composta e
dalla legge delle alternative deriva che ∀m
P(C m ∩ E ) P(E | C m )P(C m )
P(E | C m )P(C m )
.
P(C m | E ) =
=
=
P (E )
P (E )
∑ P(E | C n )P(C n )
n