FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL COSENO Dimostrazione

FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL COSENO
cos (α−β)=cos( α) cos(β)+sin( α) sin (β) ,
valida per angoli qualsiasi.
Dimostrazione
Facciamo riferimento alla figura a fianco.
Sulla circonferenza goniometrica si fissino due punti A e B, in
modo che i vettori ⃗
OA e ⃗
OB formino con l'asse x
rispettivamente gli angoli α e β ; si fissi anche il punto D, in
modo che ⃗
OD formi con l'asse x l'angolo α−β .
Per i prodotti scalari si ha:
⃗
OD⋅⃗
OU =⃗
OA⋅⃗
OB=1⋅1⋅cos (α−β)=cos (α−β)
(F1)
Ma, tenendo conto delle coordinate:
⃗
OA⋅⃗
OB=[ cos(α) ̂x+sin (α ) ̂y ]⋅[ cos(β) ̂x +sin (β) ̂y ]
(F2)
che diventa, applicando la proprietà distributiva del prodotto scalare:
⃗
OA⋅⃗
OB=
=cos(α)⋅cos(β) x̂⋅̂x +cos(α)⋅sin (β) ̂x⋅̂y +sin (α)⋅cos(β) ̂y⋅̂x +sin (α)⋅sin (β) ̂y⋅̂y =
=cos(α) cos(β)+sin ( α)sin (β)
Confrontando le formule F1 e F3 si ha immediatamente la tesi.
(F3)