Prodotto scalare tra due vettori

Prodotto scalare tra due vettori
r r
Consideriamo due vettori a , b .
r
a
r r
Si definisce prodotto scalare e si indica con il simbolo a ⋅ b
(si legge a scalar b) lo scalare ottenuto come segue.
r
1. Si determina la componente a// del vettore a nella
r
direzione di b
2. Si moltiplica a// per il modulo di b:
r r
a ⋅ b = a// b
r r
In termini dell’angolo θ tra i vettori a , b , si ha:
r r
a ⋅ b = a// b = a cosθ b = a b//
θ
r
b
a//
b//
r
a
θ
r
b
Proprietà formali del prodotto scalare
r r r
Dati i vettori a , b , c e lo scalare A, si ha:
r r r r
a ⋅b = b⋅a
r r
r r r r r
a + b ⋅c =a⋅c + b⋅c
r
r
( A ar ) ⋅ b = A ar ⋅ b
(
)
(
Proprietà commutativa
Proprietà distributiva
)
Prodotti scalari dei versori degli
assi coordinati
In base alle definizioni dei versori î , ĵ , k̂ , e notando in particolare che essi sono a due a due
perpendicolari tra loro, seguono le relazioni:
î ⋅ î = ĵ ⋅ ĵ = k̂ ⋅ k̂ = 1
î ⋅ ĵ = ĵ ⋅ k̂ = k̂ ⋅ î = 0
Prodotto scalare in termini delle componenti dei vettori
r r
a ⋅ b = a x bx + a y by
Infatti, usando i versori degli assi coordinati si ha:
r r
a ⋅ b = a x î + a y ĵ ⋅ b x î + b y ĵ =
(
)(
( )
)
( )
= a x b x î ⋅ î + a x b y î ⋅ ĵ + a y b x
( ĵ ⋅ î ) + a
y
by
( ĵ ⋅ ĵ ) = a
x
bx + a y by
Relazioni utili
In base alla definizione di prodotto scalare, valgono le relazioni:
r r r2
a ⋅a = a
Il modulo quadro di ogni vettore è pari al prodotto scalare del vettore per se
stesso.
r r
a⋅b
cos θ =
ab
Il coseno dell’angolo tra due vettori è pari al rapporto tra il prodotto scalare e il
prodotto dei moduli.