Somma e differenza mediante i versori i e j

Somma e differenza mediante i versori i e j
�⃗ e �𝒃⃗ due vettori non collineari e tali da avere l'origine O in comune con |a| = OA e |b| = OB.
Siano 𝒂
Possiamo pertanto esprimere un qualsiasi vettore del piano come in figura
𝑐⃗ = 𝑎⃗𝑥 + 𝑎⃗𝑦
��⃗=a
𝑐 x 𝚤⃗ + ay 𝚥⃗ cx=ax+bx cy=ay+by
�⃗ e i vettori cxi e cyj come i
e identificare la coppia (ax; ay) come le componenti cartesiane di 𝒂
�⃗.
vettori componenti cartesiani del vettore 𝒄
Quanto detto ha notevole importanza è possiamo in base a ciò considerare il seguente esempio.
��⃗un vettore somma 𝒄
�⃗ = 𝒂
�⃗ + �𝒃⃗ con a = axi + ay j e b = bxi + by j
Sia 𝒄
�⃗ = 𝒂
�⃗ + �𝒃⃗ = ax i + ay j + bx i + by j
𝒄
��⃗
𝒄 = ( ax + bx ) i + ( ay +by) j
Differenza tra due vettori mediante i versori 𝒊⃗ e 𝒋⃗
L'origine comune dei versori |a|=OA ,|b|= OB ;c=OC .
�⃗ e �𝒃⃗
Dati i due vettori 𝒂
���⃗= 2 i + 4 j
𝒃
���⃗= 2i – 4 j
𝒂
�⃗ è dato da
Il vettore 𝒄
�⃗ =2i +4j – 2i +4j=4i
�⃗=𝒂
�⃗+𝒃
𝒄
�⃗=2i-4j-(2i+4j=2i-4j-2i-4j=8j
�⃗=𝒂
�⃗ − 𝒃
𝒄
�⃗= - 4 i + 2 j
 Esercizio 𝒂
4j
�⃗ = 𝒂
�⃗ + �𝒃⃗
Calcolare 𝒄
�⃗
–𝒂
�⃗= 𝒂
�⃗- �𝒃⃗
𝒄
�⃗ = 2i –
𝒃
�⃗= �𝒃⃗
𝒄
Possiamo determinare il vettore R con il metodo del poligono funicolare traslando ogni vettore e
ponendoli uno consecutivamente all’altro possiamo ottenere R unendo l’origine con il punto estremo.
Esercizio:Dati i vettori a e b calcolare il loro prodotto vettoriale
Si può ottenere lo stesso risultato graficamente
�⃗ �𝑩
�⃗ si può calcolare 𝒄
�⃗=AxB mediante una matrice
Dati i vettori �𝑨
���⃗
𝒃=Bxi +Byj +Bzk
�⃗= Ax i + Ay j +Az k
𝒂
�⃗ x �𝒃⃗ si può ottenere considerando la seguente matrice di valori
Analiticamente il prodotto vettoriale 𝒂
i
���⃗x �𝒃⃗ =
𝒂
j
k
Ax Ay
Bz
Bx By
Bz
Il modulo di |a x b| è l’area del parallelogramma con lati a ,b
�⃗ x 𝒄
��⃗= | b| |c| k
𝒃
�⃗ x �𝒃⃗ = - | c| |b| k
𝒄
�⃗ x 𝒂
�⃗ = | c| |a| i
𝒄
�⃗ x 𝒄
�⃗ = - | a| |c| i
𝒂
Proprietà del prodotto vettoriale
i x i =j x j= k x k =0
i x j= k
jxk=i j
J
kxi=j
i
jxi= -k
k
kxj= -i
ix k=-j
j
i
k
�⃗= 𝒂
�⃗ x �𝒃⃗ = | a| |b| j
𝒄
�⃗ x 𝒂
�⃗= 𝒃
���⃗= - | a| |b| j
𝒄
Esercizi : Dati i due vettori a e b determinare il prodotto vettoriale a x b
�⃗= 1 i + 2j +3k
𝒂
���⃗
𝒃= 2 i + 1j + 1k
i
�⃗ =
�⃗ x 𝒃
𝒂
1
2
j
k
2
3
1
=
1
a x b = 1 * 2*i + 2 *3 j + 1 *1 * k – 2 * 2 *k – 1 * 1 j – 1*3 *i=-1*i +5*j –3*k
axb
�⃗= 1 i + 2j +3k
𝒂
���⃗
𝒃= 2 i + 1j + 1k
�⃗=-1 i + 5 j – 3k
𝒄