vettore

1
La lezione di oggi

Scalari

Vettori

Operazioni tra vettori
2
3
Scalari

Ci sono delle grandezze fisiche che possono essere
rappresentate con un numero, espresso in un’opportuna
unità di misura. Si tratta di grandezze scalari.

Uno scalare può avere segno positivo o negativo

Esempi:



Il volume di un oggetto.

Volume di un dado: 3.7 cm3

Volume del liquido in una siringa: 10 ml
La temperatura in una stanza: T=20 oC
La potenza di una lampadina: P=20 W
4
Scusi,
sa
dov’è
la
biblioteca ?

Sì

Sì, a 0.5 km
 Sì,
a 0.5 km in
direzione nord-ovest
5
6
Vettori

Un vettore è una grandezza matematica definita da
modulo, direzione e verso

Come lo scalare, rappresenta una grandezza fisica
con la sua unità di misura

Esempi di grandezze vettoriali:


Velocità
Accelerazione

Si indica con v o

Il modulo si indica con v o
v
v
7
Modulo: 0.5 km
8
Direzione:
verticale
9
Verso:
Nord
10
Esercizio
Indicare modulo, direzione e verso del
vettore indicato in figura.
La velocità del
vento è pari a
v = 25 km/h
N
E
W
Soluzione
modulo: 25 km/h
direzione: orizzontale
verso:
OVEST
S
11
Un vettore
Vertice
Origine
(o punto di
applicazione)
12
I versori
Modulo: unitario (ad esempio, 1 m)
Direzione: verticale
Verso: dal basso verso l’alto
ĵ
Modulo: unitario (ad esempio, 1 m)
Direzione: orizzontale
Verso: da sinistra a destra
î
13
Versori coordinati
z
Terna destrorsa
ĵ
k̂
x
y
iˆ
y
x
Terna sinistrorsa
z
14
15
Prodotto di un vettore
per uno scalare
Vettore × Scalare
=
Vettore con:
 uguale direzione
 verso: uguale o opposto
(dipende dal segno dello
scalare)
 modulo pari al prodotto
dei moduli
3A = A+A+A = 3 x A
-3A = (-3) x A
16
Componenti
rx PROIEZIONE di r sull’asse x
ry PROIEZIONE di r sull’asse y
r = rxiˆ + ry ĵ
r = (1.36 m) iˆ + (0.634 m) ĵ
17
Le componenti di un vettore
ry
rx = r × cos q
tg θ 
ry = r ×sen q
r r r
rx
2
x
2
y
18
Vettore posizione nello spazio
Vettore posizione:

r  xiˆ  y ˆj  z kˆ
 Indica la posizione di un
oggetto (fermo o in
movimento) rispetto
all’origine di un sistema di
riferimento..
 Vedremo che velocità e
accelerazione possono
essere espresse a partire
dal vettore posizione
19
Esempio 1
Determinare le componenti di un vettore
con modulo 3.5 m e direzione 66°
A x  A  cos θ  (3.5 m) cos 66  1.4 m
o
A y  A  sen θ  (3.5 m) sen 66  3.2 m
o
Dunque il vettore si può esprimere come:
A = (1.4 m) î + (3.2 m) ĵ
20
Esempio 2
Determinare modulo e direzione di un vettore con
componenti AX=1.4 m e Ay=3.2 m
A = (1.4 m) î + (3.2 m) ĵ
Il modulo del vettore sarà:

A  A  A 2x  A 2y  (1.4 m) 2  (3.2 m) 2  3.5 m
L’angolo q si ottiene da:
Ay
3.2 m
θ  atan
 atan
 atan 2.25  66 o
Ax
1.4 m
21
Esercizio
Uno stormo di anatre si è spostato di 30 km,
come mostrato in figura (a = 30°).
Determinare lo spostamento verso Nord e verso Est.
A
Snor
d
a
O
S
N
E
W
Sest
S
22
Esercizio
Soluzione
S = Sest + Snord
|S|= spostamento dello stormo = 30 km
O = origine del vettore, da cui partono le due semirette dirette
verso nord e verso est
Si costruisce il parallelogrammo (rettangolo) avente una diagonale
individuata dal vettore ed i lati diretti secondo le due semirette.
A
Snor
d
a
O
S
Snord = S sin a  26 km
N
E
W
Sest
Sest = S cos a  15 km
S
23
Esercizio
n. 38, pag. M88 Walker
Si immagini di spingere una scatola su una rampa di carico
lunga 10.0 m. In cima alla rampa la scatola ha raggiunto l’altezza
di 3.00 m. Quanto misura l’angolo formato dalla rampa con il
piano ?
Soluzione
S’imposta il sistema:
s
y
s  10 m
q
y  s  senθ
da cui si ricava
senq =
y
= 0.3
s
e infine
y
s
q = arcsen ( ) = arcsen (0.3) = 17.5o
24
Nota sul piano inclinato…
Gli Egizi e le piramidi
Piramide = piano inclinato
Il piano inclinato rende più agevole lo
spostamento dei carichi (blocchi di pietra).
Chi spinge il carico sul piano, infatti, deve
vincere solo la componente parallela al
piano, ottenuta proiettando P lungo la
direzione del piano inclinato.
P// = Psinq
P^ = P cosq
P
q
25
Convenzioni
2o quadrante
1o quadrante
Verso antiorario
partendo dall’asse x
3o quadrante
4o quadrante
26
Convenzioni
Ax>0 , Ay >0
I quadrante
27
Convenzioni
Ax<0 , Ay >0
II quadrante
28
Convenzion
i
Ax<0 , Ay <0
III quadrante
29
Convenzioni
Ax>0 , Ay <0
IV quadrante
30
Somma di vettori
31
Somma di vettori
32
Somma di vettori
Un vettore è definito da
MODULO, DIREZIONE, VERSO
indipendentemente dalla sua
posizione
33
Somma di vettori
C = A+B
C = (Ax + Bx ) î + (Ay + By ) ĵ
34
La somma tra
vettori è
indipendente
dall’ordine
con il quale i
vettori
vengono
sommati
    
CA BB A
35
Esempio di somma di vettori
Un aereo vola da Bari a Roma  AB = 388 km
quindi l’aereo vola da Roma a Milano  BC = 472 km
Lo spostamento risultante rispetto all’aeroporto di Bari è
dato dalla posizione iniziale e da quella finale, ossia dal
vettore che congiunge Bari con Milano  AC = 740 km
MILANO
C
B
ROMA
vettore risultante uguale somma
vettori
BARI
A
ma
Modulo vettore risultante diverso
somma dei moduli delle
componenti*
(*) AB+BC=(388+472)km=860 km
36
Esercizio
Una barca viene trainata per mezzo di una fune da due persone
che camminano parallelamente, lungo le rive opposte di un canale.
Sapendo che:
a = 60° e che la forza esercitata da ciascun uomo = 577 N
Determinare la forza necessaria per trainare la barca.
a/2
a/2
37
Esempio di somma di vettori:
Soluzione:
a = 60°
forza esercitata da ciascun uomo = 577 N = OA = OB
OH = OA cos (a/2)  OB cos (a/2)  500 N
forza per trainare la barca = 2 OH = 1000 N = OO’
A
a/2
H
O
a/2
O’
B
38
L’opposto di un vettore
è un vettore con
uguale modulo
e direzione,
ma verso opposto
39
Differenza di vettori
D = A-B
D = (Ax - Bx ) î + (Ay - By ) ĵ
40
Una importante
convenzione
Useremo sempre
la convenzione

Primo indice (a):
origine del vettore

Secondo indice (b):
vertice del vettore
41
Prodotto scalare
A × B = A × B cosq = ABcosq
A
q
B
Il risultato è uno scalare
   
Vale la proprietà commutativa  A  B  B  A
Si chiama anche prodotto interno
Corollari:
42
Prodotto scalare

Se, in coordinate cartesiane, due vettori hanno componenti:

Il prodotto scalare vale:

Quindi:
43
Prodotto vettoriale
C = AÙB
Oppure, con altra notazione
C = A´B
A
q
B
Il risultato è un vettore con:



Modulo = A B senq
Direzione perpendicolare al piano identificato da A e B
Verso dato dalla regola della mano destra (vedi dopo)

 
Vale la proprietà anticommutativa  A  B  - B  A
Si chiama anche prodotto esterno
44
Regola della mano
destra

Prendo la mano destra e metto
pollice, indice, medio a 90o l’uno
rispetto all’altro



L’indice indica il verso del vettore A
Il medio indica il verso del vettore B
Il pollice indica il verso del vettore C
Nota: vale anche per tutte le
permutazioni cicliche, ovvero vale
anche:



Il pollice indica il verso del vettore A
L’indice indica il verso del vettore B
Il medio indica il verso del vettore C
Nota: devo usare la mano destra (non la sinistra)
e non devo scambiare l’ordine dei vettori
45
Prodotto vettoriale / 2
In coordinate cartesiane, il prodotto vettoriale si ottiene valutando il seguente
determinante simbolico:
iˆ
ˆj
kˆ
a ´ b = ax
ay
bx
by
az = iˆ
by
bz
ay
az
bz
- ˆj
ax
bx
a
x
ˆ
+k
bx
bz
az
ay
by
= iˆ( aybz - azby ) - ˆj ( axbz - azbx ) + kˆ( axby - aybx )
46
Versori coordinati
z
Terna destrorsa
y
x
y
Terna sinistrorsa
z
x
In una terna destrorsa si ha sempre:
iˆ
ˆj kˆ
iˆ ´ ˆj = 1 0 0 = kˆ
0 1 0
iˆ
ˆj kˆ
ˆj ´ kˆ = 0 1 0 = iˆ
0 0 1
iˆ
ˆj kˆ
kˆ ´ iˆ = 0 0 1 = ˆj
1 0 0
47