Foglio di esercizi 3, Algebra e Geometria, Prof. Fioresi, 2015 Si

Foglio di esercizi 3, Algebra e Geometria, Prof. Fioresi, 2015
Si svolgano i seguenti esercizi dal testo Algebra Lineare di Lang.
Es. 1, 8 pag. 88, §16.
Esercizio 1
a) Siano v1 = (1, 1, 1, 0), v2 = (2, 0, 2, −1), v3 = (−1, 1, −1, 1). Si determini
una base di W = Span{v1 , v2 , v3 } ⊂ R4 e la si completi ad una base di R4 .
Inoltre si determini se il vettore w = (1, 0, 1, 1) appartiene a Span{v1 , v2 , v3 }.
b) Si dica per quali valori di k (se esistono) il vettore v = (k, 0, k, 1) appartiene a W .
c) Scelto un valore di k opportuno (se esiste) come al punto b) si calcolino le
coordinate del vettore v rispetto alla base Span{v1 , v2 , v3 }.
Esercizio 2
Si risponda alle seguenti domande nello spazio vettoriale R2 [x] (i polinomi
di grado minore o uguale a 2). Se si ritengono vere si dia una spiegazione
esauriente del perche’, se si ritengono false e’ necessario fare un controesempio.
a) Esistono 3 vettori linearmente indipendenti?
b) Esistono 4 vettori linearmente indipendenti?
c) Lo spazio vettoriale dato puo’ essere scritto come span di 4 vettori?
d) Lo spazio vettoriale dato puo’ essere scritto come span di 2 vettori?
Esercizio 3
a) Si dica per quali valori di k si ha w = (2, 5) ∈ span{(k, 1), (1, −2)}.
b) Si dica per quali valori di k (se esistono), {(k, 1), (1, −2)} e’ una base di
R2 . Motivare accuratamente la risposta.
c) Scelto un valore opportuno di k come al punto b) si determinino le coordinate di w rispetto alla base data.
Esercizio 4
Si dica per quali valori del parametro k i vettori di R3 [x]: v1 = 1 + x,
v2 = kx + 2x2 , v3 = 2x + kx2 , v4 = x3 sono linearmente indipendenti.
1
Esercizio 5
1 1
k 0
a) Si stabilisca per quali valori del parametro k le matrici
,
,
0 0
1 0
−1 k − 1
, sono linearmente indipendenti.
k
0
b) Si stabilisca per quali valori del
tospazio
r
W =
0
parametro k tali matrici generano il sot
s
, | r, s, t ∈ R
t
Esercizio 6
Stabilire se le seguenti applicazioni sono lineari:
a) f : R[x] −→ R[x], f (p) = p2 .
b) f : M2,2 (R) −→ R, f (A) = tr(A).
c) f : R[x] −→ R[x], f (p) = 2p.
d) f : R2 −→ R2 , f (v) e’ il vettore v riflesso rispetto alla retta x = y.
e)* D : R[x] −→ R[x], D(p) = p′ , l’applicazione che associa ad ogni polinomio la sua derivata.
Esercizio Facoltativo
Si consideri lo spazio vettoriale complesso M2,2 (C) come spazio vettoriale
reale e lo si denoti V .
a) Si calcoli la dimensione di V su R.
b) Si dimostri che il sottoinsieme:
a + d b + ic
W =
| a, b, c ∈ R
b − ic a − d
e’ un sottospazio vettoriale di V (entrambi visti come spazi vettoriali reali).
c) Si dimostri che
1 0
,
σ0 =
0 1
0 1
,
σ1 =
1 0
0 −i
,
σ2 =
i 0
σ3 =
1 0
0 −1
e’ una base per W (sempre su R). Le matrici σi si dicono matrici di Pauli
e hanno un’importanza fondamentale in fisica. W e’ uno dei modelli per lo
spazio tempo di Minkowski.
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