fis-Vettori

Vettori
Operazioni fondamentali
Generalità
Un vettore si può rappresentare come un segmento dotato di una freccia.
Un generico vettore V dello spazio ha 3 componenti rispetto ad un sistema di
coordinate cartesiane ortogonali ed è indicato come V=(V1,V2,V3).
Un vettore possiede un modulo o
intensità (o norma ) che ne rappresenta
la lunghezza definibile tramite
il teorema di Pitagora. Il modulo del
vettore V è indicato con |V| e vale :
Nello spazio
Nel piano
Operazioni con i vettori
Vettore NULLO: vettore le cui componenti sono nulle O=(0,0,0)
Vettore INVERSO di V: Vettore ottenuto moltiplicando per -1 le componenti di V
V=(V1,V2,V3)

-V=(-V1,-V2,-V3)
Vettore SOMMA di due vettori:Dati i due vettori A e B , si definisce per
addizione l'operazione che fa ottenere come risultato il vettore C = A + B le cui
componenti sono date dalla somma delle corrispondenti componenti :Ci=Ai+Bi con
i=1,2,3
L'addizione fra due vettori ha una importante
interpretazione grafica che va sotto il nome di
regola del parallelogramma. Questa regola
corrisponde in fisica alla legge di
composizione delle forze.
Prodotto di un vettore A per uno
scalare k
Dati uno scalare (numero reale) k ed un vettore A ,
si definisce la moltiplicazione per uno
scalare come l'operazione che fa ottenere per
risultato il vettore B = k A le cui componenti sono
date dal prodotto di k per le corrispondenti
componenti di A :
Con i = 1,2,3
Moltiplicando un vettore per k si ottiene un altro vettore di uguale direzione,
intensità moltiplicata per |k| e stesso verso, se k è positivo, o verso opposto,
se k è negativo.
Ovviamente, moltiplicando un vettore per -1 si ottiene il vettore inverso e
moltiplicando un vettore per 0 si ottiene il vettore nullo.
Prodotto Scalare
Il prodotto scalare (o prodotto interno) fra due vettori è definito come la somma
dei prodotti delle componenti corrispondenti :
Il risultato del prodotto scalare è uno
scalare (cioè un numero).
Il prodotto scalare assume l'importante
significato geometrico di essere uguale
al prodotto del modulo del primo vettore
per la proiezione dell'altro vettore sulla
direzione su cui giace il primo.
Una tipica applicazione fisica del
prodotto scalare è il lavoro.
Graficamente, nel piano :
=AxB=|A| |B| cos()
Prodotto vettoriale
Si considerino due vettori u e v complanari e
applicati nel punto O. Si definisce prodotto
vettoriale tra due i vettori uv il vettore w
che ha le seguenti proprietà:
•
•
•
è perpendicolare al piano individuato dai
primi due
ha modulo uguale al prodotto dei moduli
dei due vettori moltiplicato per il seno
dell’angolo convesso  da questi formato
ha come verso quello secondo il quale
si deve disporre un osservatore con i
piedi nel punto O d’applicazione dei due
vettori affinché possa veder ruotare il
vettore u in senso antiorario dell’angolo
 perché si sovrapponga al vettore v .
Regola pratica
Il prodotto vettoriale di due vettori complanari è un
vettore perpendicolare al piano determinato dai primi
due ed avente per modulo il valore dell’area del
parallelogramma determinato dagli stessi.
Precisamente, si può considerare il
parallelogramma avente per lati i due vettori
in esame. Indicando  l’angolo convesso
formato dai due vettori u,v si riconosce che
l’altezza del parallelogramma relativa al lato
determinato dal vettore u è data dal prodotto
v*sin (confrontare la figura) per cui l’area
del parallelogramma è:
Espressione cartesiana del
prodotto vettoriale
Quando dei due vettori in esame si conoscono le componenti cartesiane in un
riferimento nello spazio Oxyz si può determinare l’espressione cartesiana del
prodotto vettoriale velocemente sviluppando un determinante del terzo ordine.
il vettore prodotto vettoriale uv è dato dal valore del determinante delle
sue componenti:
 
u v 
Spieghiamo meglio...
Calcolare il determinante significa svolgere il seguente calcolo:



 (u y vz  u z v y )i  (u x vz  u z vx ) j  (u x v y  u y vx )k
Osservazione
Il prodotto vettoriale di due vettori è nullo nei seguenti casi:
- Se i due vettori sono paralleli (concordi o discordi) . In questo caso
l’angolo  formato ha ampiezza nulla oppure è  radianti e quindi risulta
sen = 0
- Almeno uno dei due vettori è il vettore nullo.