La verifica delle ipotesi Test parametrici: le ipotesi

La verifica delle ipotesi
Popolazione: X ∼ f ( x;ș )
Test parametrici: le ipotesi
Per esempio ș = ș
*
*
*
°­ș > ș o ș < ș
®
Per esempio °̄ș ≠ ș*
affermazione fatta in antitesi all’ipotesi nulla
Ipotesi alternativa (H1):
ipotesi sottoposta a verifica
Ipotesi nulla (H0):
ˆ
si riferisce ad un insieme di possibili valori che il
parametro della popolazione può assumere
Ipotesi statistica composta:
ˆ
si riferisce ad un valore specifico del parametro
Ipotesi statistica semplice:
Ipotesi statistica: supposizione riguardante:
• un parametro della popolazione
• la forma della distribuzione della popolazione
Un’ipotesi è un’affermazione che viene
considerata vera a meno che l’evidenza
empirica porti ad avere seri dubbi sulla sua
validità e suggerisca che essa è falsa
Verifica delle ipotesi: processo utilizzato per stabilire,
sulla base delle osservazioni campionarie,
se l’ipotesi formulata si può considerare
esatta o meno
Test statistico: regola che consente di discriminare tra i
risultati campionari che portano ad accettare
l’ipotesi e quelli che portano a rifiutarla
vera
Ipotesi
H1
H0
consente
1-α
Decisione giusta
Decisione giusta
α
Errore I tipo
H1
Errore II tipo
1-β
Conclusione
β
H0
di essi è associata una probabilità a-priori di verificarsi
come
di
vera sulla popolazione ed alla decisione che si prende, a ciascuno
A-priori sono possibili quattro eventi incompatibili legati all’ipotesi
con la regione critica
con la regione di accettazione e quelli compatibili
discriminare i valori della statistica test compatibili
che
La regola di decisione e gli errori
sottoinsiemi
criterio
Le regioni di accettazione e di rifiuto
due
decisione:
Regola
in
di
9 La formulazione delle ipotesi H0 e H1 conduce ad
una partizione dello spazio parametrico in Θ due
sottoinsiemi disgiunti
campionario
9 Il test statistico conduce ad una partizione dello
spazio
R
Regione rifiuto
Regione
accettazione
A
Se t(X1, …, Xn) ∈A Æ accetta H0
complementari
ω0∪ω1=Θ
H0: θ∈ω0
H1: θ∈ω1
Spazio Campionario
Se t(X1, …, Xn) ∈R Æ rifiuta H0
Spazio Parametrico
classificato
• 1 − β = P ( rifiutare H 0 | H 0 è falsa ) = P ( t ( x ) ∈ R | ω1 )
• α = P ( rifiutare H 0 | H 0 è vera ) = P ( t ( x ) ∈ R | ω0 )
essere
9 La statistica test è una funzione che fa
può
• β = P ( accettare H 0 | H 0 è falsa ) = P ( t ( x ) ∈ A | ω1 )
che
corrispondere ad ogni campione casuale un valore
numerico
coerente o meno con l’ipotesi H0.
Le fasi della verifica delle ipotesi
La verifica delle ipotesi sulla media
­ H 0 : µ = µ0
Le ipotesi: ®H : µ ≠ µ
0
¯ 1
Il livello di significatività: α
;
;
La statistica test: la v.c. media campionaria
1. Definire l’ipotesi H0
2. Definire l’ipotesi H1
;
Il confronto
n
x-µ0
z=
con x I e x S oppure
σ
La decisione
con -zα 2 e +zα 2
§
·
§
·
x-µ0
x-µ0
< -z ¸ + P ¨
>z ¸
α = P¨
α
α
¨
¨
σ
2 ¸
2 ¸ sotto H0
¨σ
¸
¨
¸
n
n
©
¹
©
¹
oppure standardizzando
α = P ( x < x I ) + P ( x > xS )
I valori critici:
x è molto “distante” dal valore µ0 ipotizzato sotto H0
media della popolazione se la media campionaria
X
3. Specificare il livello di significatività α
Il criterio di decisione: rifiutare il valore µ0 come
;
• x
;
;
;
4. Determinare la dimensione n del campione
5. Determinare la statistica test
6. Fissare il valore (test unidirezionale) o i valori
critici (test bidirezionale) che dividono le regioni di
rifiuto e di accettazione
7. Calcolare il valore campionario della statistica
8. Confrontare il valore campionario della statistica
con il/i valori critici
9. Prendere una decisione
σ2=16
La potenza del test: un esempio
n=25
H0: µ = 10
H1: µ > 10
Gli errori di decisione
Le probabilità α e β per un test unilaterale
con ipotesi di tipo semplice
Le probabilità α e βi (i=1,2,3) per un test unidirezionale