Relazioni tra i coefficienti e le radici dell`equazione

5 – Relazione tra i coefficienti e le radici di una equazione di II grado
Considerata l’equazione di secondo grado
ax 2 + bx + c = 0
e le sue radici
x1 =
−b− ∆
−b+ ∆
e x2 =
2a
2a
si vogliono determinare la somma delle radici x1 + x2 e il loro prodotto x1 ⋅ x2 ; si ha:
x1 + x2 =
− b − ∆ − b + ∆ − b − ∆ + −b + ∆
2b
b
+
=
=−
=−
2a
2a
2a
2a
a
2
( )
2
− b − ∆ − b + ∆ (−b − ∆ )(−b + ∆ ) (− b ) − ∆
b2 − ∆
⋅
=
=
=
=
x1 ⋅ x2 =
2a
2a
4a 2
4a 2
4a 2
b 2 − (b 2 − 4ac) b 2 − b 2 + 4ac 4ac c
=
=
= 2 =
4a 2
4a 2
4a
a
si può quindi concludere che in una equazione di II grado
• la somma delle radici è uguale all’opposto del rapporto tra il
coefficiente del termine di primo grado e il primo coefficiente, cioè
b
x1 + x2 = −
a
• il prodotto delle radici è uguale al rapporto tra il termine noto è il
c
primo coefficiente, cioè x1 ⋅ x2 =
a
Se si divide primo e secondo membro dell’equazione di II grado ax 2 + bx + c = 0 per a , si otterrà
x2 +
b
c
x+ =0
a
a
che, tenuto conto di quanto dimostrato in questo paragrafo e posto s = x1 + x2 e p = x1 ⋅ x2 , potrà
scriversi
x 2 − sx + p = 0 .
Le relazioni ora trovate permettono di risolvere i seguenti problemi
P 5.1 – Scrivere l’equazione di II grado che ammette come radici due numeri assegnati
Potendosi con i due numeri assegnati calcolare s = x1 + x2 e p = x1 ⋅ x2 , l’equazione richiesta è
x 2 − sx + p = 0 .
Esempio 5.1
Scrivere l’equazione di II grado che ammette come radi i numeri 3 e -4
Posto x1 = 3 e x2 = −4 si ha che s = x1 + x2 = 3 + (−4) = 3 − 4 = −1 e p = x1 ⋅ x2 = 3 ⋅ (−4) = −12 ,
quindi l’equazione richiesta
x 2 − sx + p = 0
ovvero
x 2 + x − 12 = 0
Esempio 5.2
Scrivere l’equazione di II grado che ammette come radici i numeri −
5
2
e −
6
5
5
2
5  2
5 2 − 25 − 12
37
e x2 = −
si ha che s = x1 + x2 = − +  −  = − − =
e
=−
6
5
6  5
6 5
30
30
5 2 1
p = x1 ⋅ x2 = −  −  = , quindi l’equazione richiesta
6 5 3
x 2 − sx + p = 0
ovvero
37
1
x2 + x + = 0
30
3
o la forma equivalente
30 x 2 + 37 x + 10 = 0
Posto x1 = −
Esempio 5.3
Scrivere l’equazione di II grado che ammette come radici i numeri complessi
− 3 ± 2i
Posto x1 = − 3 − 2i e x2 = − 3 + 2i si ha che
(
) (
(
)(
)
s = x1 + x2 = − 3 − 2i + − 3 + 2i = − 3 − 2i − 3 + 2i = −2 3
e
) (
)
2
2
p = x1 ⋅ x2 = − 3 − 2i − 3 ± 2i = − 3 − (2i ) = 3 − 4i 2 = 3 + 4 = 7 ,
quindi l’equazione richiesta
x 2 − sx + p = 0
ovvero
x 2 + 2 3x + 7 = 0 .
interruzione pagina
P 5.2 – Nota una equazione di II grado e una sua radice determinare l’altra radice senza
risolvere l’equazione.
Sia ax 2 + bx + c = 0 una equazione di II grado e x1 una delle sue due radici, il problema può
risolversi in uno dei modi seguenti
b
• ricavando dall’equazione la somma selle radici s = − , la radice incognita
a
x2 sarà data da x2 = s − x1 ;
c
• ricavando dall’equazione il prodotto selle radici p = , la radice incognita
a
p
x2 , se x1 ≠ 0 , sarà data da x2 = ; se x1 = 0 si procederà nella
x1
determinazione di x2 utilizzando la somma delle radici.
Esempio 5.4
Dell’equazione di II grado x 2 − 10 x + 21 = 0 una radice è 7 , determinare l’altra
radice.
Essendo x1 = 7 ed s = −
b
− 10
=−
= 10 per la radice richiesta x2 si ha:
a
1
x2 = s − x1 = 10 − 7 = 3
Esempio 5.5
7
L’equazione di II grado 8 x 2 + 2 x − 21 = 0 ammette la radice − , determinare l’altra
4
radice.
Essendo x1 = −
7
b
2
1
ed s = − = − = − per la radice richiesta x2 si ha:
4
a
8
4
1  7
1 7 6 3
x2 = s − x1 = − −  −  = − + = =
4  4
4 4 4 2
Esempio 5.6
L’equazione di II grado 4 x 2 + 2(1 − 2 ) x − 2 = 0 ammette la radice
2
, determinare
2
l’altra radice.
Essendo x1 =
2
b
2(1 − 2 )
2 −1
ed s = − = −
=
per la radice richiesta x2 si ha:
2
a
4
2
2 −1
2
2 −1 − 2
1
−
=
=−
2
2
2
2
P 5.3 – Determinare due numeri conoscendo la loro somma s e il loro prodotto p
x2 = s − x1 =
Siano x1 e x1 i due numeri da determinare, per ipotesi risulta x1 + x2 = s e x1 ⋅ x2 = p , e quindi
risultano soluzioni dell’equazione x 2 − sx + p = 0
Esempio 5.7
Trovare due numeri aventi per somma − 20 e per prodotto − 44 .
I numeri richiesti risultano soluzioni dell’equazione
x 2 + 20 x − 44 = 0
che risolta da
 x = −10 − 12 = −22
x = −10 ± 100 + 44 = −10 ± 144 = −10 ± 12 =  1
 x2 = −10 + 12 = 2
cioè i due numeri richiesti sono − 22 e 2 .
Esempio 5.8
Trovare due numeri aventi per somma −
93
8
e per prodotto − .
50
5
I numeri richiesti risultano soluzioni dell’equazione
x2 +
93
8
x− =0
50
5
ovvero della seguente
50 x 2 + 93 x − 80 = 0
che risolta da
− 93 − 157
250
5

x1 =
=−
=−

− 93 ± 8649 + 16000 − 93 ± 24649 − 93 ± 157
100
100
2
x=
=
=
=
100
100
100
 x = − 93 + 157 = − 93 + 157 = 64 = 16
 2
100
100
100 25
cioè i due numeri richiesti sono −
5 16
e
.
2 25
interruzione pagina
Esempio 5.9
Determinare le dimensioni di un rettangolo sapendo che il perimetro misura 8 2m
e l’area 30m 2
Siano x1 e x1 le dimensioni del rettangolo; il perimetro del rettangolo misura 16 2m , ciò equivale
a dire che 2( x1 + x2 ) = 16 2m e quindi che x1 + x2 = 8 2m (semiperimetro), mentre l’area misura
30m 2 cioè x1 ⋅ x2 = 30m 2 .
Quindi, per quanto detto, le dimensioni del rettangolo risultano soluzioni dell’equazione
x 2 − 8 2 x + 30 = 0
che risolta da
 x1 = 4 2 − 2 = 3 2
x = 4 2 ± 32 − 30 = 4 2 ± 2 = 
 x2 = 4 2 + 2 = 5 2
cioè le dimensioni del rettangolo misurano 3 2m e 5 2m .