Geometria nello spazio

Geometria nello spazio
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prof.ssa Fabrizia De Bernardi
Geometria nello spazio
Def.→ Lo spazio è l’insieme di infiniti elementi A, B, C… detti punti; esso è dotato di sottoinsiemi non
vuoti a, b, c… detti rette e α, β, γ… detti piani.
1. POSTULATI DI INCIDENZA
1.
2.
3.
4.
Dati due punti A, B esiste una sola retta che li contiene.
Dati una retta e un punto esiste un solo piano che li contiene.
Una retta che abbia due punti in comune con un piano appartiene al piano.
∃! la retta passante per un punto e parallela ad una retta data (Euclide).
2. POSTULATI DI DIMENSIONE
1. Ogni piano contiene almeno tre punti non allineati.
2. Nello spazio ∃ quaterne di punti non complanari.
⇓
Proprietà:
a) Tre punti non allineati individuano un piano a cui essi appartengono.
b) Due rette incidenti individuano un piano a cui esse appartengono.
c) Se due piani distinti hanno in comune due punti allora hanno in comune tutta la loro retta
congiungente.
3. POSTULATO DELL’ORDINE
Una retta è dotata di due relazioni d’ordine totale, una opposta all’altra, rispetto alle quali è densa e illimitata.
4. POSTULATI DI PARTIZIONE
1. Ad una retta sєπ è associata una partizione del piano π in due regioni tali che due punti
appartengono a regioni diverse o alla medesima a seconda che il loro segmento congiungente sechi o
no la retta s.
(Tali regioni sono dette: semipiani, contorni, bande opposte di bordo s)
2. Ad un piano σ dello spazio S è associata una partizione dello spazio S in due parti tali che due punti
appartengono a parti diverse o alla medesima a seconda che il loro segmento congiungente sechi o
no il piano σ.
(Tali regioni sono dette: semispazi, σ = faccia o contorno del semispazio)
POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO
Poiché per due punti dello spazio passa una sola retta, due rette distinte non potranno avere due punti in
comune.
a) Rette incidenti: hanno un punto in comune (quindi appartengono allo stesso piano)
b) Rette parallele: giacciono nello stesso piano e non hanno punti in comune (se ne hanno infiniti,
sono coincidenti)
c) Rette sghembe: non appartengono allo stesso piano e dunque non hanno punti in comune.
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POSIZIONI RECIPROCHE DI UNA RETTA E DI UN PIANO IN S
a) Retta giacente sul piano: ha due punti in comune col piano ( postulato 1.3)
b) Retta incidente il piano: ha in comune un punto col piano
c) Retta parallela al piano: nessun punto in comune con il piano
POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE PIANI IN S
Poiché per tre punti distinti non allineati passa un solo piano, due piani distinti nello spazio non possono
avere in comune tre punti non allineati.
a) Piani incidenti o secanti: hanno due punti in comune (proprietà 2.c)→ cioè una retta.
Teorema: se due piani distinti hanno un punto in comune sono incidenti lungo una retta passante per quel
punto.
Dim.:
α∩β=A
Considero due semirette s, r ∈ α, non opposte, con origine A, situate in semipiani opposti rispetto a β.
Dunque per il postulato di partizione, in ∀ segmento RS, con R ∈ r, S ∈ s, incontra β in un punto B≠A.
Pertanto α e β hanno in comune due punti A e B e anche la retta AB.
b) Piani paralleli: non hanno nessun punto in comune.
FASCI E STELLE
Def.→ Si dice “fascio di rette” l’insieme di tutte le rette di un piano che passano per un punto O, detto centro.
Def.→ Si dice “stella di rette” l’insieme di tutte le rette dello spazio che passano per un punto O, detto centro.
Def.→ Si dice “fascio di piani” l’insieme di tutti i piani dello spazio che passano per una medesima retta r,
detta asse del fascio.
OSSERVAZIONI:
1. Per ogni punto A dello spazio ∉ all’asse di un fascio di piani, passa uno e un solo piano del
fascio.
2. Un piano α incidente l’asse di un fascio di piani taglia tale fascio secondo un fascio di rette, dette
sezione piana del fascio di piani.
Def.→ Si dice stella di piani l’insieme (infinito) di tutti i piani che passano per uno stesso punto detto centro
della stella.
Def.→ Si dice stella completa l’insieme di tutte le rette e di tutti i piani che passano per il centro O.
PERPENDICOLARITÀ NELLO SPAZIO
Def.→ Si dice che una retta t è perpendicolare ad un piano α nel punto comune H = t ∩ α quando la retta t è
perpendicolare a tutte le rette del piano α passanti per H; si scrive t ⊥ α.
Teorema: Una retta è perpendicolare ad un piano se e solo se lo incontra ed è perpendicolare a due rette del
piano passanti per il punto comune.
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Teorema: Da un punto P dello spazio si può condurre uno ed un sol piano α perpendicolare ad una data retta r.
Teorema delle tre perpendicolari
“Se dal piede di una perpendicolare ad un piano α si conduce la perpendicolare ad una qualsiasi retta r del
piano α, questa retta è perpendicolare al piano individuato dalle prime due”.
Hp:
a ⊥ α, a ∩ α = Q, r ⊥ c
Th:
r ⊥ β (a, c)
Dim.: Detta a la perpendicolare ad α, si conduca dal suo
piede Q la retta c perpendicolare alla retta r∈α.
1) Se la retta r passa per Q, il piano β, contenendo le rette a
e c perpendicolari in Q alla retta r, è perpendicolare ad r.
2)
Se r non passa per Q, chiamiamo C il punto di
intersezione della retta c con r.
Prendiamo su r due punti A e B tali che CA ≅ CB .
Congiungiamo A e B con Q e con un ulteriore punto P∈ a.
Nel piano α, c è asse di AB e perciò QA ≅ QB . Pertanto i
triangoli rettangoli PQA e PQB sono congruenti avendo i
cateti rispettivamente congruenti.
Si ha allora PA ≅ PB e nel triangolo isoscele APB la
mediana PC è pure altezza. Perciò la retta AB è ⊥ a CP che ∈ β.
Dunque la retta r, essendo ⊥ a due rette di β (c e CP) è ⊥ a β.
c.v.d.
Teorema:
Per ogni punto P dello spazio passa una e una sola perpendicolare ad un piano α.
Teorema:
Per ogni punto P dello spazio passa uno e un solo piano perpendicolare ad una retta data.
DISTANZA DI UN PUNTO DA UN PIANO
Def.→ Si dice distanza di un punto da un piano il segmento di
perpendicolare condotto da quel punto al piano.
Il piede H della perpendicolare si dice proiezione ortogonale di
P su α .
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Teorema:
Dato un piano α e un punto P∉α:
I.
il segmento di ⊥ condotta da P ad α è minore di ogni segmento obliquo che congiunge P con α.
II.
due segmenti obliqui aventi proiezioni congruenti su α sono congruenti e viceversa.
III.
tra due segmenti obliqui aventi proiezioni diverse è maggiore quello che ha proiezione maggiore e
viceversa.
Def.→ Se una retta incontra obliquamente un piano, si chiama “angolo della retta con il piano” l’angolo
acuto che la retta forma con la propria proiezione ortogonale sul piano.
Se la retta è parallela al piano l’angolo è nullo, se è perpendicolare l’angolo è
retto.
PARALLELISMO NELLO SPAZIO
Teorema: Se due rette sono parallele, ogni piano che ne taglia una taglia anche l’altra.
Teorema: Due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono fra loro parallele e se due rette sono parallele,
ogni piano perpendicolare all’una è perpendicolare anche all’altra.
Def.→ Si dice “stella di rette impropria” l’insieme di tutte le rette dello spazio parallele ad una retta data.
Teorema: Date due rette parallele, ogni piano passante per una di esse è parallelo all’altra retta.
Teorema: Dati una retta e un piano tra loro paralleli, ogni piano passante per la retta che sechi il piano dato
taglia questo secondo una retta parallela alla retta data.
Teorema: Dati una retta s e un piano α paralleli, la retta parallela ad s condotta da un punto P del piano giace
sul piano.
Def.→ Si dice distanza di una retta da un piano ad essa parallelo la distanza di un punto qualsiasi della
retta dal piano.
Teorema: Date due rette sghembe, ∃! la retta perpendicolare ad entrambe. La distanza tra i due punti in cui la
perpendicolare taglia le due rette sghembe è la minima tra le distanze dei punti dell’una dai punti dell’altra e
prende il nome di distanza delle due rette sghembe.
Teorema: Due piani perpendicolari ad una stessa retta sono paralleli.
Teorema (corrisponde al postulato di Euclide):
Per un punto P dello spazio si può condurre uno ed un solo piano parallelo ad uno dato.
Teorema: Due piani paralleli ad un terzo sono paralleli fra loro.
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Def.→ Si dice fascio di piani paralleli l’insieme di tutti i piani paralleli ad un piano dato.
“Giacitura” = classe di equivalenza di piani paralleli.
Def.→ Si chiama distanza di due piani la distanza di un punto qualsiasi di un piano dall’altro.
Teorema di TALETE
Un fascio di piani paralleli determina su due
trasversali qualunque segmenti proporzionali.
DIEDRI
Def.→ Si dice diedro ciascuna delle due parti in cui lo spazio è diviso da due semipiani aventi lo stesso
bordo inclusi i due semipiani.
Il diedro nello spazio è la figura analoga all’angolo sul piano per cui si estende ad esso la nota nomenclatura:
diedro DrˆC oppure α r̂ β.
• Un diedro si dice piatto se le facce sono semipiani opposti
• Un diedro si dice giro se le facce sono semipiani coincidenti e se comprende tutti i punti dello spazio
• Un diedro si dice nullo se le facce sono semipiani coincidenti e non ha alcun punto interno
• Un diedro si dice convesso se non contiene i prolungamenti delle proprie facce
• Un diedro si dice concavo se contiene i prolungamenti delle proprie facce
• Due diedri sono consecutivi se hanno in comune lo spigolo e una faccia
• Due diedri sono adiacenti se hanno una faccia in comune e le altre due opposte
• Due diedri si dicono opposti al vertice se hanno lo spigolo in comune e le facce dell’uno sono
prolungamenti delle facce dell’altro
Def.→ Si dice sezione normale di un diedro, l’angolo ottenuto dall’intersezione del diedro con un piano
perpendicolare allo spigolo.
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• Due sezioni parallele di un diedro sono congruenti
• Due sezioni normali di un diedro sono congruenti
• Diedri congruenti hanno sezioni normali congruenti e viceversa.
Lo studio dei diedri è riconducibile a quello delle loro sezioni normali e dunque è possibile effettuare il
confronto tra diedri, definendo diedri acuti, ottusi, complementari, supplementari, ecc…
Def.→ Due piani incidenti si dicono fra loro perpendicolari quando formano quattro diedri retti.
Teorema: Se una retta r e un piano α sono perpendicolari ogni piano passante per r è ⊥ ad α .
Teorema: Se due piani incidenti lungo una retta r sono perpendicolari ad un piano γ, allora anche la retta r è
perpendicolare a γ .
Teorema: Se r è una retta non perpendicolare al piano α, allora ∃! il piano passante per r e ⊥ ad α .
Teorema: Due piani sono paralleli se e solo se formano con un terzo piano che li tagli entrambi diedri alterni
congruenti, o corrispondenti congruenti o coniugati supplementari.
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Solidi
PIRAMIDE
Def.→ Si dice triedro o angoloide la parte convessa di spazio delimitata dalla superficie indefinita
composta di tre angoli convessi.
V = vertice
r, s, t = spigoli
rVˆs , sVˆt , tVˆr : facce
La sezione di un triedro con un piano non passante per V e che tagli tutte le
facce è un triangolo. Se l’angoloide ha quattro facce si chiama tetraedro.
Allora la sezione con un piano… è un quadrilatero.
Proprietà delle facce di un angoloide:
1) La somma delle facce è < 360°
2) Ogni faccia è < della somma delle altre due
Def.→ Si dice piramide l’intersezione di un angoloide di vertice V con il semispazio contenente V ed il cui
piano origine taglia tutti gli spigoli dell’angoloide.
V = vertice
VA, VB, …→ spigoli laterali
VAB → facce laterali
VH = altezza
AB, BC, …→ spigoli di base
ABCDE = base
Def.→ Piramide retta: quando la base è un poligono circoscritto ad una circonferenza il cui centro coincide
con il piede dell’altezza.
Le altezze delle facce laterali di una piramide retta sono
congruenti e si chiamano “apotema”.
h² + r² = a²
Def.→ Piramide regolare: se è retta e se ha per base un poligono regolare.
Osservazioni:
Spigoli laterali congruenti
Facce laterali = triangoli isosceli
2
l
h²+ r² = a², h² + R² = s², a² +   = s²
2
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TRONCO DI PIRAMIDE
Se si interseca una piramide con un piano parallelo alla base e non
passante per il vertice si ottiene un poligono simile alla base.
AB
BC
VH
h
=
= ... =
=
A' B ' B ' C '
V ' H ' h'
2p : 2p' = h : h'
Qb : Ab' = h² : h'²
Def.→ la parte di piramide compresa fra i piani paralleli si dice tronco di piramide ed è limitata da due
poligoni simili e da trapezi.
PRISMA
Date 3 rette parallele e non complanari, l’unione delle strisce piane da esse individuate:
S(a, b) ∪ S(b, c) ∪ S(a, c) si dice “superficie prismatica indefinita”.
Si dice prisma indefinito la parte convessa di spazio delimitata
dalla superficie prismatica.La sezione del solido con un piano
che tagli a, b, c è un triangolo (→ prisma triangolare)
[Quattro rette parallele → prisma quadrangolare; ecc…]
Def.→ Si dice prisma una figura solida limitata da due poligoni congruenti posti su piani paralleli e da tanti
parallelogrammi quanti sono i lati dei due poligoni.
ABCD, A'B'C'D' = basi
C'H = altezza
ABB'A', … = facce laterali
Def.→ Il prisma è retto se i piani delle basi sono perpendicolari agli spigoli laterali.
(Facce laterali = rettangoli, altezza = spigolo laterale)
Def.→ Il prisma è regolare se è retto e le basi sono poligoni regolari.
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Def.→ Si dice parallelepipedo un prisma le cui basi siano due parallelogrammi. Il parallelepipedo è
rettangolo se ha per basi due rettangoli e gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi.
BD' = diagonale d
BB' = altezza h
AB = a BC = b
a, b, h = dimensioni del parallelepipedo rettangolo
d=
h 2 + a 2 + b 2 , nel cubo d = l 3
POLIEDRI
I solidi fin qui esaminati appartengono all’insieme dei poliedri. Tale insieme è infinito, ma i poliedri regolari
sono solo 5 e soddisfano la formula di EULERO (1707-1783):
f+v=s+2
facce
vertici
spigoli
I poliedri regolari hanno per facce poligoni regolari congruenti e gli angoli diedri sono congruenti.
1) Tetraedro regolare (4 facce = triangoli equilateri)
2) Ottaedro regolare (8 facce = triangoli equilateri)
3) Icosaedro regolare (20 facce = triangoli equilateri)
4) Cubo (6 facce = quadrati)
5) Dodecaedro regolare (12 facce = pentagoni)
1)
2)
4)
SOLIDI DI ROTAZIONE
Def. → Data una retta a, un semipiano α di origine a ed una curva qualsiasi g giacente su α, nella rotazione
completa di α attorno ad a, la linea g descrive una superficie S detta superficie di rotazione.
a = asse di rotazione
g = generatrice
Ogni punto P ∈ g descrive una circonferenza
che giace in un piano perpendicolare all’asse a
Se invece della curva g, si fa ruotare una superficie A, giacente su α, si genera un solido detto solido di
rotazione.
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CILINDRO
Def.→ Si dice cilindro indefinito il solido generato da una striscia in una rotazione completa intorno ad una
retta del suo contorno.
A = asse
R = raggio
La retta g nella rotazione genera la superficie cilindrica indefinita.
(Il cilindro indefinito è il luogo geometrico dei punti dello spazio la cui distanza da una retta data a è minore
o uguale ad un segmento dato r).
Def.→ Si dice cilindro circolare retto o cilindro l’intersezione di una striscia solida con un cilindro
indefinito avente l’asse perpendicolare alle due facce della striscia solida.
OO' = altezza h
OA, O'B = raggi r
Analogamente, il cilindro è il solido generato da un rettangolo nella rotazione completa attorno ad un suo lato.
Il cilindro è equilatero se h = 2r e quindi la sua sezione con un piano passante per l’asse è un quadrato.
CONO
Def.→ Si dice cono indefinito il solido generato da un angolo acuto nella rotazione completa attorno ad uno
dei suoi lati.
a = asse
α = semiapertura
V = vertice
g = generatrice della superficie conica indefinita
Teorema: Le sezioni di un cono con i piani perpendicolari all’asse sono cerchi che stanno fra loro come i
quadrati delle loro distanze dal vertice.
2
C1 : C2 = O′V : OV
VO : r = VO' : r'
2
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Def.→ Si dice cono circolare retto o cono l’intersezione di un cono indefinito con il semispazio contenente
il vertice V e il cui piano origine è perpendicolare all’asse.
Analogamente, si dice cono il solido generato da un triangolo rettangolo nella rotazione completa attorno ad
uno dei cateti.
VO = altezza h
VA = apotema a
OA = r raggio di base
r² + h² = a²
Def.→ Un cono è equilatero quando il suo apotema è uguale al diametro di base; la sua sezione con un
piano passante per l’asse è un triangolo equilatero.
SFERA
Def.→ Si dice superficie sferica la superficie generata da una semicirconferenza in una rotazione completa
intorno al diametro.
Def.→ Si dice sfera il solido generato da un semicerchio in una rotazione completa attorno al suo diametro.
O = centro
AO = raggio
A, B = poli
e = equatore
p1 , p2 = paralleli
m = meridiano
Def.→ Si dice calotta sferica l’intersezione di una superficie sferica con uno dei semipiani aventi per
origine un piano perpendicolare ad un diametro.
α ⊥ AB
AH = h = altezze della calotta
Def.→ Si dice zona sferica l’intersezione di una superficie sferica con una striscia solida le cui facce sono
tra loro parallele e perpendicolari a un diametro.
Def.→ Si dice fuso sferico l’intersezione di una superficie sferica con un diedro il cui spigolo passa per il
centro della superficie sferica.
Ssfera : Sfuso = 360° : α°
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Def.→ Si dice segmento sferico a una base l’intersezione di una sfera con un semispazio che ha per origine
un piano secante la sfera
AO' = altezza h
R = raggio sfera
r = raggio base del segmento
Def.→ Si dice segmento sferico a due basi l’intersezione di una sfera con una striscia solida le cui facce
intersecano la sfera stessa.
OO' = h altezze segmento
r1 , r2 = raggi
Def.→ Si dice spicchio l’intersezione di una sfera con un diedro il cui spigolo passa per il centro della sfera.
4
πR³ : 360° = V : α°
3
Def.→ Si dice settore sferico il solido generato dalla rotazione di un settore circolare attorno a un diametro
del cerchio cui appartiene e che non lo attraversi.
PRINCIPIO DI CAVALIERI
È possibile introdurre una relazione di equivalenza tra solidi: le classi di equivalenza così definite si dicono
“estensioni”. Due solidi sono equivalenti quando hanno la medesima estensione solida.
Principio di Cavalieri: “Due solidi che si possano collocare in modo che siano equivalenti le loro sezioni con
un qualsiasi piano parallelo ad un piano fisso, sono equivalenti”.
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SCODELLA DI GALILEO
Dato un cilindro di raggio R ed altezza R, si dice “scodella di Galileo” il solido che si ottiene asportando dal
cilindro l’emisfero di raggio R.
Una scodella di Galileo è equivalente ad un cono di raggio e altezza uguali ad R.
Dimostro tramite il principio di Cavalieri.
Un piano parallelo alla base seziona il cono secondo un cerchio
e la scodella secondo una corona circolare.
Posto HE = x, l’area del cerchio è πx².
L’area della corona circolare è:
2
2
2
2
2
π HM − π HN = π ON − π HN = π OH = πx²
(essendo OHE un triangolo isoscele, OH = HE = x)
c.v.d.
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Formule
Piramide retta
S lat = p ⋅ a
S tot = Abase + p ⋅ a
Vol =
Prisma
Alat = 2 p ⋅ h
Atot = Alat + 2 Abase
Vol = Ab ⋅ h
1
Ab ⋅ h
3
Parallelepipedo
Tronco di piramide
Alat = ( p + p ′) ⋅ a
Vol =
(
a, b, c → dimensioni
Atot = Alat + Ab + A b′
d = a +b +c
2
)
Alat = 4l 2
Cilindro
Alat = 2πrh
d → diagonale
2
Alat = 2c(a + b )
1
A + A′ + A ⋅ A′ ⋅ h
3
Cubo
d =l 3
2
Atot = 2ab + 2c(a + b )
Vol = a ⋅ b ⋅ c
Atot = 6l 2
Atot = 2πr ⋅ (h + r )
V = l3
Vol = πr 2 h
Cono
Alat = πra
Atot = πr (a + r )
1
Vol = πr 2 h
3
Sfera
Sup = 4πR 2
4
Vol = πR 3
3
Tronco di cono
Alat = πa (r + r ′)
[
Atot = π r 2 + a (r + r ′) + (r ′)
2
]
Vol =
π
3
Calotta
A = 2πrh
Vsegmento =
Zona
A = 2πrh
Vsegmento =
πh 2
3
πh
6
(3r − h )
(h
Fuso
(r = raggio sfera)
A=
πr 2α
90°
Vspicchio =
πr 3α
270°
2
+ 3r1 + 3r22
2
(r = raggio sfera)
)
[
h r 2 + (r ′) + r ⋅ r ′
2
]