esercizi di fluidodinamica "1"

ESERCIZIO N°1
In un tubo di sezione 4,0cm2 scorre acqua con velocità di 5,0m/s. Il
tubo poi scende lentamente di 10m mentre l’area della sua sezione
diventa pian piano di 8,0cm2. Che velocità ha ora l’acqua? Qual è ora
la sua pressione se prima era di 1,5×105Pa?
y
v1
h=10m
p1=1,5×105Pa
A1
v2
A2
0
p2
Equazione di continuità:
A1v 1 = A2 v 2
A1
v2 =
v 1 = 2,5m/s
A2
Legge di Bernoulli:
1 2
1 2
p1 + ρv 1 + ρgh = p2 + ρv 2
2
2
(
)
1
p2 = p1 + ρ v 12 − v 22 + ρgh = 2,67 ⋅ 10 5 Pa
2
ESERCIZIO N°2
In un tubo orizzontale scorre acqua che viene poi liberata in atmosfera a
una velocità v1=15m/s come illustrato in figura. I diametri delle sezioni di
sinistra e di destra del tubo sono rispettivamente di 5,0cm e 3,0cm. Che
volume d’acqua viene liberato nell’atmosfera durante un periodo di 10
minuti? Qual è la velocità v2 dell’acqua nella sezione sinistra del tubo?
Qual è la pressione idrostatica nella stessa sezione?
Volume di acqua che fuoriesce dal tubo nel tempo ∆t=600s:
∆V = A1 ⋅ v 1 ∆t = π r12 v 1 ∆t = 6,4m 3
Equazione di continuità:
2
 d1 
A1
A1v 1 = A2 v 2 ⇒ v 2 =
v 1 =   v 1 = 5,4m/s
A2
 d2 
Legge di Bernoulli (p1=1atm=1,01×105Pa):
1 2
1 2
p1 + ρv 1 = p2 + ρv 2 ⇒
2
2
1
p2 = p1 + ρ v 12 − v 22 = 1,99 ⋅ 10 5 Pa
2
(
)
ESERCIZIO N°3
y
Un sifone è uno strumento utile a
rimuovere i liquidi dai contenitori.
Funziona come illustrato in figura. Il
tubo ABC deve essere inizialmente
riempito; una volta fatto questo il liquido
scorrerà attraverso il tubo fino a che il
livello del liquido nel contenitore
scende sotto l’apertura A del tubo. Il
liquido ha densità ρ=1000kg/m3 e
viscosità trascurabile. Le distanze sono
h1=25cm, d=12cm e h2=40cm. Con
quale velocità emergerà il liquido
dall’estremità C? Quale sarà la
pressione del liquido nel punto più alto
B? Teoricamente, qual è l’altezza h1
massima alla quale un sifone può
sollevare l’acqua?
y=h2+d+h1
y=h2+d
y=h2
y=0
Legge di Bernoulli tra A e C
(in A il liquido è fermo quindi vA=0):
1 2
p A + ρgh2 = pC + ρv C
2
In C la pressione è pari alla pressione atmosferica p0.
La pressione in A si ricava applicando la legge di Stevino:
p A = p0 + ρgd
Sostituendo pA e pC nella legge di Bernoulli:
p0 + ρgd + ρgh2 = p0 +
1 2
ρvC
2
v C = 2g (d + h 2 ) = 3,2m/s
In B e in C la sezione del tubo è la stessa. Per l’equazione di continuità
vB=vC
Applicando il teorema di Bernoulli tra B e C:
1 2
1 2
pB + ρv B + ρg (h1 + d + h2 ) = pC + ρvC
2
2
pB = pC − ρg (h1 + d + h2 ) = 9,3 ⋅ 10 4 Pa
La massima altezza h1 è quella per cui pB=0 e vB=0:
Applicando il teorema di Bernoulli tra A e B (con pB=0 e vB=0):
p A + ρgh2 = ρg (h2 + d + h1 ) ⇒ p A = ρg (d + h1 )
Tenendo conto del risultato precedente (dalla legge di Stevino):
p A = p0 + ρgd
p0
p0 + ρgd = ρg (d + h1 ) ⇒ h1 =
= 10,3m
ρg