ESERCIZI 5 Esercizio 1. In P 2, in cui `e fissato un

ESERCIZI 5
Esercizio 1. In P2 , in cui è fissato un sistema di coordinate omogenee, sono
assegnati i punti P0 [1, 1, 0], P1 [0, 1, −1], P2 [1, 0, 2], P3 [−1, 1, −1].
(i) Verificare che tali punti sono in posizione generale.
(ii) Determinare il riferimento proiettivo in cui P0 , P1 , P2 sono i punti fondamentali e P3 è il punto unità.
(iii) Scrivere le equazioni del cambiamento di coordinate.
Esercizio 2. In A5R , con riferimento affine standard, è assegnato il sottospazio affine S di equazioni cartesiane


x1 − 2x2 = 0
x3 − x4 = 1


x5 + 2 = 0.
Scrivere equazioni cartesiane della chiusura proiettiva S̄ e individuarne i
punti impropri.
Esercizio 3. In P2R sia S il sottospazio costituito dal solo punto [1, 2, −1].
Scrivere equazioni cartesiane e parametriche di S.
Esercizio 4. Nello spazio proiettivo P4C sia T il sottinsieme T := {[a, a, 1, 0, 0] |
a ∈ C}.
1. Verificare che T non è un sottospazio proiettivo di P4C .
2. Scrivere equazioni cartesiane e parametriche del sottospazio proiettivo
generato da T .
Esercizio 5. In uno spazio proiettivo di dimensione 4, quali sono le possibili
posizioni reciproche di un piano e una retta?
1
Esercizio 6. In P3R sono date le rette
(
x0 − x2 + 2x3 = 0
r
2x0 + x1 = 0
(
2x1 − 3x2 + x3 = 0
r0
x0 + x3 = 0
e il punto P [0, 1, 0, 1]. Dimostrare che esiste una e una sola retta per P
incidente r e r0 e determinarne equazioni cartesiane.
Esercizio 7. Dimostrare che, date comunque tre rette r, r0 , r00 in P4K , non
contenute in uno stesso iperpiano e a due a due sghembe, esiste una e una
sola retta incidente tutte e tre.
Esercizio 8. In uno spazio proiettivo di dimensione 3, formulare la duale di
ognuna delle seguenti proposizioni.
1. Per tre punti distinti e non allineati passa uno e un solo piano.
2. Dati un punto e una retta che non lo contiene, esiste un unico piano
contenente entrambi.
3. Date tre rette a due a due sghembe, per ogni punto della prima passa
una e una sola retta incidente le altre due.
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