Lezione 6 - Eq di Stato circuiti II ordine

Lezione 6 – Equazioni di stato per circuiti del II ordine
Lezione n.6
Equazioni di stato per circuiti del II ordine
1.
2.
3.
Equazioni di stato per circuiti del II ordine
Dimensione fisica dei coefficienti delle equazioni di stato
Esercizi
3.1 RLC serie (una resistenza)
3.2 RLC parallelo (una resistenza)
3.3 RLC con due resistenze
3.4 RLC con tre resistenze
3.5 RCC con due resistenze
3.6 RLL con due resistenze
Tag:
equazioni di stato per circuiti del II ordine, dimensione fisica, RLC
serie e parallelo, RCC ed RLL
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Lezione 6 – Equazioni di stato per circuiti del II ordine
1. Equazioni di stato per circuiti del II ordine
Abbiamo visto nella Lezione n.4 il sistema di equazioni di stato (vedi la (11)):
Dx& (t ) = − Hx(t ) + g (t )
t>t0.
(1)
In questa lezione ci eserciteremo per vari circuiti del II ordine a determinare il
sistema di equazioni (1). Il sistema (1) per un circuito generico del II ordine si scrive:
 dx1 (t )
d 1 dt = −h11 x1 (t ) − h12 x2 (t ) + g1 (t ),

d dx2 (t ) = −h x (t ) − h x (t ) + g (t ).
21 1
22 2
2
 2 dt
(2)
Dove i coefficienti d1 e d2 ricordiamo che possono essere due capacità, due induttanze
o una capacità e un’induttanza. I coefficienti h11, h12, h21 e h22 possono invece essere
resistenze e/o conduttanze equivalenti dipendenti dai resistori presenti nel circuito e
dalla sua struttura topologica. Infine g1 e g2 dipendono dai generatori presenti nel
circuito.
2. Dimensione fisica dei coefficienti delle equazioni di stato del II ordine
Quando troviamo le equazioni di stato per il circuito che intendiamo risolvere è
buona abitudine fare un controllo sulle dimensioni fisiche di ogni singolo termine
della equazione. In questo modo possiamo controllare se abbiamo commesso qualche
errore!
Ad esempio: la prima equazione del sistema (8) deve avere tutti i termini di
dimensione equivalente ad una corrente. La seconda equazione del sistema (8) invece
ad una tensione.
3. Esercizi
In questo paragrafo cominciamo ad esaminare sistematicamente i circuiti del II ordine
di semplice struttura. In questa lezione troviamo le equazioni di stato e quindi il
sistema di due equazioni differenziali che rappresentano il modello matematico di un
circuito del II ordine.
3.1 RLC serie (una resistenza)
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Il circuito rappresentato in Fig. 1 è il circuito RLC serie.
v2
v3
i2
I
i1
e(t )
R
v1
i3
II
III
i4
L
v4
C
IV
Fig.1 – Circuito “RLC serie”.
Escludiamo il nodo IV. Inoltre osserviamo che abbiamo una sola maglia. Pertanto il
corrispondente Sistema Globale è:
i1 - i2 = 0
i - i = 0
2 3
i3 - i4 = 0

v1 - v2 - v3 - v4 = 0
v1 = e(t )

v2 = Ri2

v3 = L di3

dt

dv
i4 = C 4
dt

(3)
Si osservi che le grandezze presenti nel sistema (3) dipendono dal tempo, per
semplicità omettiamo di rappresentare tale dipendenza.
Le variabili di stato del circuito sono la tensione sul condensatore v4 (t ) e la corrente
nell’induttore i3 (t ). Pertanto dal sistema (3) dobbiamo eliminare tutte le incognite
tranne v4 (t ) e i3 (t ). Cominciamo sostituendo le relazioni caratteristiche nelle leggi di
Kirchhoff:
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Lezione 6 – Equazioni di stato per circuiti del II ordine
i1 - i2 = 0
i - i = 0
2 3

dv
i3 - C 4 = 0
dt


di3
- v4 = 0
e(t ) - Ri2 - L
dt

(4)
con t>t0 (t0 istante iniziale).
Procediamo poi eliminando dal sistema (4) le correnti i1 (t ) , i2 (t ) , otteniamo
dv4

i
C
=0
3

dt

e(t ) - Ri - L di3 - v = 0
3
4

dt
(5)
Riscriviamo infine il sistema (5) sotto forma di equazioni di stato come abbiamo
introdotto nel sistema (11) della Lezione n.4:
 dv4
C dt = i3

L di3 = −v - Ri + e(t )
4
3
 dt
(6)
con t>t0.
Ricordandoci delle matrici D ed H introdotte nella Lezione n.4, possiamo scriviamo:
C
D=
0
0
0 − 1
;
H
=
1 R  .
L 


Vedremo che, a differenza dei circuiti del I ordine, per quelli del II ordine risulta
molto comodo, come vedremo nelle prossime lezioni, individuare le matrici D ed H.
3.2 RLC parallelo (una resistenza)
Consideriamo ora il circuito in Fig. 2 che rappresenta un circuito RLC parallelo.
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I
i2
i1
i4
C
L
R
v2
v1
j(t)
i3
v3
v4
II
Fig.2 – Circuito “RLC parallelo”.
Avendo tre maglie ed escludendo il nodo II, il Sistema Globale risulta:
i1 - i2 - i3 - i4 = 0
v - v = 0
 1 2
v2 - v3 = 0

v2 - v4 = 0
i1 = j (t )

v2 = Ri2

v3 = L di3

dt

dv
i4 = C 4
dt

(7)
con t>t0.
Operando in modo analogo al sistema (3) otteniamo le due equazioni di stato:
v4
 dv4
C
=
- i3 + j (t )
 dt
R

 L di3 = v
4
 dt
(8)
con t>t0 e con:
C
D=
0
0
1 / R 1
; H =

 .
L
−
1
0


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3.3 RLC con due resistenze
Vediamo infine altri due esempi un pò più complessi: in Fig.3 abbiamo inserito in
parallelo all’induttore dell RLC serie di Fig. 1 una resistenza, in Fig.4 abbiamo
inserito in serie al condensatore dell’RLC parallelo di Fig. 2 una resistenza. Questi
due circuiti descrivono in modo più realistico un sistema elettrico reale; inserendo le
resistenze abbiamo evitato di avere il condensatore e l’induttore in serie o in
parallelo.
Diamo le equazioni di stato, a voi dimostrare come sono state ottenute!
v5
i5
R2
v3
v2
i2
I
i1
e(t)
i3
II
R1
i4
L
v1
III
v4
C
IV
Fig.3 – Circuito del II ordine con due resistenze.
Per il circuito di Fig.3 osserviamo che le maglie sono due e i nodi da considerare 3
(escludiamo il IV). Dimostrate che si possono scrivere le seguenti equazioni di stato:
R2
1
1
 dv4
C
=
v
+
i
+
e(t )
4
3
 dt
R
+
R
R
+
R
R
+
R

1
2
1
2
1
2

 L di3 = - R2 v - R1 R2 i + R2 e(t )
4
3
 dt
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
(9)
con t>t0. Si osservi come facendo tendere all’infinito la R2 si riottene il sistema (6)!
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I
i4
i3
i2
i1
j(t)
R1
C
v4
L
v1
v2
II
I
v3
i5
R2
v5
III
Fig.4 – Circuito del II ordine con 2 resistenze.
Per l’esempio di Fig.4, considerando in più il nodo II ed escludendo il III, si ha:
R1
R1
1
 dv4
C
=
v
i
+
j (t )
4
3
 dt
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2


L di3 = R1 v - R2 R1 i + R2 R1 j (t )
 dt R1 + R2 4 R1 + R2 3 R1 + R2
(10)
con t>t0. Osserviamo che analogamente al precedente esercizio anche in questo
possiamo ricavare il sistema (8) se facciamo tendere R2 a zero!
Un esercizio da poter fare è invertire la posizione del condensatore e dell’induttore
nei circuiti di Fig. 3 e Fig. 4. Diamo solo le equazioni di stato. Nel caso del circuito di
Fig. 3 con il condensatore al posto dell’induttore abbiamo:
1
 dv4
C
=
v 4 + i3
 dt
R2

 L di3 = − v - R i + e(t )
4
1 3
 dt
(11)
con t>t0. Nel caso del circuito di Fig. 4 con il condensatore al posto dell’induttore
abbiamo:
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Lezione 6 – Equazioni di stato per circuiti del II ordine
1
 dv4
C dt = - R v4 - i3 + j (t )
1

 L di3 = v - R i
4
2 3
 dt
(12)
con t>t0.
3.4 RLC con 3 resistenze
Infine lavoriamo su un altro circuito in cui siano presenti tre resistenze come
rappresentato in Fig.5. Per questo circuito cerchiamo di esplicitare tutti i passi
dell’algoritmo introdotto nella Lezione n.4.
v3
v2
I
v4
II
i2
i1
R1
i3
III
i4
i6
i5
L
C
m1
e(t)
v1
v5
v6
m2
R2
R3
V
Fig. 5 − Un esempio di circuito del II ordine con tre resistenze.
Dalla Fig.5 si evince che i primi 4 passi sono stati eseguiti. Facciamo la convenzione
dell’utilizzatore su tutti i bipoli
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Lezione 6 – Equazioni di stato per circuiti del II ordine
Escludiamo il nodo V.
Scegliamo e orientiamo le maglie indicate in Fig.5.
Scriviamo le equazioni ai nodi:
I)
II)
III)
IV)
i1 + i2 = 0
i3 − i2 = 0
− i3 − i5 + i4 = 0
− i4 − i6 = 0
Scriviamo le equazioni alle maglie:
m1) e(t ) + v2 + v3 − v5 = 0
m2) v 4 + v5 − v6 = 0
Scriviamo le relazioni caratteristiche:
v1 = e(t )
v2 = R1i2
di
v3 = L 3
dt
v5 = R2 i5
dv
i4 = C 4
dt
v 6 = R3 i 6
Le variabili di stato sono la corrente i3 dell’induttore e la tensione v4 del
condensatore.
Sostituiamo le relazioni caratteristiche nelle equazioni ai nodi e alle maglie:
I)
II)
i1 + i2 = 0
i3 − i 2 = 0
III)
− i3 − i5 + C
dv4
=0
dt
dv4
− i6 = 0
dt
m1) e(t ) + R1i2 + L di3 − R2 i5 = 0
dt
IV)
−C
m2) R2 i5 + v4 − R3i6 = 0
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Eliminiamo dal sistema i1 e i2. Otteniamo il sistema:
dv4

−
i
−
i
+
C
=0
3
5

dt

dv
− C 4 − i6 = 0

dt

di3
e(t ) + R1i3 + L dt − R2 i5 = 0
R i + v − R i = 0
 25
4
3 6
(13)
Ricavando i6 dalla seconda equazione e sostituendola nella quarta equazione
ricaviamo:
dv4

−
i
−
i
+
C
=0
3
5

dt

di3
− R2 i5 = 0
e(t ) + R1i3 + L
dt

 R2 i5 + v4 + R3C dv4 = 0

dt
(14)
Dalla prima equazione troviamo i5 che sostituiamo nelle altre:
di3
dv4

e(t ) + R1i3 + L dt − R2 C dt + R2 i3 = 0

dv
dv
 R2 C 4 − R2 i3 + v4 + R3C 4 = 0
dt
dt

(15)
Partendo da questo sistema dobbiamo esplicitare le derivate delle variabili di stato i3
e v5; riscriviamo il sistema (15):
dv4
 di3
L dt = − R1i3 + R2 C dt − R2 i3 − e(t )
 dv
R2
1
i3 −
v4
C 4 =
 dt R2 + R3
R2 + R3
con t>t0. Sostituiamo infine il termine C
(16)
dv4
preso dalla seconda equazione nella
dt
prima ottenendo:
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R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
R2
 di3
−
L
=
−
i
v4 − e(t )
3
 dt
R2 + R3
R2 + R3
 dv
R2
1
C 4 =
i3 −
v4
 dt R2 + R3
R2 + R3
(17)
Con questo siamo giunti a conclusione ottenendo le equazioni di stato che cercavamo.
Per esercizio a voi verificare come si arriva alle seguenti equazioni di stato per il
circuito di Fig. 6:
R1 + R3
R1 R3
R3
 dv4
C dt = - R R + R R + R R v4 - R R + R R + R R i6 + R R + R R + R R e(t )

1 3
1 2
2 3
1 3
1 2
2 3
1 3
1 2
2 3

di
R
R
R
R
R
R
R
6
1
3
1
2
3
2
3
L
=
v i +
e(t )
 dt R1 R3 + R1 R2 + R2 R3 4 R1 R3 + R1 R2 + R2 R3 6 R1 R3 + R1 R2 + R2 R3
(18)
con t>t0.
R1
II
I
i4
i1
v2
e(t)
i6
i5
i2
R3
C
v4
L
v5
v1
v6
III
I
i3
R2
v3
IV
Fig. 6 – Esempio di circuito del II ordine.
Infine menzioniamo che nella Lezione n.8 – paragrafo 4.1 troverete un altro esercizio
con tre resistenze (… e due generatori).
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Lezione 6 – Equazioni di stato per circuiti del II ordine
3.5 RCC con due resistenze
Lavoriamo su un altro circuito in cui siano presenti due resistenze come rappresentato
in Fig.7 e i due elementi dinamici sono entrambe delle capacità.
I
iC2 III
II
i2
i1
R1
e(t)
v1
i5
iC1
C2
v5
vC1
C1
R2
IV
Fig. 7 – Circuito del II ordine con due capacità.
Dalla Fig.7 si evince che i primi 4 passi sono stati eseguiti. Facciamo la convenzione
dell’utilizzatore su tutti i bipoli.
Escludiamo il nodo IV.
Scriviamo le equazioni ai nodi:
I)
II)
III)
i1 + i2 = 0
iC 2 − i 2 = 0
− iC 1 − iC 2 − i5 = 0
Scriviamo le equazioni alle maglie (a voi risalire a quali abbiamo scelto!):
m1) e(t ) + v 2 − vC 2 + vC1 = 0
m2) vC 1 − v5 = 0
Scriviamo le relazioni caratteristiche:
v1 = e(t )
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Lezione 6 – Equazioni di stato per circuiti del II ordine
v2 = R1i2
dvC 2
dt
dv
iC1 = C1 C1
dt
v5 = R2 i5
iC 2 = C 2
Le variabili di stato sono la tensione vC1 e la tensione vC2 dei due condensatori.
Sostituiamo le relazioni caratteristiche nelle equazioni ai nodi e alle maglie:
i1 + i2 = 0

− i2 + C2 dvC 2 = 0
dt

− C dvC1 − C dvC 2 − i = 0
2
5
 1 dt
dt
e(t ) + R i + v − v = 0
1 2
C2
C1

vC1 − R2 i5 = 0
(19)
Eliminiamo dal sistema i1 e i2. Otteniamo il sistema:


dvC 1
dv
− C 2 C 2 − i5 = 0
− C1
dt
dt

dv
e(t ) + R1C 2 C 2 + vC 2 − vC 1 = 0
dt

vC 1 − R2 i5 = 0
(20)
Eliminando anche la i5 ricaviamo:
dvC1
dvC 2 vC1

−
C
−
C
−
=0
1
2

dt
dt
R2

e(t ) + R1C 2 dvC 2 + vC 2 − vC1 = 0

dt
(21)
Partendo da questo sistema dobbiamo esplicitare le derivate delle variabili di stato
vC1 e vC2; riscriviamo il sistema (20):
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Lezione 6 – Equazioni di stato per circuiti del II ordine
 dvC1
 R + R2 
1
1
vC1 + vC 2 + e(t )
= − 1
C1
dt
R1
R1
 R1 R2 

C2 dvC 2 = 1 vC1 − 1 vC 2 − 1 e(t )

dt
R1
R1
R1
(22)
Con questo siamo giunti a conclusione ottenendo le equazioni di stato che cercavamo.
3.6 RLL con due resistenze
Lavoriamo su un altro circuito in cui siano presenti due resistenze come rappresentato
in Fig.8 e i due elementi dinamici sono entrambe delle induttanze.
Dalla Fig.8 si evince che i primi 4 passi sono stati eseguiti. Facciamo la convenzione
dell’utilizzatore su tutti i bipoli.
v3
i3
R2
vL1
v2
i2
I
i1
e(t)
R1
iL1 III
II
iL2
L1
v1
vL2
L2
IV
Fig. 8 – Circuito del II ordine con due induttanze.
Dalla Fig.8 si evince che i primi 4 passi sono stati eseguiti. Facciamo la convenzione
dell’utilizzatore su tutti i bipoli.
Escludiamo il nodo IV.
Scriviamo le equazioni ai nodi:
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Lezione 6 – Equazioni di stato per circuiti del II ordine
I)
II)
III)
i1 − i2 = 0
i2 − i3 − iL1 = 0
i3 + i L 1 − i L 2 = 0
Scriviamo le equazioni alle maglie (a voi risalire a quali abbiamo scelto!):
m1) v1 − v2 − v L1 − v L 2 = 0
m2) v3 − v L1 = 0
Scriviamo le relazioni caratteristiche:
v1 = e(t )
v2 = R1i2
di
v L1 = L1 L1
dt
di
v L 2 = L2 L 2
dt
v3 = R2 i3
Le variabili di stato sono la corrente iL1 e la corrente iL2 dei due induttori.
Sostituiamo le relazioni caratteristiche nelle equazioni ai nodi e alle maglie:
i1 − i2 = 0
i − i − i = 0
 2 3 L1
i3 + iL1 − iL 2 = 0

diL1
diL 2
e(t ) − R1i2 − L1 dt − L2 dt = 0

di
 R2 i3 − L1 L1 = 0
dt

(23)
Eliminiamo dal sistema i1 e i2. Otteniamo il sistema:

i + i − i = 0
 3 L1 L 2

di
di
e(t ) − R1i3 − R1iL1 − L1 L1 − L2 L 2 = 0
dt
dt

di
 R i − L L1 = 0
1
 2 3
dt
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(24)
15/16
Lezione 6 – Equazioni di stato per circuiti del II ordine
Eliminando anche la i3 ricaviamo:
diL1
diL 2

(
)
e
t
−
R
i
−
L
−
L
=0
1
L
2
1
2

dt
dt

di
R2 iL 2 − R2 iL1 − L1 L1 = 0
dt

(25)
Partendo da questo sistema dobbiamo esplicitare le derivate delle variabili di stato
iL1 e iL2; riscriviamo il sistema (25):
 diL1
 L1 dt = − R2 iL1 + R2 iL 2
 di
 L2 L 2 = R2 iL1 − (R2 + R1 )iL 2 + e(t )
 dt
(26)
con t>t0. Con questo siamo giunti a conclusione ottenendo le equazioni di stato che
cercavamo.
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