SOLIDO DI SAINT VENANT: TORSIONE

SOLIDO DI SAINT VENANT: TORSIONE
La particolarità del problema di Saint-Venant consente di determinare in modo
semplice le soluzioni del problema dell’equilibrio elastico. Nel caso della torsione
semplice si è in uno stato tensionale puramente tangenziale:
τzx ¹ 0;
τzy ¹ 0;
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
σy
τzy
M
z
z
τzx
τzx
τz x
x
τzy
σx
τxy
σz
τxy
τz y
Componenti
non nulle
y
Componenti
nulle
Applicando il metodo degli spostamenti, sono soddisfatte dapprima le equazioni
indefinite di compatibilità:
¶ux
= 0 Þ u x (y, z );
¶x
¶u y
= 0 Þ u y (x , z );
¶y
¶ux (y, z ) ¶u y (x , z )
+
=0
¶y
¶x
¶uz
= 0 Þ u z (x , y );
¶z
1
SOLIDO DI SAINT VENANT: TORSIONE
Nello spirito del metodo semi-inverso, è possibile ipotizzare che la
soluzione abbia la seguente forma:
ux = -ϑ (y - yc ) z
l =1
u y = ϑ (x - x c ) z
uz = ϑ [ ωG (x, y ) - yc x + xcy ]
c
c
z
ϑ
essendo:
ϑ
Angolo unitario di torsione, che esprime la rotazione relativa tra
due sezioni trasversali poste a distanza unitaria
ωG (x, y ) Funzione di ingobbamento, che definisce come si ingobba la
sezione trasversale
(xc , yc )
Coordinate del centro di torsione C
2
SOLIDO DI SAINT VENANT: TORSIONE
Una volta definita la forma della soluzione in termini di spostamento si ottiene
dalle equazioni costitutive:
é ¶ω (x , y )
ù τ
é ¶ω (x , y )
ù τ zy
¶u y
¶u z ¶u x
¶u z
G
zx
G
ê
ú
ê
γ zx =
+
=ϑ
- y = ; γ zy =
+
=ϑ
+ xú=
ê
ú G
ê
ú G
¶x
¶z
¶x
¶y
¶z
¶y
ë
û
ë
û
Sostituendo le precedenti relazioni nelle equazioni indefinite di equilibrio si ha:
¶τzy (x , y )
¶γ zy (x , y )
¶τzx (x , y )
¶γ zx (x , y )
=G
= 0;
=G
=0
¶z
¶z
¶z
¶z
¶2 ωG (x , y ) ¶ 2ωG (x , y )
¶τzx (x , y ) ¶τzy (x , y )
+
=0
Þ
+
= 0 Equazione di Laplace
2
2
¶x
¶y
¶x
¶y
Associando all’equazione di Laplace le condizioni al contorno:
¶ωG (x , y )
¶ω (x , y )
τzx (x , y ) n x + τzy (x , y ) n y = 0
Þ
nx + G
n y = yn x - xn y
¶x
¶y
si definisce il cosidetto Problema di Neumann, che ammette soluzione unica a
meno di una costante arbitraria (basi libere). In tal modo la soluzione ωG è una
funzione armonica e risulta completamente definita.
3
TORSIONE: SEZIONE CIRCOLARE
le sezioni trasversali si mantengono piane
ωG (x , y ) = 0
In questo caso per la simmetria polare si avrà: x c = y c = 0 .
Le componenti dello spostamento assumono la forma
u x = −ϑ y z
uy = ϑ xz
R
uz = 0
Dalla condizione di
equivalenza sulle basi segue:
M z = Mt =
ò (τ
A
Mt
=Gò
A
zy
x - τzxy )dA
éæ ¶u
¶u y ö÷ ù
z
êçç
+
÷÷ x ú
êçè ¶y
¶z ø ú
ê
údA
ê æ ¶u
ú
ê- ç z + ¶u x ö÷÷ y ú
ê çè ¶x
¶ z ø÷ úû
ë
r≤R
= G ϑò (x 2 + y 2 )dA = G ϑI P
A
Mt
Mt
ϑ=
;
GI p
φ =ϑ L
4
TORSIONE: SEZIONE CIRCOLARE
(le sezioni trasversali si mantengono piane)
Mt
ϑ=
; φ =ϑL
GI p
τ zx = −Gϑ y = −
Mt
M
y; τ yz = Gϑ x = t x
Ip
Ip
τ z = τ +τ
2
zx
2
zy
Mt
=
r
Ip
R
φ = ϑL
sezione circolare piena
τ z max
2Mt
π R4
=
; IP =
π R3
2
τ z max
Mt
τz
r
R
r≤R
Mt
φ = ϑL
Mt
5
TORSIONE: SEZIONE CIRCOLARE
Mt
l =1
z
R
ϑz
sezione circolare piena :
Mt
τ z max
ϑ
angolo unitario di torsione
2M t
π R4
=
; IP =
π R3
2
r
τ z = τ max
R
t
x
x
ϑz
uy
G
r
P
R
zy
ux
y
zx
α
R
r
z
y
u=Rϑ = ϑ x 2 + y 2
u x = u cosα =-ϑyz; u y = u sin α= ϑxz
ϑ si calcola dalla condizione di equivalenza sulle basi
Re
Ri
sezione circolare cava:
π
2M t
I p = ( Re4 − Ri4 ) , τ z max =
Re
2
π ( Re4 − Ri4 )
6
TORSIONE:
plasticità - rottura
Cerchio del Mohr:
z
pR 2M
b
M t σmin
3 t
a
σ max
Mt
Mt
Mt
τ z max
2M t
π R4
=
; IP =
π R3
2
Z=N
σ z max, min = ±
2M t
; τz = 0
π R3
Materiale duttile.
Superficie di rottura
σ z max
Mt
Mt
σ z min
Materiale fragile.
Superficie di rottura
7
TORSIONE: SEZIONE RETTANGOLARE
Le sezioni non si mantengono piane: ωG (x , y ) ¹ 0
SOLUZIONE APPROSSIMATA:
2M t
M
M
τz =
y ⇒ τ z max = t b = α t2 ; It = β ab 3
It
It
ab
I t fattore di rigidezza torsionale  L4 
MT
MT
a
a>b
b
8
TORSIONE
SEZIONI APERTE A SPESSORE SOTTILE: soluzioni approssimate
It =
1
Mt
3
b
s
ds
⇒
τ
=
b( s )max ;
(
)
z max
∫
s
l
3
It
Sezioni di forma qualunque
I ti =
?0
G
1 3
Mt
Mt
I t = ab ; τ z max = α 2 = 3 2 ;
3
ab
ab
Le sezioni
non si
mantengono
piane:
?(x,y)
Sezioni rettangolari allungate
1 3
M
ai bi ; I t = ∑ I ti ⇒ τ z max = t bi ,max ;
3
It
9
TORSIONE: ANALOGIA IDRODINAMICA
L’ANALOGIA
IDRODINAMICA
è stata introdotta
per comprendere
qualitativamente
l’andamento delle
tensioni tangenziali
nella torsione.
Incremento delle tensioni
in corrispondenza di
restringimenti della
sezione: intagli o fori.
Andamento completamente
diverso delle tensioni
tangenziali nei casi di
sezione aperte o chiuse.
Sezione chiusa (monoconnessa)
Sezione aperta (biconnessa)
10
TORSIONE: ANALOGIA IDRODINAMICA
Tensioni tangenziali quasi
nulle in vicinanza di spigoli
esterni (sporgenti).
Viceversa tensioni elevate in
corrispondenza di spigoli
interni (rientranti).
Per evitare
concentrazioni
di tensioni
elevate o
spreco del
materiali gli
spigoli vengono
arrotondati.
11
TORSIONE: ANALOGIA IDRODINAMICA
formula approssimata di BREDT: sezioni chiuse a spessore sottile
?0
G
?(x,y)
Le sezioni
non si
mantengono
piane:
spessore “b” diametro del cerchio bitangente
s
b
o
z
d
Mt
M t = ∫ r ( s )Tds; T = τ z ( s ) b ( s ) = costante ⇒ τ z ( s) =
sl
2Ωb ( s )
ds
Tds=
s
(a)
(b)
z
b ds
d Ω = r ( s ) ds / 2 ⇒ r ( s ) ds = 2d Ω ⇒ Ω =
1
r ( s )ds
2 ∫sl
12