Equazioni di base per il solido di de Saint Venant

Equazioni di base per il solido di de Saint Venant
Ottobre 2004
1
Ipotesi di base
Tensioni:

 σxx = 0
σyy = 0

τxy = 0
(1)
Forze di volume:

 Fx = 0
Fy = 0

Fz = 0
(2)
Forze di superficie:

 px = 0
py = 0

pz = 0
(3)
sulla superficie laterale.
2
Equazioni statiche (o indefinite di equilibrio)





∂τzx
∂z
∂τzy
∂z
∂τzx
∂x
=0
=0
∂τ
+ ∂yzy +
(4)
∂σzz
∂z
=0
Le prime due equazioni indicano che τzx e τzy non dipendono da z. Quindi τzx =τzx (x, y) e τzy =τzy (x, y).
3
Equazioni al contorno
3.1
Superficie laterale (nz = 0)

 0=0
0=0

τzx nx + τzy ny = 0
(5)
Le prime due equazioni al contorno sono identicamente soddisfatte mentre l’ultima impone che il vettore
tensione tangenziale sia tangente al contorno (τz · n = 0).
3.2
Basi (nz = ±1)

 τzx = ±px
τzy = ±py

σzz = ±pz
Queste tre equazioni (puntuali ) sono sostituite dalle equazioni di equivalenza (globali ):
(6)
R

Nz = RA σzz dA




Mx = ARσzz y dA



My = R− A σzz x dA
Mz =R A (τzy x − τzx y) dA





T =
τ dA

 x RA zx
Ty = A τzy dA
4
Equazioni costitutive (elastiche lineari isotrope)

εxx = − Eν σzz





εyy = − Eν σzz


 ε = 1σ
zz
E zz
γ
=
0
xy



1


 γzx = G τzx =


γzy = G1 τzy =
5
(7)
(8)
2(1+ν)
E τzx
2(1+ν)
E τzy
Equazioni cinematiche

ν

εxx = ∂u

∂x = − E σzz


∂v
ν

εyy = ∂y = − E σzz



 εzz = ∂w = 1 σzz
∂z
E
∂u
∂v
γ
=
+
=0
xy

∂y
∂x


2(1+ν)

∂u
1

γzx = ∂w

∂x + ∂z = G τzx =
E τzx


 γzy = ∂w + ∂v = 1 τzy = τzy = 2(1+ν) τzy
∂y
∂z
G
E
(9)
Da queste equazioni, per integrazione e attraverso l’uso di opportune condizioni al contorno, si ricavano le
componenti di spostamento u(x, y, z), v(x, y, z) e w(x, y, z).
6
Equazioni di compatibilitá (o di congruenza interna)





















∂ 2 σzz
=0
∂x2
∂ 2 σzz
=0
∂y 2
∂ 2 σzz
=0
∂z 2
∂ 2 σzz
=
0
∂x∂y
³
∂τ
zy
∂
∂x ³ ∂x −
∂τzy
∂
∂y
∂x −
(10)
´
∂τzx
∂y ´
∂τzx
∂y
=
=
ν ∂ 2 σzz
1+ν ∂y∂z
ν ∂ 2 σzz
− 1+ν
∂x∂z
Questo gruppo di equazioni indica le condizioni alle quali devono sottostare le deformazioni εαα e γαβ
affinché si possa ricavare, attraverso opportune integrazioni, un campo di spostamenti regolare.
7
Note
Le equazioni precedenti (statiche, cinematiche, costitutive, al contorno e di compatibilitá), opportunamente
combinate, portano ad un sistema di equazioni differenziali nelle incognite σzz , τzx , τzy che rappresenta le
equazioni di Beltrami-Michell nel caso di solido di de Saint Venant. Se, invece, si assumono come incognite gli
spostamenti u, v e w, si possono ottenere le equazioni di Lamé per lo stesso problema.
8
Per chi volesse saperne di piú. . .
• R. Baldacci, Scienza delle Costruzioni, UTET (Torino), 1970-76 (soluzione del problema di de Saint
Venant in termini di tensioni).
• G. Colonnetti, Scienza delle Costruzioni, Einaudi (Torino), 1953-57 (soluzione del problema di de Saint
Venant in termini di spostamenti).