Volume 3, Capitolo 6 - Dipartimento di Fisica e Astronomia

A6.2 Soluzioni
In generale l’equazione di Lane-Emden di indice generico n va integrata
numericamente partendo dalle condizioni al contorno per x = 0 precedentemente
discusse. Esistono comunque soluzioni analitiche per n = 0, 1, 5. Queste sono
n = 0, q 0 = 1 - x 2 6
n = 1,
q1 = sin x x
n = 5,
q5 = 1 + x 2 3
(
)
-1 2
Nel grafico sono indicate le soluzioni di questi tre indici assieme ad altri ottenuti
Soluzioni Lane-Emden
1
0.9
0.8
q0(x)
0.7
q1(x)
q( x )
0.6
q1.5(x)
0.5
q2(x)
0.4
q3(x)
0.3
q5(x)
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
x
numericamente. Come si noterà, gli indici inferiori corrispondono a modelli
maggiormente compatti, nei quali cioè c’è una maggiore concentrazione di massa verso
il centro. Il primo zero x1 della funzione q (x) indica il limite della stella, quindi definisce
il suo raggio. Coerentemente con quanto detto sopra, il primo zero avviene per valori
crescenti dell’indice n. Per n = 5, q (x) non si annulla che per x tendente all’infinito,
quindi la stella si estende indefinitamente. Il modello politropico non ha quindi senso
fisico per un indice n ≥ 5.
10
6
Appendice
Mathematica Note Book
per la soluzione delle
equazioni di Lane-Emden
Questa Appendice contiene e descrive un Mathematica
Notebook usato per risolvere le equzioni differeneziali di
Lane-Emden.
A6.1 Introduzione
Nel passato, l’integrazione numerica di equazioni differenziali poteva rappresentare
notevoli difficoltà pratiche. Con l’avvento dei calcolatori, la tediosità dei calcoli necessari
è stata superata, ma per ogni equazione particolare era necessario scrivere un programma
ad hoc.
Da qualche anno il problema (non solo quello legato alle equazioni differenziali, ma
qualsiasi problema che coinvolga complesse operazioni matematiche) è stato
elegantemente risolto da un Programma commerciale chiamato Mathematica,
distribuito dalla Wolfram Research (http://www.wolfram.com). Ci sono naturalmente
altri prodotti, ma finora Mathematica è il più completo.
La soluzione delle equazioni di Lane-Emden, per vari indici n, rappresentano un
ottimo caso di studio per esplorare alcuni dei trucchi offerti da Mathematica.
[Nel futuro qui verrà il Notebook con i commenti. Per il momento potete visitare il
sito
http://www.scientificarts.com/laneemden/laneemden.htm
I valori numerici di integrazione che sono stati utilizzati nel grafico sono stati calcolati
con il Notebook che si trova nel sito indicato. Con il Notebook si possono calcolare
tutti i valori discussi precedentemente, come per esempio il primo zero delle q(x), la
derivata prima, etc.
Nella prossima edizione del capitolo, tutto questo sarà spiegato in dettaglio]
9
È ( n + 1) K ˘
R = a x1 = Í
˙
Î 4p G ˚
12
r c(1- n) 2n
[6.10]
Per la massa M della stella abbiamo, utilizzando le [6.5], [6.8] e [6.9]:
R
x1 È
1 d Ê 2 dq ˆ ˘ 2 2
M = 4p Ú r r 2 dr = 4pr c Ú Í- 2
Áx
˜ ˙ a x a dx =
0
0
ÍÎ x dx Ë dx ¯ ˙˚
È
È ( n + 1) K ˘
dq ˘
= 4pa 3 r c Í-x 2
= 4p Í
˙
˙
dx ˚ x = x
Î
Î 4p G ˚
1
3 2
rc
( 3- n)
2n
È 2 dq ˘
Í -x
˙
dx ˚ x =x
Î
1
[6.11]
Dalle espressioni della massa e raggio, si può facilmente ricavare la densità media
r=
È 3 dq ˘
3M
= r c Í˙
3
4pR
Î x dx ˚ x =x1
[6.12]
Inoltre, eliminando la densità centrale rc dalle [6.10] e [6.11] si trova una relazione tra
massa e raggio
MR
( n- 3 ) (1- n )
Ê ( n + 1) K ˆ
= 4p Á
˜
Ë 4p G ¯
n ( n-1)
È (n+1) (n-1) dq ˘
Í -x
˙
dx ˚ x = x
Î
1
[6.13]
Nel modello politropico esiste quindi una precisa relazione tra la massa della stella e
il suo raggio. Utilizzeremo questo risultato nello studio delle nane bianche.
Con facili passaggi si ottiene anche la pressione centrale
M GÈ
Í4p n + 1
Pc =
R4 Í
Î
2
(
)
˘
Ê dq ˆ
˙
Á ˜
Ë dx ¯ x = x1 ˙
˚
2
-1
[6.14]
I valori numerici di q (x) e delle varie sue combinazioni con le derivate che compaiono
nelle [6.10] - [6.14] possono essere facilmente tabulati dall’integrazione numerica
dell’equazione di Lane-Emden (vedi appendice).
In particolare, data una soluzione q n(x) gli andamenti radiali della densità e della
pressione sono dati da
r = r c q n (x )
P = Pc q n +1 (x )
Se il gas politropico è anche ideale, allora l’andamento della temperatura è
T = Tc q (x )
da cui si vede come la funzione q (x) possa essere considerata una temperatura
opportunamente riscalata. Naturalmente questa interpretazione di q (x) perde di
validità nel caso il gas sia degenere, quindi se l’indice politropico è 3 (g = 4/3), q (x)
rappresenta la temperatura nel modello standard di Eddington, ma non in quello
delle nane bianche. In quest’ultimo caso, il gas elettronico degenere è un ottimo
conduttore termico, quindi le nane bianche sono internamente sostanzialmente
isoterme (vedi il capitolo sulle nane bianche nel libro di testo).
8
Poniamo ora
È n +1
a=Í
Kl
Î 4p G
r =ax
12
1
-1
n
˘
˙
˚
[6.6]
[6.7]
Notiamo che l ha le dimensioni di una densità e a ha le dimensioni di una lunghezza,
quindi q e x sono adimensionali. Sostituendo:
1 d Ê 2 dJ ˆ
n
Áx
˜ = -J
x 2 dx Ë dx ¯
[6.8]
Questa prende il nome di equazione di Lane-Emden di indice politropico n. Il
vantaggio dei trucchi è che una volta nota una soluzione q (x) per un certo indice
n, ci sono due parametri K e l ancora liberi. Abbiamo quindi una famiglia di
soluzioni.
Vediamo ora come si modificano le condizioni al contorno. Al centro abbiamo:
r ( 0 ) = rc
dato che:
rc = lq cn
[6.9]
è conveniente porre l = rc in modo che
q c = 1 per x = 0
Il gradiente di q è proporzionale a quello della pressione, cioè:
dq
dx
µ
dP
dr
ma il gradiente della pressione tende a zero al centro (vedi l’equazione di equilibrio
idrostatico) e quindi come seconda condizione al contorno porremo:
dq
=0
dx
per x = 0
Generalmente l’equazione si integra numericamente, però esistono delle soluzioni
analitiche per n = 0, 1 e 5. Oggi la soluzione numerica di equazioni differenziali è
enormemente facilitata dall’esistenza di programmi matematici come per esempio
Mathematica. In appendice si descrive un procedimento di soluzione della equazione
di Lane-Emden di qualunque indice.
Dalla [6.5] si vede che per n = 0 abbiamo un modello di stella a densità costante
mentre, dalle soluzioni numeriche, si vede che per n = 5 la q (x) non si annulla per
nessun valore finito di x , quindi in questo caso la stella si estende all’infinito e n = 5
è il limite di applicabilità dei modelli politropici. Per valori di n compresi tra 0 e 5, il
primo zero x1 della q (x) determina il raggio della stella che (vedi [6.6]) è
7
7.3 Equazioni politropiche
Riscriviamo l’equazione di equilibrio idrostatico:
r 2 dP
= -Gm
r dr
deriviamo entrambi i membri rispetto ad r e usiamo l’equazione di continuità della
massa per sostituire il gradiente della massa:
d Ê r 2 dP ˆ
dm
= - 4p G r 2 r
Á
˜ = -G
dr Ë r dr ¯
dr
ovvero
1 d Ê r 2 dP ˆ
Á
˜ = - 4p Gr
r 2 dr Ë r dr ¯
Usiamo ora l’equazione dei politropi
P = K rg
1 d Ê r2 K
dr ˆ
g r g -1 ˜ = - 4p Gr
Á
2
r dr Ë r
dr ¯
[6.4]
Questa è un’equazione differenziale del 20 ordine nella densità, con condizioni al
contorno
r = rc
r=0
per r = 0
per r = R
Cominciano i fuochi d’artificio matematici con il seguente cambiamento di variabile
r=lJn
[6.5]
al momento l è una costante arbitraria, che più tardi troveremo conveniente porre
uguale al valore della densità centrale r0. Allora abbiamo:
g -1 =
1
n
1- n
ˆ
1 d Ê r 2 K (n + 1)
d
n
n
lJ
lJ n ˜ = - 4p G lJ n
(
)
Á
2
¯
r dr Ë
n
dr
È n +1
Kl
Í
Î 4p G
1
-1
n
˘ 1 d Ê 2 dJ ˆ
= -J n
r
˙ 2
Ë
¯
r
dr
dr
˚
6
7.2 Esempi di applicazione
In tutti quei casi nei quali è possibile esprimere la pressione unicamente come funzione
della densità, si possono applicare i modelli politropici. Alcuni esempi:
1. Stella totalmente convettiva.
In questo caso se la pressione di radiazione è trascurabile e il moto convettivo è
sufficientemente rapido, le trasformazioni sono di tipo adiabatico. Per un gas perfetto
monoatomico (per es. H ionizzato)
P = C◊rg
con g = 5 3
2. Stella in equilibrio radiativo.
Detto b il rapporto tra la pressione gassosa e quella totale, abbiamo per un gas ideale:
Pg = b P =
k
rT
m mH
Pr = (1 - b ) P =
1
aT4
3
Eliminando la temperatura
13
Ê 3 Ê k ˆ 4 1- bˆ
43
P=Á Á
˜
˜ r
b ¯
Ë a Ë m mH ¯
[6.2]
Se b è costante in tutta la stella, l’equazione di stato si riduce a quella di un politropo
con g = 4/3. Il modello politropico relativo prende il nome di modello standard di
Eddington. È utile per ricavare ordini di grandezza di varie quantità fisiche.
3. Stelle e nuclei degeneri, nane bianche.
Nei casi limite di degenerazione totale del gas elettronico abbiamo rispettivamente
per il caso non relativistico e relativistico (vedi il Capitolo 2):
P = K1 r 5 3
P = K2 r 4 3
[6.3]
4. Nuclei isotermi (non degeneri).
P=
k T0
r
m mH
Se T0 è costante, g = 1.
I casi più interessanti, perchè più rispondenti a situazioni reali, sono il 3 e il 2.
5
6
Capitolo
Modelli politropici
Questo Capitolo discute dei modelli di struttura stellare
applicabili quando le trasformazioni termodinamiche
all’interno della stella possono essere approssimate da
equazioni di tipo politropico. L’interesse di questi modelli
risiede nel fatto che forniscono delle famiglie di soluzioni
analitiche e parametriche che si adattano bene a casi fisici
reali.
7.1 Trasformazioni politropiche
Prendono il nome di trasformazioni politropiche quelle per le quali esiste una relazione
tra la pressione P e il volume V di un gas del tipo:
cp -c
PV
cv - c
= cost
[6.1]
dove cp e cv sono i calori specifici a pressione e volume costante, mentre c è una costante.
Ponendo:
g =
cp - c
cv - c
si riconoscerà che per c = 0 la trasformazione è adiabatica, caso particolare di
trasformazione politropica. Dalla [6.1] si possono facilmente ricavare le seguenti
relazioni equivalenti:
g
PV = cost T V
g -1
= cost
4
PT
g
1- g
= cost
P = cost ◊ r g
Prefazione al 3º Volume
Il 3º Volume delle Dispense raccoglie alcuni argomenti di Fisica e
Astrofisica di particolare interesse didattico, sviluppandoli e
approfondendoli rispetto alla trattazione del libro di testo adottato. La
versione elettronica, disponibile in rete, include i collegamenti agli
Excel Workbooks che sono stati utilizzati per la realizzazione di
grafici e tabelle.
Al momento il piano del 3º Volume include i seguenti Capitoli:
- Emissione di Corpo Nero
- Fotometria stellare e diagrammi colore-colore
- Il Gas Elettronico Degenere
- Equazioni di stato
- Trasformazioni politropiche
- Modelli stellari politropici
- Massa limite per l’innesco del bruciamento dell’H e dell’He
- Orbite in Relatività Generale
Ultimo aggiornamento: 04/02/2002
3
DISPENSE DI ASTRONOMIA E ASTROFISICA
Argomenti di Astrofisica
© Prof. Piero Benvenuti
Dipartimento di Scienze Fisiche
Università di Cagliari
Phone +39-070-675-4319 • E-mail: [email protected]
Versione: Dicembre 2000 (draft)
2
Volume
3
CORSO DI LAUREA IN FISICA
Dispense di Astronomia e Astrofisica
Piero Benvenuti
Argomenti di
Astrofisica
1