Fisica 1 Anno Accademico 2011/2011

Matteo Luca Ruggiero
DISAT@Politecnico di Torino
Fisica 1
Anno Accademico 2011/2011
(12 Marzo - 17 Marzo 2012)
1 ESERCIZI SVOLTI AD ESERCITAZIONE
Sintesi
1
Abbiamo introdotto lo studio del moto di un
punto materiale partendo da un approccio cinematico. Una volta fissato il sistema di riferimento, il vettore posizione r individua la
posizione del punto materiale; al variare del tempo r(t) definisce la legge oraria, da cui è possibile ricavare velocità e accelerazione. Posizione, velocità e accelerazione sono grandezze
vettoriali, che possono essere espresse scegliendo coordinate e vettori di base opportuni: per i
moti in un piano, accanto alle coordinate e ai
vettori della base cartesiana, è possibile fare
uso delle coordinate e della base polare, oltre
che della base intrinseca.
Esercizi svolti ad Esercitazione
Esercizio E.1.1
Un punto materiale si muove lungo una retta secondo la legge oraria:
(i) x(t) = αt + b,
(ii) x(t) = ct2 + dt + e.
In entrambi i casi: (1) calcolare velocità ed accelerazione; (2) interpretare il
significato fisico delle costanti α, b, c, e.
Soluzione: (i): v(t) = α, a(t) = 0; (ii) v(t) = d + 2ct, a(t) = 2c. In (i):
α rappresenta la velocità (costante) con cui avviene il moto, b rappresenta
la posizione che il punto occupa a t = 0; in (ii) c = a/2 rappresenta la metà
dell’accelerazione (costante), d rappresenta la velocità a t = 0, e rappresenta
la posizione a t = 0. Il primo tipo di moto è uniforme, mentre il secondo è
uniformemente accelerato.
Esercizio E.1.2
Un punto materiale si muove lungo una retta secondo la legge oraria:
x(t) = (5t2 − 2t) m.
(1) Calcolare velocità e accelerazione iniziali; (2) calcolare gli istanti in cui
passa per l’origine.
Soluzione: (1) v(t) = (10t − 2) m/s, a(t) = 10m/s2 . (2) t1 = 0, t2 = 2/5 s.
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1 ESERCIZI SVOLTI AD ESERCITAZIONE
Esercizio E.1.3
La velocità con cui un corpo si sta muovendo lungo una retta è data da
v(t) = αt2 − bt, con le due costanti α, b date da α = 1 m/s3 , b = 2 m/s2 .
All’istante t = 0 il punto si trova in x = 1 m.
(1) Calcolare la legge oraria; (2) calcolare l’accelerazione; (3) calcolare la
posizione in cui avviene l’inversione del moto.
Soluzione: (1) x(t) = αt3 /3 − bt2 /2 + x0 , con x0 = 1 m. (2) a(t) = 2αt − b.
2m/s2
(3) t1 = 0, t2 = αb = 1m/s
3 = 2s
Esercizio E.1.4
Un treno in modo lungo un binario rettilineo ha una velocità v0 ; inizia a
frenare e si osserva che esso si ferma in un tratto di lunghezza l. Supponendo
che (i) a = cost, (ii) a = αt:
Calcolare in entrambi i casi l’accelerazione media.
Soluzione Commentata: Lungo il binario consideriamo un sistema di riferimento, con origine per la variabile x nella posizione occupata a t = 0 dal
treno. Nel caso (i) il treno si sta muovendo con accelerazione costante pari
ad a. Possiamo quindi scrivere l’equazione differenziale
dv
,
(1)
dt
che dobbiamo risolvere per determinare v(t). Per questo, possiamo procedere
separando le variabili,
adt = dv,
(2)
a=
e integriamo1
Z
t∗ =t
adt = 0 =
∗
t∗ =0
Z
v
dv ∗ ,
(3)
v0
fra gli istanti (0, t), cui corrispondono, rispettivamente, i valori della velocità
v0 , v. Si ottiene quindi
a[t∗ ]t0 = [v ∗ ]vv0 → at = v − v0 → v(t) = v0 + at.
(4)
Notiamo che l’equazione differenziale del primo ordine (1) ha una soluzione
completa in funzione di una costante arbitraria la quale, nel nostro caso, corrisponde a v0 , il cui valore corrisponde alla condizione iniziale per la velocità.
Procediamo in maniera simile per ottenere la legge oraria x(t)
v=
dx
,
dt
(5)
1
Utilizziamo le variabili ausiliarie t∗ , v ∗ per non confondere la variabili di integrazione
con gli estremi di integrazione.
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Separando le variabili ed integrando, utilizzando per v il valore dato dalla
(4)
Z t∗ =t
Z x
∗
(v0 + at) dt = 0 =
dx∗ ,
(6)
t∗ =0
x0
otteniamo infine
2 t
t2
t2
t∗
∗ t
= [x∗ ]xx0 → v0 t + a = x − x0 → x(t) = x0 + v0 t + a . (7)
v0 [t ]0 + a
2 0
2
2
Anche in questo caso, abbiamo risolto l’equazione differenziale del primo ordine (5) introducendo una costante arbitraria, x0 la quale corrisponde alla
posizione inziale. Notiamo che mettendo insieme le equazioni (1,5), ottenia2
mo ddt2x = a, la quale è una equazione differenziale del secondo ordine, la cui
2
soluzione, data da x(t) = x0 + v0 t + a t2 , dipende dalle due costanti arbitrarie
x0 , v0 .
Per rispondere al quesito del problema, notiamo che possiamo scrivere la
legge oraria nella forma
t2
(8)
x(t) = v0 t + a ,
2
perchè scegliamo l’origine della coordinata x nella posizione occupata dal treno all’istante iniziale. Possiamo determinare il tempo di frenata tf imponendo
v(tf ) = 0 nella (4), da cui
v0
tf = − .
(9)
a
Osserviamo che trattandosi di un moto decelerato, a < 0, per cui tf > 0.
Lo spazio percorso dall’istante iniziale fino al completo arresto si ottiene
andando a sostituire tf nella (8):
v2
1
x(tf ) = v0 tf + at2f → x(tf ) = − 0 .
2
2a
(10)
Essendo noto lo spazio di frenata, x(tf ) = l, abbiamo la relazione
l=−
v02
.
2a
(11)
L’accelerazione media coincide con l’accelerazione costante che si ricava dalla
(11), ovvero
v2
a=− 0
(12)
2l
Nel caso (ii), il procedimento è il medesimo: quello che cambia è il tipo
di moto, perchè il treno si sta muovendo con una accelerazione variabile,
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secondo la legge a(t) = αt. Per determinare la funzione v(t) dobbiamo
risolvere l’equazione differenziale
dv
,
(13)
dt
da cui si ottiene, procedendo nuovamente per separazione delle variabili
αt =
t2
(14)
2
Per determinare la funzione x(t) dobbiamo risolvere l’equazione differenziale
v(t) = v0 + α
t2
dx
=
,
(15)
2
dt
da cui si ottiene, procedendo nuovamente per separazione delle variabili
v0 + α
t3
(16)
6
Come prima, possiamo imporre x0 = 0, per cui la legge oraria diventa
x(t) = x0 + v0 t + α
t3
(17)
6
Determiamo quindi lo spazio di frenata tf imponendo v(tf ) = 0 nella (14):
r
2v0
.
(18)
tf = −
α
Notiamo che la radice è ben definita, perchè α < 0, per avere una decelerazione. Lo spazio di frenata corrispondente si ottiene andando a sostituire il
valore ottenuto nella legge oraria (17):
!3
r
r
r
2v0 1
v3
2
2v0
−
− 0,
x(tf ) = v0 −
+ α
(19)
=
α
6
α
3
α
x(t) = v0 t + α
dove si è tenuto conto del fatto che α < 0. Imponendo quindi x(tf ) = l, si
ottiene
8 v03
(20)
α=− 2 ,
9 l
e andando a sostituire nella (18)
tf =
3 l
2 v0
(21)
Per ottenere l’accelerazione media scriviamo
vf − v0
−v0
2 v2
am =
=
=− 0
tf − t0
tf
3 l
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Esercizio E.1.5
Un motociclista si sta muovendo con accelerazione costante lungo un tratto
di pista rettilinea; quando passa nella posizione x1 il suo tachimetro segna la
velocità v1 , quando passa nella posizione x2 > x1 il suo tachimetro segna la
velocità v2 . Ponendo x2 − x1 = ∆x:
(1) Quanto vale l’accelerazione? (2) Quanto impiega a percorrere il tratto
∆x?
v2 −v2
2 −x1 )
Soluzione: (1) a = 2(x22 −x11 ) ; (2) t = 2(x
.
v2 +v1
Suggerimento: Consideriamo la legge oraria che descrive il moto di un punto
materiale che si muove sotto l’azione di una forza costante, cui corrisponde
un’accelerazione che, genericamente, indichiamo con a:
1
x(t) = x0 + v0 (t − t0 ) + a(t − t0 )2
2
(23)
v(t) = v0 + a(t − t0 )
(24)
Elevando al quadrato la (24) si ottiene
1
2
2
2
v − v0 = 2a v0 (t − t0 ) + a(t − t0 )
2
e, tenendo conto della (23) si ottiene
v 2 − v02 = 2a(x − x0 )
(25)
Quindi, nello spazio ∆x = x − x0 , la velocita’ varia da v a v0 . La relazione
(25) si comprende facilmente applicando il teorema delle forze vive ad un
punto materiale soggetto ad una forza costante. Inoltre, il tempo trascorso
si ricava dalla (24):
t=
v − v0
(v − v0 ( (x − x0 )
x − x0
=2
=2
2
2
a
v − v0
v + v0
(26)
che si può scrivere anche nella forma
t=
x − x0
vm
avendo introdotto la velocità media vm =
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(27)
v+v0
.
2
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1 ESERCIZI SVOLTI AD ESERCITAZIONE
Esercizio E.1.6
Un’automobile in moto rettilineo parte dall’origine di un riferimento cartesiano, mettendosi in moto con accelerazione a0 = 1 m/s2 ; l’accelerazione
diminuisce linearmente fino ad annullarsi nell’istante T in cui la velocità è
pari a 108 chilometri orari.
Quanto spazio ha percorso fino all’istante T ?
Soluzione Commentata: la forma generale dell’accelerazione è del tipo
a(t) = a0 + bt, con b costante da determinare imponendo che a(T ) = 0. Si
ottiene quindi
t
a(t) = a0 1 −
(28)
T
Integrando l’equazione differenziale a = dv
, con a = a(t) determinato dalla
dt
(28), otteniamo
t2
,
(29)
v(t) = v0 + a0 t −
2T
dove si può porre v0 = 0, dato che l’automobile parte da ferma:
t2
v(t) = a0 t −
,
(30)
2T
= 30 ms . Allora dalla (30) otteniamo
Sappiamo che v(T ) = V = 108 km
h
1
V = v(T ) = a0 T
2
(31)
E’ quindi possibile ricavare il tempo T , per cui
T =
2 × 30 ms
2V
= 60 s
=
a0
1 × sm2
(32)
Integrando l’equazione differenziale v = dx
, con v = v(t) determinato dalla
dt
(30), otteniamo
2
t3
t
,
(33)
−
x(t) = x0 + a0
2
6T
dove si può porre x0 = 0, dato che l’automobile parte dall’origine:
2
t
t3
x(t) = a0
.
−
2
6T
(34)
Ponendo t = T nella (34) otteniamo lo spazio percorso fino all’istante t = T :
m 1
1
x(T ) = a0 T 2 = 1 2 × × (60)2 s2 = 1200 m.
3
s
3
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2 ESERCIZI PROPOSTI
2
Esercizi Proposti
Esercizio P.1.1
Un ciclista si muove lungo una pista circolare di raggio R, partendo da fermo,
e compie un giro mantenendo una accelerazione tangenziale costante a.
(1) Calcolare il vettore velocità alla fine del giro; (2) calcolare l’espressione
del vettore accelerazione lungo la traiettoria, in funzione del tempo; (3) calcolare il tempo impiegato a percorrere tutta la pista.
Esercizio P.1.2
Le coordinate geografiche di Roma sono 41 gradi latitudine Nord e 12 gradi
longitudine Est; quelle di Sydney sono 33 gradi di latitudine Sud 151 gradi
di longitudine Est.
Quanto è la loro distanza, calcolata lungo l’arco di cerchio massimo che le
unisce?
Figura 1: Esercizio P.1.3
Esercizio P.1.3
Nel meccanismo in Figura 1 A e B sono due cerniere per le aste OA e AB
che hanno uguale lunghezza l. A partire da t = 0, nella configurazione in cui
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2.1 Esercizio P.1.4
3 QUESITI
α = 0, B viene avvicinata a O, muovendola con velocita’ costante v.
(1) Calcolare l’angolo α in funzione del tempo. (2) Calcolare le componenti
della velocità e dell’accelerazione della cerniera A lungo l’asse x.
2.1
Esercizio P.1.4
Due treni viaggiano sullo stesso tratto di binario rettilineo, nella stessa direzione, con velocità v1 = 144 km/h e v2 = 72 km/h. Il primo treno inizia
a frenare quando si trova ad una distanza L dal secondo che lo precede, con
una decelerazione costante pari a 4 m/s2 .
Calcolare il valore minimo di L necessario per evitare l’impatto.
2.2
Esercizio P.1.5
Le lancette dell’orologio sono sovrapposte a mezzogiorno.
A che ora saranno nuovamente sovrapposte?
2.3
Esercizio P.1.6
Un punto materiale si muove in un piano e le sue coordinate polari variano
secondo le seguenti relazioni
r(t) = Ret/T ,
θ(t) = ωt
con R, T, ω costanti.
Calcolare le componenti polari di (1) velocità e (2) accelerazione.
3
Quesiti
1.1 Sto viaggiando in automobile e osservo che il tachimetro segna sempre
i 90 chilometri orari. Posso dedurre che
1. Ho accelerazione nulla
2. Ho accelerazione costante
3. Sto viaggiando in rettilineo
4. Nessuna delle risposte precedenti
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posizione
3 QUESITI
Marco
Giulia
4m
2s
4s
6s
8s
10s
istanti di tempo
Figura 2: Quesito 1.2
1.2 Due bambini, Marco e Giulia, fanno una corsa in bicicletta, lungo
una pista rettilinea. Ad un dato istante, che corrisponde a t = 0 nel grafico
(Figura 2, sono riportate le posizioni occupate dai due bambini, in funzione
degli istanti di tempo), Giulia precede Marco di 2 metri. Marco, poi, sorpassa Giulia dopo 2 secondi, avendo percorso 4 metri dall’istante iniziale.
Osservando il grafico, possiamo dedurre che:
1. La velocità di Marco è di 2 metri al secondo
2. La velocità di Marco è di 4 metri al secondo
3. La velocità di Giulia è di 2 metri al secondo
4. La velocità di Giulia è di 4 metri al secondo
1.3 Sia dato il seguente sistema di equazioni, che esprime la legge oraria
x = x(t), y = y(t) del moto di un punto materiale nel piano xy:
x = at
y = bt
dove a, b sono costanti con le opportune dimensioni. L’equazione della traiettoria rappresenta
1. una retta
2. una parabola
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3 QUESITI
v(t)
P
tP
t
Figura 3: Quesito 1.5
3. un’iperbole
4. una circonferenza
1.4 Un punto materiale si muove in un piano, ed è soggetto ad una
accelerazione a costante. Allora
1. Si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato
2. Si muove di moto circolare uniforme
3. Si muove di moto circolare vario
4. Non ci sono elementi sufficienti per descrivere il moto
1.5 In un grafico (Figura 3) che riporta la velocità v registrata in
funzione del tempo t, in un moto unidimensionale, il coefficiente angolare
della retta tangente al grafico, in un punto generico P rappresenta
1. la velocità in P
2. la velocità media
3. l’accelerazione in P
4. non ha alcuna interpretazione fisica
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