Esercizi sui gas perfetti

Esercizi sui gas perfetti
Esercizio 1
In un recipiente di 20 dm 3 sono contenute 2 moli di
4
He
2
. La pressione
esercitata dal gas è di 2.5  105 Pa . Determinare la velocità quadratica media
delle molecole di elio.
Trasformiamo il volume in unità SI:
V  20 dm 3  20  103 m 3
Ricaviamo la Temperatura del gas dall’equazione di stato PV  nRT :
T 
PV
2.5  105 Pa  2  102 m 3

 300 K
nR
2  8.314 J/(mol  K)
Se indichiamo la velocità quadratica media delle molecole del gas con v , la
1
sua energia cinetica media si scrive: Ec  mv 2
2
dove m è la massa di una molecola di
4
He
2
. Invertendo questa formula si
ricava v :
v 
2Ec
.
m
Quindi per avere v devo calcolare sia Ec che la massa m di un atomo di elio.
Dalla teoria cinetica dei gas perfetti si ha:
3
3
Ec  kBT   1.384  1023  300  6.2  1021 J
2
2
Mentre la massa m di un atomo di 42 He vale:
m  4  1.67  1027 Kg  6.68  1027 Kg
Inserendo i numeri trovati si ha:
v 
2Km
m

2  6.2  1021
27
6.68  10
 1.85  106  1360 m/s
Esercizio 2
Un gas perfetto è costituito da atomi di massa molare M = 70g. La velocità media
delle sue molecole risulta uguale a 450 m/s. Determinare la sua temperatura.
Dalla teoria cinetica dei gas sappiamo che l’energia cinetica media vale:
3
Ec  kBT
2
ed inoltre per definizione:
1
mv 2 .
2
Confrontando queste due relazioni si ottiene la temperatura:
Ec 
3
1
kBT  mv 2
2
2
 T
mv 2
3kB
L’unica quantità non nota è la massa m di una molecola, che però si ricava
facilmente dividendo la massa molare (=massa di una mole) per il numero di
Avogadro:
m
70  103 Kg
M

 1.16  1025 Kg
NA
6.02  1023
Inserendo i numeri nella formula precedente si ha:
T 
1.16  1025  (450)2
mv 2

 566 K
3kB
3  1.384  1023
Esercizio 3
Un recipiente contiene neon
20
Ne
10
alla temperatura di 273 K . Il recipiente viene
riscaldato a volume costante fino alla temperatura di 373 K . Determinare la velocità
media delle molecole di neon prima e dopo il riscaldamento.
Dalla teoria cinetica dei gas perfetti la velocità media per un gas monoatomico
vale:
v 
2Ec

3kBT
m
m
Occorre la massa di una molecola (che coincide in questo caso con quella
dell’atomo) di
20
Ne
10
. Abbiamo:
m  20  1.67  1027 Kg  3.3  1026 Kg .
Inserendo i valori trovati si ha, prima del riscaldamento:
v 
3kBT
v 
3kBT
m

3  1.384  1023  273
26
3.3  10
e, dopo il riscaldamento:
m

3  1.384  1023  373
3.3  1026
 343  103  586 m/s
 469  103  685 m/s
Esercizio 4
Due gas si trovano nello stesso recipiente alla stessa temperatura. Le molecole
del primo gas hanno massa doppia di quelle del secondo gas. Determinare il
rapporto fra la velocità media delle molecole del primo e del secondo gas.
Indicando con v1 la velocità quadratica media delle molecole del primo gas e
con v2 quella del secondo, da quanto scritto nell’esercizio 3 abbiamo, essendo la
massa delle molecole del primo gas m1  2m2 :
v1 
3kBT
m1

3kBT
2m2
Facendo il rapporto:
v1
v2
e v1 

3kBT
m2
3kBT
m2
2m2
3kBT

1
2
 0.707
Esercizio 5
Di quanto cambia l’energia cinetica di una mole di elio ( 42 He monoatomico) se
la temperatura aumenta di 50 K ?
Chiamiamo Ti la temperatura iniziale che non viene fornita dal testo, e
chiamiamo Tf la temperatura finale, anch’essa ignota. Dalla teoria cinetica del
gas perfetto sappiamo che una molecola di gas perfetto ha in media un’ energia
3
cinetica pari a Ec  kBT , quindi, dato che una mole contiene N A molecole
2
all’inizio l’energia di una mole di elio sarà:
3
Ec  N A kBTi
2
mentre dopo il riscaldamento di 50 K sarà:
3
k T
2 B f
quindi la variazione di energia cinetica di una mole di elio viene:
3
Ec  N A kB (Tf  Ti )  N A  1.5  kB  50 
2
Ec  N A
 6.02  1023  1.5  1.384  1023  50  623 J
Esercizio 6
Un gas perfetto racchiuso in un contenitore con un pistone scorrevole occupa un
volume di 500 cm 3 . Se la pressione aumenta del 20% e la temperatura in kelvin
diminuisce del 35% , quale volume occupa il gas?
V  500 cm 3  500  106 m 3  5.00  104 m 3
Indichiamo con Pf , Vf e Tf i nuovi valori, e con Pi , Vi e Ti quelli di partenza:
Pf  Pi  0.20Pi  1.20Pi
Tf  Ti  0.35Ti  0.65Ti
Dato che il numero n di moli non cambia nel processo abbiamo:
PV
 nRTi
i i

PfVf  nRTf
Vi 

nRTi
Pi
1.20PV
 nR(0.65Ti )
i f
Risolvendo:
nR(0.65Ti ) 0.65 nRTi
Vf 


 0.54Vi  0.54  500  270 cm 3
1.20Pi
1.20 Pi
Esercizio 7
56 g di azoto molecolare N2 sono contenuti in un recipiente di volume 10 dm 3
alla temperatura t  27 C . Determinare la pressione esercitata dal gas.
T  27  273  300 K
3
V  10  10
2
m 3  10
m3
Occorre calcolare di quanti grammi è composta una mole di azoto. Dal sistema
periodico degli elementi si ha
14
N,
7
quindi una mole composta da molecole di
N2 contiene 14  2  28 g di sostanza. Calcoliamo il numero di moli e la
pressione:
n
56
 2 mol
28

P
nRT
2  8.31  300

 5.0  105 Pa
V
102
Esercizio 8
Una bombola di capacità 20 dm 3 contiene azoto N2 alla pressione P  107 Pa
e temperatura t  20 C . La bombola viene posta in comunicazione con
un’altra vuota, della capacità di 10 dm 3 . Sapendo che dopo l’espansione il gas
si trova alla stessa temperatura iniziale, si dica quanto vale la sua pressione e
quanti Kg di azoto sono contenuti in ciascuna bombola.
Scriviamo lo stato iniziale del gas:
Pi  107 Pa ,
3
Vi  20  10
Ti  20  273  293 K
2
m 3  2.0  10
m3
Calcoliamo il numero di moli:
n
PV
107  2.0  102

 82 mol
RT
8.31  293
Scriviamo ora lo stato finale del gas:
2
Vf  2.0  10
2
 1.0  10
2
 3.0  10
m3
Tf  Ti  293 K
Pf 
nRTf
Vf

82  8.31  293
3.0  102
 6.7  106 Pa
Calcoliamo il numero di moli in ciascuna bombola considerandole come
recipienti a sé stanti, aventi la medesima pressione Pf e temperatura Tf :
PfV1  n1RTf , PfV2  n2RTf
Facendo il rapporto membro a membro delle relazioni sopra:
n1
n2

V1
V2

2.0  102
1.0  102
2

n1  2n2
cioè il recipiente di volume doppio contiene il doppio delle moli. Sappiamo
inoltre che le moli sono in tutto 82 , quindi si tratta di risolvere il sistema:
n  2n
2
 1
n1  n2  82


n  2n
2
 1
3n2  82


n  2n  2(27.3)  54.7 mol
 1
2

82
n 
 27.3 mol
 2
3
Poiché una mole di N2 (con 147 N ) ha massa 14  2  28 g si trova infine la
massa di gas in ciascun recipiente:
M1  27.3  28  103  0.76 Kg
M 2  54.7  28  103  1.5 Kg
Esercizio 9
Sapendo che un grammo di acqua occupa un volume pari a 106 m 3 , usare il
numero di Avogadro per ricavare la distanza media fra due molecole vicine. Si
assuma, per semplicità, che le molecole siano cubiche.
Si procede prima calcolando quante molecole ci sono in un grammo di acqua e
successivamente si divide il volume totale per il numero delle molecole.
Occorre calcolare la massa di una mole di H2 O e per farlo ci serve il numero di
massa dell’acqua:
 numero di massa
numero di massa
numero di massa

  2  
  1  

 dell'acqua
 dell'idrogeno 
 dell'ossigeno 










 numero di massa

  2  1  1  16  18
 dell'acqua



Quindi una mole di acqua ha massa 18 g . Ne segue che un grammo di acqua
contiene un numero di moli pari a:
n
1
 0.056 mol
18
E di conseguenza, sapendo che ogni mole contiene N A molecole abbiamo che le
molecole di acqua in un grammo di sostanza sono.
N  nN A  0.056  6.02  1023  0.34  1023
Il volume occupato da ciascuna molecola si ottiene dividendo il volume di un
grammo di sostanza dato dal testo per il numero di molecole appena trovato:
V1 molecola 
106 m 3
23
0.34  10
 2.94  1029 m 3
Assumendo ora che la molecola occupi un cubo di lato  , possiamo assumere
 come misura della distanza media fra le molecole:
 3  V1molecola  2.94  1029 m 3

3
  2.94  1029  14.3  1010 m