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FORMAZIONE DI ALONI DI MATERIA OSCURA: MODELLI A

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FORMAZIONE DI ALONI DI MATERIA OSCURA: MODELLI A
Università degli Studi di Padova
Facoltà di Scienze MM.FF.NN.
Corso di Laurea in Astronomia
TESI DI LAUREA
FORMAZIONE DI ALONI
DI MATERIA OSCURA:
MODELLI A CONFRONTO
Relatore: Prof. GIUSEPPE TORMEN
Correlatore: Dott. CARLO GIOCOLI
Laureando: FEDERICO BIONDI
ANNO ACCADEMICO 2005-2006
Indice
Introduzione
1
1 Il paradigma cosmologico di riferimento
1.1 Il Big Bang Caldo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Dal Principio Cosmologico all’evoluzione del
1.1.2 Evoluzione termica dell’universo . . . . . .
1.2 Il modello ΛCDM di concordanza . . . . . . . . . .
1.2.1 La materia oscura . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 La costante cosmologica . . . . . . . . . . .
1.2.3 Altri parametri di densità . . . . . . . . . .
1.2.4 L’inflazione e lo spettro delle perturbazioni
1.2.5 Il parametro σ8 . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 I parametri fissati da WMAP 3-years . . . .
3
3
3
5
6
6
7
7
8
8
8
2 Formazione di strutture virializzate
2.1 La teoria di Jeans . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Scala di Jeans . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Instabilità di Jeans . . . . . . . . . .
2.2 Trattazione statistica delle perturbazioni . .
2.2.1 L’ipotesi di Fair Sample . . . . . . .
2.2.2 Lo spettro di potenza, la varianza, la
2.2.3 La funzione di trasferimento . . . . .
2.3 Trattazione di regimi non lineari . . . . . .
2.3.1 Il Collasso Sferico . . . . . . . . . . .
2.3.2 Il Collasso Ellissoidale . . . . . . . .
2.4 Il metodo degli excursion sets . . . . . . . .
2.4.1 Cammini Browniani . . . . . . . . .
2.4.2 La relazione traiettorie-aloni . . . . .
2.4.3 Funzioni di massa . . . . . . . . . .
2.5 Gli excursion sets e il collasso ellissoidale . .
2.5.1 La barriera mobile . . . . . . . . . .
2.5.2 La funzione di massa . . . . . . . . .
i
. . . . . . . . . . . .
parametro di Hubble
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varianza
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di massa
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29
31
33
33
34
ii
3 Progenitori e figli: il primo risultato
3.1 Funzioni di massa condizionali nel modello
3.2 Funzioni di massa condizionali nel modello
3.3 Interpretazione dei grafici . . . . . . . . .
3.3.1 I progenitori . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 I figli . . . . . . . . . . . . . . . . .
INDICE
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42
45
4 Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
4.1 L’approccio di Kitayama e Suto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Formazione e creazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Tassi di creazione e distruzione per il collasso ellissoidale . . . . . .
4.4 Ovviare alla divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Sottrarre le due barriere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Sottrarre due sviluppi in serie . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 La differenza tra i due metodi . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Ancora progenitori e figli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Tassi istantanei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Metodo ‘senza sviluppo in serie’ . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Metodo ‘con sviluppo in serie’ . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Merger rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Tassi istantanei di creazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Tassi istantanei di distruzione . . . . . . . . . . . . . . . . .
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54
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61
61
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66
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68
sferico . . .
ellissoidale
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5 Integrare i tassi istantanei
83
5.1 I risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2 Tassi da merger rates e derivate della funzione di massa . . . . . . . . . 105
Conclusioni
115
Appendice A
117
.1
Creazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
.2
Distruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Bibliografia
119
Elenco delle figure
2.1
2.2
3.1
3.2
3.3
4.1
4.2
4.3
esempio di cammini stocastici e delle probabilità Q, Q1 e Q2 associate al
dato valore di S (in ordinata: fv ≡ δc (t)), da Bond et al. (1991). . . . . .
traiettoria δf (S) per una particella e corrispondente merging history (ω ≡
δc (t)), da Lacey & Cole (1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Set di traiettorie condizionate a transitare per il punto (S2 , δc (t2 )) (ω1 ≡
δc (t1 ) e ω2 ≡ δc (t2 )), corrispondenti a particelle vincolate ad essere parte
di un alone di massa M2 corrispondente varianza S2 , ad un tempo t2
corrispondente a ω2 , da Lacey & Cole (1993). . . . . . . . . . . . . . . .
A sinistra: probabilità che un alone di massa fissata M2 a z2 = 0 provenga
da aloni di massa M1 a z1 . A destra: probabilità che un alone di massa
fissata M1 a z1 diventi parte di un alone di massa M2 a z2 . In ogni
grafico le curve si riferiscono a z = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10 (per curve di spessore
decrescente). Le curve blu si riferiscono al collasso sferico, le marroni al
collasso ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A sinistra: frazione di massa proveniente da aloni di massa M1 a z1 , che
a z2 = 0 fa parte di un alone di massa fissata M2 . A destra: frazione di
massa che, provenendo da un alone di massa fissata M1 a z1 , diventa parte
di un alone di massa M2 a z2 = 0. In ogni grafico le curve si riferiscono
a z = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10 (per curve di spessore decrescente). Le curve blu si
riferiscono al collasso sferico, le marroni al collasso ellissoidale. . . . . . .
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33
38
43
44
Tassi di formazione Rf orm (M, z, Mf ) (linea continua) e distruzione Rdest (M, z, Md )
(tratteggio lungo), in funzione della massa nel modello standard CDM.
Sono plottati anche il valore assoluto della loro differenza (tratteggio
corto) e RPS (M, z) (linea punteggiata); (a) z = 0, (b) z = 5. . . . . . . 51
Andamento di due moving barriers a due z diversi in funzione di S. In
verde è rappresentata la differenza tra B1 (S2 ) e B2 (S2 ), valore approssimato da T (S1 |S2 ). In particolare la figura fa riferimento a z1 = 4, z2 = 0,
S2 (M2 = 107 M⊙ ), α = 0.615 (esponente della barriera). . . . . . . . . . 55
In alto: andamento di due barriere e loro differenza a tre valori diversi di
S(M) (in blu S(M⋆ ), in rosso S(0.01M⋆ ), in verde S(10−4 M⋆ )); al centro:
andamento di ∆B̃(S2 ) in funzione di log(S1 /S2 ); in basso: differenza
relativa tra ∆B̃(S2 ) e ∆B(S2 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
iii
iv
ELENCO DELLE FIGURE
4.4
4.5
4.6
4.7
In alto: andamento di due barriere e loro differenza a tre valori diversi di
S(M) (in blu S(M⋆ ), in rosso S(0.01M⋆ ), in verde S(10−4 M⋆ )); al centro:
andamento di ∆B̃(S2 ) in funzione di log(S1 /S2 ); in basso: differenza
relativa tra ∆B̃(S2 ) e ∆B(S2 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
In alto: andamento di due barriere e loro differenza a tre valori diversi
di S(M) (in blu S(M⋆ ), in rosso S(0.01M⋆ ), in verde S(10−4 M⋆ )); al
centro: andamento di B̃1 (S2 )−B2 (S2 ) in funzione di log(S1 /S2 ); in basso:
differenza relativa tra B̃1 (S2 ) − B2 (S2 ) e ∆B(S2 ). . . . . . . . . . . . . .
In alto: andamento di due barriere e loro differenza a tre valori diversi
di S(M) (in blu S(M⋆ ), in rosso S(0.01M⋆ ), in verde S(10−4 M⋆ )); al
centro: andamento di B̃1 (S2 )−B2 (S2 ) in funzione di log(S1 /S2 ); in basso:
differenza relativa tra B̃1 (S2 ) − B2 (S2 ) e ∆B(S2 ). . . . . . . . . . . . . .
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Confronto tra modello ellissoidale con differenza di barriere (curve in
verde) e modello ellissoidale con differenza di sviluppi in serie di barriere (curve in rosso). A sinistra: frazione di massa proveniente da aloni di
massa M1 a z1 , che a z = 0 fa parte di un alone di massa fissata M2 . A
destra: frazione di massa che, provenendo da un alone di massa fissata
M1 a z1 , diventa parte di un alone di massa M2 a z2 = 0. In ogni grafico le curve si riferiscono a z = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10 (per curve di spessore
decrescente). Le curve blu si riferiscono al collasso sferico, le marroni al
collasso ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Confronto tra modello ellissoidale con differenza di barriere (curve in
verde) e modello ellissoidale con differenza di sviluppi in serie di barriere
(curve in rosso). A sinistra: probabilità che un alone di massa fissata M2
a z2 = 0 provenga da aloni di massa M1 a z1 . A destra: probabilità che
un alone di massa fissata M1 a z1 diventi parte di un alone di massa M2 a
z2 . In ogni grafico le curve si riferiscono a z = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10 (per curve
di spessore decrescente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Confronto tra modello sferico (in blu) e modello ellissoidale (in rosso). A
sinistra: probabilità che un alone di massa fissata M2 a z2 = 0 provenga
da aloni di massa M1 a z1 . A destra: probabilità che un alone di massa
fissata M1 a z1 diventi parte di un alone di massa M2 a z2 . In ogni
grafico le curve si riferiscono a z = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10 (per curve di spessore
decrescente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.10 Confronto tra modello sferico (in blu) e modello ellissoidale (in rosso). A
sinistra: frazione di massa proveniente da aloni di massa M1 a z1 , che a
z = 0 fa parte di un alone di massa fissata M2 . A destra: frazione di massa
che, provenendo da un alone di massa fissata M1 a z1 , diventa parte di
un alone di massa M2 a z2 = 0. In ogni grafico le curve si riferiscono a
z = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10 (per curve di spessore decrescente). Le curve blu si
riferiscono al collasso sferico, le marroni al collasso ellissoidale. . . . . . .
65
4.8
4.9
ELENCO DELLE FIGURE
4.11 In alto: merger rate di creazione in termini di frazione numerica (a sinistra) e frazione in massa (a destra). In basso: merger rate di creazione in
termini di frazione numerica (a sinistra) e frazione in massa (a destra).
In verde è rappresentato il modello senza sviluppo in serie delle barriere;
in rosso è rappresentato il modello con sviluppo in serie delle barriere. .
4.12 Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 0. Pannello inferiore:
frazione di massa accresce un alone di massa M − ∆M , nell’unità di
redshift a z = 0. I tratti continui e blu rappresentano il collasso sferico,
quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13 Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 0.5. Pannello inferiore:
frazione di massa accresce un alone di massa M − ∆M , nell’unità di
redshift a z = 0.5. I tratti continui e blu rappresentano il collasso sferico,
quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14 Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 1. Pannello inferiore:
frazione di massa accresce un alone di massa M − ∆M , nell’unità di
redshift a z = 1. I tratti continui e blu rappresentano il collasso sferico,
quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15 Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 2. Pannello inferiore:
frazione di massa accresce un alone di massa M − ∆M , nell’unità di
redshift a z = 2. I tratti continui e blu rappresentano il collasso sferico,
quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16 Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 4. Pannello inferiore:
frazione di massa accresce un alone di massa M − ∆M , nell’unità di
redshift a z = 4. I tratti continui e blu rappresentano il collasso sferico,
quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.17 Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 7. Pannello inferiore:
frazione di massa accresce un alone di massa M − ∆M , nell’unità di
redshift a z = 7.I tratti continui e blu rappresentano il collasso sferico,
quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18 Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M , nell’unità di redshift a z = 0. Pannello inferiore: frazione di
massa che accresce un alone di massa M , nell’unità di redshift a z = 0. I
tratti continui e blu rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e
rossi l’ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.19 Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un
alone di massa M , nell’unità di redshift a z = 0.5. Pannello inferiore:
frazione di massa che accresce un alone di massa M , nell’unità di redshift
a z = 0.5. I tratti continui e blu rappresentano il collasso sferico, quelli
tratteggiati e rossi l’ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
67
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70
71
72
73
74
76
77
vi
ELENCO DELLE FIGURE
4.20 Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M , nell’unità di redshift a z = 1. Pannello inferiore: frazione di
massa che accresce un alone di massa M , nell’unità di redshift a z = 1. I
tratti continui e blu rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e
rossi l’ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.21 Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M , nell’unità di redshift a z = 2. Pannello inferiore: frazione di
massa che accresce un alone di massa M , nell’unità di redshift a z = 2. I
tratti continui e blu rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e
rossi l’ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.22 Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M , nell’unità di redshift a z = 4. Pannello inferiore: frazione di
massa che accresce un alone di massa M , nell’unità di redshift a z = 4. I
tratti continui e blu rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e
rossi l’ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.23 Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M , nell’unità di redshift a z = 7. Pannello inferiore: frazione di
massa che accresce un alone di massa M , nell’unità di redshift a z = 7. I
tratti continui e blu rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e
rossi l’ellissoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Tasso di creazione in funzione della massa dell’oggetto creato a z = 0. In
blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-. In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza di
sviluppi-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasso di creazione in funzione della massa dell’oggetto creato a z = 2. In
blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-. In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza di
sviluppi-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasso di creazione in funzione della massa dell’oggetto creato a z = 4. In
blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-. In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza di
sviluppi-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasso di creazione in funzione della massa dell’oggetto creato a z = 7. In
blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-. In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza di
sviluppi-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasso di distruzione in funzione della massa dell’oggetto distrutto a z = 0.
In blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-. In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza
di sviluppi-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasso di distruzione in funzione della massa dell’oggetto distrutto a z = 2.
In blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-. In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza
di sviluppi-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
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80
81
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ELENCO DELLE FIGURE
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
vii
Tasso di distruzione in funzione della massa dell’oggetto distrutto a z = 4.
In blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-. In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza
di sviluppi-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Tasso di distruzione in funzione della massa dell’oggetto distrutto a z = 7.
In blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-. In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza
di sviluppi-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Valori assoluti delle derivate rispetto al tempo delle funzioni di massa
di Press-Schechter -curva blu-, di Sheth-Tormen -curva rossa-, di un fit
analitico -curva viola-, in funzione della massa a z = 0 . . . . . . . . . . 93
Valori assoluti delle derivate rispetto al tempo delle funzioni di massa
di Press-Schechter -curva blu-, di Sheth-Tormen -curva rossa-, di un fit
analitico -curva viola-, in funzione della massa a z = 2 . . . . . . . . . . 94
Valori assoluti delle derivate rispetto al tempo delle funzioni di massa
di Press-Schechter -curva blu-, di Sheth-Tormen -curva rossa-, di un fit
analitico -curva viola-, in funzione della massa a z = 4 . . . . . . . . . . 95
Valori assoluti delle derivate rispetto al tempo delle funzioni di massa
di Press-Schechter -curva blu-, di Sheth-Tormen -curva rossa-, di un fit
analitico -curva viola-, in funzione della massa a z = 7 . . . . . . . . . . 96
Collasso sferico: curve a confronto in funzione della massa. In rosso: tasso
di creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza tra tasso di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto della
derivata rispetto al tempo della funzione di massa di Press-Schechter. Le
curve sono riferite a z=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Collasso sferico: curve a confronto in funzione della massa. In rosso: tasso
di creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza tra tasso di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto della
derivata rispetto al tempo della funzione di massa di Press-Schechter. Le
curve sono riferite a z=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Collasso sferico: curve a confronto in funzione della massa. In rosso: tasso
di creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza tra tasso di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto della
derivata rispetto al tempo della funzione di massa di Press-Schechter. Le
curve sono riferite a z=4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Collasso sferico: curve a confronto in funzione della massa. In rosso: tasso
di creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza tra tasso di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto della
derivata rispetto al tempo della funzione di massa di Press-Schechter. Le
curve sono riferite a z=7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Collasso ellissoidale: curve a confronto in funzione della massa. In rosso:
tasso di creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza tra tasso di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto
della derivata rispetto al tempo della funzione di massa di Sheth-Tormen.
Le curve sono riferite a z=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
viii
ELENCO DELLE FIGURE
5.18 Collasso ellissoidale: curve a confronto in funzione della massa. In rosso:
tasso di creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza tra tasso di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto
della derivata rispetto al tempo della funzione di massa di Sheth-Tormen.
Le curve sono riferite a z=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.19 Collasso ellissoidale: curve a confronto in funzione della massa. In rosso:
tasso di creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza tra tasso di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto
della derivata rispetto al tempo della funzione di massa di Sheth-Tormen.
Le curve sono riferite a z=4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.20 Collasso ellissoidale: curve a confronto in funzione della massa. In rosso:
tasso di creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza tra tasso di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto
della derivata rispetto al tempo della funzione di massa di Sheth-Tormen.
Le curve sono riferite a z=7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.21 In alto: rapporto tra il termine positivo della derivata rispetto al tempo
della funzione di massa di Press-Schechter (linea continua, in rosso) e
della funzione di massa di Sheth-Tormen (linea tratteggiata, in blu) e
i rispettivi tassi di creazione. Al centro: rapporto tra le parti negative
delle derivate e i tassi di distruzione. In basso: rapporto tra la derivata
e la differenza tra il termine di creazione e distruzione. Le quantità sono
riferite a z = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.22 In alto: rapporto tra il termine positivo della derivata rispetto al tempo
della funzione di massa di Press-Schechter (linea continua, in rosso) e
della funzione di massa di Sheth-Tormen (linea tratteggiata, in blu) e
i rispettivi tassi di creazione. Al centro: rapporto tra le parti negative
delle derivate e i tassi di distruzione. In basso: rapporto tra la derivata
e la differenza tra il termine di creazione e distruzione. Le quantità sono
riferite a z = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.23 In alto: rapporto tra il termine positivo della derivata rispetto al tempo
della funzione di massa di Press-Schechter (linea continua, in rosso) e
della funzione di massa di Sheth-Tormen (linea tratteggiata, in blu) e
i rispettivi tassi di creazione. Al centro: rapporto tra le parti negative
delle derivate e i tassi di distruzione. In basso: rapporto tra la derivata
e la differenza tra il termine di creazione e distruzione. Le quantità sono
riferite a z = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.24 In alto: rapporto tra il termine positivo della derivata rispetto al tempo
della funzione di massa di Press-Schechter (linea continua, in rosso) e
della funzione di massa di Sheth-Tormen (linea tratteggiata, in blu) e
i rispettivi tassi di creazione. Al centro: rapporto tra le parti negative
delle derivate e i tassi di distruzione. In basso: rapporto tra la derivata
e la differenza tra il termine di creazione e distruzione. Le quantità sono
riferite a z = 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
ELENCO DELLE FIGURE
5.25 In alto: termine positivo della derivata rispetto al tempo della funzione di
massa 2.98 (colore verde), e modulo della differenza tra tasso di creazione
e tasso di distruzione per il collasso ellissoidale. In basso rapporto tra i
due termini tracciati nel pannello superiore. Le curve fanno riferimento
a z = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.26 In alto: termine positivo della derivata rispetto al tempo della funzione di
massa 2.98 (colore verde), e modulo della differenza tra tasso di creazione
e tasso di distruzione per il collasso ellissoidale. In basso rapporto tra i
due termini tracciati nel pannello superiore. Le curve fanno riferimento
a z = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.27 In alto: termine positivo della derivata rispetto al tempo della funzione di
massa 2.98 (colore verde), e modulo della differenza tra tasso di creazione
e tasso di distruzione per il collasso ellissoidale. In basso rapporto tra i
due termini tracciati nel pannello superiore. Le curve fanno riferimento
a z = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.28 In alto: termine positivo della derivata rispetto al tempo della funzione di
massa 2.98 (colore verde), e modulo della differenza tra tasso di creazione
e tasso di distruzione per il collasso ellissoidale. In basso rapporto tra i
due termini tracciati nel pannello superiore. Le curve fanno riferimento
a z = 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
111
112
113
114
Introduzione
Lo scenario di formazione delle strutture cosmiche, almeno per quanto riguarda
la componente di materia oscura, fornisce oggi una descrizione accurata dell’origine ed
evoluzione dei sistemi virializzati, consistente con quanto osservato nelle simulazioni numeriche. In questo modello le strutture sono originate da piccole fluttuazioni di materia
che crescono per autogravità, ed infine collassano dando luogo a sistemi in equilibrio
dinamico, siti della formazione galattica.
Secondo il modello del collasso sferico, utilizzato negli ultimi 30 anni, la forma delle
protostrutture è sferica, e quindi i tempi del collasso dipendono soltanto dalla densità
interna della fluttuazione, e non dal campo gravitazionale circostante.
Gli enormi progressi numerici dell’ultimo decennio (per ultima la Millennium Simulation, Springel et al. 2005) hanno evidenziato l’incapacità del collasso sferico di
riprodurre la funzione di massa degli aloni di materia oscura ed altre quantità legate
all’evoluzione degli aloni stessi. Un notevole miglioramento della capacità predittiva del
modello si è avuta rilassando l’ipotesi di sfericità: nel nuovo modello di collasso ellissoidale (Bond e Myers 1996: Sheth, Mo & Tormen 2001) l’effetto mareale esercitato da
parte delle protostrutture circostanti deforma i protoaloni stessi, modificando il tempo di collasso a seconda del valore di due nuovi parametri che, insieme alla densità,
descrivono la non sfericità: prolatezza ed ellitticità.
Siccome il campo mareale è più efficace nel deformare protostrutture piccole rispetto
a quelle grandi, impedendone il collasso, per vincere le forze mareali i protoaloni di massa
minore devono essere più densi rispetto a quelli di massa maggiore. Questo modifica la
forma della funzione di massa degli aloni collassati, e determina notevoli differenze nella
storia stessa della loro formazione.
Il modello di clustering gerarchico, unito al paradigma del collasso sferico, permette
di calcolare numerose quantità utili a comprendere e interpretare, con le dovute cautele,
osservazioni di oggetti a basso ed alto redshift. Tra queste, citiamo le funzioni di massa
dei progenitori e dei figli, il redshift di formazione, i tassi di creazione e distruzione
istantanei (merger rates) ed integrati. Non tutte queste quantità sono state ricavate
utilizzando il paradigma del collasso ellissoidale, in parte per la maggior complessità
analitica del problema. La necessità di superare completamente l’approccio sferico è ciò
che ha stimolato il lavoro proposto in questa tesi. In particolare ci siamo soffermati sui
concetti di formazione, creazione e distruzione di aloni di materia oscura, in un contesto
gerarchico di formazione delle strutture, e affrontando l’argomento con il formalismo
degli excursion sets.
Una descrizione particolarmente efficace del concetto di tasso di creazione e distru1
2
Introduzione
zione è stata proposta da Kitayama & Suto (1996), che, partendo dalle funzioni di
massa di progenitori e figli in un contesto di collasso sferico, ricavano i rate istantanei
di creazione e distruzione e li integrano per ottenere le quantità desiderate. Applicando
questa procedura al modello di collasso ellissoidale abbiamo ricavato forme originali per
la funzione di massa dei progenitori e dei figli, per i tassi istantanei di creazione e distruzione e per i tassi integrati. É interessante notare come una trattazione rigorosa di
questi rates possa risultare utile anche in ambiti non inerenti strettamente all’ ‘universo
oscuro’ degli aloni di dark matter, come la ricerca di modelli che, partendo dal preciso
numero di strutture che possono ospitare una galassia, si dedicano poi all’evoluzione
della sola componente barionica.
L’elaborato è organizzato nel modo seguente:
• Nel Capitolo 1 viene tracciato il contesto cosmologico sul quale si innesta la
trattazione della formazione delle strutture e in particolare dei tassi di creazione
e distruzione.
• La trattazione della formazione di strutture virializzate sia sferiche che ellissoidali
viene esposta nel Capitolo 2, che introduce anche i concetti fondamentali della
statistica delle perturbazioni e dell’approccio excursion set.
• Nel Capitolo 3 vengono esposte le funzioni di massa dei progenitori e dei figli: per
il collasso sferico si tratta di espressioni già presenti in bibliografia; per il collaso
ellissoidale viene ricavata la funzione dei figli (non presente in bibliografia) per
mezzo della funzione dei progenitori.
• Nel Capitolo 4 è trattato l’approccio di Kitayama-Suto al problema dei tassi di
creazione e distruzione di aloni di materia oscura. Vengono poi esposte altre forme
originali per i progenitori e per i figli di aloni ellissoidali, utilizzate per ricavare i
tassi istantanei di creazione e distruzione.
• Per ogni modello sviluppato, vengono confrontati i tassi di creazione e distruzione
e le derivate rispetto al tempo delle relative funzioni di massa. I grafici sono esposti
nel Capitolo 5.
Capitolo 1
Il paradigma cosmologico di
riferimento
L’intera analisi del concetto di tasso di formazione e distruzione di oggetti all’equilibrio viriale esposta nella tesi, dalle espressioni analitiche alle simulazioni numeriche,
affonda le radici in un substrato teorico che prende in considerazione la storia dell’universo dal Big Bang alla formazione delle strutture. Il lavoro si svolge assumendo
come base una cosmologia fondata sul modello ΛCDM di concordanza i cui parametri
principali vengono fissati da risultati osservativi.
1.1
Il Big Bang Caldo
L’osservazione del fenomeno del redshift cosmologico tramite la recessione delle galassie lontane con una velocità proporzionale alla distanza (legge di Hubble) contribuì
all’affermazione di un modello cosmologico basato sull’idea di Big Bang, la singolarità
spazio-temporale posta all’istante t = 0 dopo la quale si sarebbe evoluto, espandendosi in maniera adiabatica, l’universo. Analisi riguardanti le abbondanze di elementi
leggeri, e l’utilizzo del modello standard della fisica delle particelle permettono di stabilire una successione di momenti caratterizzati da temperature tipiche, dalla presenza
di particolari popolazioni di particelle e dalla loro predominanza da un punto di vista
della densità. L’origine cosmologica della componente radiativa è la caratteristica che
conferisce al modello l’aggettivo ‘caldo’.
1.1.1
Dal Principio Cosmologico all’evoluzione del parametro di Hubble
Il redshift cosmologico precedentemente citato è la prova sperimentale di un effetto
(l’espansione) previsto dalla teoria utilizzata per la descrizione della forza di gravità
(predominante su grandi scale): la teoria della relatività generale, che tratta l’attrazione gravitazionale non come una forza, ma come una proprietà dello spazio-tempo. Un
vincolo da applicare ai risultati di tale trattazione proviene dall’osservazione dell’omogeneità e dell’isotropia dell’universo su grandi scale (maggiori di 100 Mpc): è un dato
proveniente dalle surveys su grandi campi e dall’osservazione delle piccole anisotropie
3
4
Il paradigma cosmologico di riferimento
del fondo cosmico di microonde (cfr. Sez. 1.1.2). L’assunzione di omogeneità ed isotropia
prende il nome di Principio Cosmologico e permette una semplificazione della metrica
generica che descrive un intervallo spazio-temporale:
ds2 = gij dxi dxj
(1.1)
,
ove il tensore metrico gij descrive le proprietà dello spazio-tempo e le xk (k = 0, 1, 2, 3,)
sono le coordinate spazio-temporali. É possibile una semplificazione anche delle equazioni di Einstein:
8πG
1
(1.2)
Rij − gij R = 4 Tij ,
2
c
ove Rij è il tensore di Ricci, R la curvatura scalare Tij il tensore energia-impulso, G la
costante gravitazionale e c la velocità della luce. Le due espressioni diventano quindi:
dr 2
2
2
2
2
2
2
2
+ r (dθ + sin θdφ )
,
(1.3)
ds = (cdt) − a(t)
1 − Kr 2
ove a(t) è il parametro d’espansione (dimensioni di una lunghezza) in funzione del tempo
proprio t; r, θ, φ sono coordinate polari sferiche comoventi (definite, cioè, in un sistema
di riferimento solidale con l’espansione dell’universo); K è il parametro di curvatura:
può assumere i valori −1, 0, 1, riferendosi rispettivamente ad un universo aperto, piatto,
chiuso.
Inoltre per la componente tempo-tempo delle equazioni di Einstein si ha:
ä = −
e per le componenti spazio-spazio:
dalle quali si ricava:
3p 4πG ρ+ 2 a ,
3
c
(1.4)
p
aä + 2ȧ2 + 2Kc2 = 4πG ρ − 2 a2
c
(1.5)
,
8πG 2
ρa ,
(1.6)
3
ove si è utilizzata l’espressione del tensore energia-impulso per corpi macroscopici:
ȧ2 + Kc2 =
Tij = (p + ρc2 )Ui Uj − pgij
,
nella quale Uk è la 4-velocità, p la pressione e ρc2 la densità di energia.
L’equazione (1.3) rappresenta la metrica di Robertson-Walker; le (1.4) e (1.6) sono
le equazioni di Friedmann, con le quali è possibile ottere un’equazione per l’evoluzione
del parametro di Hubble H 1 :
2
2 a 1+3w
ȧ
0
2 a0
+ (1 − Ω0 w)
= H0
Ω0w
H (t) =
a
a
a
2
1
Il parametro di Hubble è definito come H(t) =
ȧ(t)
a(t)
,
come si nota dalla prima parte di (1.7).
(1.7)
1.1 Il Big Bang Caldo
5
ove il pedice 0 indica che il valore del parametro è quello del tempo attuale; Ω0w è il
, con w coefficiente che, nell’equazione
parametro di densità definito come: Ω0w = ρρ0w
0c
3H 2
di stato2 , lega la pressione alla densità di energia p = wρc2 ; ρ0c = 8πG0 è la densità
critica.3 Un’analisi di a(t) mostra come la teoria della relatività preveda l’espansione
dell’universo e, nei casi in cui ρ0 > ρ0c , ne preveda il successivo collasso.
1.1.2
Evoluzione termica dell’universo
La descrizione dell’universo tramite le equazioni di Friedmann ottenuta invertendo
la coordinata temporale prevede, a tempi t → 0, che il parametro d’espansione tenda a
zero, a(t) → 0, e una temperatura T → ∞. Tuttavia esiste un’energia tipica alla quale la
lunghezza d’onda di de Broglie delle particelle è minore del loro raggio di Schwarzchild:
in questi regimi di temperature l’approssimazione classica contenuta nelle equazioni di
Friedmann non può più essere utilizzata e c’è la necessità di una fisica che concilii relatività e meccanica quantistica; tale energia definisce una serie di grandezze dette ‘di
Plank’ (massa, lunghezza, temperatura, ...), in particolare la coordinata temporale di
Planck tp = 10−43 s, tempo prima del quale non è possibile una descrizione della storia
dell’universo, per una lacuna teorica che non permette di trattare contemporaneamente
l’aspetto relativistico e quello quantistico del problema.
Dal tempo di Planck l’universo si è evoluto espandendosi in maniera adiabatica, quindi
raffreddandosi: è possibile stabilire una successione di ere durante le quali la temperatura è il parametro che determina la presenza o meno di certe particelle, l’azione di
determinate forze; si assume che dopo il tempo di Planck la temperatura scali con una
relazione T (t) ∝ a−1 (t).
Il periodo che intercorre tra tp e t ≈ 10−5 s è l’era delle transizioni di fase, caratterizzato
dalla differenziazione delle forze fondamentali (elettromagnetica, debole, forte) che possono essere trattate con una descrizione unificata ad altissime energie, ma che assumono
caratteristiche ‘originali’ con l’abbassarsi della temperatura.
Da t ≈ 10−5 s (T ≈ 200 ÷ 300MeV) le particelle quark, che prima esistevano in stati non
legati, si aggregano per formare gli adroni: è l’era adronica, caratterizzata dalla presenza
di pioni, protoni, neutroni, antiprotoni, antineutroni, leptoni, antileptoni e fotoni.
Ad energie T ≈ 130MeV inizia, con l’annichilazione dei pioni, l’era leptonica che termina
a t ≈ 10s (T ≈ 0.5MeV) con l’annichilazione di elettroni e positroni.
Segue l’era radiativa, durante la quale avviene la nucleosintesi cosmologica ad una temperatura dell’ordine di 109 K.
Il momento in cui la densità di energia della radiazione uguaglia quello della materia è
chiamato equivalenza: questo istante dipende dalla cosmologia che si adotta (da Ω e da
H), ma avviene tipicamente ad un redshift 4 dell’ordine di zDM eq ≈ 104 per equivalenza
radiazione-materia oscura.
Un fluido radiativo -gas di fotoni- è caratterizzato da w = 13 , mentre la materia da w = 0.
Per ρ0 < ρ0c ⇒ Ω0 < 1 e, dalle eq. di Friedmann, K = −1, universi aperti;
per ρ0 > ρ0c ⇒ Ω0 > 1, K = 1, universi chiusi;
per ρ0 = ρ0c ⇒ Ω0 = 1, K = 0, universi piatti.
4
Alcune epoche cosmologiche sono meglio individuate dal redshift z, piuttosto che dal tempo t; si
definisce
λ0 − λe
z=
λe
2
3
6
Il paradigma cosmologico di riferimento
A temperature ancora più basse, protoni ed elettroni cominciano a legarsi in atomi di
idrogeno neutro: quando la percentuale di atomi ionizzati è calata al 50% si identifica
l’istante della ricombinazione che si può collocare a zrec ≈ 1500.
Il processo di ricombinazione dell’idrogeno è graduale, quindi una ionizzazione residua
permette un’interazione radiazione-materia che mantiene uguali le temperature delle
due componenti; quando gli atomi neutri sono frazione considerevole del totale, la sezione d’urto tra barioni e radiazione assume valori trascurabili che caratterizzano l’epoca
del disaccoppiamento (z ≈ 1000): interagendo con una frequenza trascurabile, materia e
radiazione cominciano ad evolvere termicamente in maniera differente. L’evoluzione delle temperature delle due componenti si ricava dalla condizione di espansione adiabatica;
per la materia:
Tm = T0m (1 + z)2 ,
(1.8)
per la radiazione:
Tr = T0r (1 + z) ,
(1.9)
ove il pedice 0 si riferisce al tempo attuale.
Una conseguenza del disaccoppiamento è l’esistenza di una ‘superficie di ultimo scattering’ che identifica osservativamente la zona posta a z ≈ 1000 dalla quale provengono
i fotoni del ‘Fondo Cosmico di Microonde’ (CMB). Si tratta di una distribuzione spettrale di energia ben descritta da un corpo nero a T = 2.728 ± 0.004 (Fixen et al., 1996 ),
uguale per ogni direzione di osservazione, il cui spettro e le cui anisotropie (molto piccole, dell’ordine di una parte su 105 ), sono utili elementi osservativi per vincolare alcuni
parametri cosmologici (dal parametro di densità, a quello di espansione allo spettro di
potenza delle perturbazioni).
1.2
Il modello ΛCDM di concordanza
Il modello del Big Bang Caldo esposto nella Sezione precedente non fissa il valore
di alcuni parametri fondamentali necessari ad una descrizione quantitativa della storia
evolutiva dell’universo. Il modello Lambda Cold Dark Matter di concordanza è una
descrizione di un universo che si basa sul Big Bang Caldo, ma lo supera accettando la
presenza di una Dark Energy sotto forma di Costante Cosmologica (Λ) e stabilendo che
il contributo alla densità di energia della materia predominante sia quello di una certa
tipologia di Materia Oscura Fredda (Cold Dark Matter ).
1.2.1
La materia oscura
Tra i parametri il cui valore viene assegnato dalle osservazioni (del fondo cosmico
di microonde, della struttura su grandi scale, delle supernovae Ia), c’è quello di densità associato ad ogni componente presente nell’universo. In particolare il parametro di
densità associato alla materia è Ωm = 0.3 (dato ottenuto dalle stime di massa delle
galassie spirali e degli ammassi di galassie); dall’analisi del CMB e dell’abbondanza
ove λ0 è la lunghezza d’onda di una radiazione osservata in un punto ad un certo tempo ed emessa
con una lunghezza d’onda λe ad un tempo precedente da una sorgente posta ad una certa distanza dal
punto d’osservazione.
1.2 Il modello ΛCDM di concordanza
7
di deuterio nell’universo si ottiene un valore di Ω associato ai barioni di Ωb = 0.0475 .
Il maggior contributo della materia proviene quindi da una componente non barionica
chiamata Materia Oscura, che non partecipa a processi di tipo radiativo e viene rivelata
solo attraverso interazioni di tipo gravitazionale. La Materia Oscura Fredda considerata
nel modello standard è un tipo di particella che si è disaccoppiata dal resto della materia (barionica) e dalla radiazione in un regime non relativistico. Tra le varie particelle
proposte per la descrizione della Cold Dark Matter la più attendibile sembra essere il
neutralino, con una massa di circa 100 GeV .
1.2.2
La costante cosmologica
Utilizzando le supernovae di tipo Ia come candele standard è possibile notare il carattere accelerato dell’espansione dell’universo a bassi redshift. Un simile fenomeno viene
incorporato in un modello cosmologico introducendo un termine di ‘energia oscura’, la
‘costante cosmologica’, nelle equazioni di Einstein:
8πG
1
Rij − gij R = 4 Tij + Λgij .
2
c
(1.10)
Seguono quindi le equazioni di Friedmann:
ä = −
e
3p 4πG Λc2 a
ρ+ 2 a+
3
c
3
(1.11)
8πG 2 Λc2 a2
ρa +
.
(1.12)
3
3
Il termine Λ ha un effetto ‘anti-gravitazionale’ e corrisponde ad un fluido con equazione
di stato p = −ρc2 (w = −1), cioè esercitante una pressione negativa, causa dell’espansione accelerata6 . In termini di parametro di densità è possibile stimare: ΩΛ = 0.7 come
differenza tra Ωtot = 1 (da osservazioni sul CMB) e Ωm = 0.3 della materia.
ȧ2 + Kc2 =
1.2.3
Altri parametri di densità
Il parametro di densità associato alla radiazione si ottiene dalla temperatura del
Fondo Cosmico di Microonde: TCM B = 2.728 ∓ 0.004◦ K; si ha7 :
Ωr ≈ 2.3 × 10−5 h−2 .
Anche i neutrini contribuiscono in maniera trascurabile alla densità d’energia dell’universo con un valore del parametro di densità:
Ων ≈ 10−5 .
5
Di cui la parte associata alle stelle è Ωstar ≈ 0.005 e la restante è rappresentata dal contributo del
gas caldo diffuso.
6
|Λ|−1/2 ha le dimensioni di una lunghezza.
7
H
Il parametro h utilizzato nell’equazione seguente è così definito: h = 100Km/s/M
con H parametro
pc
di Hubble.
8
Il paradigma cosmologico di riferimento
1.2.4
L’inflazione e lo spettro delle perturbazioni
Un altro limite del modello del Big Bang Caldo è il non poter spiegare alcune evidenze osservative: il fatto che il parametro di densità sia pressochè uguale ad uno (problema
della piattezza); il fatto che il CMB manifesti una temperatura uguale per ogni direzione
di osservazione, quindi che zone mai entrate in contatto causale abbiano caratteristiche comuni (problema dell’orizzonte); il fatto che non si osservino monopoli magnetici
nonostante alcune teorie ne prevedano l’esistenza (problema del monopolo). La risoluzione di queste discrepanze tra teoria ed osservazione è stata cercata nel fenomeno
dell’inflazione 8 , che prevede un’espansione accelerata nelle prime fasi di evoluzione dell’universo tale da rendere ‘piatta’ la geometria dello spazio, tale da permettere a regioni
di spazio di essere in contatto causale molto prima di quanto previsto dai modelli di
Friedmann, tale da ‘diluire’ i monopoli magnetici.
L’idea dell’inflazione, introdotta negli anni ’80 per risolvere le inconsistenze sopra citate, è stata sfruttata per dare una spiegazione allo spettro delle perturbazioni (cfr. Sez.
2.2.2) dalle quali si sarebbero formate le strutture virializzate: durante l’epoca inflazionaria, fluttuazioni quantistiche su scale microscopiche si sarebbero ‘amplificate’ a seguito
dell’espansione diventando rilevanti su scale macroscopiche. É possibile stabilire anche
la forma dello spettro delle perturbazioni; il valore che si ottiene è dipendente dal modello inflazionario utilizzato, ma in ogni caso è vicino al risultato di Harrison-Zel’dovich:
P (k) ∝ k, ove P è lo spettro e k indica la scala caratteristica della perturbazione nello
spazio di Fourier.
1.2.5
Il parametro σ8
Tra i parametri fissati nel modello di concordanza c’è la varianza di massa (cfr. Sez.
2.2.2) in sfere di raggio 8h−1 Mpc. In generale, la varianza di massa uguale allo spettro di
potenza moltiplicato per una funzione finestra e integrato su tutto lo spazio dei numeri
d’onda k:
Z
1
2
d3 P (k)Ŵ 2 (kR) .
σM =
(2π)3
Per ricavare σ8 bisogna porre R = 8h−1 Mpc nell’espressione del filtro. Il valore utilizzato
nella tesi è σ8 = 0.9.
1.2.6
I parametri fissati da WMAP 3-years
I più recenti, al momento della stesura di questa tesi, valori dei parametri cosmologici
che caratterizzano il modello di concordanza sono stati fissati dalle osservazioni del
satellite Wilkinson Microwave Anisotropy Probe che indaga da tre anni le anisotropie
del CMB. Nella Tabella 1.1 vengono confrontati i risultati delle recenti osservazioni
(Spergel, et al., 2006), con i valori utilizzati nella tasi:
8
Esistono diversi modelli di scenari inflazionari, tra i più noti: Old Inflation, New Inflation, Chaotic
Inflation, Stochastic Inflation.
1.2 Il modello ΛCDM di concordanza
parametro
H0
Ωm
ΩΛ
σ8
n
WMAP 3 years
73Kms−1 M pc−1
0.28
0.72
0.74
0.951
9
questa tesi
70Kms−1 M pc−1
0.3
0.7
0.9
1.0
Tabella 1.1: Confronto tra i parametri di WMAP 3-years e quelli utilizzati nella tesi
Capitolo 2
Formazione di strutture virializzate
L’omogeneità e l’isotropia dell’universo su scale maggiori a qualche centinaio di Megaparsec sono caratteristiche che non si osservano su scale più piccole, alle quali la
materia si aggrega gravitazionalmente in galassie e ammassi di galassie, che a loro volta si dispongono nello spazio in strutture mono- e bi-dimensionali, alternate da zone
prive di galassie. Lo scenario standard prevede che la formazione delle strutture cosmiche (cioè dalle scale protogalattiche in su) avvenga per instabilità gravitazionale: i
primi oggetti che si formano sono gli aloni di materia oscura, che si aggregano in maniera gerarchica per collasso gravitazionale e raggiungono un equilibrio viriale stabile
tra energia potenziale e cinetica; successivamente i barioni risentono della gravità delle
buche di potenziale degli aloni: il gas, di natura collisionale, converte l’energia cinetica della ‘caduta’ in energia termica e si riscalda raggiungendo la temperatura viriale;
successivamente, perdite di tipo radiativo causano il raffreddamento della componente
barionica, la sua condensazione e la conseguente formazione di nubi molecolari, quindi
di stelle. Lo scenario standard si innesta in un contesto cosmologico che prevede l’applicazione del Principio Cosmologico (quindi della metrica di Robertson-Walker) fino
all’epoca della ricombinazione; l’universo considerato è pressochè piatto (Ω0 ≈ 1) e
dominato dalla presenza di materia oscura fredda.
2.1
2.1.1
La teoria di Jeans
Scala di Jeans
La trattazione dell’instabilità gravitazionale in regimi lineari (cfr. Sez 2.1.2) viene
svolta tramite la descrizione di Jeans. Si consideri una distribuzione quasi uniforme di
fluido in cui esistono piccole fluttuazioni di densità, cioè variazioni della densità media
della materia (cfr. Sez 2.1.2) su tutte le scale; si consideri, in particolare, una zona
(sferica) in cui il fluido è sovradenso: tale zona, di raggio R e densità media ρ, ha
una massa M ∝ ρR3 ; si suppone inoltre che la velocità tipica delle particelle sia v. É
possibile stabilire un bilancio tra il processo di condensazione a seguito della gravità
e il processo di diffusione dovuto al moto delle particelle. Il confronto può essere fatto
11
12
Formazione di strutture virializzate
stimando l’energia gravitazionale Ep e la cinetica Ek :
Ek ≃
M v2
2
(2.1)
GM 2
≃ −GM ρR2 ;
R
oppure si può valutare la forza di gravità Fg e la forza di pressione Fp :
Ep ≃ −
Fp ≃ −
v2
R
(2.2)
(2.3)
GM
≃ GρR ;
(2.4)
R2
oppure si determina il tempo di free-fall gravitazionale τf f (tempo che la perturbazione
impiegherebbe a collassare sotto la propria gravità) e il tempo idrodinamico τh (tempo
necessario a ribilanciare le differenze di pressione e densità):
Fg ≃
τh ≃
2R
v
(2.5)
1
τf f ≃ √ .
Gρ
(2.6)
Uguagliando le energie, o le forze, o i tempi, è possibile ricavare una lunghezza caratteristica detta scala di Jeans, che indica un limite inferiore al raggio della regione
sovradensa oltre il quale domina la gravità, sotto il quale la diffusione; uguagliando le
energie:
r
1
RJ = v
;
(2.7)
2Gρ
uguagliando le forze:
RJ = v
uguagliando i tempi:
r
v
RJ =
2
1
Gρ
r
;
1
.
Gρ
(2.8)
(2.9)
Una fluttuazione di densità con raggio R > RJ collassa sotto la propria gravità; se
R < RJ la perturbazione viene cancellata da effetti di diffusione.
2.1.2
Instabilità di Jeans
La teoria di Jeans prevede l’applicazione di equazioni che relazionino i campi che
caratterizzano un fluido per ricavarne l’evoluzione in funzione del tempo:
- l’equazione di continuità, per la conservazione della massa:
∂ρ ~
+ ∇ · (ρ~v ) = 0 ;
∂t
(2.10)
2.1 La teoria di Jeans
13
- l’equazione di Eulero, per la conservazione del momento (φ è il potenziale gravitazionale):
∂~v
~ v = − 1 ∇p
~ − ∇φ
~
+ (~v · ∇)~
;
(2.11)
∂t
ρ
- l’equazione di Poisson, per legare il campo gravitazionale alla sua sorgente:
∇2 φ = 4πGρ
;
(2.12)
- l’equazione di stato, per relazionare pressione, densità ed entropia (S):
p = p(ρ, S)
;
(2.13)
- l’equazione di evoluzione temporale dell’entropia per sistemi adiabatici (assunzione del modello di Jeans):
dS
= 0.
(2.14)
dt
L’applicazione delle equazioni riportate implica una trattazione classica dell’evoluzione
temporale di un fluido perfetto; pertanto verranno prese in considerazione solo particelle
non relativistiche su scale minori di quelle dell’orizzonte cosmologico1 .
Nel sistema di riferimento proprio si indica la coordinata spaziale con ~r; nel sistema
di riferimento comovente la coordinata spaziale è ~x; le due quantità sono legate dalla
relazione: ~r = a~x, con a fattore d’espansione. Si ha che la velocità di un elemento di
fluido è somma della velocità intrinseca più quella dovuta all’espansione dell’universo:
~u ≡
d~r
= ȧ~x + a~x˙ = H~r + ~v .
dt
(2.15)
I campi che devono essere considerati e che caratterizzano il fluido sono espressi come
somma di una parte imperturbata più una perturbazione (di cui si considera l’evoluzione
lineare):

ρ = ρb (1 + δ)



~u = H~r + ~v
p = pb + δp



Φ = Φ0 + φ
Il pedice b indica la parte imperturbata. La quantità δ detta ‘fluttuazione di densità’ è
così definita:
δρ(~r, t)
ρ(~r, t) − ρb
=
.
(2.16)
δ(~r, t) ≡
ρb
ρb
Il regime lineare implica δ ≪ 1. Inserendo i campi perturbati nelle equazioni di continuità, di Eulero e di Poisson, sottraendo le parti corrispondenti alle soluzioni imperturbate
si ottiene, nel sistema di riferimento comovente:
1
Dato un punto O, la superficie che divide tale punto dalla zona con la quale non può esserci
R t contatto
cdt′
causale entro un certo tempo t è l’orizzonte cosmologico, distante dal punto: RH (t) = a(t) 0 a(t
′) .
14
Formazione di strutture virializzate
- equazione di continuità:
∂
~ v + 3Hδρ = 0 ;
δρ + ∂ρb a∇~
∂t
(2.17)
v2 ~
1~
∂
~v + H~v = − ∇δ
− ∇φ
;
∂t
a
a
(2.18)
1 2
∇ φ = 4πGρb δ.
a2
(2.19)
- equazione di Eulero:
- equazione di Poisson:
Ora, del sistema formato dalle tre equazioni riportate, si cercano soluzioni del tipo onda
piana, ottenendo per δk 2 :
i
h k2 v2
ȧ
−
4πGρ
= 0.
δ¨k + 2 δ˙k + δk
b
a
a2
(2.20)
Tramite quest’equazione di evoluzione delle fluttuazioni di densità è possibile ricavare,
per diverse epoche della storia dell’universo, l’andamento delle perturbazioni:
• per tempi anteriori all’equivalenza, la densità di energia dominante è quella della
radiazione, quindi le fluttuazioni dominanti sono quelle della radiazione;
- su scale maggiori dell’orizzonte, le fluttuazioni della materia oscura e quelle dei barioni seguono quelle della radiazione, proporzionali al parametro
d’espansione al quadrato:
λ > RH :
δDM ∝ δB ∝ δR ∝ a2
- su scale più piccole dell’orizzonte, la scala di Jeans del fluido radiazionebarioni è maggiore dell’orizzonte, quindi le perturbazioni associate oscillano; le perturbazioni della materia oscura sono ‘congelate’ dall’effetto di
stagnazione3 :
λ < RH :
δB ∝ δR
oscillano
δDM
quasi-costante
• per tempi compresi tra l’equivalenza e la ricombinazione, la densità di energia
dominante è quella della materia oscura, quindi le fluttuazioni dominanti sono
quelle della materia oscura;
δ(~
x, t) = δk (t)exp(i~k~
x), relazioni analoghe valgono per ρ, v, φ.
L’effetto di stagnazione (o Meszaros) è manifestazione del fatto che prima dell’equivalenza il tempo
caratteristico dell’espansione è minore di quello di free-fall gravitazionale: le perturbazioni di materia
oscura non riescono a crescere in un tempo di Hubble.
2
3
2.1 La teoria di Jeans
15
- su scale maggiori dell’orizzonte, le fluttuazioni della radiazione e quelle dei
barioni seguono quelle della materia oscura, proporzionali al parametro d’espansione:
λ > RH :
δR ∝ δB ∝ δDM ∝ a
- su scale più piccole dell’orizzonte, ma maggiori della scala di Jeans, le fluttuazioni della materia oscura crescono come il parametro d’espansione, tuttavia
l’attrazione gravitazionale sui barioni è minore rispetto alla pressione della radiazione: il fluido barioni-radiazione continua ad oscillare come prima
dell’equivalenza:
RJ < λ < RH :
δB ∝ δR
oscillano
δDM ∝ a
- su scale più piccole di quella di Jeans, le perturbazioni della materia oscura
sono cancellate dal free-streaming, cioè la diffusione delle particelle di materia
oscura da regioni sovra-dense a regioni sotto-dense, dovuta al fatto che una
volta disaccoppiate dalla radiazione risentono del campo medio dell’universo,
non di quello dovuto alle disomogeneità locali.
• per tempi successivi alla ricombinazione, la densità di energia dominante è ancora
quella della materia oscura;
- su scale maggiori dell’orizzonte:
λ > RH :
δR ∝ δB ∝ δDM ∝ a
- su scale più piccole dell’orizzonte, ma maggiori della scala di Jeans, le fluttuazioni della materia oscura crescono come il parametro d’espansione; la
radiazione, disaccoppiata dai barionil, oscilla e decade; le perturbazioni dei
barioni, libere di evolversi, subiscono una crescita accelerata che le porta al
livello di quelle della materia oscura, seguendone poi l’andamento.
RJ < λ < RH :
δDM ∝ a
δR
δB
oscillano e decadono
crescita accelerata, poi ∝ δDM
- su scale più piccole di quella di Jeans, le perturbazioni della materia oscura sono cancellate dal free-streaming; i barioni seguono quest’andamento. Per materia oscura fredda, la scala di Jeans della materia oscura dopo l’equivalenza
è molto piccola, quindi questo regime praticamente non sussiste.
Gli andamenti riportati valgono per universi caratterizzati da Ωm0 = 1.
16
2.2
2.2.1
Formazione di strutture virializzate
Trattazione statistica delle perturbazioni
L’ipotesi di Fair Sample
Servendosi di un modello che analizzi la formazione di strutture cosmiche, non si può
non approcciare il problema da un punto di vista statistico; assumendo che strutture
virializzate siano la conseguenza dell’evoluzione di fluttuazioni quantistiche amplificate
dall’inflazione (cfr. Sez. 1.2.4), si nota il carattere stocastico del campo scalare che caratterizza tali perturbazioni: il campo gravitazionale. Utilizzando l’equazione di Poisson
è possibile considerare, anzichè il campo gravitazionale, il campo delle fluttuazioni di
densità ad esso correlato:
ρ(~x) − ρb
.
δ(~x) =
ρb
Viene quindi formulata un’ipotesi che reinterpreta in maniera statistica il Principio Cosmologico: si assume che δ(~x) sia un campo stocastico omogeneo ed isotropo: ne discende
che l’universo osservato è il prodotto di una realizzazione statistica di tale campo.
Poiché le osservazioni consentono la conoscenza di una sola realizzazione di δ(~x) (non
si riproduce l’evoluzione delle strutture in laboratorio!), per conoscerne le proprietà è
necessario applicare una seconda ipotesi, detta ergodica secondo la quale le medie di
un campo stocastico prese sull’insieme statistico sono equivalenti alle medie spaziali di
ogni sua realizzazione.
L’ipotesi ergodica e il Principio Cosmologico, se considerati contemporaneamente,
prendono il nome di ipotesi di Fair Sample.
2.2.2
Lo spettro di potenza, la varianza, la varianza di massa
Nel modello standard di formazione delle strutture, il campo scalare δ(~x), oltre ad
essere assunto stocastico, omogeneo ed isotropo viene considerato gaussiano con media
uguale a zero, specificato quindi solo dalla sua varianza.
La varianza, o valore quadratico di aspettazione è:
σ 2 ≡ δ2 (~x) − hδ(~x)i2 = hδ2 (~x)i ,
(2.21)
ove h i rappresenta il valore d’aspettazione del campo stocastico. Scomponendo il
campo delle futtuazioni in onde piane si ha:
Z
1
δ̂(~k)exp(i~k · ~x)d3 k.
(2.22)
δ(~x) =
(2π)3
Utilizzando quest’integrale, si esprime la varianza in funzione delle componenti δ̂(~k)
caratteristiche dello spazio di Fourier:
Z
Z
1
1
~ ∗ ~
2
3
σ =
d hδ(k̂)δ (k̂)i =
d3 kP (k) ,
(2.23)
(2π)3 V∞
(2π)3
ove δ∗ è la componente coniugata a δ e V∞ è il volume dell’universo. Nell’equazione si
sfrutta anche la definizione di spettro di potenza delle fluttuazioni di densità; in generale,
lo spettro P (k) è definito dalla relazione
3 ~
hδ̂(~k)δ̂∗ (~k′ )i ≡ (2π)3 P (k)δD
(k − ~k′ ) ,
(2.24)
2.2 Trattazione statistica delle perturbazioni
17
1
exp(i~k · ~x)d3 x è la distribuzione Delta di Dirac tri-dimensionale.
(2π)3
3 (0) = V /(2π)3 , quindi h|δ̂(~
k = k′ , allora δD
k)|2 i = V∞ P (k).
∞
Poichè P (k) ∝ |δ̂(~k)|2 , il suo valore indica, per ogni k, quanto pesa, nell’integrale
Se
3 (k) =
ove δD
R
di
Fourier, il contributo delle fluttuazioni su scala k per formare la fluttuazione generica
δ(~x). La varianza è invece la somma della potenza delle fluttuazioni su tutte le scale k.
L’equazione della varianza riportata si riferisce ad una caratteristica di tipo puntuale
del campo di densità; tuttavia è necessaria una grandezza che renda conto del fatto che,
osservativamente, è necessario mediare le caratteristiche del campo su volumi finiti.
Matematicamente il processo si traduce in una convoluzione del campo puntuale δ(~x)
con un filtro W di raggio R per ricavare la fluttuazione media di densità entro un certo
volume V ∝ R3 :
δM (~x)
,
(2.25)
δM (~x) ≡
M̄
ove M̄ è la messa media contenuta nel volume considerato. In questo contesto è possibile
ricavare anche una varianza di massa, cioè la varianza del campo di fluttuazioni filtrato
su scala R:
Z
1
2
2
d3 P (k)Ŵ 2 (kR) ,
(2.26)
σM ≡ hδM i =
(2π)3
ove Ŵ (kR) è la trasformata di Fourier del filtro.
I filtri generalmente utilizzati per la convoluzione sono:
• filtro Top Hat:
WT H (r) =
(
3
4πR3T
0
r < RT3 H
r > RT3 H
con trasformata di Fourier:
ŴT H (k) =
• filtro Gaussiano:
3
[sin(kRT H ) − (kRT H cos(kRT H ))]
(kRT H )3
WG (r) =
con trasformata di Fourier:
r2 exp
−
2
3
2RG
(2π)3/2 RG
1
2k2 ŴG (k) = exp − 2
RG
• filtro sharp k-space:
WSk (r) =
r r r 1
−
cos
]
[sin
2π 2 r 3
RSk
RSk
RSk
con trasformata di Fourier:
ŴSk (k) =
(
1 k<
0 k>
1
RSk
1
RSk
18
Formazione di strutture virializzate
2.2.3
La funzione di trasferimento
Si considerino spettri primordiali scale-free 4 . Su scale maggiori dell’orizzonte le fluttuazioni di densità δk (t) evolvono in un modo dipendente dal valore dei parametri
cosmologici e con una distribuzione di ampiezze funzione solo della forma dello spettro
primordiale (vedi 2.1.2 ): le perturbazioni su qualsiasi scala entrano nell’orizzonte non
modificate da eventi causali dipendenti dalla fisica microscopica. Al crescere di t, l’ampliamento dell’orizzonte permette a perturbazioni su scale sempre maggiori di entrare
in contatto causale. Di conseguenza, lo spettro primordiale viene modificato in un modo
che dipende dal tipo di processo microfisico agente, quindi dal tipo di particella considerata. La modificazione dello spettro primordiale può avvenire per effetti legati alla
scala di Jeans o per effetti di dissipazione. Le perturbazioni che entrano nell’orizzonte
prima di aeq sono congelate dall’effetto di stagnazione, fino all’equivalenza; poiché le
prime perturbazioni ad entrare nell’orizzonte sono di piccola scala, per esse il periodo
di stagnazione sarà più lungo di quanto non lo sia per fluttuazioni su scale maggiori.
Le fluttuazioni su scala abbastanza grande da entrare nell’orizzonte dopo l’equivalenza
non subiscono invece stagnazione. La diversa crescita delle perturbazioni a seconda della
scala modifica lo spettro primordiale: si indaga quindi tale evoluzione di Pin (k) ∝ kn in
Pf in (k), spettro finale (o processato). É necessario a tal proposito calcolare di quanto
cresce una fluttuazione δ(k) da un istante iniziale, tin , in cui si assume che lo spettro sia
ancora quello primordiale, ad un istante finale tf in che si fa coincidere con l’equivalenza
tra materia e radiazione, in quanto, dopo tale epoca, le fluttuazioni di materia oscura
non subiscono più modificazioni dalla microfisica. Si considerino due regimi:
1. se k è tale che aH < aeq , si ha una crescita fino ad aH , seguita dalla fase di
stagnazione che dura fino all’equivalenza; la crescita tra un istante iniziale tin (in
cui lo spettro è ancora quello primordiale) e l’equivalenza è solo quella che avviene
prima dell’ingresso nell’orizzonte:
aH 2
∝ δ(k; ain )a2H ,
(2.27)
δ(k; aeq ) = δ(k; ain )
ain
2. se k è tale che aH > aeq , si ha una crescita ininterrotta della perturbazione fino ad
aeq . In tal caso, la crescita della fluttuazione tra l’istante iniziale tin e l’equivalenza
è:
aeq 2
∝ δ(k; ain ) ,
(2.28)
δ(k; aeq ) = δ(k; ain )
ain
dove il fattore (aeq /ain )2 è una costante.
Per calcolare la crescita di δ(k) in funzione di k si esprime il fattore di scala aH in
funzione di k. Per aH < aeq si ha:
aH ∝ M 1/3 ⇒ a2H ∝ M 2/3
e poiché M ∝ R3 ∝ k−3 :
a2H ∝ k−2 .
(2.29)
Uno spettro scale-free è una relazione a legge di potenza del tipo P (k) ∝ kn , con la particolarità
di avere una pendenza logaritmica uguale su tutte le scale.
4
2.3 Trattazione di regimi non lineari
19
Inserendo questa relazione nell’eq.(2.27) si ricava:
Pf in (k) ∼ δ2 (k; aeq ) ∝ δ2 (k; ain )a4H ∼ Pin (k)k−4 ∝ kn−4 .
(2.30)
Sulle scale più piccole (k → ∞) lo spettro iniziale viene modificato di un fattore k −4 .
Se invece aH > aeq , dall’eq.(2.28) si ha:
Pf in (k) ∼ δ2 (k; aeq ) ∝ δ2 (k; ain ) ∼ Pin (k) ∝ kn
,
(2.31)
ovvero sulle scale più grandi (k → 0) lo spettro iniziale rimane intatto fino all’equivalenza. Il valore di k che corrisponde alla transizione fra i due regimi è la scala dell’orizzonte
cosmologico all’equivalenza. Nel caso di universo dominato da CDM e con spettro primordiale di Zel’dovich (cioè indice spettrale n = 1), la potenza Pf in (k) d3 k ∝ k3 Pf in (k)
è una funzione crescente di k, che si appiattisce sempre più per k → ∞, dove diventa
una costante:
k → 0 ⇒ k3 Pf in (k) ∝ kn+3 ∝ k4
k → ∞ ⇒ k3 Pf in (k) ∝ kn−4+3 ∝ cost.
Il modello di CDM ha quindi più potenza su piccola scala, e porta ad un clustering
gerarchico.
La modificazione di P (k) può essere espressa mediante una funzione di trasferimento
che indica quanta parte della fluttuazione primordiale δ(k) non viene intaccata dalla
microfisica:
δ(k; zf in ) D(zin )
(2.32)
T (k; zf in ) ≡
δ(k; zin ) D(zf in )
Quindi:
h D(z ) i2
h D(z ) i2
f in
f in
= k2 T 2 (k)
.
Pf in (k) ∝ δ2 (k; zf in ) = Pin (k)T 2 (k; zf in )
D(zin )
D(zin )
La funzione di trasferimento è un filtro passa-basso, quindi:
k→0
k→∞
2.3
⇒
⇒
T (k) → 1
T (k) ∝ k−2 → 0
Trattazione di regimi non lineari
La teoria di Jeans esposta nella Sezione 2.1 è valida se è soddisfatta l’ipotesi che
caratterizza la fase lineare: il contrasto di densità deve essere molto minore di uno:
δ ≪ 1. Tuttavia l’evoluzione delle perturbazioni evolve verso fluttuazioni che tendono al
valore unitario e successivamente approccia ad un regime fortemente non lineare: δ ≫ 1.
Per tali valori del campo δ è necessario sviluppare una teoria alternativa a quella lineare;
in particolare verranno esposti l’approccio del modello del Collasso Sferico e quello del
Collasso Ellissoidale.
20
2.3.1
Formazione di strutture virializzate
Il Collasso Sferico
L’approccio consiste nel seguire una disomogeneità sferica di raggio R; l’evoluzione
di una tale perturbazione contenente la massa M è data da:
d2 R
GM
=− 2
2
dt
R
dove:
4πRi3
ρ̄i (1 + δi )
M=
3
e
δi =
(2.33)
R Ri
0
4πr 2 δi (r) dr
4πRi3 /3
(2.34)
ove ρ̄i e δi denotano, rispettivamente, la densità di background e l’ampiezza della fluttuazione al tempo iniziale. Il modello presuppone che shells concentriche rimangano tali
durante l’evoluzione, cosicché la massa totale rimanga costante; l’equazione (2.33) non
è altro che l’equazione del moto di tali shells. Integrando l’equazione (2.33), si ottiene:
1
2
dR
dt
2
−
GM
= cost = E.
R
(2.35)
Se E < 0, allora dR/dt può cambiare segno: anche se la perturbazione inizialmente
si espande, ad un certo punto può iniziare a contrarsi. Prima di risolvere esattamente
questa equazione, si considerino le sue implicazioni. Se δi ≪ 1, allora, come prima
approssimazione, si assume che le velocità iniziali siano date semplicemente dal flusso
di Hubble: (dR/dt)i ≈ (d(ax)/dt)i = xi (da/dt)i = Ri [(da/dt) /a]i = Hi Ri . Le energie
iniziali cinetica e potenziale sono:
(Hi Ri )2
Ki =
2
e
GM
(Hi Ri )2
Wi = −
= −Ωi (1 + δi )
Ri
2
(2.36)
dove nell’espressione di Wi è stata inserita la massa M data dall’eq.(2.34) e si è fatto
uso di: Ωi = ρ̄i /ρci = 8πGρ̄i /3Hi2 . L’energia totale vale:
Ei = Ki + Wi = Ki − Ki Ωi (1 + δi ).
(2.37)
Il collasso avviene se (1 + δi ) > 1/Ωi . Se la perturbazione è abbastanza densa rispetto
al background, allora inizialmente espande, ma poi smette di partecipare all’espansione
sottostante e collassa dopo aver raggiunto una dimensione massima (dimensione di turnaround). Al turnaround la sua energia cinetica è nulla e, poiché l’energia si conserva,
si ha:
Ri
GM
=−
Ki Ωi (1 + δi ) = Ei = Ki [1 − Ωi (1 + δi )]
(2.38)
E=−
Rmax
Rmax
quindi:
Ωi (1 + δi )
Rmax
=
.
(2.39)
Ri
Ωi (1 + δi ) − 1
Quando Ωi = 1, allora: Rmax /Ri = (1 + δi )/δi ≈ 1/δi : il rapporto tra il raggio al
turnaround e il raggio iniziale dipende da δi , in maniera simile qualunque sia il valore
di M . Inoltre, shells che sono anche solo leggermente sovradense hanno Rmax ≫ Ri e
necessitano quindi di un tempo più lungo per collassare rispetto a shells più sovradense.
2.3 Trattazione di regimi non lineari
21
Dopo il turnaround, la perturbazione collassa permettendo l’intersecarsi delle shells e
la virializzazione dell’oggetto. L’equilibrio viriale comporta che −Wvir = 2Kvir ; poichè
l’energia totale E = Kvir + Wvir deve essere uguale a quella del turnaround:
E = Kvir + Wvir = Wvir /2 ≈ −
GM
GM
=−
2Rvir
Rmax
,
(2.40)
ciò mostra che Rvir ≈ Rmax /2: alla virializzazione, l’oggetto è 8 volte più denso di
quanto lo era al turnaround.
L’esatta evoluzione temporale di ogni shell è data in forma parametrica da:
R
= A(1 − cos θ)
Ri
t+T
= B(θ − sin θ)
ti
e
(2.41)
dove (ARi )3 = GM (Bti )2 e θ varia da un certo valore piccolo a 2π. Si noti che l’evoluzione di una regione sottodensa si troverebbe sostituendo (θ − sin θ) con (sinh θ − θ) e
(1 − cos θ) con (cosh θ − 1). Il turnaround corrisponde a θ = π, perciò la costante A si
determina ponendo: Rmax /Ri = 2A, e di conseguenza si trova anche B. Si ha:
A=
1 + 1/δi
2
e
B=
1 + δi
1/2
2Hi ti Ωi
[1 + δi − 1/Ωi ]−3/2 .
(2.42)
Il valore di T è solitamente piccolo, se confrontato con ti , può quindi essere ignorato;
infatti, si supponga Ωi = 1:
Ri = R i
1 + 1/δi
(1 − cos θi )
2
da cui: θi2 ≈ 4δi . Quindi:
Hi ti (1 + T /ti ) =
1 + δi (θi − sin θi )
3/2
2
δ
i
2
→ Hi ti (1 + T /ti ) = (1 + δi )
3
da quest’ultima si ricava: T /ti = δi ≪ 1, che consente, di ignorare T .
Per comodità, ci si pone in un universo di Einstein-de Sitter (universo
di sola materia,
piatto (Ω = 1), senza costante cosmologica, con ρ̄(t) = 1/ 6πGt2 ): in queste condizioni,
il rapporto tra la densità media all’interno della perturbazione e la densità di background
evolve come:
3
Ri
ρ̄i
(t/ti )2
=
1+δ =
≈ 3
ρ̄(t) R
A (1 − cos θ)3
=
Al tempo t ≈ ti :
9(θ − sin θ)2
B 2 (θ − sin θ)2
=
.
A3 (1 − cos θ)3
2(1 − cos θ)3
3θ 2
3
δ≈
≈
20
20
6t
B
2/3
3
≈ δi
5
2/3
t
.
ti
(2.43)
(2.44)
22
Formazione di strutture virializzate
Quindi, il modello di evoluzione di una perturbazione sferica si riduce alla legge di
crescita lineare di fluttuazioni (o modi) puramente crescenti, se la velocità peculiare
iniziale è nulla. Al turnaround (θ = π) la densità relativa al background vale:
1 + δmax =
9π 2
≈ 5.55.
16
(2.45)
Poiché δ > 1, in questa fase l’oggetto è già significativamente non lineare. Sebbene
formalmente δ → ∞, quando θ → 2π, in pratica l’oggetto virializza ad un raggio finito.
Si è visto che Rvir ≈ Rmax /2; se si pone tvir = t(θ = 2π), allora tvir = 2tmax . Avendo
supposto Ω = 1, l’universo si espande di un fattore 22/3 tra tmax e tvir , di conseguenza
diventa meno denso di un fattore 4. Da ciò, alla virializzazione la densità relativa al
background è:
1 + δvir
9π 2
=
16
Rmax
Rvir
3 ρ̄max
ρ̄vir
=
9π 2
· 8 · 4 ≈ 178.
16
(2.46)
Questo suggerisce che gli oggetti virializzati hanno tutti la stessa densità relativamente
al background, qualunque sia la loro massa.
La predizione della teoria lineare per il valore della densità è sostanzialmente minore;
infatti, usando l’equazione (2.44) e definendo:
3
δL = δi
5
2/3
t
3 3 2/3
=
(θ − sin θ)2/3
ti
5 4
,
(2.47)
dove il pedice L sta per ‘lineare’, si ottiene che al turnaround:
3
δL =
5
3π
4
2/3
= 1.062.
(2.48)
La teoria lineare sottostima la sovradensità, in maniera più rilevante col procedere del
collasso.
Nei modelli che usano il campo di fluttuazioni di densità iniziale per descrivere
l’evoluzione del clustering non lineare, la sovradensità predetta dalla teoria lineare per
un oggetto virializzato, o soglia critica di collasso, assume un’importanza fondamentale:
δsc =
3
5
3π
2
2/3
= 1.68647
(2.49)
dove il pedice sc indica che questo valore critico è stato derivato dal modello del collasso
sferico. Per semplicità δsc è stato ricavato in un universo di Einstein-de Sitter, ma il
modello di riferimento è quello di un universo ΛCDM. La trattazione del collasso sferico
in un universo ΛCDM, anche se più complicata, è analoga a quella svolta in questa
sezione, con le dovute modifiche da appartare ai valori grandezze ricavate. In particolare,
la soglia critica di collasso diventa: δsc = 1.675529 (se Ωm = 0.3; ΩΛ = 0.7 ).
2.3 Trattazione di regimi non lineari
2.3.2
23
Il Collasso Ellissoidale
La configurazione fortemente disomogenea delle architetture cosmiche su scale fino
al centinaio di Megaparsec mostra quanto il collasso sferico sia un’approssimazione che
deve essere superata da un modello più raffinato che tenga conto di un più elevato grado
di complessità delle strutture. Anche confronti con simulazioni numeriche che descrivono
il clustering gerarchico mettono in evidenza alcune inconsistenze col collasso sferico; in
particolare quest’ultimo tende a sovrastimare il numero di oggetti di piccola massa e a
sottostimare quello degli oggetti di massa maggiore. Da un punto di vista aprioristico,
è possibile prevedere che la perturbazione sferica sia un’approssimazione realistica per
masse poco superiori alla massa di Jeans, cioè in un regime in cui è non sono trascurabili
effetti di pressione e dissipativi, che danno luogo a condensazioni sferiche in cui l’autogravità è sostenuta dalla pressione interna. All’equivalenza, tuttavia, non c’è motivo
di pensare che le fluttuazioni siano tutte sferiche, inoltre la (poco probabile) presenza
di simmetria sferica risulterebbe altamente instabile rispetto allo sviluppo di moti non
radiali. Se, inoltre, si considerano masse M ≫ MJ , la pressione risulterebbe trascurabile,
il fluido sarebbe trattato come un universo di materia ed andrebbe ad originare strutture
come i pancake, bi-dimensionali, o i filamenti, mono-dimensionali.
Per introdurre la necessaria complessità geometrica che superi i limiti del collasso sferico,
si considera il modello del collasso ellissoidale, che descrive regioni triassiali omogenee,
immerse in un background uniforme: in questo contesto le perturbazioni evolverebbero
in una serie di ellissoidi omogenei di eccentricità crescente, finchè il loro asse più corto
raggiunge dimensioni trascurabili (pancake). Vengono inoltre considerate con attenzione
le forze mareali che influenzano considerevolmente le regioni in collasso.
Approccio di White e Silk al collasso ellissoidale
Si tratta di un modello sviluppato nel 1979 che descrive la crescita, lo sviluppo e il
collasso di perturbazioni ellissoidali omogenee in un background uniforme in espansione; vengono trascurate forze mareali indotte dalla possibile presenza di oggetti vicini a
quello considerato. L’ipotesi di omogeneità degli oggetti potrebbe sembrare una notevole forzatura, considerando che ogni protosistema, quando smette di partecipare all’espansione, manifesta una forte ‘granularità’ dovuta a sotto-strutture già in equilibrio,
tuttavia è possibile che processi di tipo viscoso ‘smussino’ , su scale di 1012 ÷ 1013 M⊙ ,
le fluttuazioni dell’universo primordiale.
L’analisi del collasso si basa su quella delle equazioni del moto. Il potenziale gravitazionale all’interno di un ellissoide uniforme è:
Ve = −πGρe
3
X
αi x2i
,
(2.50)
i=1
ove ρe è la densità dell’ellissoide; gli assi coordinati coincidono con quelli principali
d’inerzia e Ve è posto uguale a zero nell’origine del sistema di coordinate considerato. I
24
Formazione di strutture virializzate
coefficienti αi sono così definiti:
a1 a2
αi ( , ) = a1 a2 a3
a3 a3
Z
∞
(ai + λ)−1
0
3
Y
(aj + λ)−1/2 dλ ,
(2.51)
j=1
ove ai rappresentano i semiassi in coordinte comoventi; si assume a1 ≤ a2 ≤ a3 .
Sostituendo l’equazione (2.50) nell’equazione di Poisson (2.12) si ottiene:
X
αi = 2.
(2.52)
i
Il background nel quale la perturbazione è immersa viene rappresentato da una sfera
omogenea, di densità ρb che contenga interamente la fluttuazione; il potenziale ad esso
associato è:
3
X
2
x2i .
(2.53)
Vb = − πGρb
3
i=1
La sfera si pensa centrata nell’origine delle coodinate ove il potenziale Vb è assunto
uguale a zero. Si ottiene che il potenziale totale di una perturbazione omogenea, immersa
in un universo imperturbato è:
V
2
[(ρe − ρb )αi + ρb ]x2i =
3
i
2
X
[αi ρe +
= −πG
− αi ρb ]x2i .
3
= −πG
X
(2.54)
i
Per derivare le equazioni del moto da quella del potenziale, si assume che venga conservata l’uniformità fuori dalla sfera di background considerata e che la densità esterna
possa essere calcolata utilizzado le equazioni di Friedmann. Quest’ipotesi è un’approssimazione in quanto il mezzo esterno diventa non omogeneo con l’instaurarsi del regime
non lineare della perturbazione: l’errore introdotto è dimostrato essere trascurabile. La
forma quadratica del potenziale e l’uniformità di ρb permettono alla fluttuazione di
evolvere in una serie di ellissoidi omogenei, in modo che il campo di velocità rimanga
lineare nelle coordinate. L’evoluzione della perturbazione segue il sistema di equazioni:
h
i
 2
d ai
2

=
−2πG
α
ρ
+
ρb
−
α
i
e
i
2

3

 ddt2 R
4π
b
(2.55)
dt2 = − 3 Gρb Rb


ρe a1 a2 a3 = cost


ρb Rb3 = cost
ove Rb è il fattore di scala dell’universo. Le equazioni (2.55) devono essere integrate
finché l’asse minore raggiunge il valore zero formando un pancake.
Assumendo che i valori αi non dipendano dal tempo e che ρe ai e ρb ai abbiano lo
stesso andamento temporale, si ottiene un’approssimazione della prima equazione del
sistema:
d2 R i
d 2 Re 3
d2 ai h 3
b
=
α
(t
)
+
1
−
α
(t
)
αi (t0 ) ,
(2.56)
i 0
i 0
dt2
2
dt2
2
dt2
2.3 Trattazione di regimi non lineari
25
ove t0 è il tempo iniziale e Re è il fattore di scala di un universo con densità iniziale
ρe (t0 ). L’integrazione di (2.56) rende:
ai (t)
ai (t0 )
3
3 Rb (t) =
αi (t0 )Re (t) + 1 −
2
2αi (t0 )
3
= Rb (t) − αi (t0 )[Rb (t) − Re (t)].
2
=
(2.57)
Quest’equazioni descrivono, in modo esatto, l’evoluzione di una perturbazione sferica
omogenea e sono una buona approssimazione per l’andameto di una perturbazione ellissoidale.
La soluzione del sistema (2.55) si può ottenere tramite un’integrazione numerica. I
risultati mostrano come il tempo di collasso delle perturbazioni decresca all’aumentare dell’eccentricità; si nota inoltre che le proprietà cinematiche dell’ellissoide collassato
dipendono dalla densità dell’universo, oltre che dalla forma iniziale della perturbazione. Si trova una regolarità tra i rapporti assiali al tempo del collasso, come mostrato
dall’equazione:
a2 (t0 ) − a1 (T0 )
a2 (tc )
≈
,
(2.58)
a3 (tc )
a3 (t0 ) − a1 (T0 )
ove tc si ottien imponendo a1 (tc ) = 0.
L’approccio di White e Silk permette quindi di determinare una relazione tra la
perturbazione iniziale e quella finale, oltre alle proprietà cinematiche dell’oggetto collassato. Pur trascurando le disomogeneità e le forze mareali, rende una corretta visione
qualitativa della formazione delle protostrutture cosmiche.
Approccio di Eisenstein e Loeb al collasso ellissoidale
Il modello, proposto nel 1995, segue analiticamente il collasso non lineare di regioni
asferiche in un campo gaussiano di perturbazioni primordiali di densità, approssimando
le fluttuazioni con ellissoidi triassiali omogenei soggetti al proprio campo gravitazionale e
ad un tensore mareale esterno; è quest’ultima caratteristica che determina uno scarto dai
modelli precedenti ove le influenze ambientali venivano trascurate. La massa che collassa
si origina da un volume sferico attorno ad un picco di densità; per seguire il collasso, si
sceglie un ellissoide triassiale con massa uguale a quella del volume sferico, con uguale
sovradensità e momento di quadrupolo della fluttuazione iniziale. Il tensore mareale, la
cui origine è da attribuirsi al campo δ esterno, è calcolato dividendo la distribuzione
di massa del background in shells sferiche in moto radiale centrate sul picco. Questa
distribuzione di massa esercita delle torsioni mareali sull’oggetto, facendolo ruotare.
Con le equazioni del moto che si ottengono, è possibile analizzare il regime lineare del
campo di densità iniziale e, con una integrazione, si può descrivere la virializzazione.
Analizzando molte realizzazioni del campo di densità iniziale, è possibile esaminare le
proprietà statistiche dei sistemi che collassano: forme triassiali, orientazione relativa al
campo δ esterno, momento angolare totale.
Il focalizzarsi sul tensore mareale e sul ruolo dei campi di velocità permette di notare
che la geometria del collasso è determinata innanzitutto dall’azione delle forze mareali,
26
Formazione di strutture virializzate
piuttosto che dall’iniziale anisotropia degli ellissoidi (come in White e Silk): la presenza
di sheets e filamenti è un effetto ambientale che si ottiene anche svincolandosi da una
trattazione che contempla l’instabilità delle perturbazioni a simmetria sferica.
Approccio di Bond e Myers al collasso ellissoidale
Il modello, esposto nel 1996, analizza sia la dinamica non lineare interna, che la
lenta evoluzione esterna delle strutture virializzate, utilizzando un approccio chiamato
Press-Schechter non locale o quadro gerarchico peak-patch, una generalizzazione della
teoria dei picchi (cfr. Sez. oppure mettere una footnote) (per introdurre uno spettro di
massa) e del metodo Press-Schechter (cfr. Sez. 2.4) (per includere effetti non locali).
La zona interessata dal collasso è individuata da un picco locale di densità, filtrato
su una scala Rf : δf (~r, t; Rf ). Nei picchi locali, il gradiente ∇i δf è nullo, e il tensore delle
derivate seconde, ∇i ∇j δf negativo. ∇i δf e ∇i ∇j δf determinano le proprietà centrali del
~ r ) attorno
picco; la dinamica del sistema è determinata piuttosto dallo spostamento ψ(~
al picco. Il campo di spostamento viene scomposto in una parte filtrata su grande scala
(background ) e una parte che rappresenta le fluttuazioni del campo degli spostamenti
statisticamente indipendenti dal background : ψ = ψb + ψf . Nei pressi del picco, il campo
ψb è completamente specificato dal displacement del picco e dal tensore di deformazione
del picco:
X
~b,i ≈ ψ
~pk,i −
ψ
epk,ij (~r − ~rpk )i + · · ·
(2.59)
j
Il tensore di deformazione del background è definito da:
1 ∂ψb,i ∂ψb,j (~r) ;
+
eb,ij ≡ −
2 ∂rj
∂ri
(2.60)
inoltre:
(2.61)
epk,ij ≡ −eb,ij (~rpk ).
Il tensore di deformazione può essere espresso in funzione dei suoi autovalori che ne
specificano gli assi principali:
eij
pk = −
3
X
λl n̂il n̂jl
;
(2.62)
l=1
ove n̂l sono vettori unitari.
Per descrivere la perturbazione ellissoidale, si utilizzano tre parametri: o i tre autovalori
del tensore di deformazione, oppure l’ellitticità e, la prolatezza p e il contrasto di densità
δ. I parametri sono legati dalle relazioni:

 λ1 = (δ/3)(1 + 3e + p)
λ = (δ/3)(1 − 2p)
(2.63)
 2
λ3 = (δ/3)(1 − 3e + p)
Invertendo le (2.63), si ottiene:
e = (λ1 − λ3 )/(2δ)
p = (λ1 + λ3 − 2λ2 )/(2δ)
(2.64)
2.4 Il metodo degli excursion sets
27
Se λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 , allora si ottengono i vincoli: e ≥ 0, −e ≤ p ≤ e. La sovradensità del
campo filtrato, δ coincide con la traccia del tensore:
δ = −eipk,i =
~b ](~rpk ) =
~ ·ψ
= [∇
(2.65)
= λ 1 + λ2 + λ 3
Il collasso si sviluppa a partire dal primo asse e la virializzazione si raggiunge al collasso
del terzo asse.
Approccio di Bardeen (et al.) al collasso ellissoidale
Un’altra teoria che sfrutta il formalismo dei picchi è stata sviluppata da Bardeen
nel 1986.
Si espande il profilo di densità in serie di Taylor attorno alla posizione del picco:
F (r) = F (0) −
X ii r 2
i
2
,
(2.66)
ove gli ii sono gli autovalori del tensore di massa, tali che i1 ≥ i2 ≥ i3 : il collasso avviene
prima lungo il primo asse.
L’asimmetria del sistema viene espressa tramita tre parametri: la traccia del tensore,
l’ellitticità e la prolatezza:

P
 τ = ii
−i3
(2.67)
e = i12τ

i1 +i3 −2i2
p=
2τ
Si ha che e ≥ 0, −e ≤ p ≤ e. Il parametro e dà una misura dell’ellitticità nel piano
‘1-3’, p rende il grado di oblatezza (0 ≤ p ≤ e) o prolatezza (0 ≥ p ≥ e) dell’ellissoide
triassiale. Il caso p = e = 0 rappresenta il caso sferico.
2.4
Il metodo degli excursion sets
Il seguente formalismo, introdotto da Bond et al. (1991) ed esteso da Lacey e Cole
(1993) è una reinterpretazione di un modello introdotto da Press e Schechter (1974) che
permette di studiare in maniera analitica la storia del merging gerarchico di aloni di
materia oscura. Si ipotizza che a tempi remoti il campo stocastico gaussiano, omogeneo
ed isotropo δ(~x, t) = δ(~x, t0 )D(t)/D(t0 ) sia determinato da fluttuazioni di densità molto
piccole: δ ≪ 1, tipiche del regime lineare; nell’equazione, D(t) è il fattore di crescita
lineare delle perturbazioni, ~x è la coordinata comovente e t0 è un tempo di riferimento,
per esempio il tempo attuale. In tal caso il campo δ(~x, t) è unicamente specificato dalla
conoscenza dello spettro di potenza delle fluttuazioni P (~k, t). Il regime lineare sussiste
finché l’ampiezza delle fluttuazioni, in una data regione, non si avvicina all’unità; in
tal caso gli effetti non lineari diventano importanti e la regione si separa dalla generale espansione dell’universo e collassa formando un alone virializzato. All’epoca della
formazione dell’alone virializzato il contrasto di densità predetto dalla teoria lineare
28
Formazione di strutture virializzate
raggiunge il valore δc ≡ δsc = 1.675529 (per il modello di concordanza).
É possibile considerare la crescita delle fluttuazioni da un altro punto di vista, cioè
trasferendo la dipendenza temporale dal campo δ alla soglia critica che era considerata statica, moltiplicando δc per D(t0 )/D(t). Questo equivale a considerare il campo di fluttuazioni lineari: δ(~x) ≡ δ(~x, t0 ), riscalato al tempo t0 , e una soglia critica
δc (t) = δc D(t0 )/D(t) che si abbassa al crescere del tempo t. Per universi di Einstein-de
Sitter (Ω = 1) il fattore di crescita in funzione del redshift z varia come D(z) ∝ (1+z)−1 ,
quindi δc (z) = δc (1 + z).
Il modello prevede che l’elemento infinitesimo di massa in ~x sia parte di un alone di
massa maggiore o uguale ad M , al tempo t, se la fluttuazione lineare δf (~x; R), centrata
in ~x e filtrata su una sfera di raggio R ∝ M 1/3 , ha un valore uguale o al di sopra della
soglia richiesta:
~x ∈ M ⇒ δf (~x; R) ≥ δc (t).
(2.68)
2.4.1
Cammini Browniani
Il campo di densità δf (~x; R) filtrato su una data scala R è la convoluzione del campo
puntuale δ(~x) con una funzione finestra W (~x, R) di ampiezza tipica R (cfr. Sez. 2.2.2).
Applicando la trasformata di Fourier si ottiene:
1
δf (~x; R) = 2
2π
Z
0
∞
1
δ̂(k)Ŵ (kR)k dk ≈ 2
2π
2
Z
kf
0
δ̂(k)k2 dk ≡ δf (~x; kf )
(2.69)
dove kf ∝ 1/R è il numero d’onda corrispondente al raggio di filtraggio R; l’esponenziale
non compare perché si considera la posizione ~x = 0. Dall’integrale si nota come δf (~x; R)
sia la somma di tutte le fluttuazioni in forma di onda piana con k . kf ; la funzione
finestra agendo come filtro passa basso elimina il contributo delle onde con k & kf . La
scala di filtraggio può essere definita da una coordinata diversa da kf : la varianza di
massa filtrata su scala kf :
2
σR
1
= 2
2π
Z
∞
0
1
P (k)Ŵ (kR)k dk ≈ 2
2π
2
2
Z
kf
0
P (k)k2 dk ≡ S(kf ) ;
(2.70)
in tutti i casi di interesse, S(kf ) è una funzione monotona crescente di kf , tale che
S(kf = 0) = 0 e S(kf → ∞) → ∞.
Si considera quindi, per ogni punto ~x, il cammino tracciato nello spazio bidimensionale
(S(kf ), δf (~x; kf )) dalla fluttuazione δf centrata in ~x e filtrata su una scala corrispondente al numero d’onda kf . Ogni traiettoria inizia nel punto (S, δf ) = (0, 0), corrispondente
ad una fluttuazione nulla e ad un raggio di filtraggio infinito, e si allonta dall’origine in
maniera stocastica, a seconda della distribuzione di materia intorno al punto ~x.
Se la funzione finestra è un gradino tridimensionale nello spazio di Fourier (un filtro
Top-Hat in k), allora i contributi dei diversi k al campo δf (~x; kf ) sono tra loro scorrelati.
In questo caso si dimostra che la traiettoria percorsa da δf è un moto Browniano nello
spazio bidimensionale (S, δf ), descritto dall’equazione di diffusione:
1 ∂2Q
∂Q
=
∂S
2 ∂δf2
,
(2.71)
2.4 Il metodo degli excursion sets
29
dove Q(δf , S) è la distribuzione di probabilità nella variabile stocastica δf per le traiettorie che hanno un dato valore di σ 2 (kf ) = S. Nel caso generico di un cammino Browniano libero, la soluzione dell’equazione di diffusione è una distribuzione di probabilità
Gaussiana:
!
δf2
1
.
(2.72)
exp −
Q(δf , S) = √
2S
2πS
Questa distribuzione indica qual è, per ogni valore di S fissato, la densità numerica di
traiettorie nell’intervallo [δf , δf + dδf ].
2.4.2
La relazione traiettorie-aloni
Le traiettorie che, partendo dall’origine e all’aumentare di S, toccano per la prima
volta un’ordinata δf = δc (t) in corrispondenza dell’ascissa S, corrispondono ad elementi
di fluido che al tempo t appartengono ad aloni di massa M (S). Per ogni tempo t è
determinata una soglia (o barriera) orizzontale δc (t) che può essere attraversata per la
prima volta da una traiettoria browniana in corrispondenza di una qualche ascissa S.
In tal caso, al tempo t, l’elemento di massa associato a questa traiettoria è parte di un
alone di massa M (S). Il legame tra S ed M è dato implicitamente dall’eq.(2.70) tramite:
kf ∝ 1/R ∝ M −1/3 . La richiesta che la traiettoria tocchi la soglia δc (t) per la prima
volta corrisponde a prendere il massimo raggio di filtraggio R = Rmax (cioè il minimo
valore di kf o S) per il quale la sfera di raggio R, al tempo t, ha una sovradensità
maggiore o uguale a δc (t). Anche se per raggi R < Rmax la sfera ragginge la densità
critica necessaria al collasso (e quindi vale: δf (R < Rmax ) < δc (t)), l’elemento di massa
associato al centro della sfera farà parte di un alone di massa M (Rmax ) perché la regione
è invece collassata su una scala Rmax . Per calcolare la funzione di massa degli aloni di
materia oscura, ovvero la distribuzione in massa delle strutture virializzate a ciascun
tempo t, bisogna essere in grado di contare i vari tipi di traiettoria in riferimento al
valore della soglia δc (t). Si consideri quindi una scala critica k0 , corrispondente ad una
varianza S0 , ed un tempo t. In questa situazione ci sono tre tipi di traiettorie possibili:
1. traiettorie che sono passate sopra la barriera per qualche valore kf < k0 e che si
trovano ancora sopra la barriera:
δf (k) ≥ δc (t)
∀k ∈ [kf , k0 ] ;
(2.73)
2. traiettorie che si trovano sotto la barriera per kf = k0 ma che l’hanno oltrepassata
ad un valore minore dell’ascissa:
δf (k0 ) < δc (t)
ma ∃ kf < k0 tale che: δf (kf ) > δc (t) ;
(2.74)
3. traiettorie che sono sempre state sotto la barriera:
δf (kf ) < δc (t)
∀ kf ≤ k0 .
(2.75)
In particolare, si contino le traiettorie di tipo (3), che corrispondono ad elementi di
fluido che al tempo t appartengono ad aloni di massa M < M (S0 ). Per farlo bisogna
30
Formazione di strutture virializzate
sottrarre dal numero totale di traiettorie che al tempo t stanno sotto la soglia δc (t), dato
dall’eq.(2.72), quelle che ad un tempo precedente l’avevano superata, cioè le traiettorie
di tipo (2).
Poiché il cammino delle traiettorie è determinato dall’aggiunta di modi di Fourier indipendenti (si utilizza un filtro tophat nello spazio k), in qualsiasi istante una traiettoria
ha egual probabilità di muoversi verso l’alto o verso il basso. In particolare, per ogni
traiettoria di tipo (2), ne esiste una virtuale, altrettanto probabile, che incrocia la soglia nello stesso punto (S, δc (t)) provenendo dall’alto anziché dal basso, e che si ottiene
riflettendo intorno all’asse δc (t) la parte di traiettoria che precede il primo incrocio con
la soglia. Questa traiettoria virtuale corrisponde ad un cammino browniano che parte
da (S, δf ) = (0, 2δc (t)) e che soddisfa la stessa equazione di diffusione ammettendo la
soluzione [eq.(2.72)], con l’accortezza di traslare il centro della distribuzione Gaussiana
da zero a 2δc (t). La probabilità associata alle traiettorie di tipo (2) è perciò:
(δf − 2δc (t))2
1
dδf .
exp −
Q1 (δf , S, δc (t)) dδf = √
2S
2πS
(2.76)
La probabilità associata alle traiettorie (di tipo (3)) che al tempo t non hanno mai
toccato la barriera δc (t) sarà:
Q2 (δf , S, δc (t)) dδf
= [Q(δf , S) − Q1 (δf , S, δc (t))] dδf
!
(
)
δf2
(δf − 2δc (t))2
1
− exp −
dδf
exp −
= √
2S
2S
2πS
(2.77)
si veda la Figura 2.1. Si può dimostrare (Chandrasekhar, 1943) che questa è proprio
la soluzione dell’equazione di diffusione delle traiettorie stocastiche percorse dagli elementi di fluido, eq.(2.71), con la condizione al contorno che le traiettorie che incontrano
la soglia δc (t) vengano assorbite. La frazione di traiettorie che entro un tempo t non
hanno ancora superato la barriera δc (t) è la probabilità cumulativa ottenuta integrando
l’espressione precedente da −∞ a δc (t):
P2 (S, δc (t)) =
Z
δc (t)
Q2 (δf , S, δc (t)) dδf .
(2.78)
−∞
La frazione di traiettorie che hanno già incontrato la barriera ad un tempo minore di t
è la complementare:
P̄2 (S, δc (t)) = 1 − P2 (S, δc (t)) ;
(2.79)
l’espressione (2.79) rappresenta la frazione numerica di elementi di fluido che al tempo
t appartengono ad aloni di massa M associata ad una varianza < S, ovvero la frazione
di massa che al tempo t è in aloni di varianza < S. Quest’ultima non è altro che la
definizione di funzione di massa cumulativa al tempo t, espressa nella variabile S:
P̄2 (S, δc (t)) = P (< S, t).
(2.80)
2.4 Il metodo degli excursion sets
31
Figura 2.1: esempio di cammini stocastici e delle probabilità Q, Q1 e Q2 associate al
dato valore di S (in ordinata: fv ≡ δc (t)), da Bond et al. (1991).
2.4.3
Funzioni di massa
La funzione di massa differenziale, ovvero la probabilità che al tempo t un elemento
di fluido appartenga ad un alone con massa compresa nell’intervallo [M, M + dM ] è
la distribuzione di probabilità delle traiettorie che incontrano la barriera per la prima
volta al tempo t e nel punto S, e si ottiene differenziando la distribuzione cumulativa
rispetto alla varianza S:
∂ P̄2 (S, δc (t))
∂P2 (S, δc (t))
=−
∂S
∂S
Z δc (t)
∂
Q2 (δf , S, δc (t)) dδf .
= −
∂S −∞
p(S, δc (t)) ≡
(2.81)
Portando la derivata sotto il segno di integrale e sfruttando l’equazione di diffusione
(2.71) per sostituire la derivata rispetto ad S con la derivata seconda rispetto a δf , si
ottiene:
Z
1 δc (t) ∂ 2 Q2
1 ∂Q2 δc (t)
p(S, δc (t)) = −
.
(2.82)
dδf = −
2 −∞ ∂δf2
2 ∂δf −∞
Differenziando l’eq.(2.77) si ottiene:
(
#
"
)
δf2
−δf
δf − 2δc (t)
(δf − 2δc (t))2
∂Q2
1
+
=√
exp −
exp −
.
∂δf
S
2S
S
2S
2πS
(2.83)
Questa funzione in −∞ è nulla perché contiene termini del tipo exp(−∞) che dominano
possibili divergenze. Nell’eq.(2.82) rimane quindi solo il termine calcolato in δc (t), per
32
Formazione di strutture virializzate
cui:
df (S)
p(S, δc (t)) ≡
dS
=
=
2 −1 (−2δc (t))
1 ∂Q2 δc (t)
δ (t)
= √
−
exp − c
2 ∂δf
S
2S
2 2πS
2 δ (t)
δ (t)
√ c
.
(2.84)
exp − c
3/2
2S
2πS
Quest’espressione fornisce la frazione di massa in aloni con varianza intorno ad S. La
frazione di massa in aloni di massa intorno ad M si ottiene cambiando variabile da S
ad M tramite la legge di conservazione della probabilità:
dy p(x) dx = p(y) dy ⇒ p(x) = p(y) (2.85)
dx
per cui:
Ora,
da cui segue:
df (S) dS df (M )
.
=
dM
dS dM d ln S 2S d ln σ dS S
dM = M d ln M = M d ln M df (M )
=
dM
1/2
2
δc2 (t)
δc (t) d ln σ exp − 2
.
π
M σ(kf ) d ln M 2σ (kf )
(2.86)
(2.87)
(2.88)
Data questa espressione, il numero di aloni di massa M in un volume V contenente una
massa totale MV è:
df (M ) MV
;
(2.89)
dM M
considerando un volume unitario (per cui V = 1 e MV = ρ0 ) si ottiene la densità
numerica di aloni di massa M :
1/2
2
δc2 (t)
df (M ) ρ0
ρ0 δc (t) d ln σ dn
exp − 2
(M, t) =
=
.
dM
dM M
π
M 2 σ(kf ) d ln M 2σ (kf )
(2.90)
Questa è l’espressione classica della funzione di massa di Press-Schechter.
É possibile riscrivere l’eq.(2.90) in modo che diventi indipendente dalla forma dello spettro delle fluttuazioni: introducendo la variabile ν = δc (t)/σ(M ) ed applicando
ancora l’eq.(2.85); si ottiene:
df (ν)
=
d ln ν
1/2
2
2
ν
ν exp −
.
π
2
(2.91)
Ciascuna traiettoria δf (S) descrive la storia di merging di una particella: il processo
di clustering gerarchico, per il quale un dato elemento di fluido appartiene ad aloni di
massa M via via maggiore al crescere del tempo t, corrisponde al partire da grandi
2.5 Gli excursion sets e il collasso ellissoidale
33
valori di S e δc (t) e seguire la traiettoria verso il basso e verso sinistra nella Figura
2.2, cioè verso l’origine degli assi. Poichè per ciascun valore della soglia δc (t) si assume
che l’elemento di fluido associato alla traiettoria sia inglobato in un alone la cui massa
corrisponde al più piccolo valore di S, ovvero al più grande valore di M , in cui la traiettoria incrocia la soglia, allora al crescere di t e all’abbassarsi della soglia critica δc (t), la
massa associata ad una traiettoria segue la traiettoria stessa finché questa è di tipo (1);
quando invece la traiettoria diventa di tipo (2) la massa ‘salta’ orizzontalmente verso
sinistra fino al valore corrispondente al primo incontro con la soglia, e così via, come
rappresentato in Figura 2.2. Questa è una rappresentazione dell’aumento della massa
Figura 2.2: traiettoria δf (S) per una particella e corrispondente merging history (ω ≡
δc (t)), da Lacey & Cole (1993).
dell’alone che contiene la particella considerata; nel contesto del clustering gerarchico
tale incremento è interpretato come il risultato di eventi di merger fra aloni diversi.
2.5
2.5.1
Gli excursion sets e il collasso ellissoidale
La barriera mobile
Il modello degli excursion sets appena descritto (cfr. Sez. 2.4), incorpora il collasso
sferico nel formalismo di Press e Schechter determinando una barriera costante indipendente dalla massa (o dalla varianza di massa), ma funzione soltanto del redshift (o del
tempo), oltre la quale si instaura il collasso; l’evoluzione di una regione iniziale sferica
sovradensa è infatti governata soltanto dall’autogravità. L’indipendenza della barriera da ν = δσsc e il fatto che i random walks siano scorrelati, rende possibile ottenere
una semplice formula per la forma della funzione di massa associata alla dinamica del
34
Formazione di strutture virializzate
collasso sferico (eq. 2.91). Nell’ambito di tale approccio, gli effetti della cosmologia del
background e la forma dello spettro di potenza possono essere separati: i modelli cosmologici determinano il modo in cui δsc dipende da t o da z, mentre la forma dello spettro
fissa la dipendenza della varianza S e della massa associata M dalla scala R; la forma
della funzione di massa (eq. (2.91)) è quindi specificata da B(S) e da S(M ). Poiché
S(M ) dipende dalla forma dello spettro iniziale, ma non dalla dinamica dell’universo,
per incorporare gli effetti del collasso ellissoidale nel modello degli excursion sets è sufficiente determinare una barriera associata alla dinamica non sferica. Per un modello
Einstein-de Sitter, assunto il formalismo di Bond e Myers per il collasso triassiale, una
ragionevole approssimazione della barriera ellissoidale risulta quella di Sheth , Mo e
Tormen (2001):
h
δ2 (eν , pν ) iα
δec (eν , pν )
= 1 + β 5(e2ν ± p2ν ) ec
(2.92)
δsc
δsc
ove β = 0.47, γ = 0.615, δsc è il valore critico della densità nel collasso sferico; il segno
positivo (negativo) è utilizzato se pν è negativo (positivo). Assumendo poi un campo
gaussiano, si ha che in media pν = 0. Inoltre si può dimostrare che regioni che hanno
σ
un dato valore di δ/σ hanno, come valore più probabile per l’ellitticità, emp = δ√
;
5
richiedendo che δec nella parte destra dell’equazione (2.92) sia il valore richiesto per il
collasso di regioni con tale valore di ellitticità, δec (emp , z), e riarrangiando l’equazione
(2.92) in termini di σ e z, si ottiene:
h σ 2 iα
δec (σ, z)
=1+β 2
δsc (z)
σ∗ (z)
(2.93)
ove σ∗2 (z) = δsc (z). Dall’equazione (2.93) è possibile notare che per oggetti massicci,
caratterizzati da σ/σ∗ < 1, vale l’approssimazione δec (σ, z) ≈ δsc : la densità critica richiesta per collassare a z è approssimativamente indipendente dalla massa, rendendo il
modello del collasso sferico una valida approssimazione. Inoltre si noti come la sovradensità critica aumenti con σ(m) così da essere maggiore per oggetti meno massicci;
perturbazioni di piccola massa risultano più influenzate dall’azione dei campi mareali
esterni, richiedendo quindi una densità interna maggiore per permettere il collasso.
Per includere gli effetti del collasso ellissoidale nel formalismo excursion set è sufficiente porre:
B(σ, z) = δec (σ, z)
(2.94)
Si ottiene in questo modo una forma della barriera variabile o ‘in moto’ (‘moving barrier ’) che consente di estendere le predizioni del modello sviluppato da Bond et al.
(1991) anche a modellizzazioni triassiali.
2.5.2
La funzione di massa
Tramite l’ausilio delle simulazioni numeriche GIF (Kauffman et al. 1999), Sheth e
Tormen (1999) mostrano come una buona approssimazione per la funzione di massa sia
2.5 Gli excursion sets e il collasso ellissoidale
l’espressione5 :
35
aν √aν
1
νf (ν) = 2A 1 + √ 2p √ exp −
( aν)
2
2π
(2.95)
ove a = 0.707 (valore determinato dal numero di aloni individuati nelle simulazioni),
p = 0.3 (valore che si ottiene dalla forma della funzione di
R massa nella parte delle
‘piccole masse’), A ≈ 0.322 (valore ottenuto imponendo che f (ν)dν = 1).
Si assuma valida la relazione tra la distribuzione di first crossing νf (ν) e la funzione di
massa n(m, z):
n(m, z) d logm
(2.96)
νf (ν) ≡ m2
ρ̄
d logν
Con quest’assunzione è possibile risalire alla forma della barriera associata alla distribuzione (2.95):
h
S α i
√
(2.97)
BGIF (S, z) = aδsc 1 + β
2
aδsc
ove S = σ 2 , a = 0.707, β ≈ 0.485 (dalla dinamica dell’ellissoide), α ≈ 0.615. La forma di
√
questa barriera differisce solo per il fattore a da quella proposta con l’equazione (2.93)
dalla quale si ottiene, simulando un insieme di random walks indipendenti e scorrelati,
una distribuzione di first crossing simile a (2.95):
ν
1 ν
νf (ν) = 2A 1 + 2p √ exp −
ν
2
2π
(2.98)
Il valore dell’esponente α = 0.615 che compare nell’espressione della barriera è fissato
dalle simulazioni numeriche; tuttavia, modificando tale esponente è possibile ottenere
barriere dalle quali si ricavano espressioni analitiche per la distribuzione di first crossing:
- per α = 0 si ottiene la barriera costante che caratterizza il collasso sferico. Per la
corrispondente funzione di massa si rimanda alla Sezione 2.4.3.
- per α = 1 (barriera ‘lineare’), Sheth (1998) dimostra che:
B(0, z)
B 2 (S, z)
f (S, z) = √
exp −
2S
2πS 3/2
(2.99)
- per α = 0.5 (barriera ‘radice quadrata’), Mahmood e Rajesh (2005) dimostrano
che:
β
β2
exp − 4D
X aδ2 v/2 Uv′ − √D
sc
,
f (S) =
(2.100)
β
2S
DS
√
−
I
v
v
D
ove a = 0.707, β ≈ 0.485;
è la derivata, rispetto a δ, della funzione ‘cilindro
parabolico’, definita dall’equazione (Erdelyi, 1953):
r
Z ∞
vπ 2
2
x2 /4
,
(2.101)
e
dt e−t /2 tv cos δt −
Uv (δ) =
π
2
0
U ′ (δ)
5
Quando espressa in termini di νf (ν), la funzione di massa è chiamata ‘distribuzione di first crossing’
36
Formazione di strutture virializzate
con v ≥ −1; Si definisce Iv :
Iv (x) =
∞
Z
x
Uv2 (y)dy
;
(2.102)
D è la costante di diffusione presente nell’equazione di diffusione che regola l’andamento statistico dei cammini browniani associati alle traiettorie (cfr. Sez. 2.4.1)6
- per α = 2 (barriera ‘quadratica’), Mahmood e Rajesh (2005) dimostrano che:
2 S 3 /3D
2b2 k2 e−2b
f (S) =
D
∞
X
e
n=1
√
aδsc /D − λn )
Ai′ (−kλn )
−λn S Ai(2b
(2.103)
h i1/3
√
; Ai(y) è la funzione di Airy7 ; λn
ove b = β( aδsc )−3 (β ≈ 0.485); k = 2bD2
sono gli autovalori dell’equazione di diffusione; Ai′ (x) è la derivata della funzione
di Airy rispetto a x.
6
7
Nell’equazione (2.71) D è stato posto uguale ad 1.
La funzione di Airy è soluzione dell’equazione differenziale:
∂2 ψ
∂y 2
− yψ = 0.
Capitolo 3
Progenitori e figli: il primo risultato
Il formalismo degli excursion sets permette di ottenere, oltre alle funzioni di massa
non condizionali esposte nel capitolo precedente, le funzioni di massa dei progenitori e
dei figli (funzioni condizionali). La funzione dei progenitori è un’espressione analitica
per la probabilità condizionata che un punto appartenente ad un alone di massa M1 al
tempo t1 diventi parte di un alone più grande, di massa fissata M2 ad un tempo fissato
t2 . La funzione dei figli è la probabilità condizionata che un punto appartenga ad un
alone di massa M2 al tempo t2 col vincolo che ad un tempo precedente t1 sia stato
parte di un alone più piccolo di massa fissata M1 . Questi risultati, che permettono di
descrivere la merging history di oggetti virializzati, definiscono il modello noto come
Press-Schechter esteso.
3.1
Funzioni di massa condizionali nel modello sferico
Si prenda in considerazione la funzione di massa dei progenitori : la richiesta che
un alone abbia massa M1 al tempo t1 e massa M2 > M1 al tempo successivo t2 > t1
corrisponde a selezionare, tra tutte le traiettorie possibili, quelle che transitano per
entrambi i punti (S1 , δc (t1 )) e (S2 , δc (t2 )) con S1 > S2 ; in Figura 3.1, sono rappresentate traiettorie condizionate a passare per il punto (S2 , δc (t2 )). La distribuzione di
probabilità condizionale, p(S1 , δc (t1 )|S2 , δc (t2 )), si ottiene direttamente da quella ricavata in precedenza, eq.(2.84), notando che questa condizione corrisponde a richiedere
che le traiettorie non partano più dal punto (0, 0), ma dal punto (S2 , δc (t2 )). Possiamo allora scrivere immediatamente la distribuzione cercata effettuando le sostituzioni
S → (S1 − S2 ) e δc (t) → (δc (t1 ) − δc (t2 )) nell’eq.(2.84), ottenendo:
df
(S1 , t1 |S2 , t2 ) =
p(S1 , δc (t1 )|S2 , δc (t2 )) =
#
"dS
(δc (t1 ) − δc (t2 ))2
δc (t1 ) − δc (t2 )
.
exp −
=√
2(S1 − S2 )
2π(S1 − S2 )3/2
(3.1)
Infine, per riscrivere la stessa distribuzione in funzione della massa usiamo sempre la
relazione data dall’eq.(2.85), che fornisce:
dS1 ;
p(M1 , t1 |M2 , t2 ) = p(S1 , t1 |S2 , t2 ) (3.2)
dM1 37
38
Progenitori e figli: il primo risultato
Figura 3.1: Set di traiettorie condizionate a transitare per il punto (S2 , δc (t2 )) (ω1 ≡
δc (t1 ) e ω2 ≡ δc (t2 )), corrispondenti a particelle vincolate ad essere parte di un alone di
massa M2 corrispondente varianza S2 , ad un tempo t2 corrispondente a ω2 , da Lacey
& Cole (1993).
3.2 Funzioni di massa condizionali nel modello ellissoidale
39
quest’espressione è la funzione di massa dei progenitori perché, dato un alone di massa
M2 al tempo t2 , determina come la massa di questo alone sia distribuita in aloni di
masse M1 < M2 a qualsiasi tempo precedente t1 < t2 .
É possibile, sfruttando le equazioni (3.1) e (2.84) e il teorema di Bayes1 , ricavare la
probabilità condizionata che una traiettoria che ha superato per la prima volta la soglia
δc (t1 ) a S1 , superi per la prima volta la soglia δc (t2 ) tra S2 e S2 + dS2 :
p(S1 , δc (t1 )|S2 , δc (t2 )) dS1 p(S2 , δc (t2 )) dS2
p(S1 , δc (t1 )) dS1
3/2
δc (t2 )(δc (t1 ) − δc (t2 ))
S1
√
=
S2 (S1 − S2 )
2πδc (t1 )
(δc (t2 )S1 − δc (t1 )S2 )2
× exp −
dS2
(3.3)
2S1 S2 (S1 − S2 )
p(S2 , δc (t2 )|S1 , δc (t1 )) dS2 =
con S1 > S2 e δc (t1 ) > δc (t2 ). L’equazione precedente, opportunamente moltiplicata per
dS2
| dM
|, fornisce la probabilità condizionata che un alone di massa M1 al tempo t1 formi,
2
tramite fenomeni di merger, un alone di massa compresa tra M2 e M2 + dM2 al tempo
t2 > t1 : si tratta della distribuzione dei figli.
3.2
Funzioni di massa condizionali nel modello ellissoidale
Per trovare la funzione di massa dei progenitori nel contesto del collasso sferico, è
sufficiente effettuare un cambio di coordinate: δsc (z) → δsc (z1 ) − δsc (z2 ), S → S1 − S2 .
Poichè, considerando il collasso ellissoidale, la forma della barriera non è più lineare in
S, cambiando l’origine del sistema di coordinate, non si ricava una barriera con la stessa
‘forma funzionale’; in particolare, la forma di2 :
B(S1 , z1 ) − B(S2 , z2 ) =
√
h
βS1α i √ h
βS2α i
aδ1 1 +
aδ
1
+
−
2
(aδ12 )α
(aδ22 )α
(3.4)
è esprimibile come costante più un termine che scala come (S1 − S2 )α solo se α = 0, 1.
In linea di principio, quindi, il problema della funzione di massa condizionale non può
che essere risolto da un punto di vista prettamente numerico; in realtà, con l’ausilio di
una formulazione approssimata per la funzione di massa non condizionale, è possibile
stabilire una forma, pure approssimata, della funzione di massa condizionale. Per un
range abbastanza vasto di barriere, Sheth e Tormen (2002) dimostrano la validità della
distribuzione di first crossing:
1
B(S)2
√
f (S) = |T (S)|exp −
2S
2πS 3/2
1
,
(3.5)
Il teorema di Bayes afferma che la probabilita che accada un evento A, condizionata la fatto che
sia accaduto un evento B, è uguale alla probabilità dell’evento A, fratto quella dell’evento B per la
p(A)
probabilità che avvenga B condizionata al fatto che sia accaduto A: p(A|B) = p(B)
p(B|A).
2
Si pone δ1 = δ(z1 ); δ2 = δ(z2 ).
40
Progenitori e figli: il primo risultato
ove T(S) rappresenta i primi√cinque termini dello sviluppo in serie di Taylor della bar√
aδ(z)
α attorno ad un punto generico S e valutato in
riera B(S) = aδ(z) + β (aδ(z)
2 )α S
S = 0:
4
X
(−S)n ∂ n B(S)
.
(3.6)
T (S) =
n!
∂S n
n=0
Utilizzando alcune proprietà ricorsive della derivata della barriera rispetto alla variabile
S, è possibile riscrivere la distribuzione in questo modo:
"
#
4
n
B(S)2 √
βS α X (−1)n Y α − i
1
aδsc 1 +
exp −
.
(3.7)
f (S) = √
2 )α
2S
(aδsc
n!
α−n
2πS 3/2
n=0
i=0
Si consideri ora la funzione di massa dei progenitori, vincolando i random walks ad
attraversare il punto (S2 < S1 ; B(S2 , z2 ) < B(S1 , z1 ))3 (⇒ M2 > M1 , si fissa
l’alone con massa maggiore). Procedendo in maniera analoga al collasso sferico, quindi
applicando all’equazione (3.5) le sostituzioni: B(S) → B(S1 ) − B(S2 ) e S → S1 − S2 , si
ottiene, per la distribuzione condizionale:
1
[B(S1 ) − B(S2 )]2
√
,
(3.8)
f (S1 |S2 ) = |T (S1 |S2 )|exp −
2(S1 − S2 )
2π(S1 − S2 )3/2
ove T (S1 |S2 ) è la differenza tra il valore della somma dei primi cinque termini dello
sviluppo in serie di Taylor, attorno ad un S generico, della barriera B1 (S)4 e valutato
in S2 , e il valore della barriera B2 (S)5 valutata in S2 :
T (S1 |S2 ) =
4
X
(S2 − S1 )n ∂ n [B(S1 ) − B(S2 )]2
n=0
n!
∂S1n
.
(3.9)
É possibile riscrivere l’equazione (3.8) nel seguente modo6 :
f (S1 |S2 ) =
5 √
X
1
S2 − S1 n
1−2α α
−α
2
= a(δ1 − δ2 ) + a
β δ1
S1
·
S1
n=0
n
i
1
1 Y α−i
×
− δ21−2α S2α √
·
2π(S1 − S2 )3/2
n!
α−n
i=0
 √

S1α
1
S2α 2
 { a(δ1 − δ2 ) + a 2 −α β 2α−1
−
2α−1 } 
δ1
δ2
× exp −


2(S1 − S2 )
3
(3.10)
Attenzione! In questo caso S1 è una variabile, mentre S2 è il valore costante posto come vincolo
per i random walks; il pedice ‘1’ si riferisce al fatto che la barriera è quella valutata a z1 .
4
Pongo B1 (S) la barriera B(S1 , z1 ), con S1 = S variabile.
5
Analogamente, pongo B2 (S) la barriera B(S2 , z2 ).
6
D’ora in avanti si utilizzerà δ al posto di δc
3.2 Funzioni di massa condizionali nel modello ellissoidale
41
ove viene esplicitata l’espressione di B(S).
Poichè non esiste, in bibliografia, un’espressione per la distribuzione dei figli (in
un contesto di collasso ellissoidale), abbiamo cercato una forma per tale quantità, con
una procedura analoga a quella di Lacey e Cole (1993), sfruttando quindi il teorema di
Bayes:
f (S1 |S2 )f (S2 ) = f (S2 |S1 )f (S1 )
⇒
f (S2 |S1 ) =
f (S2 )
f (S1 |S2 )
f (S1 )
da cui segue:
f (S2 |S1 ) =
3/2
1
S1
×
2π S2 (S1 − S1 )
 2 
√
√
1
1
−α
−α
2
2
α
α
2
2
aδ1 S2 + (aδ1 )
βS1 S2 − aδ2 S1 + (aδ2 )
βS2 S1 

× exp −
×
2S1 S2 (S1 − S2 )
√
n
aδ2 1 +
n
× √
aδ1 1 +
βS2α
(aδ22 )α
βS1α
(aδ12 )α
P4
n=0
P4
n=0
(−1)n
n!
(−1)n
n!
Qn
o
o ×
α−i α−n α−i
i=0 α−n
Qn
i=0
(
)
n Y
n
4 √
α
α X
1
1
α
−
i
S
S
S
−
S
2
1
2
1
−
× a(δ1 − δ2 ) + a 2 −α β
.
2α−1
2α−1
S1
n!
α − n δ2
δ1
n=0
i=0
(3.11)
Anche in questo caso le funzioni di massa si ottengono moltiplicando
le espressioni
dS1 ricavate per lo Jacobiano della trasformazione M = M (S), quindi per dM
(per i pro1
dS2 genitori) e per dM
(per i figli).
2
Qui di seguito vengono riportati i grafici delle funzioni di massa di progenitori e figli,
confrontando il modello sferico con quello ellissoidale. I grafici sono stati ottenuti considerando un universo ΛCDM; i valori di S = S(M ) sono stati calcolati su uno spettro
di potenza linearmente interpolato utilizzando una funzione di trasferimento prodotta
da CMBFast; l’esponente che caratterizza l’andamento della barriera nel modello ellissoidale è stato posto uguale a 0.615, valore ricavato dalla dinamica dell’ellissoide.
La Figura 3.2 mostra l’andamento della funzione dei progenitori (grafici a sinistra) e
quello della funzione dei figli (grafici a destra). Le funzioni dei progenitori sono state ricavate vincolando a z2 = 0 l’esistenza di un alone di massa M2 , uguale a 0.01M⋆ (z = 0),
M⋆ (z = 0), 100M⋆ (z = 0) (rispettivamente grafico in alto, al centro, in basso); M⋆ è
la massa tipica che caraterrizza un’epoca: è tale che la varianza di massa per tale valore equivale al quadrato della densità critica per il collasso a quell’epoca; la Tabella
3.1 permette di associare, ai valori del redshift considerati, le rispettive masse tipiche.
Le diverse curve, di spessore decrescente, si riferiscono a progenitori di massa M1 posti temporalmente a redshifts z1 = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10 (la curva più spessa è associata a
42
Progenitori e figli: il primo risultato
z1 = 0.5, la più fine a z1 = 10). Le funzioni dei figli sono state ottenute considerando
la distribuzione di figli a z2 = 0 generati da aloni di massa fissata M1 a redshift fissati
z1 = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10 (la curva più spessa è associata a z1 = 0.5); in questo caso la massa fissata M1 è uguale a 0.01, 1, 100M⋆ (z1 ) rispettivamente nel pannello superiore, nel
centrale, in quello inferiore. In ogni immagine, il colore blu (tratto continuo) si riferisce
al collasso sferico, il marrone (linea tratteggiata) al collasso ellissoidale. Con la stessa
legenda, la Figura 3.3 rappresenta gli andamenti delle due funzioni di massa (progenitori a sinistra e figli a destra) moltiplicate rispettivamente per la massa del progenitore
e del figlio: in questo modo, per i progenitori si ottiene il modo in cui era distribuita
a z1 la massa M2 di un alone presente a z2 ; per i figli si ottiene la frazione di massa
di un alone di massa M1 a z1 che diventa parte di un oggetto più grande M2 a z2 . In
z
0.0
0.5
1.0
2.0
4.0
7.0
10.0
10−2 M⋆
1.13 × 1011
2.7 × 1010
6.4 × 109
4.0 × 108
1.62 × 106
6.3 × 103
8.26
10−1 M⋆
1.13 × 1012
2.7 × 1011
6.4 × 1010
4.0 × 109
1.62 × 107
6.3 × 104
82.6
M⋆
1.13 × 1013
2.7 × 1012
6.4 × 1011
4.0 × 1010
1.62 × 108
6.3 × 105
8.26 × 102
10M⋆
1.13 × 1013
2.7 × 1012
6.4 × 1012
4.0 × 1011
1.62 × 109
6.3 × 106
8.26 × 103
100M⋆
1.13 × 1015
2.7 × 1014
6.4 × 1013
4.0 × 1012
1.62 × 1010
6.3 × 107
8.26 × 104
Tabella 3.1: M⋆ (z) e multipli. I valori sono espressi in masse solari.
realtà, le curve dei figli relative a z = 4, 7, 10 sono state ricavate per masse attorno a
M = 1010 M⊙ , in quanto i dati di CMBFast non permettono di avere valori accurati
delle varianze di massa per masse minori di 105.57 M⊙ .
3.3
3.3.1
Interpretazione dei grafici
I progenitori
Dalla Figura 3.2 si nota che l’andamento tipico di una curva della funzione dei
progenitori è funzione decrescente di M1 : ciò indica che è più probabile che, fissata
una massa ad un certo redshift, questa si sia formata da aloni di massa più piccola,
piuttosto che da aloni con massa comparabile con quella dell’alone stesso. L’effetto è
accentuato per masse fissate M2 ≫ M⋆ , a causa del fatto che, fissati z e M⋆ (z), tali
masse sono presenti in numero più limitato rispetto ad aloni più piccoli. L’effetto del
redshift è quello di spostare le curve relative ad alti z verso ordinate più elevate per
masse M1 piccole (a tempi remoti ci sono più oggetti di piccola massa); è invece più
probabile trovare un progenitore più massiccio a piccoli look back times. Il confronto tra
il modello sferico e l’ellissoidale porta a notare che la massa di aloni sferici è distribuita
in un numero maggiore di progenitori di piccola massa, mentre per progenitori di massa
più grande, le curve del modello ellissoidale hanno ordinate maggiori. Questo è un
risultato atteso in quanto la funzione di massa di Press-Schechter predice più aloni di
piccola massa e meno aloni di grande massa, rispetto alla funzione di massa di Sheth-
3.3 Interpretazione dei grafici
43
Figura 3.2: A sinistra: probabilità che un alone di massa fissata M2 a z2 = 0 provenga
da aloni di massa M1 a z1 . A destra: probabilità che un alone di massa fissata M1 a
z1 diventi parte di un alone di massa M2 a z2 . In ogni grafico le curve si riferiscono a
z = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10 (per curve di spessore decrescente). Le curve blu si riferiscono al
collasso sferico, le marroni al collasso ellissoidale.
44
Progenitori e figli: il primo risultato
Figura 3.3: A sinistra: frazione di massa proveniente da aloni di massa M1 a z1 , che
a z2 = 0 fa parte di un alone di massa fissata M2 . A destra: frazione di massa che,
provenendo da un alone di massa fissata M1 a z1 , diventa parte di un alone di massa
M2 a z2 = 0. In ogni grafico le curve si riferiscono a z = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10 (per curve di
spessore decrescente). Le curve blu si riferiscono al collasso sferico, le marroni al collasso
ellissoidale.
3.3 Interpretazione dei grafici
45
Tormen. La Figura 3.3 mostra in maniera significativa come la funzione di massa dei
progenitori evolva in funzione del redshift : mentre per z1 → z2 la curva tende ad una
Delta di Dirac (effetto che si accentua per masse M2 minori), per z1 ≫ z2 la funzione
di massa dei progenitori tende alla funzione di massa non condizionale. Tale andamento
è dimostrabile anche analiticamente ed è dovuto al fatto che, per valori di ∆z molto
elevati, i random walks che partono da (z1 , M1 ) risentono in maniera meno significativa
del vincolo di attraversamento nel punto (z2 , M2 ). A redshifts elevati le curve dei due
modelli mostrano quindi le medesime differenze riscontrate nelle funzioni di massa non
condizionali: la curva del collasso ellissoidale domina a grandi masse e ha valori minori
a piccole masse, rispetto alla curva del collasso sferico.
3.3.2
I figli
L’andamento delle curve relative alla funzione di massa dei figli mostra come, per
masse finali M2 grandi, la probabilità che una massa fissata M1 diventi parte di M2 sia
maggiore per intervalli di redshift maggiori; per masse finali M2 confrontabili con M1 ,
le curve relative ad intervalli temporali minori dominano rispetto alle altre. Questo tipo
di andamento si riscontra sia nei grafici che rappresentano la frazione numerica dei figli
(Figura 3.2), sia in quelli che ne rappresentano la frazione in massa (Figura 3.3). Un
chiaro confronto tra il modello sferico e l’ellissoidale viene fornito dal pannello che si
riferisce a M1 = M⋆ : un alone sferico, rispetto ad uno ellissoidale, ha più probabilità
di essere distribuito in aloni con masse M2 più piccole; anche in questo caso si riflette
il fatto che il collasso ellissoidale predice l’esistenza di un maggior numero di aloni di
grande massa, rispetto al caso sferico.
Capitolo 4
Tasso di formazione e di distruzione
di aloni di materia oscura
La storia di formazione, merging e distruzione degli aloni di materia oscura è un
soggetto il cui studio non risulta essere di interesse confinato a questa tipologia di strutture, ma è di importanza fondamentale per la descrizione della successiva formazione
ed evoluzione di oggetti luminosi come quasars, galassie e ammassi di galassie.
Il tasso di formazione di oggetti legati gravitazionalmente è definito come la densità numerica comovente di sistemi legati di una certa massa che vengono formati nell’unità di
tempo ad un’epoca specificata; il tasso di distruzione si riferisce invece alla distruzione
di oggetti di una data massa nell’unità di tempo ad una data epoca; si noti che, in un
contesto di clustering gerarchico, il termine ‘distruzione’ di aloni di una data massa M
si riferisce al fatto che tali oggetti si aggregano per formare oggetti di massa superiore:
gli aloni di massa M ‘scompaiono’ quindi per formarne di più massicci.
4.1
L’approccio di Kitayama e Suto
Kitayama e Suto, in un articolo datato 1996, (d’ora in avanti KS96) indagano la
possibilità di ricavare espressioni analitiche per i tassi di formazione e distruzione di
aloni di materia oscura, utilizzando il formalismo di Press-Schechter, in un contesto di
collasso sferico. Prendono in considerazione la funzione di massa di Press-Schechter:
NP S (M, t) =
r
2 ρ0 δc (t) dσ(M ) δc2 (t)
exp
−
π M S(M ) dM 2S(M )
(4.1)
e interpretano la derivata rispetto al tempo di questa quantità come il tasso di formazione e distruzione; in particolare, individuano in tale derivata due termini: uno positivo e
uno negativo, attribuiti, rispettivamente, ad eccessi di tassi di formazione e di distruzione. La derivata della funzione di massa rappresenterebbe quindi un bilancio fra le due
quantità (come già notato da Cavaliere, Colafrancesco e Scaramella (1991) e da Blain e
47
48
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
Longair (1993)):
dNP S (M, t)
dt
1
dδc (t)
δc (t)
−
−
NP S (M, t);
=
S(M ) δc (t)
dt
RP S (M, t) ≡
(4.2)
h
i
c (t)
nell’equazione (5.3) il termine − dδdt
è positivo: infatti, la barriera ha un andamento
inversamente proporzionale al tempo; si noti che RP S è quantità negativa per masse
minori di una certa massa critica Mc (t), tale che σ(Mc (t)) = δc (t); si ottiene invece
un rate positivo per masse maggiori di Mc (t). É quindi possibile esprimere RP S come
differenza di due termini che si riferiscono alla creazione (oggetti di massa M sono creati
da oggetti più piccoli) e alla distruzione (oggetti di massa M si aggregano a formarne
di più massicci):
RP S (M, t) ≡ Rf orm (M, t) − Rdest (M, t).
(4.3)
Per ricercare espressioni analitiche per Rf orm (M, t) e Rdest (M, t), KS96 ritengono necessario utilizzare una specifica definizione di ‘formazione’ e ‘distruzione’, basata sui
risultati di Lacey e Cole (1993) che trattano il processo di merging di aloni partendo
dall’idea di Bond et al. (1991) (cfr. sez. 2.4); in particolare utilizzano l’espressione della probabilità condizionata che un punto dell’universo risieda in un oggetto di massa
M1 ∼ M1 + dM1 al tempo t1 , col vincolo che faccia parte di un oggetto più massiccio
di massa M2 > M1 ad un tempo successivo t2 :
P1 (M1 , t1 |M2 , t2 )
δc1 − δc2
1
= √
2π (S1 − S2 )3/2
2
dS1 exp − (δc1 − δc2 ) ;
dM1 2(S1 − S2 )
(4.4)
si prende in considerazione anche la probabilità condizionata che un punto risieda in
un oggetto di massa M2 ∼ M2 + dM2 al tempo t2 , col vincolo che sia stato parte di un
oggetto più piccolo di massa M1 < M2 ad un tempo precedente t1 < t2 :
P2 (M2 , t2 |M1 , t1 )
3
2
S1
1 δc2 (δc1 − δc2 )
= √
δc1
S2 (S1 − S2 )
2π
(S2 δc1 − S1 δc2 )2
×exp −
.
2S1 S2 (S1 − S2 )
dS2 dM (4.5)
KS96 continuano la trattazione cercando il rate di formazione istantaneo, cioè il tasso
al quale un oggetto di massa M > M1 (fissata) viene formato da un oggetto di massa
M1 ∼ M1 + dM1 nell’unità di tempo e al tempo t (o al redshift z); per farlo si pone
t1 = t − ∆t, t2 = t, M2 = M , e si considera il limite per ∆t → 0:
P1 (M1 , t − ∆t|M, t)
dP1 (M1 → M ; t)
≡ lim
∆t→0
dt
∆t 1
dδc (t) dS1 1
−
= √
dM1 ;
dt
2π (S1 − S)3/2
(4.6)
4.1 L’approccio di Kitayama e Suto
49
in maniera analoga ricavano il rate di distruzione istantaneo, cioè il tasso al quale un
oggetto di massa M < M2 (fissata) viene incorporato in un oggetto di massa M2 ∼
M2 + dM2 ; per farlo si pone t2 = t + ∆t, t1 = t, M1 = M , e si considera il limite per
∆t → 0:
P2 (M2 , t + ∆t|M, t)
dP2 (M → M2 ; t)
≡ lim
∆t→0
dt
∆t
3 2
1
dδc (t) dS2
S
= √
−
dM2
dt
2π S2 (S − S2)
(S − S2 )δc2 (t)
×exp −
.
2SS2
Vengono ora definiti formalmente i tassi di formazione e di distruzione:
Z M
dP1 (M1 → M ; t)
dM1
NP S (M, t)
Rf orm (M, t) ≡
dt
0
e
(4.7)
(4.8)
dP2 (M → M2 ; t)
NP S (M, t).
(4.9)
dt
M
Valutando i rate così definiti, KS96 notano che divergono, assumendo il valore ‘infinito’.
La divergenza è legata al fatto che il formalismo utilizzato identifica come formazione
e distruzione anche variazioni infinitesime di massa, che andrebbero invece considerate
processi di accrescimento ed evoluzione di uno stesso sistema. Per ovviare a questo
problema, vengono introdotte delle soglie in massa nel considerare eventi di formazione
e distruzione. Le equazioni (4.6) e (4.7) vengono quindi sostituite con:
Z Mf
dP1 (M1 → M ; t)
NP S (M, t)
(4.10)
Rf orm (M, t; Mf ) ≡
dM1
dt
0
Rdest (M, t) ≡
Z
e
Rdest (M, t; Md ) ≡
∞
Z
dM2
∞
dM2
Md
dP2 (M → M2 ; t)
NP S (M, t).
dt
(4.11)
Si assume quindi che un oggetto di massa M mantenga la sua identità se è rispettata
la relazione:
Mf < M < Md ;
la formazione e la distruzione sono definiti solo quando il cambiamento di massa associato ai due processi risulta esterno a questo range. Risulta un passaggio importante la
scelta di valori da associare a Mf e a Md ; seguendo Lacey e Cole (1993), KS96 pongono:
Mf = M/2
Md = 2M
un oggetto di massa M assume una propria ‘individualità’ dal momento in cui la
sua massa è metà di quella considerata, fino al momento in cui la stessa si duplica.
Sostituendo tali valori in (4.10) e (4.11) e integrando si ottiene:
r
1
2
dδc (t)
p
Rf orm (M, t) =
NPS (M, t),
(4.12)
−
π S(M/2) − S(M )
dt
50
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
e
#
2
δc (t)
1 δc (t) e−Z
1
−
erfc(Z) + √
Rdest (M, t) =
δc (t) S(M )
π S(M ) Z
dδc (t)
× −
NP S (M, t),
dt
"
(4.13)
ove Z è definito come
s
Z(M, t) ≡ δc (t)
S(M ) − S(2M )
,
2S(M )S(2M )
erfc(u) è la ‘funzione errore complementare’:
Z ∞
2
exp(−t2 )dt.
erfc(u) ≡ √
π u
(4.14)
(4.15)
La Figura 4.1 mostra, in un contesto cosmologico standard CDM1 , come scalano i tassi
di formazione e distruzione; vengono poi confrontati la differenza tra i due rate e la
derivata della funzione di massa rispetto al tempo.
4.2
Formazione e creazione
Prima di prendere in considerazione le quantità analizzate da KS96 in un contesto di
collasso ellissoidale, abbiamo ritenuto oppurtuno specificare la differenza tra i termini
formazione e creazione, per definire in maniera più rigorosa gli ambiti della nostra
ricerca. Utilizzando la parola formazione per indicare la parte positiva della derivata
rispetto al tempo della funzione di massa non condizionale e per indicare l’integrale
del merger rate ottenuto dalla funzione di massa dei progenitori, KS96 permettono di
confondere il significato del termine, con la formazione intesa alla Lacey e Cole (1993)
cioè il momento al quale, nella merging history di un alone, il progenitore principale
appare con una massa maggiore o uguale a metà massa dell’alone considerato. Seguendo
la precisazione di Giocoli et. al. (articolo da sottomettere) abbiamo deciso di indicare col
termine formazione la quantità definita da Lacey e Cole (1993); viene invece indicato
con il lemma creazione il termine che, nella derivata temporale della funzione di massa,
indica l’incremento numerico di aloni di massa M a causa del merger di aloni di massa
più piccola.
Adottando questa convenzione, abbiamo deciso di utilizzare il termine creazione per
indicare le quantità derivate dalla funzione di massa dei progenitori.
4.3
Tassi di creazione e distruzione per il collasso ellissoidale
L’obiettivo principale del lavoro di tesi è la ricerca di forme analitiche che descrivano l’andamento dei tassi di creazione e distruzione di aloni di materia oscura in un
1
Un modello standard CDM prevede un set di parametri dato da: (Ω0 , h, σ8 ) = (1, 0.5, 1).
4.3 Tassi di creazione e distruzione per il collasso ellissoidale
51
-7
10
-8
10
(a) z = 0.0
-9
10
Ω0 = 1.0
λ0 = 0.0
h = 0.5
b = 1.0
-10
10
-11
10
-12
10
-3
-1
-1
Rate [Mpc MSUN ∆z ]
(b) z = 5.0
-13
10
Mf = 0.5 M
Md = 2.0 M
-14
10
-15
10
-16
10
-17
10
-18
10
-19
10
Rform(M, z ; Mf)
Rdest(M, z ; Md)
|Rform - Rdest|
|RPS(M, z)|
-20
10
-21
10
-22
10
-23
10
-24
10
8
10
9
10
10
10
11
10
12
10
13
10
M [MSUN]
14
10
15
10
16
10
8
10
9
10
10
10
11
10
12
10
13
10
14
10
15
10
16
10
M [MSUN]
Figura 4.1: Tassi di formazione Rf orm (M, z, Mf ) (linea continua) e distruzione
Rdest (M, z, Md ) (tratteggio lungo), in funzione della massa nel modello standard CDM.
Sono plottati anche il valore assoluto della loro differenza (tratteggio corto) e RPS (M, z)
(linea punteggiata); (a) z = 0, (b) z = 5.
52
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
contesto di collasso ellissoidale, con l’intento di migliorare i risultati del collasso sferico,
eventualità già accaduta per la funzione di massa.
Per conseguire tale risultato abbiamo pensato di procedere in maniera analoga all’approccio di Kitayama e Suto (1996) (cfr. sez. 4.1), in modo da poter utilizzare il formalismo excursion set (cfr. sez. 2.4 e 2.5) e la definizione di formazione proposta da Lacey
e Cole (1993).
Per seguire la procedura di KS96, bisogna considerare dapprima le equazioni che descrivono la probabilità condizionata che un punto dell’universo risieda in un oggetto
ellissoidale di massa M1 ∼ M1 + dM1 al tempo t1 , col vincolo che faccia parte di un
oggetto più massiccio di massa M2 > M1 ad un tempo successivo t2 (distribuzione dei
progenitori), e la probabilità condizionata che un punto risieda in un oggetto ellissoidale
di massa M2 ∼ M2 + dM2 al tempo t2 , col vincolo che sia stato parte di un oggetto
più piccolo di massa M1 < M2 ad un tempo precedente t1 < t2 (distribuzione dei figli). Si riportano i risultati esposti nella Sezione 3.2, in particolare la distribuzione dei
progenitori:
f (S1 |S2 ) =
5 √
X
1
S2 − S1 n
−α
1−2α α
2
·
β δ1
S1
= a(δ1 − δ2 ) + a
S1
n=0
n
i
1
1 Y α−i
×
− δ21−2α S2α √
·
2π(S1 − S2 )3/2
n!
α−n
i=0
Sα
S2α 2 1
{√a(δ1 − δ2 ) + a 21 −α β 2α−1
−
2α−1 }
δ1
δ2
× exp −
;
2(S1 − S2 )
(4.16)
e la distribuzione dei figli:
f (S2 |S1 ) =
3/2
S1
1
×
2π S2 (S1 − S1 )
 2 
√
2 ) 12 −α βS α S − √aδ S + (aδ 2 ) 12 −α βS α S
aδ
S
+
(aδ
1 2
2 1
1
2
1 2
2 1


× exp −
×
2S1 S2 (S1 − S2 )
n
δ2 1 +
× n
δ1 1 +
βS2α
(aδ22 )α
βS1α
(aδ12 )α
(−1)n
n=0 n!
P4
P4
n=0
(−1)n
n!
Qn
o
o ×
α−i α−n α−i
i=0 α−n
Qn
i=0
(
)
n Y
4 n
√
α X
α
1
S
S
−
S
1
S
α
−
i
2
1
1
2
× a(δ1 − δ2 ) + a 2 −α β
−
.
S1
n!
α − n δ22α−1 δ12α−1 n=0
i=0
(4.17)
Il procedimento che abbiamo deciso di adottare prevede ora la ricerca dei tassi istantanei;
si è notato, tuttavia, che tale procedura, applicata all’equazione (4.16), produce una
4.3 Tassi di creazione e distruzione per il collasso ellissoidale
53
divergenza. Si pone S2 = S, δ2 = δ, δ2 − δ1 = ∆δ e si valuta il limite di (4.16) per
∆t → 02 :
(
1
1 √
Ṙcrea = lim
a(δ1 − δ) + a 2 −α β ·
∆t→0 ∆t !
4 n
X
S − S1 n 1 Y α − i
1−2α α
1−2α α · δ1
S1
−δ
S
×
S1
n!
α−n
n=0
×
i=0
 h√
h α
1
S1
−α
2
−
a(δ1 − δ) + a
β δ2α−1
1

1
√
exp −
2(S1 − S)
2π(S1 − S)3/2
Sα
δ2α−1
ii2 
)

 ;
(4.18)
Si ottiene:
(
n Y
4 n
X
1
S
−
S
1 √
1
α
−
i
1
lim
−δ1−2α S α )×
a(−∆δ)+a 2 −α β((δ−∆δ)1−2α S1α
∆t→0 ∆t S1
n!
α−n
n=0
×√
e infine:

1
exp −
2π(S1 − S)3/2
√
i=0
√
1
Sα
[ a(−∆δ) + a 2 −α β[ (δ−∆δ)1 2α−1 −
Sα
δ22α−1
2(S1 − S)
]]2
)

(4.19)
dδ
a1−2α β 2 (S α − S α )2
1
a −
exp − 2(2α−1) 1
×√
+
dt
S1 − S
2δ
2π(S1 − S)3/2
1
+ lim
∆t→0 ∆t
(
a
1
−2α
2
"
β δ
1−2α
S1α
n
4 X
S − S1 n 1 Y α − i
− Sα
S1
n!
α−n
n=0
i=0
!#)
1
a1−2α β 2 (S1α − S α )2
×√
exp − 2(2α−1)
S1 − S
2δ
2π(S1 − S)3/2
(
#)
"
n Y
4 n
X
1
1
S
−
S
α
−
i
∆δ
1
1
a 2 −2α β 2α (1 − 2α)S1
− lim
∆t→0 ∆t
δ
S1
n!
α−n
n=0
×√
i=0
a1−2α β 2 (S α − S α )2
1
exp{− 2(2α−1) 1
}
S1 − S
2δ
2π(S1 − S)3/2
(4.20)
Si può notare che, per il primo e il terzo termine, compare un ∆δ a numeratore che
cancella la divergenza causata dall’operazione di divisione per ∆t → 0 (infatti, se ∆t →
0 anche ∆δ → 0). Nel secondo termine, non compaiono quantità a numeratore che
tendono a zero: si ottiene una divergenza che rende inutilizzabile l’equazione (4.16).
2
Si noti che d’ora in avanti i tassi istantanei verranno valutati con la derivazione di f (s|S), anzichè
di f (m|M ), ritrovando i risultati corrispondenti alle masse successivamente.
54
4.4
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
Ovviare alla divergenza
Abbiamo ricercato espressioni per f (S1 |S2 ) e per f (S2 |S1 ) tali da permettere il
calcolo dei tassi di creazione e distruzione. In particolare, abbiamo cercato di modificare
il termine T (S1 |S2 ) in Eq.(3.9). Come già esposto (cfr. sez. 3.2), T (S1 |S2 ) rappresenta
la differenza tra il valore della somma dei primi cinque termini dello sviluppo in serie di
Taylor, attorno ad un S generico, della barriera B1 (S) e valutato in S2 , e il valore della
barriera B2 (S) valutata in S2 . Quindi, a meno dell’approssimazione introdotta dallo
sviluppo in serie di Taylor, T (S1 |S2 ) è la lunghezza del segmento compreso tra i punti
di intersezione tra le due barriere e la retta verticale S = S2 (Figura 4.2).
4.4.1
Sottrarre le due barriere
Un modo per ovviare alla divergenza è quello di sottrarre il valore di B1 valutato in
S2 e il valore di B2 valutato in S2 ; in tal modo si ottiene una funzione condizionale del
tipo:
√
1
f (S1 |S2 ) = a(δ1 − δ2 ) + a 2 −α βS2α δ11−2α − δ21−2α ×
1
[B(S1 ) − B(S2 )]2
√
× exp −
.
(4.21)
2(S1 − S2 )
2π(S1 − S2 )3/2
Applicando il teorema di Bayes si ottiene:
3
2
S1
1
×
f (S2 |S1 ) = √
2π S2 (S1 − S2 )
B22
B12
[B(S1 ) − B(S2 )]2
−
+
×
× exp −
2(S1 − S2 )
2S2 2S1
i
h√
1
a(δ1 − δ2 ) + a 2 βS2 (δ11−2α − δ21−2α ) ×
×
n
o
n Q
βS α P
n
α−i
δ2 1 + (aδ22)α 4n=0 (−1)
i=0 α−n
n!
2
o.
× n
Q
n
βS1α P4
n
α−i
δ1 1 + (aδ2 )α n=0 (−1)
i=0 α−n
n!
(4.22)
1
4.4.2
Sottrarre due sviluppi in serie
Un altro metodo per evitare risultati uguali a infinito considera, in alternativa a
T (S1 |S2 ), la differenza tra i primi cinque termini dello sviluppo in serie di Taylor della
barriera B1 , attorno ad una S ′ generica e valutato in S2 , e i primi cinque termini dello
sviluppo in serie di Taylor della barriera B2 , attorno ad una S ′′ generica e valutato in
S2 . Si ottiene:
1
[B(S1 ) − B(S2 )]2
√
×
f (S1 |S2 ) = exp −
2(S1 − S2 )
2π(S1 − S2 )3/2
n Y
n
4 √
X
1
1
α
−
i
S
−
S
2
1
× a(δ1 − δ2 ) + a 1 −α βS1α (δ11−2α − δ21−2α )
;
S1
n!
α − n
n=0
i=0
(4.23)
4.4 Ovviare alla divergenza
55
Figura 4.2: Andamento di due moving barriers a due z diversi in funzione di S. In verde
è rappresentata la differenza tra B1 (S2 ) e B2 (S2 ), valore approssimato da T (S1 |S2 ).
In particolare la figura fa riferimento a z1 = 4, z2 = 0, S2 (M2 = 107 M⊙ ), α = 0.615
(esponente della barriera).
56
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
inoltre:
3
2
1
S1
×
f (S2 |S1 ) = √
2π S2 (S1 − S2 )
B2
B2
[B(S1 ) − B(S2 )]2
− 2 + 1 ×
× exp −
2(S1 − S2 )
2S2 2S1
n Y
n
4 √
X
1
1
α
−
i
S
−
S
2
1
× a(δ1 − δ2 ) + a 1 −α βS1α (δ11−2α − δ21−2α )
×
S1
n!
α − n
n=0
i=0
n
o
βS α P4
(−1)n Qn
α−i δ2 1 + (aδ22)α n=0 n!
i=0 α−n 2
o .
× n
(4.24)
α
P
Q
n
βS1
(−1)
4
n
α−i 1
+
δ
1
2
α
n=0
i=0
n!
α−n
(aδ )
1
4.4.3
La differenza tra i due metodi
É possibile stimare a priori la differenza tra l’utilizzo del metodo con sviluppo in serie delle barriere e quello senza lo sviluppo. Per farlo abbiamo considerato una barriera
(B2 (S)) posta a z = 0 e altre barriere (B1 (S)) poste a z = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10; per i vari
intervalli di redshift si sono considerati tre S2 (M2 ) = S2 (M⋆ , 0.01M⋆ , 10−4 M⋆ ). I grafici
riportati sono organizzati in modo da mostrare l’andamento delle barriere considerate
(pannelli in alto), la differenza tra gli sviluppi in serie delle barriere in funzione di S/S2
(pannelli centrali) e l’errore relativo commesso utilizzando gli sviluppi in serie rispetto
all’impiego della vera differenza fra le barriere. Si introduce la notazione B̃ per indicare
lo sviluppo in serie della barriera; la differenza tra gli sviluppi in serie delle barriere
sarà quindi indicato con ∆B̃(S2 ) = B̃1 (S2 ) − B̃2 (S2 ). Dalle Figure 4.3 e 4.4, è possibile notare come la differenza relativa tra il valore vero della differenza delle barriere e
il valore approssimato dato dalla differenza tra gli sviluppi in serie è contenuto entro
qualche percento, per valori di S dieci volte più grandi rispetto all’ascissa S2 fissata.
L’errore cresce col crescere della differenza tra S2 e S, riflettendo il fatto che lo sviluppo
approssima meglio il valore vero se calcolato ad ascisse vicine ad S2 . Si commette un
errore minore per valori fissati di S2 piccoli, cioè per masse fissate M2 grandi: ciò è
conseguenza del fatto che è più semplice approssimare una differenza tra barriere di
grandi dimensioni, situazione che si manifesta a grandi masse (almeno per una barriera
ad esponente α = 0.615 come quella considerata.
Si riportano anche grafici analoghi a quelli appena proposti, ma che analizzano la differenza tra la differenza tra le barriere e il termine |T (S1 |S2 )| (cfr. eq. (3.8)) utilizzato
nella funzione dei progenitori da Sheth e Tormen (2002). Anche in questo caso si nota
l’esiguità della differenza tra le due quantità considerata, che risulta comunque maggiore
rispetto alla differenza tra ∆B̃ e ∆B.
I risultati mostrati nei grafici 4.3, 4.4, 4.6, 4.5 fanno supporre che le diverse espressioni
ricavate precedentemente per progenitori e figli possano essere consistenti tra loro. Per
mostrare tale eventualità vengono mostrati qui di seguito i confronti tra le varie curve
di progenitori e figli.
Il confronto tra il modello senza sviluppo in serie delle barriere (eq. (4.21), (4.22), colore verde) e quello con sviluppo in serie (eq. (4.23), (4.24), colore rosso) ha prodotto
4.4 Ovviare alla divergenza
57
Figura 4.3: In alto: andamento di due barriere e loro differenza a tre valori diversi di
S(M) (in blu S(M⋆ ), in rosso S(0.01M⋆ ), in verde S(10−4 M⋆ )); al centro: andamento di
∆B̃(S2 ) in funzione di log(S1 /S2 ); in basso: differenza relativa tra ∆B̃(S2 ) e ∆B(S2 ).
58
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
Figura 4.4: In alto: andamento di due barriere e loro differenza a tre valori diversi di
S(M) (in blu S(M⋆ ), in rosso S(0.01M⋆ ), in verde S(10−4 M⋆ )); al centro: andamento di
∆B̃(S2 ) in funzione di log(S1 /S2 ); in basso: differenza relativa tra ∆B̃(S2 ) e ∆B(S2 ).
4.4 Ovviare alla divergenza
59
Figura 4.5: In alto: andamento di due barriere e loro differenza a tre valori diversi di
S(M) (in blu S(M⋆ ), in rosso S(0.01M⋆ ), in verde S(10−4 M⋆ )); al centro: andamento
di B̃1 (S2 ) − B2 (S2 ) in funzione di log(S1 /S2 ); in basso: differenza relativa tra B̃1 (S2 ) −
B2 (S2 ) e ∆B(S2 ).
60
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
Figura 4.6: In alto: andamento di due barriere e loro differenza a tre valori diversi di
S(M) (in blu S(M⋆ ), in rosso S(0.01M⋆ ), in verde S(10−4 M⋆ )); al centro: andamento
di B̃1 (S2 ) − B2 (S2 ) in funzione di log(S1 /S2 ); in basso: differenza relativa tra B̃1 (S2 ) −
B2 (S2 ) e ∆B(S2 ).
4.5 Tassi istantanei
61
i risultati delle Figure 4.8 e 4.7: le curve verdi sono quasi perfettamente sovrapposte a
quelle rosse, come atteso dall’analisi delle differenze relative delle quantità utilizzate.
4.4.4
Ancora progenitori e figli
Le Figure 4.9 4.10 mostrano grafici analoghi a quelli del capitolo precedente (cfr.
Sez. 3.2) che confrontano le equazioni di progenitori e figli relative al modello sferico, le
eq. (4.16) e (4.17) e le eq. (4.21), (4.22), (4.23), (4.24). Gli andamenti di tutte le curve
poco si discostano da quelli mostrati nelle Figure 3.2 e 3.3: è quindi possibile ripetere
le considerazione scritte nella Sezione 3.2.
4.5
Tassi istantanei
É ora possibile applicare la procedura di KS96 per ottenere i rate istantanei di
creazione e distruzione.
4.5.1
Metodo ‘senza sviluppo in serie’
Dalle equazioni (4.21) e (4.22) si ottengono i rate:
a1−2α β (S1α − S α )2
1
exp − 2(2α−1)
×
Ṙcrea = √
S1 − S
2δ
2π(S1 − S2 )3/2
√
1
dδ
1 − 2α −α
2
× a+a
(4.25)
βS
− dt ;
δ2α
Ṙdest =
 2 
1 −α
√


2



3
aδ(S2 − S) + aδ2α−1β (S α S2 − S2α S) 


2
S1
1
×
=√
exp −


2SS2 (S − S2 )
2π S2 (S1 − S2 )






1 +
1
√
−α
a 2 β(2α − 1)S2 dδ
× a+
×
−
δ2α
dt
1 +
βS2α
(aδ2 )α
βS α
(aδ2 )α
(−1)n
n=0 n!
P4 (−1)n
n=0 n!
P4
Qn
α−i
i=0 α−n
Qn α−i
i=0 α−n
.
(4.26)
L’integrazione di (4.25) su M1 (da 0 a M/2) e (4.26) su M2 (da 2M a infinito) viene
effettuata numericamente: ne seguono i tassi di creazione e distruzione.
62
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
Figura 4.7: Confronto tra modello ellissoidale con differenza di barriere (curve in verde)
e modello ellissoidale con differenza di sviluppi in serie di barriere (curve in rosso). A
sinistra: frazione di massa proveniente da aloni di massa M1 a z1 , che a z = 0 fa parte
di un alone di massa fissata M2 . A destra: frazione di massa che, provenendo da un
alone di massa fissata M1 a z1 , diventa parte di un alone di massa M2 a z2 = 0. In ogni
grafico le curve si riferiscono a z = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10 (per curve di spessore decrescente).
Le curve blu si riferiscono al collasso sferico, le marroni al collasso ellissoidale.
4.5 Tassi istantanei
63
Figura 4.8: Confronto tra modello ellissoidale con differenza di barriere (curve in verde)
e modello ellissoidale con differenza di sviluppi in serie di barriere (curve in rosso). A
sinistra: probabilità che un alone di massa fissata M2 a z2 = 0 provenga da aloni di
massa M1 a z1 . A destra: probabilità che un alone di massa fissata M1 a z1 diventi parte
di un alone di massa M2 a z2 . In ogni grafico le curve si riferiscono a z = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10
(per curve di spessore decrescente).
64
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
Figura 4.9: Confronto tra modello sferico (in blu) e modello ellissoidale (in rosso). A
sinistra: probabilità che un alone di massa fissata M2 a z2 = 0 provenga da aloni di
massa M1 a z1 . A destra: probabilità che un alone di massa fissata M1 a z1 diventi parte
di un alone di massa M2 a z2 . In ogni grafico le curve si riferiscono a z = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10
(per curve di spessore decrescente).
4.5 Tassi istantanei
65
Figura 4.10: Confronto tra modello sferico (in blu) e modello ellissoidale (in rosso). A
sinistra: frazione di massa proveniente da aloni di massa M1 a z1 , che a z = 0 fa parte
di un alone di massa fissata M2 . A destra: frazione di massa che, provenendo da un
alone di massa fissata M1 a z1 , diventa parte di un alone di massa M2 a z2 = 0. In ogni
grafico le curve si riferiscono a z = 0.5, 1, 2, 4, 7, 10 (per curve di spessore decrescente).
Le curve blu si riferiscono al collasso sferico, le marroni al collasso ellissoidale.
66
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
4.5.2
Metodo ‘con sviluppo in serie’
Da (4.23) e (4.24) si ottengono i rate istantanei:
a1−2α β (S1α − S α )2
1
×
exp − 2(2α−1)
Ṙcrea = √
S1 − S
2δ
2π(S1 − S2 )3/2
1
n
4 √
a 2 −α β(1 − 2α) α X S − S1 n 1 Y α − i dδ
S1
× a+
−
δ2α
S1
n!
α − n
dt
n=0
i=0
(4.27)
Ṙdest =
 2 
1 −α
√


2
β
a

α
α


3
aδ(S2 − S) + δ2α−1 (S S2 − S2 S) 


2
S1
1
×
=√
exp −


2SS2 (S − S2 )
2π S2 (S1 − S2 )






1
4 n
√
a 2 −α β(1 − 2α)S α X S2 − S n 1 Y α − i × a+
×
δ2α
S
n!
α − n
n=0
i=0
βS2α P4
(−1)n Qn
α−i 1 + (aδ2 )α n=0 n!
i=0 α−n × − dδ .
× Q
P
n
α
(−1)
n
4
βS
α−i dt
1 + (aδ2 )α n=0 n!
i=0 α−n (4.28)
Anche in questo caso, per ricavare i tassi di creazione e di distruzione, si deve procedere
con un’integrazione con metodi numerici.
4.6
Merger rates
La concordanza tra i modelli con e senza sviluppo in serie delle barriere riscontrata nelle funzioni di massa di progenitori e figli è una caratteristica che si può notare
anche considerando i tassi istantanei di creazione e distruzione. La Figura 4.11 mostra
l’andamento dei merger rates di creazione (in alto) e di distruzione (in basso); i due
pannelli a sinistra si riferiscono alla frazione numerica di aloni di massa ∆M che nell’unità di redshift diventano parte di un alone di massa M − ∆M fissata (creazione),
e alla frazione numerica di aloni di massa ∆M che accrescono un alone di massa M
fissata nell’unità di redshift (distruzione). I pannelli a destra si riferiscono alle medesime
quantità espresse in frazione di massa, anzichè numerica. Si noti che le curve di colore
verde, che rappresentano il modello che non sfrutta l’utilizzo dell’espansione in serie
delle barriere, si sovrappongono con quelle rosse, che tracciano l’andamento dei rates
nell’altro modello.
Di seguito vengono riportati i grafici relativi ai tassi istantanei di creazione e distruzione,
nei quali si confrontano i risultati relativi al modello sferico e quelli relativi al modello
ellissoidale. I grafici sono stati ottenuti considerando un universo ΛCDM; i valori di
4.6 Merger rates
67
Figura 4.11: In alto: merger rate di creazione in termini di frazione numerica (a sinistra)
e frazione in massa (a destra). In basso: merger rate di creazione in termini di frazione
numerica (a sinistra) e frazione in massa (a destra). In verde è rappresentato il modello
senza sviluppo in serie delle barriere; in rosso è rappresentato il modello con sviluppo
in serie delle barriere.
68
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
S = S(M ) sono stati calcolati su uno spettro di potenza linearmente interpolato utilizzando una funzione di trasferimento prodotta da CMBFast; l’esponente che caratterizza
l’andamento della barriera nel modello ellissoidale è stato posto uguale a 0.615, valore
che è ricavato dalla dinamica dell’ellissoide. In ogni immagine, il colore blu si riferisce
al collasso sferico, il rosso al collasso ellissoidale. Per ogni redshift è stata considerata
la massa tipica che caratterizza quell’epoca: M⋆ , tale che la varianza di massa per tale
valore equivale al quadrato della densità critica per il collasso a quell’epoca. In ogni
immagine le varie curve di ogni modello si riferiscono, dalla curva più spessa alla più
fine, rispettivamente a valori di massa di 10−2 , 10−1 , 1, 10, 102 volte la massa tipica
M⋆ . Si faccia riferimento alla Tabella 3.1 per associare M⋆ al redshift. Come nelle figure
precedenti, le curve relative ai grafici a z = 4, 7 sono state ricavate per masse attorno
a M = 1010 M⊙ , in quanto i dati di CMBFast non permettono di avere valori accurati
delle varianze di massa per masse minori di 105.57 M⊙ .
4.6.1
Tassi istantanei di creazione
Le Figure 4.12, 4.13, 4.14, 4.15, 4.16, 4.17 si riferiscono ai tassi istantanei di creazione.
I pannelli superiori rappresentano la frazione numerica di aloni di massa ∆M che, a
redshift fissato, diventano parte di un alone di massa M − ∆M nell’unità di redshift.
I pannelli inferiori rappresentano la frazione in massa di aloni di massa ∆M che, a
redshift fissato, diventano parte di un alone di massa M − ∆M nell’unità di redshift. I
grafici a sinistra hanno in ascissa una scala lineare in ∆M/M , quelli a destra una scala
logaritmica per evidenziare meglio l’andamento delle curve a piccoli valori di ∆M . La
figura in alto a sinistra mostra una distribuzione quasi simmetrica attorno al valore 0.5,
che rappresenta il punto di minimo delle curve. Per valori di ∆M/M → 0, la curva
indica la probabilità che un alone di massa ∆M = 0 venga incorporato in un alone di
massa M = M − ∆M = M : il valore della curva chiaramente diverge perchè è molto
probabile che particelle di massa trascurabile vadano ad accrescere un alone di massa
molto più grande. Si nota una divergenza anche per ∆M/M → 1: in questo caso si tratta
di aloni di massa ∆M ≈ M che accrescono particelle di massa molto minore, scenario
fisicamente identico a quello descritto per ascisse che tendono a zero, ma descritto in
maniera simmetrica. La probabilità minore per un alone di massa ∆M di accrescere
un alone di massa M − ∆M è riscontrata per masse ∆M attorno a M/2. L’andamento
descritto vale per ogni redshift. L’andamento delle curve in basso a sinistra mostra come
la frazione di massa che accresce un alone di massa M −∆M crolli a valori tendenti a −∞
per ∆M piccoli: è chiaro che masse trascurabili contribuiscono in maniera trascurabile
alla massa finale di un alone. Al contrario, l’andamento della curva per ascisse che
tendono ad uno rimane invariato.
4.6.2
Tassi istantanei di distruzione
Le Figure 4.18, 4.19 ,4.20, 4.21, 4.22, 4.23 rappresentano i tassi istantanei di distruzione. I pannelli superiori indicano la frazione numerica di aloni di massa ∆M che
accrescono un alone di massa M fissata, nell’unità di redshift ; i pannelli inferiori mo-
4.6 Merger rates
69
Figura 4.12: Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 0. Pannello inferiore: frazione di massa
accresce un alone di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 0. I tratti continui e
blu rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale.
70
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
Figura 4.13: Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 0.5. Pannello inferiore: frazione di massa
accresce un alone di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 0.5. I tratti continui
e blu rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale.
4.6 Merger rates
71
Figura 4.14: Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 1. Pannello inferiore: frazione di massa
accresce un alone di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 1. I tratti continui e
blu rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale.
72
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
Figura 4.15: Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 2. Pannello inferiore: frazione di massa
accresce un alone di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 2. I tratti continui e
blu rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale.
4.6 Merger rates
73
Figura 4.16: Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 4. Pannello inferiore: frazione di massa
accresce un alone di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 4. I tratti continui e
blu rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale.
74
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
Figura 4.17: Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 7. Pannello inferiore: frazione di massa
accresce un alone di massa M − ∆M , nell’unità di redshift a z = 7.I tratti continui e
blu rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale.
4.6 Merger rates
75
strano la medesima quantità espressa in frazione di massa; ogni figura fa riferimento ad
un redshift diverso. Le ascisse (in scala logaritmica) positive indicano che una massa
fissata M è stata accresciuta da un alone ∆M di massa maggiore; al contrario, valori
di ∆M/M < 0 indicano che la massa M è maggiore dell’alone col quale si è legata.
L’andamento generale dei pannelli superiori mostra come sia altamente probabile che
un alone di massa fissata venga accresciuto da un gran numero di aloni di piccola massa
(le curve sono decrescenti per ∆M crescente). I pannelli inferiori, invece mostrano come,
una volta pesato il contributo numerico per la massa, l’accrescimento sia dominato da
mergers con aloni più grandi.
Ogni immagine mostra curve di spessore diverso che si riferiscono, come già accennato,
a masse fissate M con valori di 10−2 , 10−1 , 1, 10, 102 volte la massa tipica M⋆ (dalla
curva più spessa alla più fine). Anche in questi grafici il colore blu è associato al collasso
sferico, il rosso all’ellissoidale. Si può notare come le curve relative ad aloni ellissoidali
dominino per grandi valori della massa ∆M che si lega all’alone di massa fissata, mentre
sono più basse a masse più piccole. Ciò significa che la frazione numerica, (ma anche
quella in massa) di aloni ∆M piccoli che accresce un alone ellissoidale è minore rispetto
a quella che accresce un alone sferico; viceversa per ∆M grandi. Questo andamento
è interpretabile col fatto che il numero di aloni ellissoidali di piccola massa è minore
rispetto al numero di quelli sferici; il numero di aloni ellissoidali di grande massa è
maggiore per masse grandi, rispetto al numero di quelli sferici.
76
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
Figura 4.18: Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M , nell’unità di redshift a z = 0. Pannello inferiore: frazione di massa che
accresce un alone di massa M , nell’unità di redshift a z = 0. I tratti continui e blu
rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale.
4.6 Merger rates
77
Figura 4.19: Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M , nell’unità di redshift a z = 0.5. Pannello inferiore: frazione di massa che
accresce un alone di massa M , nell’unità di redshift a z = 0.5. I tratti continui e blu
rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale.
78
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
Figura 4.20: Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M , nell’unità di redshift a z = 1. Pannello inferiore: frazione di massa che
accresce un alone di massa M , nell’unità di redshift a z = 1. I tratti continui e blu
rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale.
4.6 Merger rates
79
Figura 4.21: Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M , nell’unità di redshift a z = 2. Pannello inferiore: frazione di massa che
accresce un alone di massa M , nell’unità di redshift a z = 2. I tratti continui e blu
rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale.
80
Tasso di formazione e di distruzione di aloni di materia oscura
Figura 4.22: Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M , nell’unità di redshift a z = 4. Pannello inferiore: frazione di massa che
accresce un alone di massa M , nell’unità di redshift a z = 4. I tratti continui e blu
rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale.
4.6 Merger rates
81
Figura 4.23: Pannello superiore: numero di aloni di massa ∆M che accrescono un alone
di massa M , nell’unità di redshift a z = 7. Pannello inferiore: frazione di massa che
accresce un alone di massa M , nell’unità di redshift a z = 7. I tratti continui e blu
rappresentano il collasso sferico, quelli tratteggiati e rossi l’ellissoidale.
Capitolo 5
Integrare i tassi istantanei
Una volta ottenuti i rate istantanei (cfr. Sez. 4.5), è possibile ricavare i tassi di
creazione e distruzione, seguendo la procedura di KS96. Ricordiamo la definizione di
tassi di creazione e distruzione, già esposta nella Sezione 4: il tasso di creazione è definito
come la densità numerica comovente di sistemi legati di una certa massa, che vengono
formati nell’unità di tempo ad un’epoca specificata; il tasso di distruzione si riferisce alla
scomparsa (a causa del merging con altri aloni) di oggetti di una data massa, nell’unità
di tempo ad una data epoca. Dopo aver moltiplicato per la funzione di massa di Sheth e
Tormen, abbiamo integrato i tassi istantanei Ṙcrea (M, t) e Ṙdest (M, t) rispettivamente
da 0 a M/2 e da 2M a ∞:
Rcrea (M, t) =
Z
Rdest (M, t) =
M/2
Ṙcrea (M, t)NST (M, t)dM1 ;
(5.1)
0
Z
∞
Ṙdest (M, t)NST (M, t)dM2 .
(5.2)
2M
Le integrazioni sono state svolte utilizzando metodi numerici, in particolare una subroutine di integrazione di Numerical Recipes (qromb): non ci sono quindi, nel caso di
collasso ellissoidale con barriera generica, forme analitiche che descrivano l’andamento
dei tassi di creazione e distruzione 1 .
Ricordiamo che i risultati ottenuti si riferiscono ad una scelta di parametri che caratterizza il modello ΛCDM di concordanza: Ωm = 0.3, Ωλ = 0.7, h = 0.7; le espressioni per
la varianza di massa S(M ) sono state calcolate su uno spettro di potenza linearmente
interpolato utilizzando una funzione di trasferimento prodotta da CMBFast; l’esponente
della barriera è stato posto uguale a 0.615, valore ricavato dalla dinamica dell’ellissoide.
Abbiamo confrontato i risultati del modello ellissoidale con quelli del modello sferico,
riproponendo i grafici pubblicati da KS96, con un’adeguata scelta di parametri (KS96
utilizzano una cosmologia SCDM -Ωm = 1, h = 0.5, S(M ) da una fitting formula di
White e Frenk 1991-).
1
É possibile ottenere forme analitiche utilizzando la barriera costante (collasso sferico) e la barriera
lineare.
83
84
5.1
Integrare i tassi istantanei
I risultati
La prima serie di grafici che proponiano, Figure 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, descrivono l’andamento del tasso di creazione a quattro redshifts diversi (z = 0, 2, 4, 7), confrontando i
risultati del modello sferico (curva blu), con quelli del modello ellissoidale (curve rossa
e verde). Per ogni redshift considerato, le due curve del collasso ellissoidale, che fanno
riferimento al metodo della differenza tra barriere (curva verde) e a quello della differenza tra sviluppi di barriere (curva rossa), si sovrappongono quasi perfettamente; questa
caratteristica consegue dal fatto che le stesse quantità integrande, cioè i tassi istantanei
di creazione, hanno valori consistenti, come mostrato nelle Sezioni 4.4.3 e 4.6. Tutte le
curve sono funzioni decrescenti, mostrano cioè che la quantità di oggetti creati, nell’unità di redshift e per ogni redshift, è maggiore per masse minori. Aumentando il redshift, le
curve mostrano un andamento più ripido, soprattutto a grandi masse, evidenziando la
caratteristica fondamentale del modello gerarchico assunto, cioè la maggior probabilità
di trovare aloni di massa sempre maggiore a redshifts minori. La predizione del modello
ellissoidale di un maggior numero di aloni di grande massa rispetto allo sferico e, viceversa, l’attesa di un numero minore di piccole masse rispetto allo sferico, spiega il punto
di intersezione tra le curve blu e rossa+verde, che avviene a masse minori all’aumentare
di z e che porta la curva blu a dominare a piccole masse e l’altra a grandi masse.
L’andamento del tasso di distruzione in funzione della massa di oggetti che scompaiono unendosi gravitazionalmente con altri, è mostrato a diversi redshifts nelle Figure
5.5, 5.6, 5.7, 5.8. L’andamento è analogo a quello dei tassi di creazione, cioè si distruggono più masse piccole rispetto a masse grandi e, a redshifts crescenti, scompaiono meno
oggetti di grande massa, rispetto a quanti se ne distruggono a piccoli look back times.
Anche questi andamenti sono inseriti coerentemente nello scenario gerarchico di formazione delle strutture. Il confronto fra i due modelli proposti mostra come il rate di
distruzione di oggetti ellissoidali (curve verdi+rosse) sia più importante a grandi masse
e più esiguo a piccole masse rispetto al tasso di distruzione di aloni sferici (curve blu):
come già fatto notare, si distruggono più masse grandi ellissoidali per darne di ancora
più grandi, rispetto a masse sferiche.
Le Figure 5.9, 5.10, 5.11, 5.12 illustrano le funzioni ricavate derivando rispetto al
tempo la funzione di massa di Press-Schechter, eq. (2.90), colore blu, quella di ShethTormen, eq (3.5), colore rosso e un fit analitico ottenuto simulando un insieme di random
walks indipendenti e scorrelati, eq. (2.98), colore viola. Le curve sono quindi espressione
di:
dNP S (M, t)
dt
δc (t)
1
dδc (t)
=
−
−
NP S (M, t);
S(M ) δc (t)
dt
RP S (M, t) ≡
(5.3)
5.1 I risultati
85
Figura 5.1: Tasso di creazione in funzione della massa dell’oggetto creato a z = 0. In
blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-.
In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza di sviluppi-.
dNST (M, t)
dt
2
(−1)n Qn
βS α P4
α−i
B (S) 2α aα δ2α+1 n=0 n!
1
i=0 α−n
=
−
+
×
α P4
(−1)n Qn
α−i
δc (t)S
δc (t)
1 + aβS
α δ 2α
n=0 n!
i=0 α−n
dδc (t)
NST (M, t);
×
−
dt
RST (M, t) ≡
(5.4)
86
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.2: Tasso di creazione in funzione della massa dell’oggetto creato a z = 2. In
blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-.
In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza di sviluppi-.
dNf it (M, t)
dt
2pS p
aδc (t)
1
dδc (t)
=
+
−
−
Nf it (M, t).
(aq δc (t)2q + S q )δc (t)
S
δc (t)
dt
(5.5)
Rf it (M, t) ≡
Le curve rappresentate, come quelle di creazione e distruzione, hanno un andamento
inversamente proporzionale alla massa e una pendenza maggiore a redshift maggiore. In
questo caso, tuttavia, la curva rossa, ricavata dalla funzione di massa di Sheth-Tormen,
assume valori sempre superiori rispetto a quella blu del collasso sferico, almeno nel range
5.1 I risultati
87
Figura 5.3: Tasso di creazione in funzione della massa dell’oggetto creato a z = 4. In
blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-.
In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza di sviluppi-.
di masse considerato. La curva ricavata dal fit analitico, invece, rimane a ordinate minori
rispetto a quella del collasso sferico per masse minori, mentre ha valori più grandi
a grandi masse; l’ascissa del punto di intersezione, come per le quantità mostrate in
precedenza, è inversamente proporzionale al redshift.
Nelle Figure 5.13, 5.14, 5.15, 5.16 abbiamo tracciato l’andamento delle quantità
considerate in precedenza (tassi di creazione e distruzione e derivata della funzione di
massa) riferendoci al solo caso sferico, per valori diversi del redshift. In questo modo
è possibile notare come, partendo da masse piccole, si abbia un andamento dominante
della curva di distruzione, rispetto a quella di creazione: a piccole masse è maggiore il
numero di oggetti che scompaiono per formarne altri rispetto a quelli che si formano da
88
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.4: Tasso di creazione in funzione della massa dell’oggetto creato a z = 7. In
blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-.
In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza di sviluppi-.
oggetti più piccoli. Proseguendo verso masse maggiori, si incontra un punto d’intersezione ove questo andamento si inverte: fissato uno z, da una certa massa in poi il numero
di oggetti che si crea è maggiore di quello che si distrugge. Il punto di intersezione
coincide, nella curva di colore blu che rappresenta la differenza in modulo di creazione
e distruzione, alla cuspide. Anche la curva verde della derivata della funzione di massa
mostra una cuspide analoga: la massa coincidente è quella per cui la varianza di massa
è uguale al quadrato della fluttuazione di densità, al redshift considerato. Si noti come,
al crescere del redshift, l’ascissa a cui coincide la cuspide si sposta verso masse più piccole.
Le curve relative al collasso ellissoidale a vari z sono incluse nelle Figure 5.17, 5.18,
5.1 I risultati
89
Figura 5.5: Tasso di distruzione in funzione della massa dell’oggetto distrutto a z = 0. In
blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-.
In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza di sviluppi-.
5.19, 5.20. I colori utilizzati hanno lo stesso significato di quelli dei grafici relativi al
collasso sferico. Gli andamenti dei tassi di creazione e distruzione hanno un andamento
qualitativo simile a quelli del modello sferico: la curva rossa si interseca con la nera
in punti di ascissa decrescente col crescere del redshift passando da ordinate minori
a maggiori. La caratteristica che rende sensibilmente diversi i grafici relativi a questo
modello, rispetto a quello sferico, è il fatto che la curva che rappresenta la derivata
rispetto al tempo della funzione di massa resta sempre ad ordinate maggiori rispetto
alle altre curve, almeno nel range di masse considerato. Non si manifesta, quindi, la
coincidenza tra il valore assoluto della differenza del termine creazione e di distruzione,
e il valore assoluto della derivata temporale della funzione di massa; questa eventualità
90
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.6: Tasso di distruzione in funzione della massa dell’oggetto distrutto a z = 2. In
blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-.
In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza di sviluppi-.
appare invece soddisfatta per i grafici relativi al modello sferico.
5.1 I risultati
91
Figura 5.7: Tasso di distruzione in funzione della massa dell’oggetto distrutto a z = 4. In
blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-.
In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza di sviluppi-.
92
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.8: Tasso di distruzione in funzione della massa dell’oggetto distrutto a z = 7. In
blu: modello sferico. In verde: modello ellissoidale -metodo della differenza di barriere-.
In rosso: modello ellissoidale -metodo della differenza di sviluppi-.
5.1 I risultati
93
Figura 5.9: Valori assoluti delle derivate rispetto al tempo delle funzioni di massa di
Press-Schechter -curva blu-, di Sheth-Tormen -curva rossa-, di un fit analitico -curva
viola-, in funzione della massa a z = 0
94
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.10: Valori assoluti delle derivate rispetto al tempo delle funzioni di massa di
Press-Schechter -curva blu-, di Sheth-Tormen -curva rossa-, di un fit analitico -curva
viola-, in funzione della massa a z = 2
5.1 I risultati
95
Figura 5.11: Valori assoluti delle derivate rispetto al tempo delle funzioni di massa di
Press-Schechter -curva blu-, di Sheth-Tormen -curva rossa-, di un fit analitico -curva
viola-, in funzione della massa a z = 4
96
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.12: Valori assoluti delle derivate rispetto al tempo delle funzioni di massa di
Press-Schechter -curva blu-, di Sheth-Tormen -curva rossa-, di un fit analitico -curva
viola-, in funzione della massa a z = 7
5.1 I risultati
97
Figura 5.13: Collasso sferico: curve a confronto in funzione della massa. In rosso: tasso di
creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza tra tasso
di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto della derivata rispetto al tempo della
funzione di massa di Press-Schechter. Le curve sono riferite a z=0
98
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.14: Collasso sferico: curve a confronto in funzione della massa. In rosso: tasso di
creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza tra tasso
di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto della derivata rispetto al tempo della
funzione di massa di Press-Schechter. Le curve sono riferite a z=2
5.1 I risultati
99
Figura 5.15: Collasso sferico: curve a confronto in funzione della massa. In rosso: tasso di
creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza tra tasso
di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto della derivata rispetto al tempo della
funzione di massa di Press-Schechter. Le curve sono riferite a z=4
100
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.16: Collasso sferico: curve a confronto in funzione della massa. In rosso: tasso di
creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza tra tasso
di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto della derivata rispetto al tempo della
funzione di massa di Press-Schechter. Le curve sono riferite a z=7
5.1 I risultati
101
Figura 5.17: Collasso ellissoidale: curve a confronto in funzione della massa. In rosso:
tasso di creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza
tra tasso di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto della derivata rispetto al
tempo della funzione di massa di Sheth-Tormen. Le curve sono riferite a z=0
102
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.18: Collasso ellissoidale: curve a confronto in funzione della massa. In rosso:
tasso di creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza
tra tasso di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto della derivata rispetto al
tempo della funzione di massa di Sheth-Tormen. Le curve sono riferite a z=2
5.1 I risultati
103
Figura 5.19: Collasso ellissoidale: curve a confronto in funzione della massa. In rosso:
tasso di creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza
tra tasso di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto della derivata rispetto al
tempo della funzione di massa di Sheth-Tormen. Le curve sono riferite a z=4
104
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.20: Collasso ellissoidale: curve a confronto in funzione della massa. In rosso:
tasso di creazione; in nero: tasso di distruzione; in blu: valore assoluto della differenza
tra tasso di creazione e distruzione. In verde: valore assoluto della derivata rispetto al
tempo della funzione di massa di Sheth-Tormen. Le curve sono riferite a z=7
5.2 Tassi da merger rates e derivate della funzione di massa
5.2
105
Tassi da merger rates e derivate della funzione di massa
L’aver constatato una discordanza tra l’andamento della curva relativa al modulo
della differenza tra tasso di crezione e distruzione e l’andamento della curva che rappresenta la derivata rispetto al tempo della funzione di massa, nell’ambito del collasso
ellissoidale, ci ha portati a considerare più in dettaglio le differenze tra le due quantità
nei due modelli. Partendo dall’ipotesi che i termini che descrivono in maniera rigorosa la
creazione e la distruzione siano i tassi ricavati dall’integrazione dei merger rates, abbiamo confrontato separatamente il tasso di creazione con il termine positivo della derivata
temporale, il termine di distruzione con il termine negativo della derivata temporale e
la differenza tra creazione e distruzione con la derivata stessa. Abbiamo rappresentato
le coppie di curve, una relativa al collasso sferico e una all’ellissoidale, nelle Figure 5.21,
5.22, 5.23, 5.24, ognuna relativa ad un redshift diverso. Dai grafici emerge ciò che KS96
già avevano osservato: dal pannello inferiore di ogni figura si nota che la curva relativa
al collasso sferico poco si discosta dal valore zero in ordinata indicando che derivata
temporale e differenza tra creazione e distruzione assumono valori analoghi per aloni
sferici, nonostante la discordanza dei vari termini presi separatamente, a piccole e grandi masse. Non si può dire altrettanto per le curve tratteggiate del collasso ellissoidale:
solo per il termine di distruzione il rapporto tra le quantità considerate è contenuto
entro il 10% attorno al valore unitario. La parte positiva della derivata temporale è,
per ogni redshift, maggiore di circa dieci volte il tasso di creazione; il rapporto cresce
notevolmente quando si considerano la derivata e la differenza tra i due tassi. Questo
risultato, che qualitativamente è stato notato dal fatto che la curva della derivata della
funzione di Sheth-Tormen è sempre ad ordinate maggiori rispetto a tutte le altre curve,
insinua dei dubbi sulla possibilità di interpretare la derivata alla stregua della differenza
tra creazione e distruzione, e, in maniera più specifica, sulla possibilità di intercambiare
i singoli termini di creazione e distruzione con i singoli termini positivo e negativo della
derivata della funzione di massa.
Considerando sempre il modulo della differenza tra creazione e distruzione (ricavate dai merger rates) come valore fiduciale per bilanciare il numero di oggetti creati e
distrutti di massa fissata ad un determinato redshift, abbiamo confrontato con questa
quantità altri termini cercandone un accordo. In particolare, abbiamo calcolato il rapporto tra la parte positiva della derivata temporale della formula di fit espressa nell’eq.
(2.98) (Rf it+ ) e la differenza tra il rate di creazione e quello di distruzione del collasso
ellissoidale. La scelta di confrontare tali termini deriva dal fatto che Rf it+ è una quantità utilizzata da alcuni autori proprio per la ricerca del tasso di creazione di aloni di
materia oscura, anche per scopi non strettamente inerenti allo studio di tali oggetti; si
può fare riferimento, ad esempio, all’articolo di Lapi et al. (2006), nel quale, citando
Haehnelt & Rees (1993) e Sasaki (1994), utilizzano Rf it+ per avere una stima del tasso
di formazione degli aloni nei quali poi fanno evolvere strutture luminose, evidenziandone, tra l’altro, il comportamento antigerarchico. Le Figure 5.25, 5.26, che considerano le
quantità citate rispettivamente a z = 0 e z = 2, mostrano un miglioramento del fit con
la curva che ipotizziamo essere corretta, rispetto alla derivata temporale della funzione
di Sheth-Tormen: il rapporto tra le due curve assume valori massimi di circa 6, non considerando le ‘divergenze’ che si osservano in concomitanza delle cuspidi nel grafico che
rappresenta i valori del rate. L’andamento di Rf it+ peggiora a redshifts crescenti (Fi-
106
Integrare i tassi istantanei
gure 5.27, 5.28) ove, a grandi masse, il rapporto considerato raggiunge valori di circa 30.
5.2 Tassi da merger rates e derivate della funzione di massa
107
Figura 5.21: In alto: rapporto tra il termine positivo della derivata rispetto al tempo
della funzione di massa di Press-Schechter (linea continua, in rosso) e della funzione di
massa di Sheth-Tormen (linea tratteggiata, in blu) e i rispettivi tassi di creazione. Al
centro: rapporto tra le parti negative delle derivate e i tassi di distruzione. In basso:
rapporto tra la derivata e la differenza tra il termine di creazione e distruzione. Le
quantità sono riferite a z = 0.
108
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.22: In alto: rapporto tra il termine positivo della derivata rispetto al tempo
della funzione di massa di Press-Schechter (linea continua, in rosso) e della funzione di
massa di Sheth-Tormen (linea tratteggiata, in blu) e i rispettivi tassi di creazione. Al
centro: rapporto tra le parti negative delle derivate e i tassi di distruzione. In basso:
rapporto tra la derivata e la differenza tra il termine di creazione e distruzione. Le
quantità sono riferite a z = 2.
5.2 Tassi da merger rates e derivate della funzione di massa
109
Figura 5.23: In alto: rapporto tra il termine positivo della derivata rispetto al tempo
della funzione di massa di Press-Schechter (linea continua, in rosso) e della funzione di
massa di Sheth-Tormen (linea tratteggiata, in blu) e i rispettivi tassi di creazione. Al
centro: rapporto tra le parti negative delle derivate e i tassi di distruzione. In basso:
rapporto tra la derivata e la differenza tra il termine di creazione e distruzione. Le
quantità sono riferite a z = 4.
110
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.24: In alto: rapporto tra il termine positivo della derivata rispetto al tempo
della funzione di massa di Press-Schechter (linea continua, in rosso) e della funzione di
massa di Sheth-Tormen (linea tratteggiata, in blu) e i rispettivi tassi di creazione. Al
centro: rapporto tra le parti negative delle derivate e i tassi di distruzione. In basso:
rapporto tra la derivata e la differenza tra il termine di creazione e distruzione. Le
quantità sono riferite a z = 7.
5.2 Tassi da merger rates e derivate della funzione di massa
111
Figura 5.25: In alto: termine positivo della derivata rispetto al tempo della funzione di
massa 2.98 (colore verde), e modulo della differenza tra tasso di creazione e tasso di
distruzione per il collasso ellissoidale. In basso rapporto tra i due termini tracciati nel
pannello superiore. Le curve fanno riferimento a z = 0.
112
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.26: In alto: termine positivo della derivata rispetto al tempo della funzione di
massa 2.98 (colore verde), e modulo della differenza tra tasso di creazione e tasso di
distruzione per il collasso ellissoidale. In basso rapporto tra i due termini tracciati nel
pannello superiore. Le curve fanno riferimento a z = 2.
5.2 Tassi da merger rates e derivate della funzione di massa
113
Figura 5.27: In alto: termine positivo della derivata rispetto al tempo della funzione di
massa 2.98 (colore verde), e modulo della differenza tra tasso di creazione e tasso di
distruzione per il collasso ellissoidale. In basso rapporto tra i due termini tracciati nel
pannello superiore. Le curve fanno riferimento a z = 4.
114
Integrare i tassi istantanei
Figura 5.28: In alto: termine positivo della derivata rispetto al tempo della funzione di
massa 2.98 (colore verde), e modulo della differenza tra tasso di creazione e tasso di
distruzione per il collasso ellissoidale. In basso rapporto tra i due termini tracciati nel
pannello superiore. Le curve fanno riferimento a z = 7.
Conclusioni
In questa tesi abbiamo generalizzato al modello di collasso ellissoidale il lavoro di
Kitayama & Suto (1996), che calcola i tassi di creazione e distruzione di aloni di materia
oscura.
Le tappe intermedie che portano alle espressioni per i rates, partendo dalla funzione
di massa di Sheth-Tormen, hanno consentito di ricavare risultati analitici anche per
altre quantità del modello di collasso ellissoidale. Dopo aver descritto, nei Capitoli 1
e 2, il contesto cosmologico entro cui si innesta la nostra trattazione e lo scenario di
formazione di strutture virializzate, abbiamo preso in considerazione, nel Capitolo 3, i
concetti di funzione di massa dei progenitori e dei figli, ricavando un primo risultato
originale: la funzione di massa dei figli nel modello di collasso ellissoidale. Nel Capitolo
4, dopo aver notato l’impossibilità dell’utilizzo delle forme esposte nella sezione precedente, abbiamo superato questa criticità ricavando nuove espressioni per le funzioni di
massa condizionali, analiticamente ‘efficaci’ per il proseguimento del lavoro, ma quantitativamente analoghe a quelle esposte nel Capitolo 3. I rates istantanei di creazione
e distruzione sono stati esplicitati nella seconda parte del Capitolo 4. Nel Capitolo 5,
abbiamo affrontato l’integrazione delle quantità istantanee.
Tutti i grafici proposti paragonano le curve relative al collasso sferico e quelle relative
al collasso ellissoidale e ne rilevano le differenze; ne conseguono risultati consistenti con
le caratteristiche già evidenziate dal confronto delle funzioni di massa non condizionali:
nel modello ellissoidale sono previsti un numero minore di aloni di piccola massa e
un numero maggiore di aloni di grande massa, rispetto al modello sferico. I risultati
del quinto capitolo mettono in evidenza come, per il collasso sferico, si possa fare una
analogia tra il bilancio dei tassi di creazione e distruzione e la derivata rispetto al
tempo della funzione di massa: le curve relative alle due quantità hanno andamenti
quantitativamente analoghi. Questa corrispondenza smette di sussistere per i risultati
del modello ellissoidale per il quale la derivata della funzione di massa assume valori
sensibilmente più grandi rispetto al bilancio tra creazione e distruzione. Si ottiene un
fit migliore se si utilizza, al posto della funzione di massa di Sheth-Tormen -eq. (3.5)-,
il fit analitico espresso dall’equazione (2.98).
L’elaborato, quindi, concepito con l’idea di estendere al modello ellissoidale i soli
risultati in merito al rate di creazione e distruzione del modello sferico, ha permesso di
ottenere forme analitiche nuove sia per i tassi istantanei, sia per le funzioni di massa
condizionale, grazie alle modifiche apportate alle espressioni delle barriere.
La bontà dei risultati ottenuti si basa sull’ipotesi che il modello di collasso ellissoidale
sia effettivamente un miglioramento rispetto a quello sferico, eventualità che sussiste,
115
116
Conclusioni
come già esposto, per la funzione di massa. La naturale continuazione del presente
lavoro sarà il confronto dei nostri risultati analitici con le analoghe quantità ottenute
da simulazione ad N-corpi.
Appendice A
Durante lo svolgimento di questa tesi, ci siamo soffermati, oltre che sul modello
ellissoidale con forma della barriera generica (α generico, poi posto α = 0.615), anche
su un modello basato sulla barriera lineare, caratterizzata da un valore dell’esponente
α = 1. Questo caso non è stato riportato assieme a quello generale perchè si tratta di un
Toy model: è un modo per approcciare il problema dei tassi di creazione e distruzione
in maniera analiticamente simile al caso sferico, ma a priori si può prevedere la non
consistenza con un’eventuale simulazione. Di seguito si riportano le espressioni ricavate
in questo contesto: si noti che, in questo caso è possibile ricavare integrali dei tassi
istantanei con l’ausilio della funzione errore complementare.
.1
Creazione
• Funzione dei progenitori:
r
a (δ1 − δ2 )
×
f (S1 , z1 |S2 , z2 ) =
2π (S1 − S2 )3/2
 h
√


a(δ1 − δ2 ) + √βa Sδ11 −
× exp −

2(S1 − S2 )

S2
δ2
i2 


.
• Tasso istantaneo di creazione:
r
a
dδ
1
β 2 (S1 − S)
−
.
exp
−
Ṙcrea (S, z) =
2π (S1 − S)3/2
dt
2aδ2
• Tasso di creazione:
(6)


dS(M ) a
βρ0
dδ(z)
−
Rcrea (M, z) =
×
2 πM S 3/2 (M ) dM dt

i 
h
) 2


 aδ2 (z) 1 + βS(M
aδ2 (z)
×
× exp −


2S(M )




2
s
!
))
− β (S(M/2)−S(M
2aδ 2 (z)
√
β 2 (S(M/2) − S(M )) 
 e
− πerfc
× q 2
.
β (S(M/2)−S(M ))
2aδ2 (z)
(7)
r
2aδ2 (z)
117
(8)
118
.2
Appendice A
Distruzione
• Funzione dei figli:
3/2
S1
a (δ1 − δ2 )δ2
×
f (S2 , z2 |S1 , z1 ) =
2π
δ1
S2 (S1 − S2 )
 h
i2 
√




a(δ1 S2 − δ2 S1 ) + βS√1aS2 δ11 − δ12
× exp −
.


2S1 S2 (S1 − S2 )


r
(9)
• Tasso istantaneo di distruzione:
r 3/2
aδ2 (z)(S − S2 )
S
dδ(z)
a
exp −
. (10)
−
Ṙdest (S, z) =
2π
dt
S2 (S − S2 )
2SS2
• Tasso di distruzione:
δ(z)ρ0 dS(M ) dδ(z)
a
Rdest (M, z) = a
×
−
2π
dt
M S 3/2 (M ) dM 
h
i 
) 2

 aδ2 (z) 1 + βS(M

aδ2 (z)
× exp −
×


2S(M )


s
!
"
δ(z)
aδ2 (z)(S(M ) − S(2M ))
1
+
−
erfc
×
aδ(z) S(M )
2S(M )S(2M )
aδ 2 (z)(S(M )−S(2M )) #
−
2S(M )S(2M )
δ(z)
e
q 2
+√
.
πS(M ) aδ (z)(S(M )−S(2M ))
2
r
2S(M )S(2M )
(11)
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Bibliografia
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