Due automobili si muovono con velocità e costanti su due strade

Rispetto ad un sistema di riferimento (O,x,y,z),
al trascorrere
del tempo t, la posizione di un P è descritta
⌢
⌢ 2⌢
⌢⌢ ⌢
!
dal vettore posizione r (t) = 2t i + t j + 2 k , con i , j , k i versori degli assi. Si calcolino in funzione di t
1) la distanza d(t) del punto P dall'origine O del sistema di riferimento,
!
2) il valore del coseno direttore del vettore posizione r (t) con l'asse x,
!
!
3) il valore del coseno dell'angolo θ compreso fra il vettore posizione r (t) e la velocità v (t) del punto P,
!
!
⌢
€
€
4) i versori u ortogonali al piano individuato dai vettori r (t) e v (t)
€
€
€
€
€
€
Due automobili si muovono con velocità
e
costanti su due strade rettilinee, orizzontali, che
formano un angolo α fra di loro. Dall’auto A
viene lanciato fuori un oggetto con velocità che,
relativamente alla macchina (sistema di
riferimento SRA), ha modulo u, direzione
ortogonale a
e verso opposto rispetto alla
posizione di B. Si determini il modulo e la
direzione di
nel sistema di riferimento SRB
Traccia per la soluzione :
Supponiamo di essere nel SRA≡(xA,yA,zA). In tale S.R. l'oggetto viene lanciato un oggetto le cui
componenti della velocità sono (0, u, 0). Il SRB≡(xB,yB,zB) si muove di moto traslatorio rettilineo
uniforme rispetto al SRA e la sua origine (in SRA) si muove con velocità (vB-vAcosα, -vAsinα, 0).
Definendo quindi vOBx= vB-vAcosα , vOBy= -vAsinα , vOBz=0 possiamo scrivere la matrice delle rotazioni,
per trasformare le posizioni dal SRA≡(xA,yA,zA) al SRB≡(xB,yB,zB) :
⎛ x B (t)⎞ ⎛ cos x B x A cos x B yA cos x B z A ⎞⎛ x A (t) − vOBx t ⎞ ⎛ cos(−α )
cos[−(90 + α )] 0 ⎞⎛ x A (t) − vOBx t ⎞ ⎛ cos α − sin α 0 ⎞⎛ x A (t) − vOBx t ⎞
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
0 ⎟⎜ yA (t) − vOBy t ⎟ = ⎜ sinα
cos α 0 ⎟⎜ yA (t) − vOBy t ⎟
⎜ yB (t) ⎟ = ⎜ cos yB x A cos yB yA cos yB z A ⎟⎜ yA (t) − vOBy t ⎟ = ⎜ cos(90 − α ) cos(−α )
⎜ z (t) ⎟ ⎜ cos z x cos z y cos z z ⎟⎜
⎟ ⎜0
0
1⎟⎠⎜⎝ z A (t) − vOBz t ⎟⎠ ⎜⎝ 0
0
1 ⎟⎠⎜⎝ z A (t) − vOBz t ⎟⎠
⎝ B ⎠ ⎝
⎝
B A
B A
B A ⎠ ⎝ z A (t) − vOBz t ⎠
analogamente, per
le velocità
possiamo
scrivere:
questo
pannello
che oscura
la soluzione verrà rimosso venerdì 18 marzo.
⎛v B (t)⎞ ⎛ cosα − sin α 0⎞⎛ v A (t) − v ⎞ ⎛ cosα − sin α 0⎞⎛ 0 − v ⎞ ⎛v xB (t) = (v B − v A cos α ) sin α
x
x
OBx
OBx
⎜ B ⎟ ⎜
⎜v y (t)⎟ = ⎜ sinα
⎜ B ⎟ ⎜⎝ 0
⎝v z (t)⎠
⎟ ⎜
⎟⎜
cosα 0 ⎟⎜ v yA (t) − vOBy ⎟ = ⎜ sinα
⎟
⎜
0
1 ⎠⎜⎝ v A (t) − v ⎟⎠ ⎝ 0
z
OBz
v yB
= (v ) + (v ) e θ = atan B rappresentano rispettivamente il modulo della velocità
Ovviamente v
vx
dell'oggetto in SRB e l'angolo che tale velocità forma con l'asse xB.
B
oggetto
€
⎟ ⎜
⎟⎜
cosα 0 ⎟⎜ u − vOBy ⎟ ⇒ ⎜v yB (t) = usin α + v A sin α cos α
⎟
⎟ ⎜ B
0
1 ⎠⎜⎝ 0
⎠ ⎝v y (t) = 0
€
B 2
x
B 2
y
€
Un ragazzo seduto sul seggiolino di una giostra, che ruota in senso orario con velocità
!
angolare ω attorno ad un asse verticale z , si lascia sfuggire
una biglia mentre transita nel punto A. La biglia ha massa
y
trascurabile rispetto alla giostra, le coordinate della biglia
nell'istante
in cui sfugge di mano
€
€ al ragazzo, nel sistema di
A
riferimento (O,x,y,z) solidale al suolo, sono A ≡ (0,R,zA ) con
R=300cm, zA=150cm.
Si consideri
l'ungo l'asse z
⌢
!
2
l'accelerazione di gravità ( g = −9.81k m /s ).
O
Sapendo che la biglia tocca il suolo nel
€ punto A ≡ (x B , y B ,zB ) ,
R
che zB=0 e che xB-xA=250cm determinare:
x
1) quanto tempo
€ impiega la biglia a toccare il suolo
2) le coordinate del punto B
€
3) la velocità angolare della giostra
!
4) l'angolo fra la velocità della biglia e la verticale ( z ) nel punto B
Soluzione:
€
1) la biglia nel S.R. Oxyz si muove, dopo essere sfuggita di mano al ragazzo, viene
!
accelerata lungo l'asse z dall'accelerazione di gravità. La legge oraria che ne consegue è
1
2
data da: x(t) = x A + v 0x t ; y(t) = y A ; z(t) = zA − gt 2 in cui
v x (t) = v 0x = ωR €; v y (t) = 0 ; v z (t) = −gt .
1
2zA
= 0.553s .
€
2
g
2) Possiamo quindi indicare le coordinate di B: x B = x A + 2.5 = 2.5m ; y B = R ; zB = 0
x −x
rad
3) e calcolare la velocità angolare della giostra dalla x B − x A = ωRt B → ω = B A = 1.51
Rt B
s
€
La biglia tocca il suolo quando z(tB)=0 cioè per z(tB ) = zA − gt B2 = 0 → tB =
4) Possiamo ora calcolare la velocità della
€ biglia nel punto B
−1
v x = ωR = 4.52ms ; v y = 0 ; v z = −gt B = −5.43ms−1 da cui l'angolo fra la velocità della
B
B
B
v
!
€
biglia in B e l'asse z è dato da tgϑ = xB = −0.833
→ ϑ ≈ 140 !
v zB
€
€
€