I Appello 15-06-11:Testo+Soluzioni

MATEMATICA CORSO A
I APPELLO
15 Giugno 2011
Testo e soluzioni
1. Un investimento mi ha fruttato il 5% di interessi. Decido di spendere il 30% di questi
interessi per comprare un computer del valore di 3000 euro. A quanto ammonta il mio
investimento?
Indichiamo con x l’ammontare del mio investimento. Gli interessi sono allora pari a
(5/100) x e la frazione di essi, utilizzata per acquistare il computer, vale
30 5
150
1.5
x=
x=
x = 1.5% x
100 100
10000
100
Essendo questa frazione pari a 3000 euro si ha
1.5
x = 3000
100
⇔
x=
3000 × 100
= 200000
1.5
2. Determina l’espressione analitica di una funzione continua e descrescente su tutto R,
avente come insieme immagine l’intervallo (−2, 1).
Dato che la funzione è limitata possiamo pensare di utilizzare una “variante” della
funzione arcotangente:
f (x) = B + A arctan x
Calcolando i limiti sapendo che la funzione è decrescente e con immagine (−2, 1) si ha
lim f (x) = −2
lim f (x) = 1
x→+∞
x→−∞
⇔
B + A (π/2) = −2
B − A (π/2) = 1
da cui si ricava A = −3/π e B = −1/2. Una possibile funzione che soddisfa le richieste
del testo è quindi
1 3
f (x) = − − arctan x
2 π
1
3. In una coppia con 5 figli, la madre ha gruppo sanguigno 0 ed il padre ha gruppo A.
Calcola la probabilità che esattamente 2 figli abbiano gruppo 0, sapendo che la frequenza
nella popolazione dell’allele 0 è 0.5 e dell’allele A è 0.2.
Indicando con p la frequenza dell’allele 0 e con q quella dell’allele A si ha
P (00) = p2 = 0.52 = 0.25 P (AA) = q 2 = 0.22 = 0.04 P (A0) = 2 p q = 0.2
La probabilità che due figli abbiano gruppo 0 (e quindi tre abbiano un gruppo diverso)
sapendo che la madre ha gruppo sanguigno 0 ed il padre ha gruppo A vale
P (2 F0 ∩ 3 F¬0 |M0 ∩ PA ) =
5
2
2 F0 ∩ 3 F¬0 ∩ M0 ∩ PA
=
P (M0 ∩ PA )
p2 · 2 p q (1/2)5
p
25
= 10
=
p2 (q 2 + 2 p q)
16 (q + 2 p)
96
4. Un arciere scocca delle frecce contro un bersaglio disponendo di un massimo di 3 tentativi.
Al primo tentativo la probabilità di colpire il bersaglio è 1/5, ma ad ogni nuovo tentativo
tale probabilità raddoppia rispetto al tentativo precedente. Calcola:
a) la probabilità di colpire il bersaglio;
b) il numero medio di frecce scoccate.
a) La probabilità di colpire il bersaglio è data dalla somma delle tre probabilità di
colpirlo al primo colpo, di colpirlo al secondo e di colpirlo al terzo. La probabilità di colpirlo al primo colpo vale 1/5; la probabilità di colpirlo al secondo vale
(4/5) (2/5) = 8/25 (non colpisce al primo colpo e ha probabilità doppia di colpirlo
al secondo); la probabilità di colpirlo al terzo vale (4/5) (3/5) (4/5) = 48/125 (non
colpisce al primo colpo, non colpisce al secondo e ha probabilità doppia, rispetto al
secondo tentativo, di colpirlo al terzo). La probabilità cercata è quindi
P =
8
48
113
1
+
+
=
5 25 125
125
b) Indicando con X il numero di frecce scoccate si nota che X è una variabile aleatoria
discreta che può assumere i valori 1, 2, 3; calcoliamo le rispettive probabilità (ricorda
che si scoccano tre frecce sia che si colpisca il bersaglio al terzo tentativo sia che non
lo si colpisca):
P (X = 1) =
1
5
P (X = 2) =
8
25
P (X = 3) = 1 −
1
8
12
−
=
5 25
25
Il valor medio è allora
E[X] = 1
1
8
12
57
+2
+3
=
5
25
25
25
5. Una variabile aleatoria continua X è distribuita secondo una legge esponenziale di parametro a = 2.
a) Calcola la funzione di ripartizione.
b) Calcola P (X ≥ 2/3).
2
b) Calcola P (1/2 ≤ X ≤ 2/3).
La funzione di densità di una variabile aleatoria continua X distribuita secondo una legge
esponenziale di parametro a = 2 vale
0 ,
x<0
f (x) =
−2
x
2e
, x≥0
a) La funzione di ripartizione è data, per definizione, da
Z x
f (t) dt
F (x) =
−∞
quindi, nel nostro caso si ha
F (x) =
f (x) dx = 1−
Z
0 ,
x<0
1 − e−2 x , x ≥ 0
b)
P (X ≥ 2/3) =
Z
+∞
2/3
2/3
f (x) dx = 1−F (2/3) = 1−(1−e−4/3 ) = e−4/3
−∞
c)
P (1/2 ≤ X ≤ 2/3) =
Z
2/3
f (x) dx = F (2/3)−F (1/2) = 1−e−4/3 −(1−e−1 ) = e−1 −e−4/3
1/2
6. Studia la funzione
f (x) =
ln |x − 4|
2x − 8
e disegna il suo grafico, determinando:
a) insieme di definizione;
b) limiti ai bordi dell’insieme di definizione;
c) segno della funzione;
d) monotonia ed eventuali punti di massimo o minimo relativo ed assoluto.
Nota che la funzione può essere riscritta come
f (x) =
1 ln |x − 4|
2 x−4
a) L’argomento del logaritmo è non negativo per ogni x reale (c’è un valore assoluto) e
si annulla se e solo se x = 4; in questo stesso punto si annulla anche il denominatore
quindi possiamo concludere che la funzione ha come insieme di definizione
{x ∈ R : x 6= 4} = (−∞, 4) ∪ (4, +∞)
3
b)
lim f (x) = 0−
x→−∞
lim f (x) = −∞
x→4+
lim f (x) = +∞
x→4−
lim f (x) = 0+
x→+∞
Il grafico della funzione ha quindi un asintoto verticale, x = 4, e un asintoto
orizzontale, y = 0.
c) La funzione è positiva in (3, 4) ∪ (5, +∞), negativa in (−∞, 3) ∪ (4, 5) e si annulla
per x = 3 e x = 5.
d) La derivata prima della funzione vale
(
′
f (x) =
1 1−ln(4−x)
2 (x−4)2
1 1−ln(x−4)
2 (x−4)2
x<4
x>4
e si annulla se e solo se
1 − ln(4 − x) = 0
⇔
x=4−e
1 − ln(x − 4) = 0
⇔
x=4+e
La funzione è decrescente in (−∞, 4−e) e (4+e, +∞), mentre è crescente in (4−e, 4)
e (4, 4 + e); in x = 4 − e si ha quindi un minimo relativo, mentre in x = 4 + e si ha
un massimo relativo. Non ci sono massimi e minimi assoluti in quanto la funzione è
illimitata sia superiormente che inferiormente.
Il grafico della funzione è il seguente:
4