Esercitazione 18

ESERCITAZIONE: VARIABILI
ALEATORIE DISCRETE
Giacomo Tommei
e-mail: [email protected]
web: www.dm.unipi.it/∼tommei
Esercizio 1
Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valore 1 con probabilità
1/3 e −2 con probabilità 2/3. Calcola il suo valor medio E[X] e la sua
varianza V ar[X].
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 2
In un’urna ci sono 5 palline Rosse e 3 Verdi.
a) Se si estraggono a caso 2 palline senza rimessa e X rappresenta il
numero di palline Rosse estratte determinare la distribuzione di
probabilità di X.
b) Se si estraggono a caso 2 palline con rimessa e Y rappresenta il
numero di palline Verdi estratte determinare la distribuzione di
probabilità di Y .
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 2 - Soluzione
a) Poiché l’esperimento consiste nell’estrarre 2 palline SENZA rimessa ed X rappresenta il
numero di palline Rosse estratte, la sua distribuzione di probabilità sarà data da
p(X = 0) =
3 2
8 7
5 3
p(X = 1) = 2
p(X = 2) =
=
8 7
15
=
8 7
5 4
3
28
=
28
5
14
b) Poiché l’esperimento consiste nell’estrarre 2 palline CON rimessa ed Y rappresenta il
numero di palline Verdi estratte, la sua distribuzione di probabilità sarà data da
p(X = 0) =
Giacomo Tommei
2
8
p(X = 1) = 2
p(X = 2) =
5
3 5
8 8
2
3
8
=
=
=
25
64
15
32
9
64
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 3
Si lanciano 3 dadi e si considerano le seguenti variabili aleatorie discrete
a) X: somma dei punteggi dei 3 dadi;
b) Y : prodotto dei punteggi dei 3 dadi.
Calcolare il valor medio e la varianza di X e Y .
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 3 - Soluzione
a) Consideriamo 3 dadi indistinguibili e supponiamo di lanciarli simultaneamente. La
somma dei punteggi dei 3 dadi potrà assumere valori compresi tra 3 e 18.
P (X = i) = ni
1
3
,
6
dove i è un valore intero compreso tra 3 e 18, e ni è il numero di modi in cui si può
ottenere il valore i. Ad esempio il valore 6 può essere ottenuto come 4+1+1, 3+2+1,
2+2+2.
3
18
18
X
X
1
E(X) =
i P (X = i) =
i ni
6
i=3
i=3
V ar(X) =
18
X
2
(i − E(X)) P (X = i)
i=3
b) Per la variabile aleatoria Y si ragiona allo stesso modo, il valore minimo ottenibile è 1,
mentre il massimo 216. Naturalmente non tutti i valori tra 1 e 216 saranno esprimibili
come prodotto di 3 interi minori o uguali a 6: pensate ad esempio al numero 7.
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 4
Ricordi tutte le cifre del PIN del tuo bancomat tranne l’ultima. Decidi di
provare lo stesso scegliendo a caso l’ultima cifra, disponi di un massimo di 3
tentativi. Quanti tentativi farai in media?
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 4 - Soluzione
Indichiamo con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di tentativi; tale variabile
aleatoria può assumere i valori 1, 2 e 3. Avremo X = 1 quando indovineremo la cifra al primo
tentativo, X = 2 quando sbaglieremo il primo tentativo ed indovineremo al secondo, mentre
X = 3 lo otterremo quando indovineremo al terzo tentativo oppure sbaglieremo tutti e tre i
tentativi. Quindi si ha
P (X = 1) =
1
P (X = 2) =
10
P (X = 3) =
9 8 1
10 9 8
+
9 1
10 9
9 8 7
10 9 8
=
=
1
10
8
10
quindi il valor medio è
E(X) =
1
10
+2
Giacomo Tommei
1
10
+3
8
10
=
27
10
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 5
Un arciere scocca delle frecce contro un bersaglio disponendo di un
massimo di 3 tentativi. Al primo tentativo la probabilità di colpire il
bersaglio è 1/5, ma ad ogni nuovo tentativo tale probabilità raddoppia
rispetto al tentativo precedente. Calcola:
a) la probabilità di colpire il bersaglio;
b) il numero medio di frecce scoccate.
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 5 - Soluzione
a) La probabilità di colpire il bersaglio è data dalla somma delle tre probabilità di colpirlo
al primo colpo, di colpirlo al secondo e di colpirlo al terzo. La probabilità di colpirlo al
primo colpo vale 1/5; la probabilità di colpirlo al secondo vale (4/5) (2/5) = 8/25 (non
colpisce al primo colpo e ha probabilità doppia di colpirlo al secondo); la probabilità di
colpirlo al terzo vale (4/5) (3/5) (4/5) = 48/125 (non colpisce al primo colpo, non
colpisce al secondo e ha probabilità doppia, rispetto al secondo tentativo, di colpirlo al
terzo). La probabilità cercata è quindi
P =
1
5
8
+
+
25
48
125
=
113
125
b) Indicando con X il numero di frecce scoccate si nota che X è una variabile aleatoria
discreta che può assumere i valori 1, 2, 3; calcoliamo le rispettive probabilità (ricorda che
si scoccano tre frecce sia che si colpisca il bersaglio al terzo tentativo sia che non lo si
colpisca):
P (X = 1) =
1
5
P (X = 2) =
Il valor medio è allora
E[X] = 1
1
5
Giacomo Tommei
8
P (X = 3) = 1 −
25
+2
8
25
+3
12
25
=
1
5
−
57
25
Variabili aleatorie discrete
8
25
=
12
25
Variabili aleatorie discrete
Binomiale (o bernoulliana)
Sia E un evento con probabilità p, e consideriamo la v.a. X che conta il
numero di volte che E si è verificato in n esperimenti.
P (X = k) =
n
k
pk (1 − p)n−k
E(X) = n p
V ar(X) = n p (1 − p)
DS(X) =
Giacomo Tommei
p
p
V ar(X) = n p (1 − p)
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie discrete
Distribuzione di Poisson
Supponiamo di conoscere il numero medio di eventi µ che accadono in un
dato intervallo di tempo ed indichiamo con X la v.a. che conta il numero di
eventi accaduti nel fissato intervallo di tempo per il fenomeno (di Poisson)
in esame.
µk −µ
P (X = k) =
e
k!
E(X) = µ
V ar(X) = µ
DS(X) =
Giacomo Tommei
p
√
V ar(X) = µ
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie discrete
Distribuzione geometrica
Sia E un evento con probabilità p che chiamiamo “successo” e supponiamo
di ripetere delle prove. Consideriamo la v.a. X che conta il numero di prove
necessarie ad ottenere il primo successo.
P (X = k) = (1 − p)k−1 p
E(X) =
V ar(X) =
1−p
p2
1
p
DS(X) =
p
V ar(X) =
r
1−p
p2
Le variabili aleatorie geometriche godono di una proprietà rilevante, detta
assenza di memoria: se nei primi n tentativi non è stato ottenuto alcun
successo, la probabilità di dover attendere altri m tentativi prima del primo
successo non dipende da n.
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 6
In una serie di 15 prove una variabile aleatoria X con distribuzione
binomiale ha valor medio E(X) = 3. Quanto vale la sua varianza V ar(X)?
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 6 - Soluzione
Se una variabile aleatoria discreta X ha una distribuzione binomiale allora
E(X) = n p
V ar(X) = n p (1 − p) ,
e
dove n è il numero delle prove e p il parametro della binomiale che rappresenta una
probabilità. Dai dati dell’esercizio e dalle precedenti relazioni segue che
p=
E(X)
n
=
da cui
V ar(X) = 15
Giacomo Tommei
3
15
1 4
5 5
=
=
1
5
,
12
5
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 7
In un sacchetto ci sono 8 biglie rosse, 2 gialle e 10 blu. Si estrae con rimessa
per 5 volte. Calcola la probabilità di estrarre:
a) esattamente 4 rosse;
b) almeno 1 rossa.
c) Quante palline gialle saranno estratte in media?
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 7 - Soluzione
Si hanno 20 palline in totale quindi
P (R) =
8
20
P (G) =
2
20
P (B) =
10
20
a)
P (4R) =
5
4
8
4 20
12
20
b)
P (almeno 1R) = 1 − P (0R) = 1 −
12
5
20
c) Indichiamo con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di palline gialle
estratte: poiché l’estrazione è con rimessa, X ha una distribuzione binomiale con
p = P (G) = 2/20 e n = 5, quindi
E[X] = n p =
Giacomo Tommei
1
2
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 8
Scegliendo a caso tra tutte le parole di 6 lettere formate da un alfabeto
composto dalle sole lettere A,C,G,T calcola:
a) la probabilità di ottenere la parola AACGTA;
b) scegliendo a caso con rimessa, quante estrazioni dovrai fare in media
per veder comparire questa parola?
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 8 - Soluzione
a) La probabilità di ottenere la parola AACGTA è
p=
1
46
dove a denominatore c’è il numero di possibili parole di 6 lettere formate con l’alfabeto
di 4 lettere in questione.
b) Indicando con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di estrazioni per
vedere estratta la parola in questione, è facile notare che X ha una distribuzione
geometrica e quindi il suo valor medio vale E[X] = 1/p = 46 .
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 9
Sia data una variabile aleatoria X. Sapendo che E[X] = 4 e E[X 2 ] = 20
calcola la deviazione standard di X ed il valor medio della variabile
aleatoria (2 + 4 X)2 .
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 9 - Soluzione
La varianza di X può essere ottenuta dalla relazione
2
V ar[X] = E[X ] − (E[X])
2
= 20 − 16 = 4
quindi la sua deviazione standard vale
σ[X] =
q
V ar[X] =
√
4=2
Per calcolare il valor medio di (2 + 4 X)2 si utilizzano le proprietà di linearità del valor medio e
le informazioni a disposizione:
2
2
2
E[(2 + 4 X) ] = E[4 + 16 X + 16 X ] = E[4] + E[16 X] + E[16 X ] =
2
4 + 16 E[X] + 16 E[X ] = 4 + 64 + 320 = 388
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 10
Sapendo che la probabilità di avere un figlio maschio in Italia vale
p ' 51.35%, quanti figli ti aspetti di dover fare in media per avere un figlio
maschio?
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete
Esercizio 11
In un gioco a premi investi 50 euro sapendo che hai una probabilità del 8%
di vincere 500 euro, una probabilità del 12% di vincere 100 euro, una
probabilità del 20% di vincere 50 euro ed una probabilità del 60% di non
vincere niente. Ti aspetti, in media, di guadagnare o perdere giocando?
Giacomo Tommei
Variabili aleatorie discrete