5** 6** Supponiamo di avere 100 g d`aria composta da: 78 g di N2

Romeni, Fisica e realtà.blu
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
5**
4
ρCO πr 3
ρCO V
m
2
2
3
N = nN A =
N =
NA =
NA =
mCO A mCO
mCO
2
=
(1,98⋅10
3
2
g/m 3
) 43 π (1,5⋅10
2
−3
m
44 u
)
3
(6,022 ⋅10 ) ≈ 3⋅10
23
17
6**
Supponiamo di avere 100 g d’aria composta da: 78 g di N2, 21 g di O2, 1 g di Ar.
78 g
= 2,79 mol
(moli di azoto)
28 u
21 g
nO =
= 0,66 mol
(moli di ossigeno)
2
32 u
1g
nAr =
= 0,025 mol
(moli di Argon)
40 u
ntot = nN + nO + nAr = 2,79 + 0,66 + 0,025 mol = 3,48 mol
nN =
2
2
maria =
(
2
)
m
100 g
=
= 28,7 u ≈ 29 u
ntot 3,48 mol
13**
(
)(
)(
)
2 ⋅109 1,381⋅10−23 J/K 293 K
NkT
P=
=
= 8⋅10−3 Pa = 8 mPa
−9
3
V
1⋅10 m
14**
nHe =
m
1g 1
=
=
mHe 4 g 4
nAr =
m
1g
1
=
=
mAr 40 g 40
P=
nRT
V
(
)
n + n − nHe nAr
ΔP Δn
4
=
= He Ar
=
=
= 0,1 = 10%
Pi
ni
nHe
nHe 10
⇒
15**
nHe =
m
1g 1
=
=
mHe 4 g 4
nH =
m
1g 1
=
=
mH
2g 2
2
2
(
P=
)
nHe + nH RT
2
V
⎛ 1 1⎞
⎜⎝ 4 + 2 ⎟⎠ 8,31 J/(mol ⋅ K) 293 K
=
= 3,7 ⋅105 Pa = 3,7 bar
−3
3
5⋅10 m
(
)(
)
Romeni, Fisica e realtà.blu
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
16**
ΔT = 20 °C = 20 K
K =
3
kT
2
Δ K
⇒
Ki
ΔT
20 K
=
= 0,07 = 7%
Ti
293 K
=
17**
vqm =
3kT
m
vH
=
vO
mO
= 16 = 4
mH
18**
•
3kT
m
vqm =
3kT
mN
vm,N =
2
2
3kT
mO
vm,O =
2
2
vm,O
2
vm,N
2
=
mN
2
mO
2
vm,N − vm,O
2
vm,N
•
2
=
= 1−
2
28 uma
= 0,93
32 uma
vm,O
2
vm,N
2
= 1− 0,93 = 7%
Non cambia in quanto non dipende dalla temperatura.
19**
K =
3
3
5,66 ⋅10−21
kT =
1,381⋅10−23 J/K 273 K = 5,66 ⋅10−21 J =
eV = 0,035 eV
2
2
1,60 ⋅10−19
(
)(
)
21**
5
5
U = PV = 30 ⋅105 Pa 1,0 ⋅10−3 m 3 = 7,5⋅103 J = 7,5 kJ
2
2
(
)(
22***
1
nRT
2
Per 1 mole di gas monoatomico:
3
ΔU 3
ΔU = RΔT ⇒ CV =
= R
2
ΔT 2
U= f
)
Romeni, Fisica e realtà.blu
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
Per 1 mole di gas biatomico:
5
ΔU 5
ΔU = RΔT ⇒ CV =
= R
2
ΔT 2
23***
CV =
3 R
3 8,31 J/(mol ⋅ K)
=
= 95 J/(K ⋅ kg)
2 mXe 2 131,3⋅10−3 kg/mol
24***
5 R 5 8,31 J/(mol ⋅ K)
CV =
=
= 547 J/(K ⋅ kg)
2 mF 2 38,0 ⋅10−3 kg/mol
2
25***
nHe =
m 10 g
=
= 2,5
mHe 4 g
nO =
m 10 g
=
= 0,31
mO
32 g
2
2
U = U He + U O =
2
=
(
(
)
1
RT 3nHe + 5nO =
2
2
)(
)(
)
1
8,31 J/(mol ⋅ K) 293 K 3⋅ 2,5 + 5⋅0,31 = 11⋅103 J = 11 kJ
2
26***
v2 =
3kT
m
⇒ m=
3kT
v2
2
Nm
NkT NkTd kTd v
1
V=
⇒ P=
=
=
= d v2
d
V
Nm
3kT
3
27***
Nell’ipotesi che la molecola sia rigida, essa possiede 6 gradi di libertà, 3 rotazionali e 3 traslazionali,
ma non possiede invece gradi di libertà vibrazionali, quindi:
1
ΔU 3nRΔT
U = f nRT = 3nRT ⇒ CV =
=
= 3R
2
nΔT
nΔT
30**
N
1
1
=
=
V
2πd 2 λ
2π 3⋅10−10 m
(
) (15⋅10
2
−2
cm
)
= 1,7 ⋅1019 molecole/m 3 ≈ 2 ⋅1019 molecole/m 3
Romeni, Fisica e realtà.blu
31**
(1,381⋅10 J/K )(300 K ) = 5,0 ⋅10
2π ( 3⋅10 m ) ( 2 ⋅10 Pa )
−23
kT
λ=
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
2
2πd P
=
2
−10
2
2
m = 0,05 mm
32**
•
•
λ=
1
=
1
= 7,5⋅1012 m
−9
6
3
N
2π 0,1⋅10 m
3,0 ⋅10 atomi/m
2πd 2
V
Il cammino libero medio è superiore di un ordine di grandezza alla distanza Terra-Sole.
(
) (
)
2
33**
τ=
λ
1
∝
v
T
⇒
f =
1
∝ T
τ
35***
• Calcoliamo l’equazione della retta che passa per il punto (0, 1/λ), tangente alla curva
(
y − y0 = f ′(x0 ) x − x0
y0 = y(0) =
)
1
λ
x0 = 0
1 − λx
e
λ2
1 −l
f ′(l) = − 2 e λ
λ
1
f ′(0) = − 2
λ
1
1
e 1
y = − 2 (e − 0) + = − 2 +
λ
λ
λ λ
Calcoliamo l’area del trapezio
f ′(x) = −
•
y
1/λ
y(0,1 λ)
0,1 λ
x
Romeni, Fisica e realtà.blu
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
0,1 λ 1
0,1 1 0,9
+ =−
+ =
2
λ
λ λ λ
λ
⎛ 1 0,9 ⎞
⎜⎝ λ + λ ⎟⎠ 0,1 λ
A=
= 0,095 = 9,5%
2
y(0,1 λ ) = −
(
)
36***
Percentuale di molecole che riescono a percorrere più del doppio del cammino libero medio λ = 2,000 m Cammino 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 P(l) 0,500 0,452 0,409 0,370 0,335 0,303 0,274 0,248 0,225 0,203 0,184 0,166 0,151 0,136 0,123 0,112 0,101 0,091 0,083 0,075 0,068 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2 6,4 6,6 6,8 7 7,2 7,4 7,6 7,8 8 8,2 8,4 40**
vqm =
vp =
3kT
m
2kT
m
v =
8kT
2
=
πm
π
2kT
2
=
vp = 1,13vp
m
π
v =
8kT
8 3kT
8
=
=
v = 0,92vqm
πm
3π m
3π qm
0,061 0,055 0,050 0,045 0,041 0,037 0,034 0,030 0,028 0,025 0,023 0,020 0,018 0,017 0,015 0,014 0,012 0,011 0,010 0,009 0,008 0,007 8,6 8,8 9 9,2 9,4 9,6 9,8 10 10,2 10,4 10,6 10,8 11 11,2 11,4 11,6 11,8 12 Somma per l > 2λ 0,007 0,006 0,006 0,005 0,005 0,004 0,004 0,003 0,003 0,003 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001 0,120 Romeni, Fisica e realtà.blu
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
41**
Vp = 500 m/s Vm = 563,97 m/s Vqm = 639,16 m/s Max = 830
Velocità Numero (m/s) di particelle 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650 Somma = 22 87 186 308 440 567 678 762 813 830 814 770 704 623 535 447 363 286 220 165 121 86 60 41 27 18 11 7 4 3 1 1 0 10000 Calcolo vm(m/s) Calcolo vqm(m/s) 0 0 0 1100 484 10648 8700 7569 658503 27900 34596 6434856 61600 94864 29218112 110000 193600 85184000 170100 321489 182284263 237300 459684 311665752 304800 580644 442450728 365850 660969 537367797 415000 688900 571787000 447700 662596 539353144 462000 592900 456533000 457600 495616 348913664 436100 388129 241804367 401250 286225 153130375 357600 199809 89314623 308550 131769 47832147 257400 81796 23393656 209000 48400 10648000 165000 27225 4492125 127050 14641 1771561 94600 7396 636056 69000 3600 216000 49200 1681 68921 33750 729 19683 23400 324 5832 14850 121 1331 9800 49 343 5800 16 64 4500 9 27 1550 1 1 1600 1 1 0 0 0 Somma = 408519,658 Romeni, Fisica e realtà.blu
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
42**
mHe = 4,00 uma =
4,00
4,00
kg/mol = 3
kg/mol = 6,64 ⋅10−27 kg/mol
3
10 N A
10 ⋅6,022 ⋅1023
(
)(
)
2 1,381⋅10−23 J/K 293 K
2kT
vp =
=
= 1,1⋅103 m/s = 1,1 km/s
mHe
6,64 ⋅10−27 kg/mol
mNe = 20,2 uma =
(
20,2
20,2
kg/mol = 3
kg/mol = 3,35⋅10−26 kg/mol
3
23
10 N A
10 ⋅6,022 ⋅10
)(
)
2 1,381⋅10−23 J/K 293 K
2kT
vp =
=
= 491 m/s
mNe
3,35⋅10−26 kg/mol
43**
• Numero medio di urti in un intervallo di tempo ∆t:
1N
nm =
v ΔtA
2V x
con
:
nm =
1N
v A
2V x
V = costante ⇒ nm ∝ vx =
•
3kT
m
⇒ nm ∝ T
N
P
=
V 2K x
nm =
1 P
1 P
1 P
vx A =
v A=
A
2 x
2 2K x
2 mvx
2 mvx
P = costante ⇒ nm ∝
1
vx
⇒ nm ∝1/ T
Romeni, Fisica e realtà.blu
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
44***
•
2kT
m
vp =
⎛ m ⎞
⎜⎝ 2kT ⎟⎠
e
(
3/2
=
− mv 2 / 2kT
)
1
vp3
=e
( )
− v/vp
2
3/2
4 ⎛ m ⎞
P(v) =
⎜
⎟
π ⎝ 2kT ⎠
•
ve
4
Pmax = P(vp ) =
(
2
2 − mv / 2kT
π vp3
vp2 e
(
− vp /vp
)
4
=
( )
ve
3
2 − v/vp
2
πvp
) = 4e−1 = 0,83
2
vp
π vp
46***
•
P(1,25vp ) =
P(1,75vp ) =
•
(1,25)
4
π vp3
(1,75)
4
π vp3
2
2
vp2 e
vp2 e
(
− 1,25vp /vp
(
− 1,75vp /vp
) =
2
) =
2
(
)
2 − 1,25 2
4 1,25 e ( )
πvp
(
)
2 − 1,75 2
4 1,75 e ( )
π vp
=
0,739
vp
=
0,323
vp
dv = 1,75vp − 1,25vp = 0,50 vp
P(1,25 vp < v < 1,75 vp ) ≈ Pmax dv =
0,83
0,83
dv =
0,50 vp = 0,415 = 41,5%
vp
vp
47***
Vedi risposta nel testo.
48***
•
•
P=
2N
2N 3
N
K =
kT = kT
3V
3V 2
V
Z=
1N
1N
v =
4V
4V
m = 29 uma =
⇒
N
P
=
V kT
8kT 1 P
=
πm 4 kT
8kT
P
=
πm
2πmkT
29
kg/mol = 3
kg/mol = 4,82 ⋅10−26 kg/mol
23
10 ⋅6,022 ⋅10
29
103 N A
(
)(
)
2 1,381⋅10−23 J/K 293 K
2kT
vp =
=
= 1,1⋅103 m/s = 1,1 km/s
−27
mHe
6,64 ⋅10 kg/mol
Z=
AP
2π mkT
=
(
(1⋅10
2π 4,82 ⋅10
−26
)(
)
= 2,9 ⋅10
kg/mol) (1,381⋅10 J/K ) ( 293 K )
−6
m 2 1,00 ⋅105 Pa
−23
21
Romeni, Fisica e realtà.blu
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
50**
1 J = 1 Pa ⋅ m 3 = 1⋅10−5 bar ⋅ m 3
1 m 3 = 103 L
a = 0,36 J ⋅ m 3 /mol2 = 0,36 ⋅10−5 bar ⋅ m 3 ⋅ m 3 /mol2 =
(
)(
)(
)
= 0,36 ⋅10−5 bar 103 L 103 L/mol2 = 3,6 bar ⋅ L2 /mol2
b = 4,3⋅10−5 m 3 /mol = 4,3⋅10−5 ⋅103 L/mol = 0,043 L/mol
51***
R = a = b = dV = V(L) 0,06 0,068 0,076 0,084 0,092 0,1 0,108 0,116 0,124 0,132 0,14 0,148 0,156 0,164 0,172 0,18 0,188 0,196 0,204 0,212 0,22 0,228 0,236 0,244 0,252 0,0831 3,6 0,043 0,008 258 K 261,2 79,0 26,4 12,7 12,2 16,1 21,2 26,2 30,6 34,3 37,4 39,8 41,8 43,3 44,5 45,4 46,0 46,4 46,7 46,8 46,7 46,6 46,5 46,2 45,9 bar ·∙ L ·∙ K-­‐1 ·∙ mol-­‐1 bar ·∙ L2/mol2 L/mol L/mol 274 K 289 K 339,4 412,7 132,2 182,1 66,7 104,5 45,1 75,5 39,4 64,8 39,5 61,3 41,7 60,8 44,4 61,4 47,0 62,4 49,2 63,2 51,1 63,9 52,5 64,4 53,6 64,6 54,3 64,6 54,8 64,5 55,1 64,2 55,2 63,8 55,1 63,3 54,9 62,7 54,6 62,0 54,3 61,3 53,8 60,6 53,3 59,8 52,8 59,0 52,3 58,2 304 K 486,0 231,9 142,3 106,0 90,2 83,2 80,0 78,5 77,8 77,2 76,8 76,2 75,6 74,9 74,1 73,3 72,4 71,4 70,4 69,4 68,3 67,3 66,3 65,2 64,2 319 K 559,3 281,8 180,0 136,4 115,7 105,1 99,2 95,6 93,1 91,2 89,6 88,1 86,7 85,2 83,8 82,4 81,0 79,5 78,1 76,8 75,4 74,0 72,7 71,4 70,1 334 K 632,7 331,7 217,8 166,8 141,1 126,9 118,4 112,7 108,5 105,2 102,5 100,0 97,7 95,5 93,5 91,5 89,6 87,7 85,9 84,1 82,4 80,8 79,2 77,6 76,1 350 K 710,9 384,9 258,1 199,2 168,2 150,3 138,8 130,9 124,9 120,2 116,2 112,6 109,5 106,5 103,8 101,2 98,7 96,4 94,1 92,0 89,9 88,0 86,1 84,2 82,5 Romeni, Fisica e realtà.blu
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
52***
R = a = b = dV = V(L) 0,06 0,068 0,076 0,084 0,092 0,1 0,108 0,116 0,124 0,132 0,14 0,148 0,156 0,164 0,172 0,18 0,188 0,196 0,204 0,212 0,22 0,228 0,236 0,244 0,252 0,0831 3,6 0,043 0,008 304 K 486,0 231,9 142,3 106,0 90,2 83,2 80,0 78,5 77,8 77,2 76,8 76,2 75,6 74,9 74,1 73,3 72,4 71,4 70,4 69,4 68,3 67,3 66,3 65,2 64,2 bar ·∙ L ·∙ K-­‐1 ·∙ mol-­‐1 bar ·∙ L2/mol2 L/mol L/mol variazione 254,074 89,691 36,307 15,724 7,028 3,190 1,489 0,771 0,515 0,472 0,523 0,609 0,701 0,786 0,859 0,919 0,965 0,999 1,022 1,037 1,044 1,045 1,041 1,033 Variazione minima = 0,472 Romeni, Fisica e realtà.blu
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
59**
(
)(
)
20 ⋅1,66 ⋅10−27 kg 300 K
mNeT2
⇒ T1 =
=
= 30 K = −243 °C
mHg
200 ⋅1,66 ⋅10−27 kg
3kT1
3kT2
=
mNe
mHg
60**
p(h) = p0 e− mgh/( kT )
(29⋅1,66⋅10 kg)(3⋅10 m )(9,8 m/s )
(1,381⋅10 J/K ))(280 K ) = 0,70 bar
p(3,0 km) = (1,0 bar ) e
−27
−
3
2
−23
61**
e
−
−
mgh
kT
=2
−
h
h1/2
mgh
h
=
ln 2
kT
h1/2
(
(
)(
)(
)
−23
kT ln 2 1,381⋅10 J/K 280 K ln 2
h1/2 =
=
= 5681 m ≈ 5,7 km
mg
29 ⋅1,66 ⋅10−27 kg 9,8 m/s 2
)
62**
•
mu =
•
3kT
mu (1,66 ⋅10−27 kg/u)
vqm =
(
3kT
v 1,66 ⋅10
2
−27
kg/u
=
(
)(
3 1,381⋅10−23 J/K 293 K
) (340 m/s) (1,66 ⋅10
2
−27
)
kg/u
)
= 63 u
Kripton.
63**
3
3
kT ⇒ ΔK = kΔT
2
2
3
373 K − 253 K
ΔK 2 kΔT ΔT
=
=
=
= 0,47 = 47%
3
K
T
253 K
kT
2
〈K 〉 =
(
) (
)
64**
•
•
•
(
)(
)
(
)(
)
1
1
RT = 9 8,31 J/(mol ⋅ K) 223 K = 8339 J ≈ 8,3 kJ
2
2
1
8300 J
Et = E =
= 2,8⋅103 J = 2,8 kJ
3
3
E= f
vqm
3 1,381⋅10−23 J/K 223 K
3kT
=
=
= 339,8 m/s ≈ 0,34 km/s
m
8,0 ⋅10−26 kg
Romeni, Fisica e realtà.blu
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
65**
Ec = 2,7 ⋅104 J per 1 mole
K=
1 2
mv
2 p
2K
m
E
K= c
NA
vp =
(
(per una molecola)
(energia cinetica per molecola)
)(
)
mO = 32 u 1,66 ⋅10−27 kg/u = 5,31⋅10−26 kg
2
vp =
2K
=
mO
2
2Ec
=
mO N A
2
(
2 2,7 ⋅104 J
(5,31⋅10
−26
)(
)
kg 6,22 ⋅10
23
)
= 1,28⋅103 m/s ≈ 1,3 km/s
66**
Metallo Magnesio (Mg) Alluminio (Al) Potassio (K) Titanio (Ti) Ferro (Fe) Rame (Cu) Molibdeno(Mo) Stagno (Sn) Samario (Sm) Tungsteno (W) Piombo (Pb) Uranio (U) matomica c =
CV =
Massa atomica (uma) 24,3 27,0 39,1 47,9 55,8 63,5 95,9 118,7 150,4 183,8 207,2 238,0 Calore Calore spec. specifico molare (kJ/(kg.K) (J mol-­‐1 K-­‐1) 1,020 24,79 0,921 24,87 0,757 29,60 0,520 24,91 0,440 24,55 0,385 24,45 0,250 23,98 0,228 27,06 0,200 30,08 0,130 23,89 0,130 26,94 0,120 28,56 Calore spec. molare R 3,0 3,0 3,6 3,0 3,0 2,9 2,9 3,3 3,6 2,9 3,2 3,4 Q
= CV
n
f
R = 3R ⇒
2
f =6
67***
Ipotesi:
1) la densità superficiale di particelle è uniforme;
2) se N è il numero totale di particelle di massa m, lungo ciascuna delle due direzioni x e y si
muovono N/2 particelle;
3) tutte le molecole hanno velocità di modulo v.
Δpx = −2mvx
Δppar = 2mv
Numero di molecole per unità di superficie N/A in prossimità della parete:
Romeni, Fisica e realtà.blu
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
N
v ΔtA
A x
1N
v ΔtA
numero di urti nell’intervallo di tempo di ∆t
2 A x
N
P = 2 Kx
A
K
〈K x 〉 = x tot
N
N
P = 2 〈K x 〉
A
〈K x 〉 = 〈K y 〉 ⇒ 〈K 〉 = 〈K x 〉 + 〈K y 〉 = 2 〈K x 〉 ⇒ 〈K x 〉 =
1
〈K 〉
2
2N
N
〈K 〉 = 〈K 〉
2 A
A
P=
68***
All’equilibrio la velocità dell’elio e dell’ossigeno sono uguali:
vf,He =
3kT
mHe
vf,O =
3kT
mO
2
2
K f,O
2
K i,O
2
1
2
2
2
mO vf,O
vf,O
vf,He
3kT mO2 mO2 32u
2
2
2
2
=
= 2 = 2 =
=
=
=8
1
mHe 3kT mHe
4u
vi,O
vi,O
2
2
2
m v
2 O2 i,O2
69***
• Supponiamo di avere 100 g di miscela così composta: 55 g di azoto, 25 g di elio, 20 g di
ossigeno.
P = Patm + Pidrostatica = (1+ 9) atm = 10 atm = 10,1⋅105 Pa
Frazioni molari:
55 g
nN =
= 1,96 mol
2
28 u
25 g
nHe =
= 6,25 mol
4u
20 g
nO =
= 0,62 mol
2
32 u
ntot = nN + nHe + nO = 1,96 + 6,25 + 0,62 mol = 8,83 mol
2
2
xN =
1,96 mol
= 0,22
8,83 mol
xHe =
6,25 mol
= 0,71
8,83 mol
2
(
)
Romeni, Fisica e realtà.blu
xO =
2
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
0,62 mol
= 0,07
8,83 mol
PN = xN P = 0,22 ⋅10,1⋅105 Pa = 2,2 ⋅105 Pa
2
2
PHe = xHe P = 0,71⋅10,1⋅105 Pa = 7,1⋅105 Pa
PO = xO P = 0,07 ⋅10,1⋅105 Pa = 0,7 ⋅105 Pa
2
•
2
vp,N
2
(
)(
)
2 1,381⋅10−23 J/K 279 K
2kT
=
=
= 410 m/s
−27
mN
28
u
1,66
⋅10
kg/u
2
)(
(
(
)
)(
)
vp,He
2 1,381⋅10−23 J/K 279 K
2kT
=
=
= 10,7 ⋅102 m/s ≈ 103 m/s
−27
mHe
4 u 1,66 ⋅10 kg/u
vp,O
2 1,381⋅10−23 J/K 279 K
2kT
=
=
= 3,8⋅102 m/s = 380 m/s
−27
mO
32
u
1,66
⋅10
kg/u
2
( )(
(
2
70*
Δx =
kT Δt
=
3πηr
(
)(
)(
(
)
)
)
(1,381⋅10 J/K )(300 K )(3600 s) = 2,8⋅10
3π (1,00 ⋅10 Pa ⋅s ) ( 0,2 ⋅10 m )
−23
−3
) (
−9
−3
m ≈ 3 mm
)
R1 = R + Δx = 1 mm + 3 mm = 4 mm
71*
λ=
(1,381⋅10 J/K )( 293 K ) ≈ 1⋅10
2π ( 3⋅10 m ) (1,01⋅10 Pa )
−23
kT
2
2πd P
=
2
−10
5
−7
m
l 0,1⋅10−3 m
n= =
= 103
−7
λ 1⋅10 m
72**
Nelle condizioni terrestri (T = 290 K, P = 105 Pa), 1 L = 10–3 m3 di gas contiene un numero n di moli:
(
)(
)
105 Pa 10−3 m 3
PV
n=
=
= 4,1⋅10−2 mol
RT
8,31 J/(mol ⋅ K) 290 K
(
)(
)
Su Marte, le stesse moli occupano un volume pari a
V =n
)(
)(
)
8,31 J/(mol ⋅ K) 233 K
RTM
= 4,1⋅10−2 mol
= 0,11 m 3 ≈ 100 L
PM
700 Pa
(
73**
(
)(
)(
)
2
1
1
mCO v 2 = 44 u 1,66 ⋅10−27 kg/u 27,8 m/s = 2,82 ⋅10−23 J
2
2
2
3
3
Et = kT = 1,381⋅10−23 J/K 300 K = 6,21⋅10−21 J
2
2
K=
(
)(
)
Romeni, Fisica e realtà.blu
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
K 2,82 ⋅10−23 J
=
= 45,4 ⋅10−4 ≈ 0,5⋅10−2
Et 6,21⋅10−21 J
74***
vf = 11,2 km/s (velocità di fuga)
Taria = 20 °C = 293 K
vp,H
(
2
vf
vp,H
vp,O
)(
)
2 1,381⋅10−23 J/K 293 K
2kT
=
=
= 1,6 km/s
−27
mH
2
⋅1,66
⋅10
kg
2
=
2
(
11,2 km/s
=7 ⇒
1,6 km/s
(
)
v > 7 vp
)(
)
2 1,381⋅10−23 J/K 293 K
2kT
=
=
= 0,390 km/s
−27
mO
32
⋅1,66
⋅10
kg
2
2
(
)
vf
11,2 km/s
=
= 28,7 ⇒ v > 28,7 vp
vp,O
0,390 km/s
2
vp,He
(
)(
(
vf
11,2 km/s
=
= 10,2 ⇒
vp,He
1,1 km/s
(
2
vp,N
=
2
)
v > 10,2 vp
)(
)
2 1,381⋅10−23 J/K 293 K
2kT
=
= 0,417 km/s
−27
mN
28⋅1,66
⋅10
kg
2
vp,N =
vf
)
2 1,381⋅10−23 J/K 293 K
2kT
=
=
= 1,1 km/s
mHe
4 ⋅1,66 ⋅10−27 kg
(
)
11,2 km/s
= 27 ⇒ v > 27 vp
0,417 km/s
Per l’ossigeno e per l’azoto la frazione di molecole che ha una velocità sufficiente ad abbandonare la
Terra è estremamente bassa. Al contrario per l’idrogeno e per l’elio esistono valori di frazione di
molecole che hanno una velocità sufficiente.
75***
Calcolo vp per l’aria alla temperatura di 20 °C (293 K):
(
)(
)
2 1,381⋅10−23 J/K 293 K
2kT
vp =
=
= 410 m/s
m
29 ⋅1,66 ⋅10−27 kg
(
)
Alla temperatura di –70 °C (203 K):
c=
A=
m
29 ⋅1,66 ⋅10−27 kg
=
= 0,0858⋅10−4 kg/J
2kT 2 1,381⋅10−23 J/K 203 K
(
4
π
(
c3 =
)(
4
π
(0,0858) ⋅10
3
)(
)
−12
)
2
(
kg 3 /J 3 = 0,0568⋅10−6 kg/J
cv 2 = 0,0858⋅10−4 kg/J 410 m/s = 1,4
)
3/2
Romeni, Fisica e realtà.blu
2
(
CAPITOLO 9 • I GAS E LA TEORIA MICROSCOPICA DELLA MATERIA
(
) )( 410 m/s)
−1,4
−3
P(v) = Av 2 e− cv = 0,0568⋅10−6 kg/J
(
(
= 9536 ⋅10−6 kg/J
(
P(v) dv = 2,3⋅10−3
3/2
2
e−1,4 =
) )( m/s) e = 2,3⋅10 s/m
s/m ) (10 m/s ) = 23⋅10 = 0,023 = 2,3% ≈ 2%
3/2
2
−3