Efflusso isoentropico

Efflusso isoentropico
Si consideri un gas ideale che fluisce tra due ambienti caratterizzati da stati fisici noti, attraverso un condotto
opportunamente progettato in cui si possano considerare trascurabili i fenomeni dissipativi interni e gli scambi di
calore con l’esterno. Indicheremo con 0 le grandezze a monte e con 1 le grandezze a valle.
Velocità di efflusso
L’equazione generale del moto dei fluidi in forma termica, integrata tra le sezioni di monte e valle, essendo nulli
gli scambi di energia e lavoro e le dissipazioni interne, si riduce a:
c20 − c21
= h1 − h0 = cp (T1 − T0 )
2
Ricordando la definizione di temperatura totale e applicandola allo stato fisico a monte1 , si ottiene la velocità in
uscita dal condotto:
c21
= cp (T0T − T1 )
2
Raccogliendo T0T e ricordando il legame tra cp , k e R:
c21
T1
kR
=
T0T 1 −
2
k−1
T0T
Ricordando che per una trasformazione isoentropica:
T1
=
T0T
p1
p0T
k−1
k
e utilizzando l’equazione di stato scritta facendo riferimento alle grandezze di ristagno (RT0T = p0T /ρ0T ), la
velocità di efflusso varrà:
v
#
"
u
k−1
u 2k p0T
k
p1
t
c1 =
(1)
1−
k − 1 ρ0T
p0T
Portata
La portata che transita sulla sezione di valle, di sezione A1 si ottiene dalla equazione di continuità:
ṁ = ṁ1 = A1 ρ1 c1
sfruttando la trasformazione isoentropica, si può esprimere la densità nella sezione di valle come:
ρ0 = ρ0T
p1
p0T
1/k
Utilizzando l’espressione della velocità di efflusso isoentropica (1) appena trovata, la portata nella sezione di valle
vale:
v
"
#
k1 u
k−1
u 2k p0T
k
p1
p1
t
1−
ṁ = A1 ρ0T
p0T
k − 1 ρ0T
p0T
che semplificata diviene:
v
"
#
u
2 k+1
u 2k
k
p1 k
p1
t
p0T ρ0T
ṁ = A1
−
k−1
p0T
p0T
1 Interessa
il potenziale energetico che sviluppa il flusso, quello a valle è energia non utilizzata e quindi persa
1
(2)
Salto di pressione critico
Tenendo costanti le grandezze di monte e la sezione del condotto e facendo variare la pressione di valle dal valore
della pressione di monte sino a zero, la portata effluente deve mostrare un massimo, infatti la portata ha valore
sempre positivo e presenta valore nullo per rapporto tra le pressioni (ovviamente sono da considerare le pressioni
assolute e non relative) unitario (assenza di efflusso per la mancanza di salto di pressione, cioè di forza motrice) e
nullo (in tal caso è la densità che assume valore nullo, o meglio il volume specifico valore infinito).
Il valore del rapporto tra le pressioni per cui si ha il massimo di portata (detto rapporto critico) si ricava
differenziando la (2) e ponendo il risultato uguale zero:
2−k
1
k
dṁ
2 p1
k + 1 p1 k
=
−
=0
1
d pp0T
k p0T
k
p0T
quindi:
p1
p0T
#
k1 " 1−k
k
2 p1
k+1
−
=0
k p0T
k
che si annulla solo se il rapporto tra le pressioni è nullo, caso non di interesse, o se:
2
k
1−k
k
p1
p0T
=
k+1
k
di conseguenza il rapporto tra le pressioni che massimizza la portata in massa vale:
p1
p0T
=
cr
2
k+1
k
k−1
(3)
Al raggiungimento del rapporto di pressione critico la velocità di efflusso vale:
v
s
"
u
r
k k−1 #
k−1
u 2k p0T
k
2
2k p0T
2k
t
=
c1 =
1−
=
RT0T
k − 1 ρ0T
k+1
k − 1 ρ0T
k+1
Il salto di pressione critico può essere espresso in termini di salto di temperatura critico:
2
T1
=
T0T cr
k+1
ricavando quindi la temperatura di monte e sostituendola nella espressione della velocità:
r
p
k+1
2k
c1 =
R
T1 = kRT1 = cs
k+1
2
quindi al raggiungimento del rapporto di pressione critico la velocità di efflusso diviene pari alla velocità del suono
calcolata per la temperatura del fluido nella sezione critica:
p1
p0T
=
p1
p0T
=⇒ c1 = cs
cr
In condizioni critiche la portata in massa vale:
ṁcr = A1 ρ1 c1 = A1 ρ0T
p1
p0T
k1
cs =
cr
Sostituendo le condizioni di valle con le definizioni in funzione delle grandezze di ristagno di monte:
k 1 r
k−1
k
2
2k
p0T
RT1
ṁcr = A1
RT0T k + 1
k+1
s
s
2
k−1
2
RT0T
2
k
= A1 p0T
2
2
R T0T
k+1
k+1
s
k+1
k−1
p0T
k
2
= A1 √
T0T R k + 1
2
Sotto salto di pressione critico la portata dipende, pertanto, solo dalle condizioni di monte:
p1
p0T
=
p1
p0T
cr
=⇒ ṁmax
p0T
K∗
= A1 √
T0T
K =
∗
s
k
R
2
k+1
k+1
k−1
L’andamento della portata in funzione del salto di pressione differisce da quanto calcolabile con la (2), infatti
la portata non cala al calare del salto al di sotto del valore critico, ma rimane costante.
Infatti la velocità di propagazione di una qualunque perturbazione di pressione è, come noto, la velocità del
suono, quindi raggiunta la portata massima nella sezione si raggiunge anche la velocità del suono e il fluido a
monte è “incapace” di sentire ulteriori cali della pressione di valle, quindi non è in gradi di aumentare la velocità
di efflusso.
3