Poligoni Regolari

I POLIGONI REGOLARI E IL CALCOLO DELL'AREA
UN POLIGONO REGOLARE È UN POLIGONO CHE È CONTEMPORANEAMENTE EQUILATERO
(CIOÈ HA TUTTI I LATI CONGRUENTI FRA LORO) ED EQUIANGOLO (CIOÈ HA TUTTI GLI ANGOLI
CONGRUENTI FRA LORO).
Un poligono regolare con 3 lati/angoli si chiama triangolo equilatero, con 4 quadrato, con 5 pentagono regolare, con 6 esagono regolare,
con 7 ettagono regolare , con 8 ottagono regolare , ecc...
Triangolo equilatero
Quadrato
Pentagono regolare
Esagono regolare
Ottagono regolare
In un poligono regolare (esagono fig.1) si definiscono i lati, tutti congruenti, che sono in
questo caso i segmenti AB, BC, CD, DE, EF, FA.
Per ogni poligono regolare la Somma Degli Angoli Interni è:
Si=(n−2)⋅180 °
dove n è il numero dei lati del poligono.
Quindi per l'esagono regolare in figura 1 avremo che:
Si=(6− 2)⋅180 °= 4⋅180 °= 720 °
La Somma Degli Angoli Esterni è sempre 360°.
LA DISTANZA DEL CENTRO DA OGNI LATO DEL POLIGONO REGOLARE È
DETTO APOTEMA e nella figura 1 è rappresentato dal segmento OH.
fig.1
L'esagono in fig.1 può essere scomposto in sei
triangoli congruenti, aventi come base il lato
dell'esagono e come altezza il suo apotema (vedi
fig.2). Quindi per calcolare l'area dell'esagono
regolare basta moltiplicare per 6 l'area di uno di
tali triangoli.
Quindi:
A= 6⋅
l⋅a
Essendo
2
a
l
fig.2
6 ⋅l il perimetro (p) dell’esagono avremo:
A=
p⋅a
2
(formula diretta)
Questa formula può essere estesa a tutti i poligoni regolari.
L'AREA DI UN QUALSIASI POLIGONO REGOLARE SI OTTIENE MOLTIPLICANDO IL
PERIMETRO PER LA MISURA DELL'APOTEMA E DIVIDENDO IL PRODOTTO PER 2.
Dalla formula diretta si ricavano le formule inverse:
p=

2⋅A
a
a=
2⋅A
p
(formule inverse)
ESEMPIO
Calcola l'area di un pentagono regolare che ha il lato di 4 cm e l'apotema di 3,4 cm.
A=
p⋅a (5⋅ 4)⋅ 3,4
=
= 34 cm2
2
2
_____________________________________________________
Calcola il perimetro di un ettagono regolare sapendo che l'area è 90,825 cm2 e l'apotema 5,19 cm.
p=
2A 2⋅ 90,825
=
= 35 cm
a
5,19
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1
Dispensa realizzata dal prof. Panza Roberto
RELAZIONE TRA APOTEMA E LATO DI UN POLIGONO REGOLARE
Ogni poligono regolare è caratterizzato da un valore costante (cioè che non cambia) del rapporto tra l'apotema e il lato; tale rapporto viene
definito costante o numero fisso e viene indicato con la lettera f.
In simboli avremo:
a
=f
l
(formula diretta)
IL RAPPORTO TRA L'APOTEMA E IL LATO DI UN POLIGONO REGOLARE È COSTANTE .
TALE COSTANTE DIPENDE DAL NUMERO DEI LATI DEL POLIGONO.
Nella seguente tabella riportiamo i valori delle costanti f per i poligoni regolari che incontreremo più frequentemente:
POLIGONO REGOLARE
Triangolo Equilatero
Quadrato
Pentagono
Esagono
Ettagono
Ottagono
Ennagono
Decagono
Dodecagono
COSTANTE f
0,289...
0,5...
0,688...
0,866...
1,038...
1,207...
1,374...
1,539...
1,866...
Grazie alle formule inverse di seguito riportate è possibile calcolare l'apotema conoscendo il lato e viceversa:
a= l⋅ f

l=
a
f
(formule inverse)
ESEMPIO
Calcola la misura del lato di un ottagono regolare sapendo che il suo apotema misura 30,175 cm.
l=
a 30,175
=
= 25 cm
f
1,207
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2
Dispensa realizzata dal prof. Panza Roberto
CALCOLO DELL'AREA DEI POLIGONI REGOLARI CON L'UTILIZZO DEI NUMERI FISSI
a
= f ) , possiamo fare delle considerazioni che ci portano a
l
Considerando la precedente relazione che esiste tra l'apotema e il lato (
calcolare l'area di un qualsiasi poligono regolare in maniera più semplice della relazione precedentemente studiata (
A=
p×a
), cioè
2
utilizzando dei numeri fissi, ovvero delle costanti.
1.
CALCOLIAMO L'AREA DI UN ESAGONO REGOLARE:
partendo dalla formula che già conosciamo possiamo scrivere:
p×a
; possiamo effettuare le seguenti sostituzioni p=6×l e a=l× f
2
6 × l × l × 0,866
otteniamo quindi A=
, dove 0,866 è la costante f relativa all'esagono (vedi
2
A=
tabella pagina 2);
facendo le opportune semplificazioni aritmetiche otteniamo
2
A= 3 × l × 0,866 , ovvero:
A= l 2 × 2,598
dove il numero 2,598 viene fuori dal prodotto 3 × 0,866
2.
CALCOLIAMO L'AREA DI UN PENTAGONO REGOLARE:
partendo dalla formula che già conosciamo possiamo scrivere:
p×a
; possiamo effettuare le seguenti sostituzioni p=5×l e a=l× f
2
5 × l × l × 0,688
otteniamo quindi A=
, dove 0,688 è la costante f relativa al pentagono (vedi tabella
2
A=
pagina 2);
facendo le opportune semplificazioni aritmetiche otteniamo
A= 2,5 × l 2 × 0,688 , ovvero:
A= l 2 × 1,72
dove il numero 1,72 viene fuori dal prodotto
2,5 × 0,688
Questo meccanismo è possibile riproporlo per ogni poligono regolare; osservando le relazioni evidenziate per il calcole dell'area dell'esagono
e del pentagono, possiamo generalizzare la formula e scrivere:
A= l 2 × ϕ
√
A
l= ϕ
(formula diretta)
(formula inversa)
dove φ (si legge “fi”) è un numero fisso che come la costante f varia a seconda del poligono regolare considerato;
nella tabella che segue riportiamo le costanti φ per alcuni poligoni regolari:
POLIGONO REGOLARE
Triangolo Equilatero
Quadrato
Pentagono
Esagono
Ettagono
Ottagono
Ennagono
Decagono
Dodecagono

COSTANTE φ
0,433
1
1,720
2,598
3,634
4,828
6,182
7,694
11,196
ESEMPIO
Calcola l'area di un ettagono regolare che ha il lato di 10 cm.
A= l 2 × ϕ= 10 2 × 3,634= 100 × 3,634= 363,4 cm2
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3
Dispensa realizzata dal prof. Panza Roberto