radicali e equazioni di secondo grado - IIS Sassetti

APPUNTI DI MATEMATICA
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
• I radicali
• Le equazioni di secondo grado
ALESSANDRO BOCCONI
Indice
1 I radicali
2
1.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Definizione di radicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1
Le condizioni di esistenza dei radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
I radicali aritmetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Le due proprietà fondamentali dei radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
La proprietà invariantiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6
Semplificazione dei radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.7
Prodotto e quoziente di radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8
Il portare fuori dal segno di radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9
Addizione e sottrazione fra radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.11 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Le equazioni di secondo grado
19
2.1
Le equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2
Casi Particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1
Equazioni di secondo grado pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2
Equazioni di secondo grado spurie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3
Equazioni di secondo grado monomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3
Il caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4
La formula ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5
Relazione fra coefficienti e soluzioni di un’equazione di secondo grado . . . . . . . . . 26
2.6
Scomposizione di un trinomio di secondo grado tramite le equazioni . . . . . . . . . 29
2.7
Problemi risolubili tramite equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8
Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.10 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
Capitolo 1
I radicali
1.1
Introduzione
Molto spesso in matematica e nelle sue applicazioni capita di dover risolvere il seguente problema:
assegnato un numero, determinare quel numero che, elevato ad una certa potenza, sia uguale al
numero assegnato. Sono problemi di questo tipo quelli illustrati nei seguenti
Esempi
.
Determinare quel numero che elevato alla seconda dia come risultato 9.
.
Determinare quel numero che elevato alla terza dia come risultato 125.
.
Determinare quel numero che elevato alla quarta dia come risultato −16.
e cosı̀ via.
I problemi precedenti si risolvono tramite un procedimento chiamato di “estrazione di radice”. Più
in generale risulta estremamente utile saper effettuare determinate operazioni con le radici (che
d’ora in avanti chiameremo radicali), ed è questo lo scopo del presente capitolo.
1.2
Definizione di radicale
Col simbolo
√
n
a
si intende un generico radicale in cui n è l’indice del radicale e a è l’argomento del radicale (detto
anche radicando).
Quindi ad esempio
√
4
27
è un radicale di indice 4 e di radicando 27; mentre
√
3
x+y
è un radicale di indice 3 e di radicando x + y.
Osservazione. L’indice del radicale deve essere un numero naturale maggiore di zero, mentre il
radicando può essere qualunque numero reale.
Alessandro Bocconi
3
Quindi ha perfettamente senso il radicale:
p
4
2, 718
mentre non ha senso il radicale:
√
3,7
20
A questo punto, tramite un’espressione, diamo la seguente:
Definizione di radicale.
√
n
a = b ⇔ bn = a
che si legge: la radice ennesima (cioè di indice n) di a è quel numero b che elevato all’esponente n
ha come risultato a.
Chiariamo con alcuni esempi:
√
. 2 25 = 5 perché 52 = 25
Notiamo come questo esempio deriva dal caso generale della definizione sostituendo a n il numero
2, ad a il numero 25 e a b il numero 5.
√
. 3 8 = 2 perché 23 = 8
(n = 3, a = 8 e b = 2).
√
.
16, 81 = 4, 1 perché 4, 12 = 16, 41
(n = 2, a = 16, 81 e b = 4, 1).
√
. 4 15 = 1, 9679896712 . . . perché (1, 9679896712 . . .)4 = 15
(n = 4, a = 15 e b = 1, 9679896712 . . .).
√
. 7 1 = 1 perché 17 = 1
(n = 7, a = 1 e b = 1).
√
. 5 0 = 0 perché 05 = 0
(n = 5, a = 0 e b = 0).
Osservazione. Guardando il primo degli esempi appena affrontati potremmo fare un’obiezione
importante: 5 non è l’unico numero che elevato alla seconda è uguale a 25, infatti sappiamo che
anche −5 elevato alla seconda è 25 (ricordiamoci che un numero negativo elevato ad esponente
pari ha risultato positivo). Si pone quindi il problema che, se l’indice è pari, uno stesso radicale
fornirebbe 2 risultati diversi e questo non è accettabile in matematica. Per evitare questa situazione
è stata adottata la seguente:
Convenzione. La radice di un numero positivo è sempre un numero positivo.
√
Grazie a tale
convenzione possiamo affermare che 2 9 = 3 e non −3 sebbene valga che anche
√
(−3)2 = 9; 4 16 = 2 e non −2 sebbene valga che anche (−2)4 = 16 e cosı̀ via.
Alessandro Bocconi
4
Osservazione. Se l’indice della radice è 1, dalla definizione risulta che:
√
1
a = b ⇔ b1 = a
ma noi sappiamo che b1 = b, quindi la formula appena scritta può essere letta come: la radice di
indice 1 di a è quel numero b che è uguale ad a. Quindi risulta che:
√
1
a=a
Osservazione. Dal penultimo esempio ricaviamo facilmente che
√
n
1=1
per qualunque valore di n; mentre dall’ultimo esempio risulta che
√
n
0=0
per qualunque valore di n.
Convenzione. Dal momento che la radice di indice 2 (la “famosa” radice quadrata) è quella usata
più frequentemente, è stata adottata la convenzione che se l’indice non è specificato è sottinteso
che l’indice del radicale sia 2.
√
√
√
√
Esempi: 100 equivale a 2 100; 28 equivale a 2 28 e cosı̀ via.
Abbiamo osservato in precedenza che a può essere qualunque numero reale e quindi anche negativo.
Consideriamo allora un radicale di indice pari e di radicando negativo, come ad esempio:
√
−9
dalla definizione di radicale sappiamo che il risultato è quel numero che, elevato alla seconda, è
uguale a −9. Ma noi sappiamo che un numero elevato alla seconda non può essere negativo e quindi
non può esistere la radice quadrata di −9, o di qualunque altro numero negativo. Più in generale
possiamo affermare che un numero elevato ad esponente pari non è mai negativo. Vale quindi la
seguente:
Regola dei radicali di indice pari e radicando negativo. Non esiste la radice di indice pari
di un numero negativo.
Consideriamo adesso un radicale di indice dispari e di radicando negativo, come ad esempio:
√
3
−27
sempre dalla definizione di radicale sappiamo che il risultato è quel numero che, elevato alla terza,
è uguale a −27. In questo caso un numero elevato alla terza è negativo se la base è negativa. In
particolare risulta che:
√
3
−27 = −3 perchè (−3)3 = −27
Più in generale sappiamo che un numero negativo elevato ad esponente dispari è negativo. Vale
quindi la seguente:
Regola dei radicali di indice dispari e radicando negativo. La radice di indice dispari di un
numero negativo esiste ed è un numero negativo.
Alessandro Bocconi
1.2.1
5
Le condizioni di esistenza dei radicali
Abbiamo appena constatato che non esiste un radicale di indice pari e radicando negativo. Un
problema interessante risulta allora quello di determinare le condizioni di esistenza (abbreviato
C.E.) di un radicale. Premettiamo la seguente:
Definizione di condizione di esistenza di un radicale di indice pari. Le condizioni di
esistenza di un radicale sono l’insieme dei valori che può assumere la parte letterale affinché il
radicando sia non negativo.
Esempi
.
Determinare le C.E. del seguente radicale:
√
4
x − 5.
L’indice del radicale è pari quindi il radicando deve essere non negativo (cioè maggiore o uguale a
zero). Le C.E. si trovano risolvendo:
x−5≥0→x≥5
quindi le C.E. risultano:
C.E. = {x ∈ R|x ≥ 5}
.
Determinare le C.E. del seguente radicale:
√
8 − 3a.
L’indice del radicale è pari (sappiamo già che quando non è specificato l’indice è sottinteso che sia
2). Le C.E. si trovano risolvendo:
8 − 3a ≥ 0 → −3a ≥ −8 → a ≤
−8
8
→a≤
−3
3
quindi le C.E. risultano:
.
8
C.E. = {a ∈ R|a ≤ }
3
√
5
Determinare le C.E. del seguente radicale:
7x + 23.
L’indice del radicale è dispari quindi il radicando può essere sia positivo che negativo che zero e
quindi tutti i valori di x fanno parte delle C.E.; risulta allora:
C.E. = {x ∈ R}
.
Determinare le C.E. del seguente radicale:
q
5
7x+23
2x−6 .
L’indice del radicale è dispari quindi il radicando può essere sia positivo che negativo che zero. In
questo caso però il radicando è una frazione algebrica il cui denominatore deve essere diverso (e
non maggiore!!) da zero. Quindi per determinare le C.E. risolviamo:
2x − 6 = 0 → 2x = 6 → x =
6
→x=3
2
risulta allora:
C.E. = {x ∈ R|x 6= 3}
Alessandro Bocconi
1.3
6
I radicali aritmetici
Definizione di radicale aritmetico. Per radicale aritmetico si intende un radicale il cui radicando è non negativo e, nel caso il radicando sia un prodotto di fattori, tutti questi fattori sono
non negativi.
Osservazione. Si consideri il radicale
√
a·b
per essere un radicale aritmetico non solo deve essere non negativo il radicando (cioè il prodotto
a · b) ma sia a che b devono essere non negativi.
Nel resto del capitolo tratteremo solo di radicali aritmetici.
1.4
Le due proprietà fondamentali dei radicali
Prima proprietà fondamentale dei radicali. Vale che:
√
( n a)n = a
Seconda proprietà fondamentale dei radicali. Vale che:
√
n n
a =a
Esempi
.
Determinare
√
( 4 a)4
√
Applicando la prima proprietà fondamentale si ottiene ( 4 a)4 = a
p
3
. Determinare
(x + y)3
p
Applicando la seconda proprietà fondamentale si ottiene 3 (x + y)3 = x + y
p
3
x3 + y 3
. Determinare
L’esempio è simile al precedente, ma in questo caso non si può applicare nessuna proprietà fondamentale perchè x3 + y 3 non è il cubo di nessun binomio!
√
6
6
. Determinare
Anche in questo caso non si può applicare nessuna proprietà fondamentale perchè il radicando deve
avere l’esponente uguale all’indice della radice e non, come in questo caso, al radicando stesso.
√
5
. Determinare
32
In apparenza, non avendo il radicando nessun esponente (e quindi sottointeso esponente 1) non si
può applicare nessuna proprietà fondamentale. Però, scomponendo 32 si ottiene 32 = 25 e quindi
il radicale diventa:
√
√
5
5
32 = 25 = 2
Alessandro Bocconi
1.5
7
La proprietà invariantiva
Proprietà invariantiva dei radicali. Moltiplicando l’indice della radice ed esponente del radicando per uno stesso numero si ottiene un radicale equivalente.
Esempi
√
√
15 6
5
a : infatti il secondo radicale è ottenuto dal primo moltipli. Il radicale a2 è equivalente a
cando sia l’indice del radicale sia l’esponente del radicando per il numero 3.
p
√
. Il radicale 3 x + y è equivalente a 6 (x + y)2 : infatti il secondo radicale è ottenuto dal primo
moltiplicando sia l’indice del radicale sia l’esponente del radicando per il numero 2.
√
√
. Il radicale 3 4 è equivalente a 9 64: infatti il secondo radicale è ottenuto dal primo moltiplicando
sia l’indice del radicale sia l’esponente del radicando per il numero 3 (ricordiamo che 64 = 43 ).
La proprietà invariantiva risulta estremamente utile per ridurre più radicali allo stesso indice.
Metodo per la riduzione di più radicali allo stesso indice.
1. Si considerano gli indici dei radicali e se ne determina il loro minimo comune multiplo.
2. Si riscrivono i radicali con, al posto del loro indice originale, il minimo comune multiplo
precedentemente determinato.
3. Per ciascun radicale si divide il mcm con l’indice originale. Si moltiplica l’esponente del
radicando per il risultato di tale divisione.
Esempi
.
Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali:
√
√
6
3
x + y;
x3 ;
√
9
5
Gli indici sono 3; 6 e 9 e quindi il minimo comune multiplo è 18. I radicali dovranno avere tutti
indice 18.
Si divide il minimo comune multiplo per l’indice originale del radicale e si moltiplica l’esponente
del radicando per il risultato di tale divisione. Quindi per il primo radicale:
18 : 3 = 6; l’esponente di x + y è 1 quindi moltiplichiamo 1 · 6 = 6 e il radicando diventa (x + y)6 .
Per il secondo radicale:
18 : 6 = 3; l’esponente di x3 è 3 quindi moltiplichiamo 3 · 3 = 9 e il radicando diventa x9 .
Per il terzo radicale:
18 : 9 = 2; l’esponente di 5 è 1 quindi moltiplichiamo 2 · 1 = 2 e il radicando diventa 52 cioè 25.
Riassumendo i radicali ridotti allo stesso indice sono:
√
p
18
18
(x + y)6 ;
x9 ;
.
Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali:
r
x+2
;
3
√
6
x5
√
18
25
Alessandro Bocconi
8
Gli indici sono 2 e 6 quindi il minimo comune multiplo è 6. I radicali dovranno avere tutti indice 6.
Si divide il minimo comune multiplo per l’indice originale del radicale e si moltiplica l’esponente
del radicando per il risultato di tale divisione. Quindi per il primo radicale:
x+2
3 è 1
(x+2)3
come 27 .
6 : 2 = 3; l’esponente di
preferiamo scrivere
3
quindi moltiplichiamo 1 · 3 = 3 e il radicando diventa ( x+2
3 ) che
Per il secondo radicale l’indice rimane uguale e quindi rimane uguale anche il radicando.
Riassumendo i radicali ridotti allo stesso indice sono:
r
3
√
6
6 (x + 2)
;
x5
27
Osservazione. Il lettore attento avrà trovato una somiglianza fra l’applicazione della proprietà
invariantiva per portare due radicali allo stesso indice e la somma di frazioni. Vediamolo col seguente
esempio:
√
√
6
4
x5 ;
x7 .
. Portare i seguenti radicali allo stesso indice:
• Si determina il mcm fra 4 e 6 che è 12. Tale numero sarà l’indice comune dei 2 radicali
• Si divide 12 per 4 (che è l’indice del primo radicale), ottenendo 3. Si moltiplica l’esponente
√
12
del primo radicando (5) per 3 ottenendo 15. Il primo radicale diventa quindi:
x15
• Si divide 12 per 6 (che è l’indice del secondo radicale), ottenendo 2. Si moltiplica l’esponente
√
12
del secondo radicando (7) per 2 ottenendo 14. Il secondo radicale diventa quindi:
x14
Consideriamo adesso la seguente somma di frazioni:
5
4
+
7
6
• Si determina il mcm fra 4 e 6 che è 12. Tale numero sarà il denominatore della somma delle
2 frazioni
• Si divide 12 per 4 (che è il denominatore della prima frazione), ottenendo 3. Si moltiplica il
numeratore della prima frazione (5) per 3 ottenendo 15. La prima frazione diventa quindi:
15
12
• Si divide 12 per 6 (che è il denominatore della seconda frazione), ottenendo 2. Si moltiplica
il numeratore della seconda frazione (7) per 2 ottenendo 14. La seconda frazione diventa
14
quindi:
12
• Possiamo adesso effettuare la somma che è
15+14
12
=
29
12
Appare quindi evidente l’analogia dei 2 procedimenti dove l’indice del radicale corrisponde al
denominatore della frazione e l’esponente del radicando corrisponde al numeratore.
1.6
Semplificazione dei radicali
Teorema. Se l’esponente del radicando e l’indice del radicale hanno un divisore comune, dividendo
sia l’esponente che l’indice per tale divisore si ottiene un radicale equivalente. Tale operazione si
chiama semplificazione di un radicale.
Alessandro Bocconi
9
Osservazione. In un certo senso si può dire che la√ semplificazione è l’inverso dell’applicare la
5
proprietà invariantiva, infatti se abbiamo il radicale a3 e lo vogliamo trasformare in un radicale
equivalente di indice, ad esempio, 15 applicando la proprietà invariantiva otteniamo:
√
√
5
15
a3 =
a9
√
15 9
Ma il radicale
a , in accordo con il teorema,
può essere semplificato dividendo sia l’indice che
√
5 3
l’esponente per 3, tornando quindi a essere a che è il radicale di partenza.
Esempi
.
Semplificare il radicale
√
6
x4
L’indice del radicale è 6 e l’esponente del radicando è 4. Sono entrambi divisibili per 2, quindi in
base al teorema risulta che:
√
√
6
3
x4 = x2
q
8 x4
. Semplificare il radicale:
y6
Quando parliamo di esponente del radicando intendiamo l’esponente di una potenza in cui la base
è tutto il radicando. È quindi sbagliato dire che l’esponente del radicando è 4 perché il numeratore
ha esponente 4 oppure che è 6 perché il denominatore ha esponente 6. Per le proprietà delle potenze
possiamo affermare che:
x4 x2 2
=
y6
y3
a questo punto osserviamo che tutta la frazione è elevata alla seconda e quindi possiamo semplificare
il 2 con l’indice 8 della radice:
s
s
s
x 2 2
4
2
x
8
8
4 x
=
=
y6
y3
y3
in pratica quindi bisogna determinare un divisore comune a tutti i fattori del radicando e all’indice
e dividere tutto per tale divisore.
p
4
xy 6
. Semplificare il seguente radicale:
L’indice del radicale è 4, l’esponente del fattore x è 1 e l’esponente del fattore y è 6. L’unico divisore
comune è 1 e quindi il radicale non può essere semplificato.
p
4
. Semplificare il seguente radicale:
x2 + y 2
In questo caso x e y non sono fattori (è una addizione) e quindi il radicando va visto come una
potenza di base x2 + y 2 e esponente 1. Il radicale non è quindi semplificabile.
p
4
. Semplificare il seguente radicale:
(x + y)2
Anche se il radicale appare simile al precedente in questo caso l’esponente 2 è riferito a tutto il
radicando e quindi può essere semplificato. Si ottiene quindi:
p
√
4
(x + y)2 = x + y
.
Semplificare il seguente radicale:
p
4
x2 y 2
In questo caso x2 e y 2 sono fattori. Possiamo quindi semplificare:
p
√
4
x2 y 2 = xy
.
Semplificare il seguente radicale:
√
4
16
Alessandro Bocconi
10
In apparenza l’esponente del radicando è 1 e quindi il radicale non risulta semplificabile. Se
scomponiamo il numero 16 si ottiene però 16 = 24 e quindi il radicale è semplificabile e si ottiene:
√
√
√
4
4
1
16 = 24 = 2 = 2
.
√
8
Semplificare il seguente radicale:
225
In apparenza l’esponente del radicando è 1 e quindi il radicale non risulta semplificabile. Se scomponiamo il numero 225 si ottiene però 225 = 32 · 52 e quindi il radicale è semplificabile e si
ottiene:
√
√
√
√
4
4
225 = 32 · 52 = 3 · 5 = 15
.
√
6
Semplificare il seguente radicale:
x2 + 2x + 1
In apparenza l’esponente del radicando è 1 e quindi il radicale non risulta semplificabile. Se proviamo a scomporre il polinomio x2 + 2x + 1 si ottiene x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 e quindi il radicale è
semplificabile e si ottiene:
p
p
√
6
x2 + 2x + 1 = 6 (x + 1)2 = 3 x + 1
1.7
Prodotto e quoziente di radicali
È estremamente semplice determinare il prodotto o il quoziente fra due radicali grazie al seguente:
Teorema. Il prodotto (quoziente) fra due radicali aventi lo stesso indice è un radicale che ha lo
stesso indice e come radicando il prodotto (quoziente) dei radicandi.
Quindi per eseguire un prodotto (quoziente) fra 2 radicali, basta portarli allo stesso indice tramite
la proprietà invariantiva e poi fare il prodotto (quoziente) fra i radicandi.
Esempi
.
Eseguire la moltiplicazione:
q
3
3x
(x+y)2
·
q
2
x+y
x3
Il minimo comune multiplo fra i 2 indici è 6: bisogna quindi trasformare, tramite la proprietà
invariantiva, entrambi i radicali in radicali equivalenti aventi indice 6. Il primo radicale ha indice
3, quindi dato che 6 : 3 = 2 ottiene:
s
s
s
h 3x i2
3x
9x2
3
= 6
= 6
2
2
(x + y)
(x + y)
(x + y)4
Il secondo radicale ha indice 2, quindi dato che 6 : 2 = 3 ottiene:
r
r
r
h (x + y) i3
3
6 (x + y)
2 (x + y)
6
=
=
x3
x3
x9
quindi il prodotto iniziale diventa:
s
6
9x2
·
(x + y)4
r
6
(x + y)3
x9
Alessandro Bocconi
11
Per il teorema si ottiene che:
s
s
s
r
3
2
3
2
(x
+
6
y)
9x
(x
+
y)
9
6x
9
6
6
·
·
= 6
= 6 7
7
4
9
6
4
6
9
(x + y)
x
x (x + y)
(x + y)
x
che conclude l’esercizio.
.
Eseguire la divisione:
q
10
27
(x+y)3
:
q
3
x+y
Il minimo comune multiplo fra i 2 indici è 10: bisogna quindi trasformare, tramite la proprietà
invariantiva, entrambi i radicali in radicali equivalenti aventi indice 10. Il primo radicale ha già
indice 10 e rimane quindi invariato, mentre il secondo radicale ha indice 2, quindi dato che 10 : 2 = 5
ottiene:
s
s
rh
3
3 i5
35
10
10
=
=
(x + y)
x+y
(x + y)5
quindi il quoziente iniziale diventa:
s
10
27
:
(x + y)3
s
10
35
(x + y)5
Per il teorema si ottiene che:
s
s
s
s
5
5
3
(x + y)5
27
3
27
27
10
10
10
10
:
=
:
=
·
(x + y)3
(x + y)5
(x + y)3 (x + y)5
(x + y)3
35
e dato che 27 = 33 si ottiene:
s
10
36 3
(x + y)6 52
·
=
(x +
6 y)3
36 52
r
10
(x + y)2
9
che conclude l’esercizio.
1.8
Il portare fuori dal segno di radice
√
Premettiamo che con l’espressione 2 3 a √
intendiamo che il fattore 2, fuori dalla radice, moltiplica il
√
2 5 ab si intende che il fattore a2 , fuori dalla radice, moltiplica
oppure
con
l’espressione
a
radicale 3 a,
√
il radicale 5 ab.
Detto questo lo scopo del presente paragrafo è quello di “trasportare”, se possibile, dei fattori che
costituiscono il radicando fuori dal segno di radice. Per vedere come consideriamo il seguente:
Esempio
.
Portare fuori dal segno di radice nel radicale
√
4
a9
Tramite le proprietà delle potenze possiamo scrivere il radicando a9 come a4 · a4 · a. Quindi il
radicale diventa:
√
√
4
4
a9 = a4 · a4 · a
Ma da quanto abbiamo visto nel paragrafo 1.7, letto da destra a sinistra vale che:
√
√
√
√
4
4
4
a4 · a4 · a = a4 · a4 · 4 a
per la seconda proprietà fondamentale:
√
√
√
√
√
4
4
a4 · a4 · 4 a = a · a · 4 a = a2 4 a
Il fattore a è stato portato fuori dal segno di radice come richiesto dall’esercizio.
Alessandro Bocconi
12
Il procedimento appena effettuato è abbastanza laborioso ma ha il pregio di spiegare i vari passaggi
del portare fuori dal segno di radice. Più veloce è senz’altro il seguente:
Metodo per portare un fattore fuori dal segno di radice. Per portare un fattore fuori dal
segno di radice si effettua la divisione fra l’esponente del fattore stesso e l’indice del radicale. Il
risultato di tale divisione è l’esponente del fattore “portato fuori” mentre il resto della divisione è
l’esponente del fattore “rimasto dentro” il radicale.
√
4
Applichiamo questo metodo all’esempio appena visto: a9 . Si effettua la divisione fra l’esponente
del radicando (9) e l’indice del radicale (4). Il risultato è 2 con resto 1. Quindi il fattore a portato
√
fuori dalla parentesi ha esponente 2 mentre il fattore a rimasto dentro ha esponente 1. Cioè a2 4 a
in accordo col risultato trovato col precedente procedimento.
Osservazione. Dal metodo precedente risulta che se un fattore ha esponente minore dell’indice
del radicale non può essere portato fuori dal segno di radice.
Esempi
.
Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale
√
3
a6 b2 c11
Dall’osservazione precedente risulta che b avendo esponente minore dell’indice del radicale non può
essere portato fuori. Vediamo a6 : si divide l’esponente (6) per l’indice della radice (3) e si ottiene
2 con resto 0. Quindi a fuori dalla radice avrà esponente 2 mentre nella radice avrà esponente 0 (e
quindi non verrà scritto perché qualunque potenza di esponente 0 è 1 e quindi è inutile scriverla).
c ha esponente 11, quindi dato che 11 : 3 = 3 con resto 1, c fuori dalla radice avrà esponente 3 e
dentro 1. In conclusione
√
√
3
3
a6 b2 c11 = a2 c3 b2 c
.
Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale
√
32a
Dall’osservazione precedente risulta che a avendo esponente minore dell’indice del radicale non può
essere portato fuori. Anche 32 ha esponente
1 e quindi minore dell’indice, ma come ben sappiamo
√
5
5
32 = 2 e quindi il radicale diventa 2 a. Dato che 5 : 2 = 2 con resto 1, 2 fuori dalla radice avrà
esponente 2 e dentro 1. In conclusione
√
√
√
32a = 22 2a = 4 2a
.
Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale
q
3
16a5
b4
16 = 24 quindi 4 : 3 = 1 con resto 1 e il fattore 2 fuori dalla radice avrà esponente 1 e anche nella
radice avrà esponente 1. a ha esponente 5, quindi dato che 5 : 3 = 1 con resto 2, a fuori dalla radice
avrà esponente 1 e dentro 2. b è al denominatore dentro la radice e quindi anche portato fuori sarà
al denominatore. b ha esponente 4, quindi 4 : 3 = 1 con resto 1 da cui b fuori dalla radice avrà
esponente 1 e anche nella radice avrà esponente 1. Concludendo:
r
r
5
2a 3 2a2
3 16a
=
b4
b
b
.
Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale
√
3
24
Alessandro Bocconi
13
24 = 23 · 3 quindi il fattore 2 può essere portato fuori dalla radice, e fuori avrà esponente 1 mentre
dentro, dovendo avere esponente 0 non verrà scritto. 3 avendo esponente minore dell’indice non
può essere portato fuori. Concludendo:
√
√
3
3
24 = 2 3
.
Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale
p
x5 + y 4
In questo caso siamo di fronte ad un’addizione e il radicando va visto come un fattore unico (cioè
x5 + y 4 ) avente esponente 1. Quindi non può essere portato fuori.
p
3
. Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale
(x + y)5
In questo caso l’unico fattore, x + y ha esponente 5 e quindi può essere portato fuori, ottenendo
p
p
3
(x + y)5 = (x + y) 3 (x + y)2
1.9
Addizione e sottrazione fra radicali
Definizione di radicali simili. Due radicali si dicono simili se hanno lo stesso indice e lo stesso
radicando.
Esempi
√
√
. 3 a + b e 3 a2 + b non sono simili perchè hanno lo stesso indice ma radicando diverso.
√
√
. 4 a2 + b e 3 a2 + b non sono simili perchè hanno uguale radicando ma indice diverso.
√
√
. 3 a + b e 5 3 a + b sono simili perchè hanno lo stesso indice e lo stesso radicando.
Teorema. Due radicali si possono sommare fra loro se e solo se sono simili.
Esempio
.
Effettuare la seguente addizione fra radicali:
√
√
9 + 16
questi 2 radicali non sono simili e, per il teorema, sappiamo che non possono essere sommati. Infatti
se si scrivesse:
√
√
√
9 + 16 = 25
(abbiamo scritto 25 perché è la somma fra 9 e 16) commetteremmo un grave errore. Infatti noi
sappiamo che:
√
√
√
9 = 3;
16 = 4;
25 = 5
quindi se la somma fosse giusta dovrebbe verificarsi che 3 + 4 = 5 che è ovviamente falso.
Il lettore si sarà ricordato che la parola simili era stata usata anche per i monomi e anche per i
monomi, come per i radicali, vale che possono essere addizionati o sottratti se e solo se sono simili.
L’addizione e la sottrazione dei radicali si effettua in maniera uguale all’addizione e sottrazione dei
monomi. Si veda per questo il seguente:
Alessandro Bocconi
14
Esempio
.
Si determini la seguente somma: a − 32 a + 25 a
I tre monomi sono simili e possono essere sommati:
a − 32 a + 53 a = (1 −
3
2
+ 35 )a =
10−15+6
a
10
=
1
10 a
Analogamente si procede per una somma di radicali come la seguente:
I tre radicali sono simili e possono essere sommati:
√
√
√
√
√
3
3
x − 23 3 x + 35 3 x = (1 − 32 + 35 ) 3 x = 10−15+6
x=
10
√
3
x−
3√
3
2 x
+
2√
3
5 x
1 √
3
10 x
Esempi
.
√
√
√
√
Si risolva la seguente espressione di radicali: a + 3 b − 7 b + 4 a
Questi radicali non sono tutti simili, ma lo sono il primo con il quarto e il secondo con il terzo per
cui:
√
√
√
√
√
√
√
√
a + 3 b − 7 b + 4 a = (1 + 4) a + (3 − 7) b = 5 a − 4 b
√
√
. Si determini la seguente somma di radicali: 3 2 + 3 16
In apparenza i 2 radicali non sono simili, ma sappiamo che 16 = 24 e quindi il fattore 2 può essere
portato fuori dalla radice. Quindi:
√
√
√
√
√
√
√
3
3
2 + 3 16 = 3 2 + 24 = 3 2 + 2 3 2 = 3 3 2
Da questo esempio, e anche dai precedenti degli altri paragrafi, possiamo affermare che
se un radicale ha un numero come radicando, conviene sempre scomporre tale numero
per vedere se il radicale è semplificabile, o se possiamo portare fuori un fattore.
√
√
√
. Si risolva la seguente espressione di radicali: 12 + 75 − 27
In apparenza questi radicali non sono simili, ma, seguendo il consiglio dell’ultimo esempio, scomponiamo i 3 radicandi:
12 = 22 · 3; 75 = 3 · 52 ; 27 = 33
quindi
√
√
√
√
√
√
12 + 75 − 27 = 22 · 3 + 3 · 52 − 33
portando fuori otteniamo:
√
√
√
√
√
√
√
22 · 3 + 3 · 52 − 33 = 2 3 + 5 3 − 3 3 = 4 3
1.10
Domande
Parafrafo 1.2
1. L’indice del radicale può essere decimale?
2. L’indice del radicale può essere negativo?
3. Il radicando può essere decimale?
Alessandro Bocconi
15
4. Dai la definizione di radicale
√
5. Perché 9 = 3 e non −3?
√
6. Quanto vale 1 a?
√
7. Quanto vale n 1?
√
8. Quanto vale n 0?
9. Esiste la radice di indice pari di un numero negativo?
10. Esiste la radice di indice dispari di un numero negativo?
11. Cosa sono le condizioni di esistenza di un radicale?
Parafrafo 1.3
12. Cos’è un radicale aritmetico?
Parafrafo 1.4
13. Cosa stabilisce la prima proprietà fondamentale.
14. Cosa stabilisce la seconda proprietà fondamentale.
Parafrafo 1.5
15. Enuncia la proprietà invariantiva dei radicali
16. Come si può ridurre più radicali allo stesso indice?
17. A cosa “assomiglia” il metodo per ridurre più radicali allo stesso indice?
Parafrafo 1.6
18. Cosa afferma il teorema della semplificazione di un radicale
19. Di quale proprietà è l’inverso la semplificazione?
Parafrafo 1.7
20. Come si effettua il prodotto fra 2 radicali aventi lo stesso indice?
21. Come si effettua il prodotto fra 2 radicali aventi indice diverso?
Parafrafo 1.8
22. Si può portare fuori dal segno di radice un fattore avente esponente minore dell’indice?
Parafrafo 1.9
23. Quando 2 radicali si dicono simili?
24. Quando 2 radicali si possono sommare o sottrarre?
1.11
Esercizi
Parafrafo 1.2
Determinare le condizioni di esistenza dei seguenti radicali
1.
√
4
5 − x;
√
8x + 4;
√
3
8x − 4
Alessandro Bocconi
2.
3.
√
8
√
8
16
q
7
30x + 2;
3 − 30x + 2;
√
6
x
8x+4
x−2 ;
q
7
8x+4
x ;
√
5
x
Parafrafo 1.4
Determina i seguenti radicali:
√
5 √
√
3
5
x+y ;
72
4. x3 ;
5.
6.
√
3
√
6
3
a2 b ;
a + x4
√
p
4
x4 y 4 ;
6
√
;
72 · b2
x − 34y
2
;
√
64
Parafrafo 1.5
Completa le seguenti uguaglianze:
√
√
√
√
√
√
...
7. 3 = 6 . . .; 4 7 = 8 . . .; 3 a = a4
√
√
√
√
√
√
...
8. 5 10 = 15 . . .; 3 1 = 30 . . .;
a3 = a9
√
√
√
√
√
√
3 4
...
9. 4 0 = 16 . . .; 9 2 = 27 . . .;
a = a4
p
√
√
√
√
√
10. a + b = 6 . . .; 4 a − 2b = 8 . . .; 3 a + b = ... (a + b)4
Porta allo stesso indice i seguenti radicali:
√
√
√
11. 3; 4 7; 8 a
√
√
√
3
6 5
12. a2 ;
a ; 9a
√
√
√
6 2
3 5
7 ;
a
13. 12 2;
√
√
√
10 2
14.
3 ; 5 x + 2; 10 20
√
√
√
3 2
6
a b; 12 a + 3b3
15. 2a2 b3 ;
√
√
√
10
15 7
16. 5 x + 3;
x3 ;
a
q
q
√
2x
4
17. xy ;
x
7 ;
18.
19.
√
x + 3y;
q
x+3y
x−3y ;
q
4
√
4
√
8
x+1
2 ;
7;
√
4
x − 10
8x
Parafrafo 1.6
Semplifica i seguenti radicali
√
√
√
6
12 4
9 6
20. 53 ;
a ;
3
q
√
√
2
12
21. 10 32;
8a3 ; 10 xy4
p
9
x3 y 9 ;
√
22
a1 1;
√
x2 + 4x + 4
q
p
√
23. 6 x8 + 2x7 y + x6 y 2 ; 9 a276 ; 4 400
22.
Alessandro Bocconi
24.
√
6
√
12
216a6 ;
17
√
20
a6 b8 ;
36
Parafrafo 1.7
Esegui le seguenti operazioni fra radicali
q
q
q
q
√
√
(x−y)2
3
x+y
x3
25. 3 20 · 3 32 ;
·
;
5
x−y
x+y
5 ·
26.
27.
28.
29.
30.
q
q
√ √
10
x2
50 · 2;
·
xy
5 ;
√
3
q
· 59
9
5
q
q
√
(x+y)2
x+y
a2 b5 : ab2 ;
:
x−y
10 ;
q
√
4
√
6
q
3
q
3
√
4
q
2+
5
2
20
a
q
5
:
a3 :
q
3
·
pa √
4
ab;
b ·
16
9 ;
q
20
a;
4
√
8 2
a ;
q
5
x+y
x−y
x+y
x−y
·
:
√
q
1;
q
10
a3 ·
x3
5
·
√
3
q
(x−y)2
x+y ;
128
5
q
: 85
a5
0
x3
y
:
q
3
x
y
Esegui le seguenti espressioni
√ q √
31. 3 5 · 3 32 : 3 5
32.
33.
34.
q
3
a+b
a−b
q
6
a+b
4
·
q
3
a−b
2
√
4
√
3
2·
q
a+b
a
3
:
√
√
2 · 6 2 · 12 2
q
q 2
6 b (a+b)
: 3 a−b
:
b
a2 (a−b)
√
4
√ √
56 : 2 : 4 7
q
q
p
3 2x−2y
6 x
:
36. 6 4x−4y
9x
3x :
2
35.
37.
38.
q
ab
6
√
6
q
√
· 42 · 3 24b
49
3x3 ·
q
3
10
x
:
q
3
5
x
Parafrafo 1.8
Porta fuori, quando possibile, i fattori dal segno di radice
q
√
√
4 2
5 4 5 7
39. a5 b;
a b c ; 3 xz 5y
40.
√
32;
√
3
81;
p
a5 (a − 1)3 ;
42.
p
18x2 y;
43.
44.
√
4
b
100 ;
9a2
8
√
3
√
a13 bc6 ;
450
q
√
6 3
5
64a4 b5 ; 3 xz 9y
41.
q
q
p
x2 + 2xy + y 2 ;
a5 b + a4 c;
√
q
3
9a + 9b − 9c;
125
z5
q
3
x4 y 2 −x4
y5
Alessandro Bocconi
Parafrafo 1.9
Effettua le seguenti espressioni contenenti addizioni e sottrazioni fra radicali
√
√
√
√
√
√
45. 3 7 + 2 3 7; 5 a − 7 a; −3 5 10 − 5 10
√
√
√
√
√
√
46. 12 3 7 − 2 3 7; 54 a − 72 a; − 83 5 10 − 81 5 10
√
√
√
√
√
47. 3 3 7 − 27 a + 25 3 7 + 5 a − 7 a
√
√
√
√
√
√
48. 3 7 + 3 56; 5 4a − 7 a; −3 32 − 2
√
√
√
49. 3 108 − 2 3 32 + 13 3 600
√
√
√
√
√
50. 50 + 12 72 + 13 75 − 3 2 + 12
√
√
√
√
51. 20 + 23 45 + 25 125 + 27 245
√
√
√
√
52. 5 64 + 8 + 3 16 + 4 32
√
√
√
√
√
√
√
53. 7 128 + 2 6 64 + 3 5 32 + 4 4 16 + 5 3 8 + 6 4 + 7 1 2
q
q
q
q
8
27
32
54. 9 + 4 + 25 + 24
49
18
Capitolo 2
Le equazioni di secondo grado
2.1
Le equazioni di secondo grado
Abbiamo già affrontato le equazioni di primo grado e conosciamo la tecnica per risolverle: dopo
aver tolto parentesi e denominatori, si portano tutti i monomi contenenti l’incognita (la x) al primo
termine cioè a sinistra dell’uguale, e tutti i monomi che non la contengono (e quindi i numeri senza
parte letterale) al secondo termine cioè a destra dell’uguale. Alla fine ci riduciamo alla forma:
ax = b
dove a e b sono dei numeri. A questo punto, dividendo per a (ammesso che a sia diverso da zero)
si ottiene la soluzione x = ab .
Per essere un equazione di primo grado, ovviamente, non devono essere presenti monomi con parte
letterale di grado maggiore di 1.
Analogamente un equazione è di secondo grado se il grado massimo dei monomi è 2. Dal momento
che l’unica lettera presente è l’incognita x, questo significa che ci saranno monomi aventi come parte
letterale x2 , che ci possono essere monomi con parte letterale x e monomi senza parte letterale.
Giungiamo quindi alla:
Definizione di forma normale di un’equazione di secondo grado. Un’equazione di secondo
grado è in forma normale se si presenta nella forma:
ax2 + bx + c = 0
dove a, b e c sono dei numeri.
Esempi
.
L’equazione
2x2 − 3x + 7 = 0
è in forma normale con a = 2, b = −3 e c = 7.
.
L’equazione
3x2 + x − 4 = 3x + 5
è di secondo grado ma non è in forma normale perché al secondo termine non c’è zero. Si può
comunque facilmente portare a forma normale portando i monomi al secondo termine a sinistra
dell’uguale:
3x2 + x − 4 = 3x + 5 → 3x2 + x − 4 − 3x − 5 = 0 → 3x2 − 2x − 9 = 0
abbiamo portato l’equazione in forma normale con a = 3, b = −2 e c = −9
Alessandro Bocconi
2.2
20
Casi Particolari
2.2.1
Equazioni di secondo grado pure
Consideriamo adesso il caso particolare in cui b = 0. Dalla forma normale scompare quindi il
secondo termine e rimane:
ax2 + c = 0
Un’equazione di secondo grado di questo tipo si dice pura.
Per risolvere questo tipo di equazioni si procede nel seguente modo: si porta c al secondo termine
cambiandogli il segno:
ax2 + c = 0 → ax2 = −c
dividiamo entrambi i termini per a:
ax2 = −c →
6 a x2
c
c
= − → x2 = −
6a
a
a
a questo punto conosciamo x2 , ma a noi interessa trovare x, cioè vogliamo determinare quel numero
che elevato alla seconda è uguale a − ac .
Dobbiamo quindi dividere 2 casi:
• se − ac è minore di zero non esiste nessun numero che elevato alla seconda sia uguale a un
numero negativo e quindi, in questo caso, l’equazione non ha soluzioni.
• se − ac è positivo allora esistono 2 numeri, uno opposto dell’altro, che elevati alla seconda sono
uguali a − acp
. Tali numeripsi trovano estraendo la radice quadrata di − ac . Quindi
p le 2 soluzioni
sono x = + ac e x = − ac . In modo più sintetico possiamo scrivere x = ± ac .
Osservazione Nel primo caso, dal momento che l’equazione non ha soluzioni si dice che l’insieme
delle soluzioni è vuoto
p c e si scrive
p c S = ∅; mentre nel secondo caso si scrive
S = {x ∈ R|x = − a , x = + a }
Esempi
.
Risolvere l’equazione 2x2 − 72 = 0
Si tratta di un’equazione di secondo grado pura con a = 2 e c = −72. Risolviamola:
62
672 36
2x2 − 72 = 0 → 2x2 = 72 → x2 =
→ x2 = 36
62
62
36 è un numero positivo e si può quindi estrarre la radice quadrata ottenendo:
√
x = ± 36 → x = ±6
quindi la soluzione è S = {x ∈ R|x = −6, x = 6}
.
Risolvere l’equazione 3x2 + 12 = 0
Si tratta di un’equazione di secondo grado pura con a = 3 e c = 12. Risolviamola:
63
612 4
3x2 + 12 = 0 → 3x2 = −12 → x2 = −
→ x2 = −4
63
63
Alessandro Bocconi
21
-4 è un numero negativo quindi non esistono soluzioni e si scrive S = ∅
.
Risolvere l’equazione 2x2 − 50 = −4
L’equazione non è in forma normale. Portiamola quindi in tale forma:
2x2 − 50 = −4 → 2x2 − 50 + 4 = 0 → 2x2 − 46 = 0
Si tratta di un’equazione di secondo grado pura con a = 2 e c = −46. Risolviamola:
646 23
62
→ x2 = 23
2x2 − 46 = 0 → 2x2 = 46 → x2 =
62
62
23 è un numero positivo e si può quindi estrarre la radice quadrata ottenendo:
√
x = ± 23
√
√
quindi la soluzione è S = {x ∈ R|x = − 23, x = + 23}
In conclusione possiamo affermare che un’equazione di secondo grado pura o ha 2
soluzioni o non ne ha nessuna.
2.2.2
Equazioni di secondo grado spurie
Affrontiamo adesso il caso in cui c = 0 e quindi l’equazione di secondo grado si presenta nella forma:
ax2 + bx = 0
Osserviamo che i 2 monomi hanno in comune x che può quindi essere messo a fattor comune
ottenendo:
x(ax + b) = 0
Sappiamo già che il prodotto di 2 fattori è zero se e soltanto se uno dei due fattori è zero. Quindi
affinché l’equazione sia verificata deve verificarsi che:
x=0
oppure ax + b = 0
abbiamo quindi trasformato un’equazione di secondo grado in 2 equazioni di primo grado di cui
una, x = 0, è già risolta e l’altra ha soluzione:
ax + b = 0 → ax = −b →
6a
b
b
x=− →x=−
6a
a
a
quindi S = {x ∈ R|x = 0, x = − ab }.
Possiamo quindi concludere che un’equazione spuria ha sempre due soluzioni di cui
una è sempre x = 0.
Esempio
.
Risolvere la seguente equazione: 3x2 + 11x = 0
Si tratta di un’equazione spuria con a = 3 e b = 11. Raccogliamo la x e otteniamo:
x(3x + 11) = 0
pertanto una soluzione è x = 0 e l’altra si ottiene risolvendo:
63
11
11
3x + 11 = 0 → 3x = −11 → x = − → x = −
63
3
3
quindi otteniamo S = {x ∈ R|x = 0, x = − 11
3 }
Alessandro Bocconi
2.2.3
22
Equazioni di secondo grado monomie
Quando si verifica che b = 0 e c = 0, siamo di fronte ad un’equazione monomia che si presenta
sotto la forma:
ax2 = 0
dividiamo entrambi i termini per a:
6a 2
0
x = → x2 = 0
6a
a
quindi la soluzione è data da quel numero che elevato alla seconda è uguale a zero. Ma l’unico
numero che elevato alla seconda è zero, è lo zero stesso. Quindi abbiamo che S = {x ∈ R|x = 0}.
Possiamo quindi concludere che un’equazione monomia ha un’unica soluzione che è
sempre x = 0.
Esempio
.
Risolvere −5x2 = 0
è un’equazione monomia pertanto l’unica soluzione è x = 0 quindi S = {x ∈ R|x = 0}.
2.3
Il caso generale
Veniamo adesso al caso generale quello in cui a, b e c sono tutti diversi da zero e quindi l’equazione
si presenta nella forma:
ax2 + bx + c = 0
Per arrivare alla formula generale sono necessari alcuni passaggi che sfruttano i principi di equivalenza validi per tutte le equazioni. Inizialmente moltiplichiamo ambo i termini per 4a:
4a · (ax2 + bx + c) = 4a · 0 → 4a2 x2 + 4abx + 4ac = 0
Aggiungiamo b2 sia al primo che al secondo termine:
4a2 x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2
Portiamo il monomio 4ac a destra dell’uguale cambiandogli il segno:
4a2 x2 + 4abx + b2 = b2 − 4ac
E notiamo che al primo termine abbiamo il quadrato del binomio 2ax + b, quindi:
(2ax + b)2 = b2 − 4ac
Un quadrato è una quantità che non è mai negativa, quindi, affinché l’equazione abbia soluzioni
deve essere non negativa anche l’espressione b2 − 4ac. Per motivi che vedremo in seguito indichiamo
con la lettera greca 4 (delta) la quantità b2 − 4ac. Cioè:
4 = b2 − 4ac
Abbiamo quindi 3 casi possibili:
• se 4 < 0 l’eguaglianza non è mai verificata e quindi l’equazione non ha soluzioni (è impossibile) e si indica S = ∅.
Alessandro Bocconi
23
• se 4 = 0 l’eguaglianza diventa
(2ax + b)2 = 0
ma noi sappiamo che una potenza è zero se e soltanto se è zero la base, quindi:
(2ax + b)2 = 0 → 2ax + b = 0 → 2ax = −b →
62a
b
b
x=−
→x=−
62a
2a
2a
b
quindi l’equazione ha un’unica soluzione S = {x ∈ R|x = − 2a
}
• se 4 > 0 allora per ricavarsi 2ax + b bisogna estrarre la radice come abbiamo fatto per le
equazioni pure; quindi:
p
(2ax + b)2 = 4 → 2ax + b = ± 4
portiamo allora b al secondo termine e dividiamo per 2a ottenendo:
√
p
p
−b ± 4
2ax + b = ± 4 → 2ax = −b ± 4 → x =
2a
Quindi l’equazione ha 2 soluzioni che si ottengono facendo precedere la radice una volta dal
segno meno e l’altra dal segno più.
L’ultima formula che abbiamo trovato, che per la sua importanza riscriviamo di seguito, è chiamata
formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.
√
−b ± 4
x=
2a
Definizione di discriminante. La quantità b2 − 4ac che abbiamo indicato con la lettera greca
4 prende il nome di discriminante. Il motivo di questo nome deriva dal fatto che “discrimina” il
numero di soluzioni di un’equazione. Infatti:
• se 4 < 0 l’equazione non ha soluzioni
b
• se 4 = 0 l’equazione ha un’unica soluzione x = − 2a
• se 4 > 0 l’equazione ha 2 soluzioni che si determinano mediante la formula risolutiva delle
equazioni di secondo grado.
Osservazione. Come vedremo in seguito e in future applicazioni spesso è conveniente interpretare
il caso 4 = 0 non come un’equazione che ha un’unica soluzione ma che ha 2 soluzioni uguali fra
loro.
Convenzione Spesso il discriminante è chiamato più semplicemente delta.
Esempi
.
Risolvere l’equazione
2x2 − 3x + 9 = 0
Alessandro Bocconi
24
Osserviamo innanzitutto che l’equazione di secondo grado è in forma normale ed è completa. I
valori dei parametri sono a = 2, b = −3 e c = 9. Calcoliamoci il discriminante:
4 = b2 − 4ac = (−3)2 − 4 · 2 · 9 = 9 − 72 = −63
Il discriminante è negativo e quindi l’equazione non ha soluzioni e si scrive: S = ∅
.
Risolvere l’equazione
x2 − 7x + 10 = 0
Osserviamo innanzitutto che l’equazione di secondo grado è in forma normale ed è completa. I
valori dei parametri sono a = 1, b = −7 e c = 10. Calcoliamoci il discriminante:
4 = b2 − 4ac = (−7)2 − 4 · 1 · 10 = 49 − 40 = 9
Il discriminante è positivo e quindi l’equazione ha 2 soluzioni che si determinano tramite la formula
risolutiva:
√
√
7± 9
7±3
7−3
−b ± 4
=
=
→x=
= 2,
x=
2a
2·1
2
2
x=
7+3
=5
2
peranto S = {x ∈ R|x = 2, x = 5}
.
Risolvere l’equazione
x2 + 10x + 8 = 4x − 1
Osserviamo innanzitutto che l’equazione di secondo grado non è in forma normale. Portiamola in
tale forma:
x2 + 10x + 8 = 4x − 1 → x2 + 10x + 8 − 4x + 1 = 0 → x2 + 6x + 9 = 0
L’equazione è completa e i valori dei parametri sono a = 1, b = 6 e c = 9. Calcoliamoci il
discriminante:
4 = b2 − 4ac = (6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0
Il discriminante è zero e quindi l’equazione ha un’unica soluzione che è
x=−
b
6
=−
= −3
2a
2·1
peranto S = {x ∈ R|x = −3}
Osservazione importantissima. In queso paragrafo e nel precedente, abbiamo visto che a seconda del tipo di equazione esiste una tecnica diversa per determinare le soluzioni. Questo può
rendere difficile ricordare, a seconda dei casi, quale tecnica applicare. Fermo restando che le tecniche indicate sono le più efficaci nei vari casi, la formula risolutiva può essere usata per
risolvere qualunque tipo di equazione di secondo grado. In altre parole, se ad esempio
dobbiamo risolvere un’equazione spuria, usare la formula risolutiva non è la strada più veloce ma
porta comunque al risultato giusto.
Verifichiamo quanto appena detto applicando la formula risolutiva a tutti gli esempi del precedente
paragrafo:
Esempi
.
Risolvere l’equazione 2x2 − 72 = 0
Alessandro Bocconi
25
È un’equazione di secondo grado con a = 2, b = 0 e c = −72. Calcoliamo il discriminante:
4 = b2 − 4ac = 02 − 4 · 2 · (−72) = −8 · (−72) = 576
Il discriminante è maggiore di zero, ci aspettiamo quindi 2 soluzioni che determiniamo tramite la
formula risolutiva:
√
√
−b ± 4
0 ± 576
±24
−24
24
x=
=
=
→x=
= −6, x =
=6
2a
2·2
4
4
4
peranto S = {x ∈ R|x = −6, x = 6}. Si confronti tale soluzione con quella del medesimo esempio
del paragrafo 2.2.
.
Risolvere la seguente equazione: 3x2 + 11x = 0
È un’equazione di secondo grado con a = 3, b = 11 e c = 0. Calcoliamo il discriminante:
4 = b2 − 4ac = 112 − 4 · 3 · 0 = 121
Il discriminante è maggiore di zero, ci aspettiamo quindi 2 soluzioni che determiniamo tramite la
formula risolutiva:
√
√
−11 ± 121
−11 ± 11
−22
11
0
−b ± 4
=
=
→x=
=− , x= =0
x=
2a
2·3
6
6
3
6
peranto S = {x ∈ R|x = − 11
3 , x = 0}. Si confronti tale soluzione con quella del medesimo esempio
del paragrafo 2.2.
.
Risolvere l’equazione
x2 + 10x + 8 = 4x − 1
Portata in forma normale l’equazione diventa:
x2 + 6x + 9 = 0
L’equazione è completa e i valori dei parametri sono a = 1, b = 6 e c = 9. Calcoliamoci il
discriminante:
4 = b2 − 4ac = (6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0
Il discriminante è zero e quindi l’equazione ha un’unica soluzione. Applichiamo la formula risolutiva:
√
√
−b ± 4
−6 ± 0
−6
x=
=
=
= −3
2a
2·1
2
peranto S = {x ∈ R|x = −3} che è lo stesso risultato ottenuto precedentemente.
2.4
La formula ridotta
Nel caso che il coefficiente b sia un numero pari, esiste una formula, detta formula ridotta, che
proviene dalla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Il vantaggio di tale formula,
rispetto a quella risolutiva, sta nel fatto che permette di trovare le soluzioni tramite calcoli più
semplici.
Ricaviamoci allora tale formula che, come già detto, funziona solo se b è un numero pari. Essendo
un numero pari esiste un altro numero, chiamiamolo β (lettera greca che si legge beta), uguale alla
metà di b. Quindi b = 2β.
Alessandro Bocconi
26
Scriviamo allora la formula risolutiva con 2β al posto di b. Il discriminante diventa:
4 = (2β)2 − 4ac = 4β 2 − 4ac = 4(β 2 − ac)
e la formula risolutiva:
p
√
−2β ± 4(β 2 − ac)
−2β ± 4
x=
=
=
2a
2a
possiamo portare il 4 fuori dalla radice e raccogliere il 2:
p
p
p
−β ± β 2 − ac
−2β ± 2 β 2 − ac 6 2 (−β ± β 2 − ac)
=
=
=
2a
62 a
a
la formula ridotta è quindi:
x=
−β ±
p
β 2 − ac
a
Osservazione Per la formula ridotta non serve calcolarsi il discriminante (cioè b2 − 4ac) ma è
sufficientamente calcolare la quantità β 2 − ac (indicata con l’espressione 4
4 perchè equivale al
discriminante diviso 4)
Esempio
.
Risolvere l’equazione x2 + 8x − 33 = 0
b = 8 quindi β = 4 quindi:
4
= β 2 − ac = 16 − 1 · (−33) = 49
4
applichiamo la ridotta:
x=
−β ±
p
√
β 2 − ac
−4 ± 49
=
= −4 ± 7 → x = −11;
a
1
x = +3
quindi S = {x ∈ R|x = −11, x = 3}
Risolviamo adesso lo stesso esercizio con la formula tradizionale:
4 = b2 − 4ac = 82 − 4 · 1 · (−33) = 64 + 132 = 196
applichiamo la formula risolutiva
√
√
−b ± 4
−8 ± 196
−8 ± 14
−8 − 14
622 11
x=
=
=
→x=
=−
= −11;
2a
2
2
2
62
x=
−8 + 14 6 6 3
=
= +3
2
62
quindi si trovano le stesse soluzioni ma con calcoli più difficili.
2.5
Relazione fra coefficienti e soluzioni di un’equazione di secondo grado
Come prevedibile esiste una relazione fra le soluzioni (chiamate anche radici) di un’equazione di
secondo grado e i coefficienti dell’equazione stessa. Consideriamo tre casi a seconda che il 4 sia
maggiore, minore o uguale a zero.
Alessandro Bocconi
27
• 4 > 0. In questo caso l’equazione ha 2 soluzioni. Chiamiamole x1 e x2 per distinguerle fra
loro. Sappiamo che:
√
√
−b − 4
−b + 4
x1 =
; x2 =
2a
2a
Osserviamo adesso che la somma delle soluzioni è:
√
√
√
√
−b − 4 −b + 4
−b − 4 − b + 4
−62 b
b
x1 + x2 =
+
=
=
=−
2a
2a
2a
62 a
a
mentre il prodotto è:
√
√
√
√
(−b − 4) · (−b + 4)
−b − 4 −b + 4
·
=
x1 · x2 =
2a
2a
4a2
al numeratore c’è il prodotto di una somma per una differenza quindi:
√
(−b)2 − ( 4)2
c
b2 − 4
b2 − (b2 − 4ac)
b2 − b2 + 4ac 6 46 a c
=
=
=
=
=
2
2
2
2
6
2
4a
4a
4a
4a
a
64 a
Abbiamo quindi stabilito che, se x1 e x2 sono le due soluzioni di un equazione di secondo
grado vale che:
b
c
x1 + x2 = − ;
x1 · x2 =
a
a
• 4 = 0. In questo caso abbiamo un’unica soluzione, o meglio, come abbiamo osservato in
precedenza, ne abbiamo 2 fra loro uguali. Continuiamo a chiamarle x1 e x2 con
x1 = x2 = −
b
2a
Inoltre se 4 = 0 significa che b2 − 4ac = 0 cioè b2 = 4ac. Quindi:
x1 + x2 = −
b
b
−62 b
b
−
=
=−
2a 2a
62 a
a
x1 · x2 = −
b
b
b2
· (− ) = 2 =
2a
2a
4a
ma, dato che b2 = 4ac, possiamo sostituire 4ac a b2 :
=
c
6 46 a c
=
6
2
a
64 a
quindi anche nel caso 4 = 0 la somma e il prodotto delle soluzioni è uguale del caso 4 > 0.
• 4 < 0 in questo caso non ci sono soluzioni quindi non ci può essere alcuna relazione fra
soluzioni e coefficienti.
Conoscere queste relazioni può essere estremamente utile per risolvere il problema inverso a quello
che siamo soliti affrontare: generalmente viene assegnata un’equazione di cui bisogna determinare
le soluzioni; supponiamo invece di dover risolvere il seguente:
Problema inverso. Dati 2 numeri determinare un’equazione di secondo grado che abbia tali numeri come soluzioni. Determinare un’equazione di secondo grado significa determinare i coefficienti
a, b e c.
Alessandro Bocconi
28
Per risolvere questo problema risultano fondamentali le relazioni fra soluzioni e coefficienti, come
si vede dai seguenti:
Esempi
.
Determinare un’equazione di secondo grado che abbia come soluzione i numeri 3 e 5.
Risulta quindi che x1 = 3 e x2 = 5. Dal momento che x1 + x2 = − ab abbiamo che:
Inoltre dato che x1 · x2 =
c
a
8=−
b
b
→ = −8
a
a
15 =
c
c
→ = 15
a
a
risulta che:
Dal momento che abbiamo 3 incognite e 2 sole equazioni possiamo dare ad una delle tre incognite
un qualunque valore. Scegliamo (come faremo sempre in questo tipo di problemi) a = 1, quindi
dalle precedenti relazioni si ricava:
b = −8; c = 15
quindi l’equazione cercata è:
x2 − 8x + 15 = 0.
Verifichiamo che tale equazione abbia come soluzione proprio 3 e 5:
4 = b2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 1 · 15 = 64 − 60 = 4
applicando la formula risolutiva otteniamo:
√
√
−b ± 4
8± 4
8±2
8 − 2 66 3
x=
=
=
→x=
=
= 3;
2a
2
2
2
62
x=
8+2
610 5
=
=5
2
62
che conferma che l’equazione trovata è quella che risolve il problema assegnato.
.
Determinare un’equazione di secondo grado che abbia come soluzione il numero −2.
Abbiamo già osservato che un’unica soluzione può essere vista come 2 soluzioni coincidenti. Quindi
x1 = x2 = −2. Da cui (ponendo sempre a = 1):
b
−4 = − → b = 4
1
Inoltre:
4=
quindi l’equazione cercata è:
c
→c=4
1
x2 + 4x + 4 = 0.
Verifichiamo che tale equazione abbia come soluzione proprio −2:
4 = b2 − 4ac = (4)2 − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0
applicando la formula risolutiva otteniamo:
√
−4 ± 0
−64 2
−b ± 4
=
=
= −2
x=
2a
2
62
che conferma che l’equazione trovata è quella che risolve il problema assegnato.
Alessandro Bocconi
2.6
29
Scomposizione di un trinomio di secondo grado tramite le
equazioni
Le equazioni di secondo grado risultano utili anche per la scomposizione di un trinomio di secondo
grado. Ricordiamoci che scomporre un polinomio significa scriverlo come un prodotto di polinomi
di grado minore.
Come scomporre un trinomio di secondo grado tramite un equazione di secondo grado è sintetizzato
dal seguente:
Teorema. Siano x1 e x2 le due soluzioni di un’equazione di secondo grado, allora il polinomio
ax2 + bx + c può essere scomposto come:
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
si osservi che abbiamo scritto il trinomio di secondo grado come il prodotto di 2 binomi di primo
grado e quindi lo abbiamo scomposto.
Dimostrazione: è sufficiente verificare l’uguaglianza del teorema.
a(x − x1 )(x − x2 ) = a(x2 − x1 x − x2 x + x1 x2 ) = a[x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 ]
ma abbiamo visto prima che x1 + x2 = − ab e x1 · x2 = ac . Sostituendo otteniamo:
b
c
b
c
b
c
a[x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 ] = a[x2 − (− )x + ] = a(x2 + x + ) = ax2 + 6 a · x+ 6 a = ax2 + bx + c
a
a
a
a
6a
6a
che verifica l’uguaglianza.
Osservazione. Il teorema vale anche nel caso l’equazione di secondo grado abbia un’unica soluzione
(o due coincidenti). In questo caso, dato che x1 = x2 , si ottiene:
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) = a(x − x1 )2
Osservazione. Se l’equazione di secondo grado non ha soluzioni allora il trinomio non è scomponibile e quindi è irriducibile.
Esempi
.
Scomporre il trinomio 2x2 − 4x − 30.
Risolviamo l’equazione associata: 2x2 − 4x − 30 = 0.
4 = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 2 · (−30) = 16 + 240 = 256
√
√
−b ± 4
4 ± 256
4 ± 16
4 − 16
− 612 3
4 + 16
620 5
x=
=
=
→ x1 =
=
= −3; x2 =
=
=5
2a
4
4
4
64
4
64
Quindi la scomposizione risulta:
2x2 − 4x − 30 = 2(x + 3)(x − 5)
Alessandro Bocconi
.
30
Scomporre il trinomio 3x2 − 4x + 1.
Risolviamo l’equazione associata: 3x2 − 4x + 1 = 0.
4 = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 3 · 1 = 16 − 12 = 4
√
√
4± 4
4±2
4−2
−62
1
4 + 2 66
−b ± 4
=
=
→ x1 =
= 3 = ; x2 =
= =1
x=
2a
6
6
6
66
3
6
66
Quindi la scomposizione risulta:
1
3x2 − 4x + 1 = 3(x − )(x − 1)
3
.
Scomporre il trinomio x2 − 10x + 25.
Risolviamo l’equazione associata: x2 − 10x + 25 = 0.
4 = b2 − 4ac = (−10)2 − 4 · 1 · 25 = 100 − 100 = 0
√
√
10 ± 0
10 ± 0
10
−b ± 4
=
=
→ x1 =
=5
x=
2a
2
2
2
Quindi la scomposizione risulta:
x2 − 10x + 25 = (x − 5)2
.
Scomporre il trinomio x2 − 2x + 5.
Risolviamo l’equazione associata: x2 − 2x + 5 = 0.
4 = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16
quindi, essendo il discriminante negativo, l’equazione non ha soluzioni ed il trinomio è irriducibile.
Osservazione. Il lettore, scomponendo un trinomio tramite le equazioni di secondo grado, si sarà
ricordato della scomposizione del particolare trinomio di secondo grado. In tale scomposizione
dovevamo trovare due numeri p e q tali che la loro somma fosse uguale al coefficiente di x e il
loro prodotto fosse uguale al termine noto. Una volta trovati la scomposizione risultava essere
(x + p)(x + q) (tutto ciò funzionava se il coefficiente di x2 era 1). Ovviamente scomporre tramite
il particolare trinomio oppure scomporre tramite l’equazione di secondo grado porta allo stesso
risultato: bisogna però aggiungere che la scomposizione tramite equazione di secondo grado si
applica ad un numero maggiore di casi.
2.7
Problemi risolubili tramite equazioni di secondo grado
Le equazioni di secondo grado possono essere utilizzate, al pari delle equazioni di primo grado, per
risolvere dei problemi.
I passi da seguire sono i seguenti:
1. Definire cosa indichiamo come incognita (cioè cosa ci chiede il problema)
Alessandro Bocconi
31
2. Stabilire i vincoli a cui deve sottostare l’incognita (ad esempio se deve essere intera, positiva,
minore di qualcosa ecc.)
3. Impostare l’equazione risolutiva e risolverla
4. Verificare se la soluzione soddisfa i vincoli
Esempi
. In un cinema tutte le file sono composte dallo stesso numero di sedie. Il numero di file è uguale
al numero di sedie per fila aumentato di 3 (in altre parole se ci fossero 10 sedie per fila le file
sarebbero 13, oppure se ci fossero 15 sedie per fila le file sarebbero 18 e cosı̀ via). In tutto il cinema
ha 208 posti. Quante sedie ci sono per ogni fila?
1. L’incognita x è il numero di sedie per fila. Dal momento che il numero di file supera di 3 il
numero di sedie per fila, il numero di file è x + 3
2. Vincoli: ovviamente x deve essere positivo e intero.
3. Impostiamo l’equazione risolvente: il numero di posti equivale al numero di sedie per fila (che
abbiamo chiamato x) moltiplicato il numero di file (x + 3). Dal momento che i posti totali
sono 208 risulta che:
x · (x + 3) = 208
Cioè
x2 + 3x − 208 = 0
Risolviamola:
4 = b2 − 4ac = (3)2 − 4 · 1 · (−208) = 9 + 832 = 841
√
√
−b ± 4
−3 ± 832
−3 ± 29
−3 − 29
− 632 16
x=
=
=
→x=
=
= −16;
2a
2
2
2
62
x=
−3 + 29
626 13
=
= 13
2
62
4. Una soluzione è negativa e quindi non rispetta il vincolo mentre l’altra, 13 è positiva ed intera
e quindi soddisfa i vincoli e risolve il problema.
Il numero di sedie per fila è quindi 13.
. Francesca vuole organizzare una festa di compleanno e invita un certo numero di ragazze/i.
Ciascun invitato, a sua volta, invita lo stesso numero di persone che ha invitato Francesca (in altre
parole se Francesca invita 10 persone, ciascuna di queste 10 persone ne invita altre 10 e cosı̀ via.
In questo caso abbiamo 10 persone invitate da Francesca più 10 · 10 = 100 persone invitate dagli
invitati). Alla fine, alla festa ci sono, compreso Francesca, 241 persone. Quante persone ha invitato
Francesca?
1. L’incognita x è il numero di persone invitato da Francesca. Dal momento che ciascuno degli
x invitati può invitarne altri x gli invitati dagli invitati sono x2 .
2. Vincoli: x deve essere positivo e intero.
3. Impostiamo l’equazione risolvente: alla festa ci sono gli invitati dagli invitati (che sono x2 ),
gli invitati direttamente da Francesca (che sono x) e Francesca stessa. Dal momento che in
tutto alla festa ci sono 241 persone risulta che:
x2 + x + 1 = 241
Cioè
x2 + x − 240 = 0
Alessandro Bocconi
32
Risolviamola:
4 = b2 − 4ac = (1)2 − 4 · 1 · (−240) = 1 + 960 = 961
√
√
−b ± 4
−1 ± 961
−1 ± 31
−1 − 31
− 632 16
x=
=
=
→x=
=
= −16;
2a
2
2
2
62
x=
−1 + 31
630 15
=
= 15
2
62
4. Una soluzione è negativa e quindi non rispetta il vincolo mentre l’altra, 15 è positiva ed intera
e quindi soddisfa i vincoli e risolve il problema.
Il numero di invitati direttamente da Francesca è quindi 15.
2.8
Domande
Paragrafo 2.1
1. Qual’è la forma normale di un’equazione di secondo grado?
Paragrafo 2.2
2. Quando un’equazione di secondo grado si dice pura?
3. Quali sono le soluzioni di un’equazione pura?
4. Quando un’equazione di secondo grado si dice spuria?
5. Quali sono le soluzioni di un’equazione spuria?
6. Quando un’equazione di secondo grado si dice monomia?
7. Quali sono le soluzioni di un’equazione monomia?
Paragrafo 2.3
8. Quanto è il discriminante 4 di un’equazione di secondo grado?
9. Perché il 4 si chiama discriminante?
10. Quante soluzioni ha un’equazione di secondo grado con il discriminante negativo?
11. Quante soluzioni ha un’equazione di secondo grado con il discriminante zero?
12. Quante soluzioni ha un’equazione di secondo grado con il discriminante positivo?
13. Scrivere la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado
Paragrafo 2.4
14. In quali casi può essere usata la formula ridotta?
15. Scrivi la formula ridotta per risolvere un’equazione di secondo grado.
Alessandro Bocconi
33
Paragrafo 2.5
16. Se il discriminante è maggiore di zero, a quanto equivale la somma delle soluzioni di un’equazione di secondo grado?
17. Se il discriminante è maggiore di zero, a quanto equivale il prodotto delle soluzioni di un’equazione di secondo grado?
18. Le risposte precedenti valgono anche nel caso che il discriminante sia uguale a zero?
19. Le relazioni fra soluzioni e coefficienti sono utili per risolvere un problema inverso. Quale?
Paragrafo 2.6
20. Se x1 e x2 sono le due soluzioni di un’equazione di secondo grado, come si scompone un
trinomio di secondo grado.
21. Se x1 è l’unica soluzione di un’equazione di secondo grado, come si scompone un trinomio di
secondo grado.
22. Se il discriminante è negativo il trinomio di secondo grado può essere scomposto?
23. Quale tecnica di scomposizione assomiglia a quella tramite le equazioni di secondo grado?
Paragrafo 2.7
24. Elenca i 4 passi per risolvere un problema tramite un’equazione di secondo grado
2.9
Esercizi
Paragrafo 2.1
Porta in forma normale le seguenti equazioni di secondo grado:
1. x2 + 2x + 3 = 8;
2x2 − 3x = 7 + 5x2 + 8x;
0 = x2 + 2x + 3
−3x = 7(x + 1) + 5x2 + 8x;
2. x(x + 4) + 2x − 3 = −18;
3. 7(x + 5) + x2 + 2x − 10 = 8x2 + 25;
−2x2 − 3(x − 5) = 7 + 4x2 ;
6x = 3(x2 − 5) − 4x;
4. x(2x + 4) + 5(2 − x) = 10 − x;
x2 − 2x = 4x2 − 2x + 3
−x − x2 = x2
2x2 = 0
Paragrafo 2.2
Risolvere le seguenti equazioni
5.
x2 − 9 = 0;
5x = 2x2
2x2 + 50 = 0
6.
x2 − 5x + 6 = 6(2x + 1);
4x2 − 9x = 0
7.
3x2 − 5(x − 6) = 30;
8.
x2 − 5x = 0;
9.
7x − 3x2 = 0;
10.
4x2 − 1 = 0;
11.
3x + 2 = x(x + 3);
4x2 − 9 = 0
−8x2 + 32 = 0
50x2 − 8x = 2x(3 − 4x)
2x2 + 50 = 2(25 − 4x) + 8x
−3x2 − 48 = 0
4x2 + 8 = 8
2x2 + 50 − 8x = 2(25 − 4x)
4x2 + 22x + 5 = 5(x + 1)
4x(x − 3) = 0
2x2 − 10 = 0
70x − 3(10x + 5) + x2 = −15
Alessandro Bocconi
34
12.
4x2 − 16x = 0;
7x2 − 21 = 0
13.
4(x2 − 3x) + 12x − 7 − 3x2 = 0;
14.
2x2 − 9 = 0;
x = x2
5x + 21 = 3 − 7x2 + 5x
7(x2 − 3) + 21 = 0
100 = x2
x + 3 = x2 − 2x + 3
Paragrafo 2.3
15.
x2 − 5x + 6 = 0;
4x2 − 9x = 0
2x2 + 50 − 7x = 2(25 − 4x) + 12
16.
x2 − 7x + 12 = 0;
17.
x2 − 5x + 6 = −5(x + 2);
18.
x2 − 6x + 6 = 0;
19.
2x2 − 5x − 7 = x2 + 1;
20.
x2 + 11x + 18 = 0;
21.
2x2 − 5x + 6 = 3(2 + x);
22.
x2 + 9x + 14 = 0;
x2 − 4x + 4 = 0
23.
x2 + 2x − 14 = 1;
x2 + x + 1 = 0
24.
x2 + 5x + 6 = 0;
4x2 − 4x + 1 = 0
25.
x2 − 3x − 2 = 0;
4x2 − x + 2 = 0
26.
3x2 − 5x − 2 = 0;
27.
x(x − 3) = 10;
28.
x + 2 = x2 ;
29.
x2 + 8x + 16 = 0;
4x2 − 12x + 9 = 0
2x2 + x + 10 = 0
4x2 − 3(x + 5) = −3x + 15
2x − 8 + x2 = 0
18x2 + 48x + 32 = 0
−4x2 + 3x − 6 = 3(x − 5)
−x2 + 5x − 6 = 0
x2 − x = 0
10x2 − 9x = 9x
x2 + 10 − 7x = 0
3x(x − 2) + 9x = 18
x2 − 9x = 9(1 − x)
4x2 + x − 5 = 0
2x2 + 7x + 8 = 5
2x2 + 3x + 3 = 1
2 + 3 + 4 + 5 + 6 + x2 + x + 2x + 3x + 4x = 0
2x2 + 3x − 1 = 0
x2 + 11x − 10 = 2
x2 + 11x + 30 = x + 6
x2 − 10x + 9 = 0
x(x − 7) + 6 = −6
x2 + 5x + 4 = 0
3x2 − x + 1 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
Paragrafo 2.4
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado usando se possibile la formula ridotta:
30.
x2 + 8x + 16 = 0;
31.
x2 + 12x + 20 = 0;
32.
x2 + 8x + 3 = 0;
x2 − 4x + 1 = 0
3x2 − 4x + 1 = 0
x2 − 10x + 24 = 0
x2 − 6x + 8 = 0
x2 + 2x + 1 = 0
5x2 − 6x + 1 = 0
Paragrafo 2.5
Delle seguenti equazioni determinare, senza risolverle, quanto è la somma e il prodotto delle
soluzioni:
33.
x2 + 8x + 16 = 0;
34.
4x2 + 21x + 16 = 0;
35.
x2 − 8x + 15 = 0;
2x2 − 4x + 1 = 0
x2 − x − 1 = 0
3x2 − 6x + 8 = 0
x2 − 6x + 8 = 0
2x2 − 8x + 3 = 0
6x2 − 12x − 9 = 0
Alessandro Bocconi
35
Date le seguenti coppie di numeri o un numero solo, determinare le equazioni di secondo grado
che hanno tali numeri come soluzioni. Successivamente risolvi l’equazione per verificare di
aver trovato l’equazione giusta:
36.
(2; 3);
(−1; 2);
(5)
37.
(10; −3);
38.
(2; 1);
39.
(4; −3);
(−2; 2);
40.
(1; −1);
(1; 3);
41.
(−2; −5);
(−1; 4);
(4; 0);
(−2)
(4)
(0)
(1)
(−4; −4);
(−10)
Paragrafo 2.6
Scomponi tramite le equazioni i seguenti trinomi di secondo grado. Se non è possibile scrivi
irriducibile:
42.
x2 + 8x − 20;
4x2 − 4x + 1
x2 − 6x + 8
43.
x2 + 3x − 40;
x2 + 3x + 6
5x2 − 6x + 1
44.
2x2 + 8x − 42;
x2 − 2x + 1
3x2 − 7x + 4
45.
x2 − 10x + 25;
4x2 + 7x + 3
x2 + 3x + 2
46.
x2 + 2x + 5;
47.
x2 + 5x − 14;
2x2 − 9x + 9
48.
3x2 + 8x + 4;
x2 − 4x + 4
2.10
9x2 + 6x + 1
x2 − 4x − 32
x2 + x − 30
x2 + 5x + 4
Problemi
1. Una scuola ha tutte le classi formate dallo stesso numero di allievi. Il numero delle classi
supera di 2 il numero di allievi per classe (per esempio se le classi fossero formate da 8 allievi
le classi sarebbero 10). In tutto gli allievi sono 255. Quanti allievi ha ciascuna classe?
2. Sommando la misura dell’area di un quadrato con quella del suo perimetro si ottiene 117.
Quanto misura il lato di questo quadrato?
3. Un rettangolo di area 88 m2 ha un lato maggiore di 3 metri dell’altro. Quanto misurano i
lati del rettangolo?
4. Per una manifestazione partono in pulman da firenze 1200 persone. Ogni pulman contiene lo
stesso numero di manifestanti e questo numero supera di 10 il numero complessivo di pulman.
Quanti pulman ci sono in totale?
5. Quando Mario va al bar prende sempre la stessa cosa e spende sempre lo stesso prezzo. Alla
fine del mese di ottobre Mario si è accorto che è andato al bar tante volte quanti sono gli euro
che spende ciascuna volta. In tutto, nel mese di ottobre, ha speso 81 euro. Quante volte è
andato al bar in ottobre?
6. Una stanza è piastrellata con mattonelle quadrate. Il numero delle righe è il triplo di quello
delle colonne. In tutto le mattonelle sono 363. Di quante colonne di mattonelle è composta
la stanza?