Estremo superiore ed inferiore.

Esercizi di Analisi Matematica I
Estremo superiore ed estremo inferiore
Stabilire se i seguenti insiemi sono limitati superiormente e/o inferiormente ed in caso affermativo calcolare inf e/o sup specificando se
questi coincidono con min e/o max:
:n∈N o
(1) nn+1
n
2
(2) n n−1 : n ∈ N
n 2
o
n +(−1)n
(3)
:n∈N
o
n nn 2
(4) (−1) nn +1 : n ∈ N
n
o
n
(5) (−1)n +1 : n ∈ N
n 2
o
n (1−(−1)n )
(6)
: n ∈ N ∪ { n1 : n ∈ N}
n+1
n
o
n!+1
(7) (n+1)!
:n∈N
o
n 2
n +2n
(8) (n+1)2 : n ∈ N
o
n 2
:
n
∈
N
(9) nn2 +3
+1
n+3
(10) n2 +1 : n ∈ N
(11) nn−3
: n ∈ N ∪ (−1,
n2
o 1)
2
(12) n −5n+1
:n∈N
2
n 2n
o
n +5n+1
(13)
:n∈N
3
n 4n
o
(14) n +n−4
:
n
∈
N
4
nq n
o
1
1 − 2n−5
(15)
:n∈N
√
√
n+1− n:n∈N
(16)
√
(17)
n2 + 2 − n : n ∈ N
√
(18) n n2 + n − n : n ∈ N o
p
(19)
|7 − n| + 3 : n ∈ N
√ √ √
n+ n− n
(20)
: n ∈ N ∪ {x ∈ R : |x − 1| < x2 − 2x + 2}
n
(21) {x ∈ R : 3 ≤ x2 + 2x < 8}
(22) n
{x ∈ R : x3 ≤ 8 ∨ 3 < x
o ≤ 4}
1
2
(23) x ∈ R : |x − 1| < |x|
x <2
(24) x ∈ R : |x| − x−1
n
o
1
1
(25) x ∈ R : |x−2|
≤ |x−3|
1
2
(26)
n
o
p
x ∈ R : |x − 1| < x
2
(27) {x
− 3x − 4| ≤ |x − 2| −o1}
n ∈ R : |x
p
(28) x ∈ R : |x2 − 3x + 2| < x − 2
n
o
p
(29) x ∈ R : |x2 − 3x + 2| < x − 2
n
o
2
(30) x ∈ R : x 3 > 3
n 1
o
(31) x 3 + 4 : x ∈ [−2, −1)
(32) {|x| : x2 + x < 2}
1. Dopo avere verificato che il seguente insieme é limitato
√
A = { n2 + 2 − n : n ∈ N}
calcolarne estremo inferiore e superiore, specificando se si tratta di
minimo e/o di massimo (Esame Febbraio 2008).
2. Dopo avere verificato che il seguente insieme é limitato
n
n−1
1
+
:n∈N
A=
1+
n
n
calcolarne estremo inferiore e superiore, specificando se si tratta di
minimo e/o di massimo (Esame Febbraio 2008).
3. Dopo avere verificato che il seguente insieme é limitato
|2n − 5| + 1
A=
:n∈N
n+1
calcolarne estremo inferiore e superiore, specificando se si tratta di
minimo e/o di massimo (Esame Febbraio 2008).
4. Dopo avere verificato che il seguente insieme é limitato
+2
A = (−1)
:n∈N
5n + 2
calcolarne estremo inferiore e superiore, specificando se si tratta di
minimo e/o di massimo (Esame Febbraio 2008).
n 3n
5. Studiare la limitatezza del seguente insieme, precisando sup/max,
inf/min e suo insieme derivato:
3
n
n+2
2
A = cos(n π)
: n ∈ N ∪ {x ∈ R : 2 − x2 > |x|}
n+1
(Esame Settembre 2006).
6. Stabilire se l’insieme
n(1 − (−1)n )
A=
:n∈N
n+1
é limitato inferiormente e/o superiormente ed in caso affermativo
determinare inf e/o sup giustificando la risposta (Esonero ??).