Insiemi numerici Sono noti l`insieme dei numeri naturali: N = {1, 2,3

Insiemi numerici
Sono noti l’insieme dei numeri naturali: N = {1, 2, 3, · · · }, l’insieme dei numeri interi relativi: Z = {0, ±1, ±2, ±3, · · · } = N ∪ {0} ∪ (−N) e, l’insieme dei numeri razionali: Q =
{p/q : p ∈ Z , q ∈ N} .
Si ottiene questo ultimo insieme, con costruzioni diverse ma equivalenti, ”aggiungendo” i reciproci degli interi relativi non nulli ed i loro multipli, stabilendo una relazione di equiv1
2
3
alenza (ogni numero razionale ha tante rappresentazioni diverse:
=
= ) e definendo
2
4
6
opportunamente le operazioni di somma e di prodotto.
Il risultato è un insieme che ha la struttura algebrica di ”campo”, cioè
• sono definite due operazioni (somma e prodotto), entrambe commutative e associative
ed entrambe dotate di elemento neutro. L’elemento neutro rispetto alla somma viene
chiamato zero, mentre quello rispetto al prodotto viene chiamato unità o uno.
• ogni elemento di Q ammette opposto ed ogni elemento di Q \ {0} ammette reciproco.
• vale la proprietà distributiva (del prodotto rispetto alla somma): a · (b + c) = a · b + a · c
inoltre su Q è definita una relazione di ordine totale (quella usuale) che è compatibile con
le operazioni, cioè
• ∀a ∈ Q vale a ≤ a (proprietà riflessiva)
• (a ≤ b) ∧ (b ≤ a) =⇒ a = b (proprietà antisimmetrica)
• (a ≤ b) ∧ (b ≤ c) =⇒ a ≤ c (proprietà transitiva)
• (a ≤ b) ∧ (c ∈ Q) =⇒ a + c ≤ b + c
• (a ≤ b) ∧ (c > 0) =⇒ a · c ≤ b · c
Ogni campo in cui è definita una relazione di ordine con queste proprietà viene chiamato
”campo ordinato”. Si verifica facilmente che in ogni campo ordinato (non banale, cioè non
costituito da un solo elemento) i quadrati sono non negativi e, di conseguenza, l’unità è positiva.
I numeri razionali possono essere disposti su una retta: una volta fissate le posizioni di 0 e
di 1 tutti gli altri numeri della forma p/q possono essere facilmente individuati con semplici
costruzioni geometriche: ogni numero razionale ha un posto sulla retta, ma non è detto che
ad ogni punto sulla retta corrisponda una frazione che ne individui la posizione: per esempio
il punto che indica la lunghezza della diagonale del quadrato di lato unitario non ha ascissa
razionale: infatti l’equazione p2 = 2q 2 non ha soluzioni intere.
Ogni numero razionale ammette una rappresentazione decimale finita o periodica (basta svolgere la divisione): per esempio
1
1
22
1
= 0, 3 ,
= 0, 05 , = 0, 142857 ,
= 1, 46.
3
20
7
15
3
1
Si osservi che 1 = = 3 · = 3 · 0, 3 = 0, 9 quindi ci sono numeri razionali che ammettono
3
3
due rappresentazioni decimali diverse. Inoltre è facile scrivere un allineamento decimale non
periodico, che quindi non può ammettere frazione generatrice e quindi non può essere un numero
razionale, per esempio
0, 01001000100001000001 · · · .
1
In tutti gli insiemi numerici in cui sia stata definita una relazione d’ordine ha senso parlare di
insiemi numerici limitati superiormente o inferiormente e di maggioranti e minoranti: se E è
un sottoinsieme di un insieme ordinato X si dice che
• α ∈ X è un maggiorante di E se ∀e ∈ E vale α ≥ e.
• β ∈ X è un minorante di E se ∀e ∈ E vale β ≤ e.
• E è superiormente limitato se ammette almeno un maggiorante.
• E è inferiormente limitato se ammette almeno un minorante.
• E è limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente.
• α è il massimo di E se α ∈ E e ∀e ∈ E vale α ≥ e.
• β è il minimo di E se β ∈ E e ∀e ∈ E vale β ≤ e.
Il campo dei numeri reali:
R.
R è il ”completamento” del campo razionale. È un campo ordinato che ha la seguente proprietà
(assioma di continuità):
AC) Se A e B sono due sottoinsiemi non vuoti di R e per ogni a ∈ A , b ∈ B è a ≤ b allora
esiste almeno uno ξ ∈ R tale che
a ≤ ξ ≤ b ∀a ∈ A , ∀b ∈ B.
Come conseguenza il campo reale ha la proprietà che ogni insieme non vuoto e superiormente
limitato ammette ”estremo superiore”, cioè l’insieme dei maggioranti di questo insieme
ammette minimo (esiste un numero reale che è il minimo di questo insieme).
L’estremo superiore ` di un insieme (limitato) A ⊂ R, come minimo dei maggioranti, ha questa
(ovvia) proprietà che caratterizza, tra tutti i maggioranti, l’estremo superiore: ogni numero
minore di ` non può essere un maggiorante, quindi se `0 < ` deve esserci in A almeno un
elemento che supera `0 in simboli
` = sup A ∧ `0 < ` =⇒ ∃a ∈ A : `0 < a ≤ `.
Analogamente ogni insieme non vuoto e inferiormente limitato ammette ”estremo inferiore”
(il massimo dei minoranti) che ha la proprietà caratteristica: se λ è l’estremo inferiore di E e
λ0 > λ allora
λ = inf A ∧ λ0 > λ =⇒ ∃e
a∈A:λ≤e
a < λ0 .
L’insieme dei numeri razionali può essere messo in corrispondenza biunivoca con N (si dice
che Q è numerabile), si può dimostrare che questo non è possibile per R (si dice che R non è
numerabile ed ha la potenza del continuo). Ogni numero reale può però essere approssimato
tanto bene quanto si vuole con numeri razionali (si dice che Q è denso in R).
Nell’insieme dei numeri reali positivi l’equazione xn√= α (α > 0) ha sempre una e una sola
soluzione, che viene in generale indicata con x = n α o con x = α1/n . Per esempio nel caso
n = 2 la soluzione dell’equazione x2 = α è x = sup {x > 0 : x2 < α} .
2
Fattoriali, coefficienti binomiali, potenza del binomio
Per ogni intero naturale n si definisce n fattoriale il prodotto di tutti i numeri interi compresi
tra 1 ed n :
n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n
la definizione può essere fatta per ricorrenza: 1! = 1 e, per ogni n > 1 n! = n · (n − 1)!.
Per ogni coppia di interi n , k con 1 ≤ k ≤ n − 1 si definisce coefficiente binomiale (si legge
”enne su cappa”)
³n´
n!
n (n − 1) · · · (n − k + 1)
=
=
k
k! · (n − k)!
k!
µ
¶
³n´
n
Si verifica immediatamente che
=
inoltre ponendo (è una convenzione, di
k
n−k
per sé non avrebbe
³ n ´senso)
³ n0!
´ = 1 si può dare senso al coefficiente binomiale anche nei casi
k=0ek=n:
=
= 1.
0
n
³n´
È comodo ordinare i coefficienti binomiali in una tabella (triangolo di Tartaglia) in cui
si
k
trova all’incrocio della riga di indice n con la colonna di indice k:
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
k 0 1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
6
10
15
21
28
36
1
4
1
10 5
1
20 15
6
1
35 35 21 7 1
56 70 56 28 8 1
84 126 126 84 36 9 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8 9
in questa
tabella si vede immediatamente che ogni riga è simmetrica rispetto al centro, infatti
³n´ µ n ¶
=
, inoltre ogni termine non agli estremi di una riga può essere ottenuto come
n−k
k
somma dei due termini della riga precedente, uno sulla stessa colonna, l’altro nella colonna
precedente,
cioè
³n´ µn − 1¶ µn − 1¶
=
+
.
k
k−1
k
Il termine coefficiente binomiale sopra introdotto è giustificato dalla seguente formula:
n
(a + b) =
n ³ ´
X
n
k=0
3
k
ak bn−k .
Esempi, esercizi, formule
Progressioni aritmetiche.
Somma dei primi n numeri naturali:
n
X
n (n + 1)
1 + 2 + · · · + (n − 1) + n =
.
k=
2
k=1
Somma dei primi n numeri dispari:
n
X
1 + 3 + · · · + (2n − 1) =
(2k − 1) = n2 .
k=1
Somma di numeri naturali consecutivi:
1000
1000
99
X
X
X
1000 · 1001 99 · 100
100 + 101 + · · · + 1000 =
k=
k−
k=
−
=
2
2
k=100
k=1
k=1
= 50 · (10010 − 99) = 495 550.
1000
901
901
901
X
X
X
X
901 · 902
oppure:
k=
(99 + k) =
99 +
k = 901 · 99 +
= 901 · (99 + 451) =
2
k=100
k=1
k=1
k=1
= 901 · 550 = 495 550.
Somma di termini di una progressione aritmetica:
30
30
10
30
30
10
X
X
X
X
X
X
(5k + 2) = 57 + 62 + 67 + · · · + 152 =
(5k + 2) −
(5k + 2) = 5 k +
2−5 k−
k=11
10
X
k=1
k=1
k=1
k=1
k=1
2=
k=1
=5·
30 · 31
10 · 11
+ 2 · 30 − 5 ·
− 2 · 10 = 25 · (93 − 11) + 40 = 25 · 82 + 40 = 2090.
2
2
Progressioni geometriche.
n
X
1 − an+1
ak =
1−a
k=1
si ottiene dalla nota formula xn+1 −y n+1 = (x − y) (xn + xn−1 y + xn−2 y 2 + · · · + xy n−1 + y n )
ponendo x = 1 , y = a. (
)
n
X
3
Conseguenza 0, 3 = sup
.
k
10
k=1


1
n
n
1
−
X 3
1
3 X 1
3
1  1
1
10n+1 = 3 · 
=
·
=
·
 9 −
= −
k
k
n
1
10
10 k=0 10
10
10
9 · 10
3 3 · 10n+1
k=1
1−
10
10
1
quindi 0, 3 = .
3
¶
µ
12
1
1
345
345
345
1, 2345 = 1, 2 + 0, 0345 =
+
· 0, 345 =
+
+
+ ··· =
12 +
10
10
10
100 1002 1003
(
)
µ
¶
n
12
345 X 1
12
345 100
1
345
= sup
+
=
+
=
12 +
=
10 1000 k=1 100k
10 1000 999
10
999
12345 − 12
12333
12 (1000 − 1) + 345
=
=
.
=
9990
9990
9990
1 + a + a2 + · · · + an−1 + an =
da cui la nota formula per la frazione generatrice.
4
Per ciascuno dei seguenti insiemi stabilire se è limitato, se ammette massimo e/o minimo e
determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore.
1. A = (3, 5] = {x ∈ R : 3 < x ≤ 5}
2. B = [3, 5) = {x ∈ R : 3 ≤ x < 5}
3. C = [3, 5) ∪ {7} = {x ∈ R : (3 ≤ x < 5) ∨ (x = 7)}
4. N = {1, 2, 3, · · · , n. · · · }
½
¾ ½
¾
1 1
1
1
5. D = 1, , , · · · , , · · · =
, n∈N
2 3
n
n
½
¾ ½
¾
1 1
(−1)n
(−1)n
6. E = −1, , − , · · · ,
,······ =
, n∈N
2 3
n
n
½
¾
1
7. F = 1 + , n ∈ N
n
½
µ
¶
¾
1
n
8. G = (−1) 1 +
, n∈N
n
½
µ
¶
¾
1
n
9. H = (−1) 1 −
, n∈N
n
½
¾
n+m
10. I =
, n, m ∈ N
n·m
¾
½ 2
n + m2
, n, m ∈ N
11. J =
n·m
½
¾
2n − 3m
12. K =
, n, m ∈ N
n·m
½µ ¶
¾
10
13. L =
, n = 0, 1, 2, · · · , 10
n
½µ ¶
¾
11
14. M =
, n = 0, 1, 2, · · · , 11
n
½µ ¶
¾
2n
15. N =
, n∈N
n
16. O = {x : x = s/r , r ∈ R , s ∈ S} dove R = (−3, −2/3] ∪ [1, 4] , S = [−4, 3) .
5
1. A = (3, 5] = {x ∈ R : 3 < x ≤ 5}
inf A = 3 , sup A = max A = 5.
2. B = [3, 5) = {x ∈ R : 3 ≤ x < 5}
inf B = min B = 3 , sup B = 5.
3. C = [3, 5) ∪ {7} = {x ∈ R : (3 ≤ x < 5) ∨ (x = 7)}
inf C = min C = 3 , sup C = max C = 7.
4. N = {1, 2, 3, · · · , n. · · · }
inf N = min N = 1 , N non è superiormente limitato (sup N = +∞ ).
½
¾ ½
¾
1 1
1
1
5. D = 1, , , · · · , , · · · =
, n∈N
2 3
n
n
inf D = 0 , sup D = max D = 1.
½
¾ ½
¾
1 1
(−1)n
(−1)n
6. E = −1, , − , · · · ,
,······ =
, n∈N
2 3
n
n
1
inf E = min E = −1 , sup E = max E = .
2
½
¾
1
7. F = 1 + , n ∈ N
n
inf F = 1 , sup F = max F = 2.
½
µ
¶
¾
1
n
8. G = (−1) 1 +
, n∈N
n
3
inf G = min G = −2 , sup G = max G = .
2
½
µ
¶
¾
1
n
9. H = (−1) 1 −
, n∈N
n
inf H = −1 , sup H = 1.
½
¾ ½
¾
n+m
1
1
10. I =
, n, m ∈ N =
+ , n, m ∈ N .
n·m
m n
inf I = 0 , sup I = max I = 2.
½ 2
¾ n
¾
o ½
n + m2
n
m
1
11. J =
, n, m ∈ N =
+
, n , m ∈ N = q + , q ∈ Q+ .
n·m
m
n
q
sup J = +∞ , inf J = min J = 2.
¾ ½
¾
½
2
3
2n − 3m
, n, m ∈ N =
− , n, m ∈ N .
12. K =
n·m
m n
½
¾
½
¾
2
3
Posto I1 =
, m ∈ N , I2 =
, n ∈ N si ha I = {x − y , x ∈ I1 , y ∈ I2 } quindi
m
n
inf I = −3 , sup I = 2.
6
¶
¾
10
, n = 0, 1, 2, · · · , 10
13. L =
n
Ogni
µ ¶insieme finito ammette massimo e minimo: inf K = min K = 1 , sup K = max K =
10
= 252.
5
½µ ¶
¾
11
14. M =
, n = 0, 1, 2, · · · , 11
n
µ ¶ µ ¶
11
11
inf L = min L = 1 , sup L = max L =
=
= 462. I valori del massimo e del
5
6
minino sono unici e ciascuno viene assunto per due diversi valori di n .
½µ ¶
¾
2n
15. N =
, n∈N
n
½µ
inf M = min M = 2 , M non è superiormente limitato (sup M = +∞ ). Infatti
µ ¶
(2n) · (2n − 2) · · · · · 4 · 2 (2n − 1) · (2n − 3) · · · · · 3 · 1
2n
(2n)!
=
·
≥ 2n .
=
n
n! · n!
n!
n!
16. Conviene costruire l’insieme
T = {t : t = 1/r , r ∈ R} = [−3/2, −1/3) ∪ [1/4, 1] .
Si può riscrivere l’insieme O come
O = {x : x = s · t , t ∈ C , s ∈ S} .
S e T sono limitati, quindi O è a sua volta limitato.
Tenendo conto che sia S che T contengono numeri negativi e numeri positivi, l’estremo
superiore di O (certamente positivo) è il massimo tra il prodotto degli estremi superiori
di S e di T ed il prodotto degli estremi inferiori di S e di T, mentre l’estremo inferiore
di O (certamente negativo) è il minimo (cioè il massimo in valore assoluto) tra i prodotti
incrociati dell’estremo superiore di un insieme con l’estremo inferiore dell’altro. Poiché
sup S = 3 , inf S = −4 = min B
sup T = 1 = max T , inf T = −3/2 = min T
si ottiene:
sup O = max {3 · 1, −4 · (−3/2)} = max {3, 6} = 6 = max O
perché −4 ∈ S e −3/2 ∈ T
inf O = min {3 · (−3/2), 1 · (−4)} = min {−9/2), −4} = −9/2 ∈
/O
perché 3 ∈
/ S.
Dunque O è limitato, ammette massimo ma non ammette minimo.
Volendo costruire l’insieme O (tenendo conto di quanto detto sopra) si ottiene che O è
l’intervallo (−9/2, 6] .
7
Altri esercizi sui coefficienti binomiali.
µ
9 12
17. Calcolare il coefficiente di x y
nello sviluppo di
2 2
3 y2
x y−
3
4x
¶9
.
µ
¶9 X
¶k µ
¶9−k
9 µ ¶µ
2 2
3 y2
9
2 2
3 y2
x y−
=
xy
−
=
3
4x
k
3
4x
k=0
µ ¶9−k
¶9−k
9 µ ¶ µ ¶k
9 µ ¶ µ ¶k µ
X
X
9
2
3
9
2
3
2k k
18−2k k−9
=
x y −
y
x
=
−
x3k−9 y 18−k .
k
3
4
k
3
4
k=0
k=0
Deve essere k = 6 quindi il coefficiente cercato è
µ ¶ µ ¶6 µ ¶3
3
9 · 8 · 7 · 26 · 33
9
2
28
−
=−
=− .
6
3
6
3
4
3·2·3 ·4
9
18. Risolvere le seguenti equazioni: (n intero maggiore di 9 )
µ ¶ µ ¶
µ ¶ µ ¶
µ ¶ µ ¶
n
n
n
n
n
n
=
,
=
,
=
.
7
9
6
9
5
9
µ ¶
µ ¶
n!
n!
n
n
=
=
,
. Deve essere
7
7! · (n − 7)!
9
9! · (n − 9)!
7! · (n − 7)! = 9! · (n − 9)! ,
(n − 7) · (n − 8) = 9 · 8. ,
n2 − 15n − 16 = 0.
L’unica soluzione
è n = 16. Questo era intuibile fin dall’inizio: 9 + 7 =
µ ¶ accettabile
µ ¶
16
16
16 quindi
=
.
7
9
Le altre due equazioni hanno certamente come soluzione (per il motivo citato sopra)
rispettivamente n = 15 e n = 14.
Si può verificare che la prima non ammette altre soluzioni reali, la seconda ammette come
unica altra soluzione reale −1 (da scartare).
µ ¶
µ ¶
n
n
(n intero maggiore di 16 )
=9·
19. Risolvere l’equazione 8 ·
15
17
Ricordando che
µ ¶
µ ¶
n
n!
n
n!
=
,
=
17
17! · (n − 17)!
15
15! · (n − 15)!
l’equazione è:
n!
n!
= 9·
semplificando per n!
8·
17! · (n − 17)!
15! · (n − 15)!
8
9
=
e riscrivendo meglio
17! · (n − 17)!
15! · (n − 15)!
9
8
=
17 · 16 · 15! · (n − 17)!
15! · (n − 15) · (n − 16) · (n − 17)!
semplificando ancora per tutto il semplificabile
8
9
=
dunque (n − 15) · (n − 16) = 18 · 17.
17 · 16
(n − 15) · (n − 16)
Le soluzioni sono n = −2 e n = 33 quindi l’unica soluzione è n = 33.
8