testo e soluzione

FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE
Anno Accademico 2012/2013, prova scritta 21 Giugno 2013
Commentare brevemente i passaggi e scrivere sempre la formula usata prima di sostituire i valori numerici, ricordando di indicare le unità di misura.
Non dimenticare
di riportare sulla prova nome, cognome e matricola.
Soluzioni ed esiti alla pagina
http://qinf.fisica.unimi.it/˜paris/fisbio.html
Esercizio 1: Una condotta di sezione costante scende da una montagna con un dislivello pari a h = 40 m.
La pressione del fluido in cima alla montagna é pari alla pressione atmosferica P0 e quella a valle é pari a
P1 = 5 atm. La velocità del fluido a monte é v = 5 m/s. Si assuma che il fluido nella condotta si comporti
in maniera ideale.
a) Calcolare la velocità del fluido nei vari tratti della condotta;
b) Quanto vale la densità del fluido (in unità SI) ? Che fluido potrebbe essere ?
Esercizio 2: Due di moli di gas perfetto biatomico, inizialmente a pressione pA = 1.00 · 105 N/m2 e volume
VA = 5.00 l, compiono un ciclo termodinamico composto dalle seguenti trasformazioni: (AB): espansione
isobara fino a raddoppiare il volume iniziale; (BC): compressione isocora fino a dimezzare la pressione; (CD):
isobara fino al volume iniziale; (DA) isocora fino alla pressione iniziale. Svolgere i seguenti punti:
a) Disegnare il ciclo nel piano V-p, calcolare pressioni e volumi nei punti B, C e D e individuare nel ciclo
i punti a temperatura minima e massima e determinarle. Calcolare il lavoro complessivo compiuto
dal gas.
b) Calcolare le quantità di calore scambiate nelle varie trasformazioni, specificandone il segno. Calcolare
il rendimento del ciclo e confrontarlo con il rendimento di un ciclo di Carnot che lavori tra le medesime
temperature minima e massima.
Esercizio 3: Una pallina di massa m = 100 g viene lanciata verso l’alto con velocità (in modulo) pari a
v = 14.1 m/sec e con una inclinazione di θ = 45◦ rispetto al terreno. Calcolare:
a) Le componenti orizzontale e verticale della velocità nel punto di massima quota; la quota massima
raggiunta dalla pallina ed il lavoro fatto dal campo gravitazionale sulla pallina nel tragitto tra il suolo
e il punto di massima altezza.
b) La distanza massima raggiunta dalla pallina dal punto di partenza e la velocità con cui arriva in
questo punto.
Esercizio 4: Una carica positiva Q = 5.00 · 10−15 C é fissato ad un punto O. Una particella di massa
m = 1.00 · 10−23 Kg e carica negativa q = −2.00 · 10−17 C si muove di moto circolare uniforme su una
circonferenza di centro O e raggio R = 1.00 · 10−6 m. Si determini
a) il modulo della velocità dell carica q;
b) l’energia totale della carica q.
FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE
Anno Accademico 2012/2013, prova scritta 21 Giugno 2013
Soluzione esercizio 1:
a) Se vA = 5 m/s la portata iniziale vale QA = 5S m3 /s dove S é la sezione. La portata é costante, ed
essendo la sezione costante lo deve essere anche la velocità.
b) Usiamo la legge di Bernoulli 12 dv12 + P1 = 21 dv02 + P0 + dgh, da cui, tenendo conto che la velocità é
−P0
costante, otteniamo la densità del fluido d = P1gh
' 1034Kg/m3 . La densità é molto simile a quella
dell’acqua.
Soluzione esercizio 2:
a) Abbiamo pB = pA , VB = 2VA , pC = 21 pA , VC = VB = 2VA , pD = pC = 12 pA , VD = VA . Il lavoro
corrisponde all’area sottesa dal ciclo, ovvero L = (pA − pC )(VB − VA ) = 250 J. Usando la legge dei gas
perfetti P V = nRT abbiamo che il punto ha temperatura maggiore corrisponde al punto del ciclo con
pressione e volume massimi ovvero il punto B per cui si ha TB = pB VB /(nR) ' 60.2K. Analogamente
abbiamo che il punto a temperatura minima é il punto D per cui abbiamo TD = pD VD /(nR) = 14 TB '
15.05 K.
b) La trasformazione AB si svolge a pressione costante, per cui QAB = nCp ∆T = 72 (nRTB − nRTA )
7
2 PA (VB − VA ) = 1750 J. La trasformazione BC si svolge a volume costante, per cui QBC = nCv ∆T
5
5
2 (nRTC − nRTB ) = 2 VB (pC − pA ) = −1250 J. Inoltre QCD = −QAB /2 e QDA = −QBC /2.
rendimento del ciclo vale η = Ltot /Qass ' 0.1 mentre il rendimento di un ciclo di Carnot con
medesime temperature minima e massima vale ηc = 1 − TD /TB ' 0.75.
=
=
Il
le
Soluzione esercizio 3:
a) Nel punto di massima quota la velocità é solo orizzontale. Si noti che nella direzione x la pallina si
muove di moto rettilineo uniforme e dunque la velocità in questa direzione é uguale a quella iniziale.
Quindi nel punto di massima quota vy = 0 e vx = v cos θ ' 10 m/s. Utiliziamo ora la legge di
conservazione dell’energia meccanica. Nel punto di partenza la pallina possiede solo energia cinetica
EA = 12 m|v|2 = 21 m(vx2 + vy2 ). Nel punto di massima altezza possiede sia energia cinetica sia energia
potenziale EB = 12 m|v|2 + mgh = 12 mvx2 + mgh. Ricordando che nella direzione x la pallina si
muove di moto rettilineo uniforme sappiamo che la velocità in questa direzione é la stessa nei due
punti. Pertanto uguagliando EA ed EB possiamo semplificare il termine cinetico in vx ed ottenere
2θ
2
v2
h = 2gy = v sin
' 5.1 m. Il lavoro fatto dal campo gravitazionale é pari alla differenza di energia
2g
1
cinetica L = 2 m|vB |2 − 21 m|vA |2 = mgh ' 5 J
b) Scrivendo l’equazione della traiettoria e cercando le soluzioni per cui y = 0 si ottiene l’espressione
per la gittata (che rappresenta il punto di massima distanza dal punto di lancio), ovvero xm =
2v 2 sin θ cos θ/g = v 2 /g ' 20.3 m. La velocità nel punto di arrivo ha componente x immutata e
componente y opposta a quella iniziale.
Soluzione esercizio 4:
a) La forza centripeta necessaria a mantenere la carica q in moto circolare coincide con la forza di
Coulomb tra le due cariche e dunqe si ha kqQ/R2 = mv 2 /R da cui v ' 9.5 · 103 m/s.
b) L’energia totale é la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale E =
−4.5 · 10−16 J.
1
2
2 mv
− kqQ/R '