Frazioni, decimali e percentuali - Liceo Classico Psicopedagogico

L ’ EQUIVALENZA FRA I NUMERI RAZIONALI (cioè le frazioni),
I NUMERI DECIMALI (quelli spesso con la virgola)
ED I NUMERI PERCENTUALI (quelli col simbolo %).
Ora vedremo che ogni frazione (sia propria, che impropria, che apparente) si può
sempre trasformare nel suo corrispondente numero percentuale, cioè col simbolo % .
Ecco come fare: se la frazione che vuoi trasformare è propria, per esempio 2/5 (1) (cioè
col numeratore minore del denominatore e dunque di valore inferiore all’unità) basta
moltiplicarla per 100% e semplificare fin che si può, i numeri in alto con quelli in
basso, vediamolo qui nei vari modi possibili:
Come puoi vedere tutti i modi portano sempre allo stesso risultato e sono dunque da
considerarsi equivalenti anche se diversi nel procedimento, di solito si usa il primo ma
tu puoi scegliere quello che preferisci…. ancora meglio sarebbe saperli fare tutti e tre.
In ogni caso infatti ho diviso sia il numeratore che il denominatore per il loro MCD che
è 5 ed ottengo sempre 40, il simbolo % che è sempre presente sino alla fine,
caratterizza il risultato come percentuale rispetto ad un totale che si intende appunto
sempre pari al 100%. Dunque si può dire che la frazione 2/5 equivale al 40% (ossia a 40
parti su 100 totali) e nulla sarebbe cambiato se al suo posto ci fosse stata la frazione
equivalente non ridotta ai minimi termini, per esempio 4/10 oppure 20/50 come puoi
verificare di persona con pochi calcoli (2).
Guardiamo ora però la cosa da un altro punto di vista analizzando il
seguente grafico a forma di torta.
La torta in 5 parti
Totale = 100% = 5/5 = 1
20% = 1/5
20% = 1/5
20% = 1/5
20% = 1/5
20% = 1/5
(1) Nota Bene :
si scrive anche
oppure
(2) Nota Bene: una frazione si può ridurre ai minimi termini semplificandola subito col MCD
oppure progressivamente coi divisori comuni .
Se prendo una torta divisa in 5 parti uguali, ognuna delle 5 fette corrisponde ad 1/5
del totale che è il 100% (ossia la frazione apparente 5/5 = 1 corrispondente all’intero
o unità), dunque ogni fetta è pari al 100% diviso per 5, cioè:
Cioè ogni fetta della torta è il 20% del totale (il totale è sempre pari all’unità e dunque
al 100%). Dunque i 2/5 visti prima sono 2 fette da 20% ognuna e quindi il 40% del
totale (ossia a 40 parti su 100 totali in cui immagino divisa la torta, come mostra il
grafico seguente ove ogni fettina è l’ 1%).
..… mi sembra che i conti tornino!
Si può inoltre ottenere la percentuale partendo da un numero decimale, infatti se
prima ho mostrato che la frazione 2/5 equivale sempre al 40% , è anche vero per
definizione di numero razionale (o frazione) che:
ma allora per passare da decimale a percentuale (visto che 2/5 equivale al numero
decimale 0,4 ) basterà anche qui moltiplicarlo semplicemente per 100% ; infatti come
prima avremo:
Concludendo: abbiamo dimostrato la tripla equivalenza fra frazioni, numeri decimali
e numeri percentuali.
In sintesi si può evidenziare questa tripla corrispondenza graficamente col seguente
diagramma:
Tutto quello che abbiamo visto vale per ogni tipo di frazione, oltre che propria anche
impropria ed apparente, infatti per esempio:
se è apparente (cioè multipla dell’unità):
e dunque il diagramma sarà:
ovviamente qui la virgola nel numero decimale non è necessaria, dato che la divisione
ci da un risultato intero.
oppure sempre apparente (ma unitaria):
e dunque il diagramma sarà:
invece se è impropria (cioè col numeratore maggiore del denominatore e dunque di
valore superiore all’unità ):
e dunque il diagramma sarà:
oppure sempre impropria:
e il diagramma
sarà:
Consiglio:
Non bisogna stupirsi se esistono percentuali superiori al 100% ….infatti è come
avere più di una torta invece di una sua sola porzione: in questo ultimo caso di torte ne hai
addirittura sei e mezza! Non bisogna stupirsi neppure se esistono percentuali nulle o negative
.… infatti lo 0% corrisponderà allo zero dei numeri interi e quelle negative semplicemente ai
loro numeri negativi corrispondenti !
Abbiamo visto fino ad ora come trasformare una frazione e il suo valore decimale
nella percentuale corrispondente. Vediamo ora una cosa altrettanto importante, ossia
come trasformare una percentuale nella sua frazione o nel suo valore decimale
corrispondenti. Per esempio voglio esprimere negli altri modi il 60% .Se prima per
trasformare in percentuale bastava moltiplicare per 100%, ora all’inverso basterà
dividere per 100% infatti , semplificando come al solito col MCD ed eliminando i due
simboli % si avrà:
cioè 3 fette della torta di prima
(ossia 3 per 20%) che equivalgono a poco più di metà torta, e dunque il diagramma
sarà:
altro esempio il 200% (ossia due torte intere):
e dunque il diagramma sarà:
oppure il 650% (ossia sei torte e mezza):
e dunque il diagramma sarà:
Dulcis In Fundo…
L’ultima maniera per calcolare una percentuale partendo da una frazione o viceversa
è quella di usare una bella proporzione !
Infatti nel primo caso si ha che: la percentuale cercata starà al 100% come la frazione
corrispondente sta all’unità
x% : 100% = 2/5 : 1
si ricava dunque la percentuale incognita che varrà :
x% = 2/5 . 100% = 40%
Mentre nel secondo si avrà che: la frazione cercata starà all’unità come la percentuale
corrispondente sta al 100%
x : 1 = 40% : 100%
si ricava dunque la frazione incognita che varrà:
x = 40% /100% = 2/5
E’ chiaro (vista la corrispondenza fra frazioni e numeri decimali) che in entrambi i
casi appena visti potrei sostituire la frazione 2/5 col suo valore decimale 0,4 .
E’ altrettanto chiaro che al posto della frazione propria 2/5 potrebbe esserci una
qualsiasi frazione, apparente od impropria.
Considerazione: In entrambi i casi i passaggi sono molto diretti e non necessitano di
particolari suggerimenti (almeno spero!).
BUONO
Prof. Quintino Arena A.S. 2010/2011
STUDIO !
Liceo Classico Psicopedagogico “G.Cesare -M.Valgimigli”