La riduzione a forma propria

capitolo
7
Le frazioni algebriche
La riduzione a forma propria
Ricordiamo che una frazione numerica si dice propria quando il numeratore è minore del
denominatore.
Sono proprie le frazioni:
3
4
5
8
11
12
7
non è propria la frazione
, che si può scrivere, dividendo il numeratore per il denomi3
1
natore, nella forma 2 + , cioè come somma di un numero naturale (il quoziente) con una
3
resto
⎛
⎞
frazione propria ⎜⎝ divisore ⎟⎠ .
Analogamente si può dare la seguente
DEFINIZIONE
Una frazione algebrica
N (x)
D( x )
si dice propria se il grado del polinomio a numeratore è minore del grado di quello a denominatore.
Sono proprie le frazioni:
3
x +1
4x
x2 + 5
2x − 1
x3
4 x3
x2 + 2
x4 + 1
x3
mentre non lo sono le frazioni:
x+2
x +1
Se la frazione
N (x)
D( x )
non è propria, possiamo eseguire la divisione di N(x) per D(x) e ottenere:
N(x) = Q(x) ⋅ D(x) + R(x)
con R(x) di grado minore di D(x). Ne segue che si può scrivere:
N ( x ) Q ( x ) ⋅ D ( x ) + R( x )
R( x )
=
= Q( x ) +
D( x )
D( x )
D( x )
La frazione algebrica si può scrivere come somma di due termini:
1
il polinomio Q(x) che ha grado uguale alla differenza tra il grado di N(x) e il grado di D(x);
la frazione propria
R( x )
.
D( x )
© 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista
capitolo
7
Le frazioni algebriche
sempi
1
Consideriamo la frazione algebrica
2x + 5
definita per x ≠ 1; poiché
x −1
2x + 5 = 2(x – 1) + 7
si può scrivere:
2 x + 5 2( x − 1) + 7
7
=
= 2+
x −1
x −1
x −1
In questo caso Q(x) = 2, cioè una costante, in quanto N(x) e D(x) hanno lo stesso grado.
2
3
Consideriamo la frazione algebrica 2 x + 4 x − 5 definita per x ≠ –3; essendo il grado del nux+3
meratore maggiore del grado del denominatore e il divisore un binomio di primo grado, possiamo effettuare la divisione con la regola di Ruffini:
0 4
−5
−3
−6 18 −66
2 −6 22 −71
2
Risulta:
Q(x) = 2x 2 – 6x + 22, R = – 71
Pertanto la frazione algebrica data si può scrivere:
2x3 + 4 x − 5
71
= 2 x 2 − 6 x + 22 −
x+3
x+3
2
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