frazioni come operatori (power point)

Finora hai usato i numeri naturali (N) per indicare le quantità
ed hai operato con essi risolvendo le operazioni aritmetiche.
Ci sono situazioni però in cui i numeri naturali non sono
adatti per esprimere una certa quantità. In questi casi ci
vogliono strumenti più potenti, cioè numeri con un aspetto
nuovo: sono le frazioni.
Vediamo di cosa si tratta.
Sei andato in pizzeria con gli amici
ma non hai molta fame e delle 4 fette
in cui hai suddiviso la tua pizza ne
mangi solo 3. Puoi esprimere tutto
questo dicendo che hai mangiato i
tre quarti della pizza.
3
—
4
Due numeri così scritti formano una frazione e si
leggono " tre quarti " oppure " tre fratto quattro ".
In una frazione si distinguono:
3
—
4
NUMERATORE:
indica quante parti dell’intero si considerano
LINEA DI FRAZIONE:
DENOMINATORE:
corrisponde all’operazione di divisione
indica quante parti uguali è stato diviso l’intero
UNITA’ FRAZIONARIA
Considera una torta e immagina di dividerla in 4 parti uguali;
ciascuna parte è un quarto della torta e per indicarlo si scrive così
1
—
4
Considera un rettangolo e immagina di dividerlo in 5 parti uguali;
ciascuna parte è un quinto del rettangolo e per indicarlo si scrive
così
1
—
5
Considera un quadrato e immagina di dividerlo in 9 parti uguali;
ciascuna parte è un nono del rettangolo e per indicarlo si scrive così
1
—
9
Chiamiamo
1
—
4
1
—
5
1
—
9
unità frazionarie e diamo la definizione
L‘ "OPERATORE" FRAZIONE
Pensa alla torta di prima e immagina di volerne mangiare 3 fette
Pensa al rettangolo di prima e immagina di volerne considerare 2 parti
Pensa al quadrato di prima e immagina di volerne considerare 7 parti
Una frazione agisce (opera) anche sui numeri:
di 12
Calcoliamo
Applicare
a 12 vuol dire dividere 12 in tre parti uguali e considerare una
sola di queste parti, quindi
di 12 significa calcolare 12:3x1
ESEMPIO
1
3
X 12 = 4
Divido i 12 cioccolatini in tre gruppi uguali , ogni gruppo contiene 4 cioccolatini
IN QUESTA UNITA' DIDATTICA IMPARI:

FRAZIONI PROPRIE

FRAZIONI IMPROPRIE E APPARENTI

FRAZIONI COMPLEMENTARI
FRAZIONI PROPRIE
Proviamo a considerare i 3/5 di una cioccolata Per fare ciò
dobbiamo dividere la cioccolata in 5 PARTI uguali e
considerarne 3.
Il risultato che si ottiene è una grandezza minore dell'intera
cioccolata.
Tutte le frazioni di questo tipo, che rappresentano una
parte più piccola dell'intero, si chiamano "frazioni
proprie".
Esse hanno il numeratore minore del denominatore.
FRAZIONI IMPROPRIE
Proviamo a
considerare i
5/2 di una
cioccolata.
Il risultato che si ottiene è una grandezza maggiore
di un'intera cioccolata: in questo caso sono state
considerate due cioccolate e mezza.
Tutte le frazioni di questo tipo, che rappresentano
una parte più grande, si chiamano "frazioni
improprie".
Esse hanno il numeratore maggiore ma non
multiplo del denominatore
FRAZIONI APPARENTI
Proviamo a
considerare i
6/2 di una
cioccolata.
Una frazione si dice apparente se, operando con
essa su una grandezza, si ottiene una grandezza
omogenea congruente o multipla di quella data.
Una frazione apparente presenta il numeratore
uguale o multiplo del denominatore.
DATA LA FRAZIONE
N
D
N<D ?
si
FRAZIONE
PROPRIA
no
N=nxD?
no
FRAZIONE
IMPROPRIA
si
FRAZIONE
APPARENTE
FRAZIONI COMPLEMETARE
Due frazioni sono complementari quando insieme formano
l'intero, cioè una completa l'altra.
1
4
+
3
4
=
4
3
4
8
+
5
8
=
8
8
CONFRONTO DI FRAZIONI
Se due frazioni hanno lo
stesso denominatore è
maggiore quella con
numeratore maggiore
4
5
Se due frazioni hanno
lo stesso
numeratore è
maggiore quella con
denominatore
minore
5
6
5
>
8
3
>
5
4
Fra una frazione propria
ed una frazione
impropria è maggiore la
frazione impropria
5
6
5
4
5
6
<
5
Se le due frazioni non hanno lo stesso denominatore o lo stesso numeratore o
non sono una propria e l’altra impropria si procede trovando frazioni
equivalenti a quelle date attraverso il m.c.m. dei denominatori e l’applicazione
della proprietà invariantiva (numero razionale e classi di equivalenza)
Definizione (confronto in Qa)
Dati due numeri razionali a = [m/n] e b = [p/q], si dice che a<b se e solo
se mq<np.
Si può dimostrare che la definizione è corretta, cioè che l'esito del confronto
non dipende dalle particolari due frazioni che si sono scelte per rappresentare
a, b.
FRAZIONI EQUIVALENTI E LORO APPLICAZIONI

Frazioni riducibili e irriducibili

Semplificazione di una frazione: metodi

Riduzione di una frazione ai minimi termini

Trasformazione di una frazione in altra
equivalente di denominatore assegnato

Riduzione di più frazioni al minimo comune
denominatore
FRAZIONI RIDUCIBILI E FRAZIONI IRRIDUCIBILI
Consideriamo la frazione
6
8
proviamo ad applicare ad essi la proprietà invariantiva dividendo i loro
termini per uno stesso numero:
6
8
=
6:2
8:2
=
3
4
possiamo applicarla perchè 8 e 10 ammettono come divisore comune 2.
3
Consideriamo ora la frazione
8
non possiamo applicare la proprietà invariantiva perchè 3 ed 8 non
ammettono divisori comuni, essendo numeri primi tra loro.
Diremo che
6
è una frazione RIDUCIBILE.
8
Diremo che
3
è una frazione IRRIDUCIBILE.
8
Una frazione si dice riducibile se numeratore e
denominatore hanno divisori comuni. Una frazione si
dice irriducibile se numeratore e denominatore sono
numeri primi tra loro, cioè non hanno divisori comuni.