VI Esercitazione di Matematica Finanziaria

VI Esercitazione di Matematica Finanziaria
2 Dicembre 2010
Esercizio 1. Verificare la proprietà di scindibilità delle leggi del prezzo
1 2
2
v(t, s) = exp − (s − t ) e v(t, s) = et(s−t)
2
Soluzione. Possiamo svogere l’esercizio in due modi equivalenti, dimostrando una delle due seguenti proprietà:
• v(t, T, s) = v(T, s);
• δ(t, s) = δ(s).
Per la prima legge abbiamo:
exp{− 21 (s2 − t2 )}
1
= exp{− (s2 − T 2 )} = v(T, s)
v(t, T, s) =
1
2
2
2
exp{− 2 (T − t )}
quindi la legge è scindibile. Equivalentemente possiamo scrivere
∂
∂
1 2
2
δ(t, s) = − ln v(t, s) = −
− (s − t ) = s = δ(s)
∂s
∂s
2
concludendo, come già detto, che la legge in questione è scindibile.
La seconda legge, invece, non è scindibile infatti
v(t, T, s) =
e−t(s−t)
= et(s−T ) 6= v(T, s).
et(T −t)
Esercizio 2. Su un mercato obbligazionario siano presenti i seguenti titoli:
• uno Zero Coupon Bond a scadenza in s con valore di rimborso 2.000
euro e prezzo oggi C = 1.960;
• un Titolo a Cedola Nulla unitario a scadenza in s e prezzo oggi 0.96;
1
calcolare il valore di non arbitraggio dello Zero Coupon Bond e costruire, se
possibile, una strategia che permetta di ottenere un guadagno privo di rischi
oggi, chiudendo in pareggio l’altra posizione.
Soluzione. Il valore di non arbitraggio dello Zero Coupon Bond è
Vna (0, ZCB) = 2.000 × 0.96 = 1.920
Dato che questo non è uguale al prezzo dello ZCB, è possibile costruire una
strategia che permetta di ottenere un arbitraggio.
La tabella di pay-off mostra la costruzione dell’arbitraggio:
0
s
+1.960
-2.000
−0.96 × 2.000 −1 × 2.000
40
0
Si ottiene, dunque, un guadagno privo di rischi pari a 40 oggi, chiudendo in
pareggio l’altra posizione, vendendo a pronti lo ZCB ed acquistando 2.000
quote del titolo a cedola nulla unitario.
Esercizio 3. Si consideri un mercato obbligazionario in cui siano presenti i
seguenti titoli:
• un titolo a cedola nulla unitario B1 a scadenza in t = 1 anno e prezzo
oggi P1 = 0.94;
• un titolo a cedola nulla unitario B2 a scadenza in t = 2 anni e prezzo
oggi P1 = 0.92;
• un titolo a cedola fissa Z con cedola annua I = 5, valore facciale C =
100 e scadenza in t = 2 anni.
Costruire un portafoglio Q, formato solamente dai titoli a cedola nulla unitari, che replichi il flusso del titolo a cedola fissa e calcolarne il valore di non
arbitraggio.
Costruire una strategia che permetta un guadagno privo di rischi immediato,
chiudendo in pareggio le altre posizioni, nel caso in cui il prezzo del titolo Z
fosse PZ = 102.
Soluzione. Il portafoglio Q deve garantire I = 5 in t = 1 e C + I = 105 in
t = 2, dunque la combinazioni di titoli a cedola nulla che replica tale flusso è
Q = 5B1 + 105B2
il cui prezzo di non arbitraggio è
Vna (Q) = 5 × 0.94 + 105 × 0.92 = 101.3
2
Nel caso in cui il prezzo di Z è uguale a 102, è possibile costruire una strategia
che permetta un arbitraggio immediato, ed in particolare abbiamo:
0
1
102
-5
-101.3 5
0.7
0
2
-105
105
0
dove le azioni che determinano la strategia sono:
• vendita allo scoperto del titolo Z;
• acquisto a pronti del portafoglio Q.
Esercizio 4. Sia dato un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo
t = 0 ed in riferimento allo scadenzario s = {1, 2} anni, siano trattati i titoli:
• x = {100, 0} euro al prezzo a pronti di 97 euro;
• y = {0, 100} euro al prezzo a pronti di 95 euro;
• z = {3, 103} euro al prezzo a pronti di 97 euro.
Costruire un arbitraggio non rischioso che garantisca un profitto certo di 30
euro al tempo t = 0, avendo chiuso in pareggio le posizioni negli altri istanti.
Quale prezzo dovrebbe avere z affinché non siano possibili arbitraggi?
Soluzione. Per avere un guadagno privo di rischi al tempo t = 0, chiudendo
in pareggio le altre posizioni, assegnamo ai tre titoli, rispettivamente, le quote
a, b, c e risolviamo il sistema corrispondente:

 97a + 95b + 97c = 30
100a + 3c = 0

100b + 103c = 0
da cui si ottengono le quote

 a = 0.24
b = 8.22

c = −7.98
Il prezzo di non arbitraggio del titolo z è
Vna (z ) = 3v(0, t1 ) + 103v(0, t2 ) = 3 × 0.97 + 103 × 0.95 = 100.76
dato che
95
97
= 0.97 e v(0, t2 ) =
= 0.95
100
100
sono i prezzi a pronti sul mercato.
Esercizio 5. Siano presenti sul mercato obbligazionario in t0 = 0 i seguenti
titoli:
v(0, t1 ) =
3
• un contratto a pronti x che garantisce 100 in t1 e prezzo Px = 98.1;
• un contratto a pronti y che garantisce 100 in t2 e prezzo Py = 96.4;
• un contratto a termine z che garantisce 100 in t3 , pattuito in t0 = 0
ma pagabile in t2 , e prezzo Pz = 97.4,
ove t = {89, 183, 381} giorni.
Determinare le strutture per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine,
implicati dalle strutture dei prezzi corrispondenti, indicandoli in forma percentuale e su base annua, rispetto alla durata effettiva dell’anno (360 giorni).
Considerando i contratti a pronti x, y ed il titolo w/t = {100, 100}/{t1 , t2 }
con prezzo P = 195.3 in t0 = 0, determinare una strategia che permetta di
avere un guadagno privo di rischi in t0 = 0, chiudendo in pareggio le altre
posizioni.
Soluzione. Calcoliamo le strutture a pronti :
• prezzi a pronti:
98.1
= 0.981;
100
96.4
v(0, t2 ) =
= 0.964;
100
97.4
v(0, t3 ) =
× 0.964 = 0.938936;
100
v(0, t1 ) =
• tassi a pronti:
i(0, t1 ) =
i(0, t2 ) =
i(0, t3 ) =
1
0.981
360
89
1
0.964
360
183
− 1 = 0.0818 = 8.18%;
− 1 = 0.0759 = 7.59%;
1
0.938936
360
381
− 1 = 0.0622 = 6.22%;
Facciamo lo stesso per le strutture a termine:
• prezzi a termine:
v(0, 0, t1 ) = 0.981;
0.964
v(0, t1 , t2 ) =
= 0.982671;
0.981
0.938936
v(0, t2 , t3 ) =
= 0.974;
0.964
4
• tassi a termine:
i(0, 0, t1 ) = 8.18%;
360
183−89
1
i(0, t1 , t2 ) =
− 1 = 0.0702 = 7.02%;
0.982671
360
381−183
1
− 1 = 0.0498 = 4.98%;
i(0, t2 , t3 ) =
0.974
Utilizzando il titolo w possiamo ottenere un arbitraggio costruendo la seguente
tabella di pay-off:
0
t1
t2
-98.1 100
0
-96.4
0
100
195.3 -100 -100
0.8
0
0
Si ottiene, dunque, un guadagno privo di rischio in t = 0, chiudendo in
pareggio le altre posizioni facendo le seguenti azioni:
1. acquisto a pronti del titolo a cedola nulla x ;
2. acquisto a pronti del titolo a cedola nulla y ;
3. vendita a pronti del titolo w.
Esercizio 6. In un mercato obbligazionario strutturato su uno scadenzario t = {180, 240, 360} giorni, al tempo t0 = 0, sono presenti tre
titoli:
• un contratto a pronti x che garantisce 100 in t1 e prezzo Px = 98.2;
• un contratto a termine y che garantisce 100 in t2 al prezzo Py = 97.5
pattuito in t0 = 0 e pagabile in t1 ;
• un contratto a termine z che garantisce 100 in t3 al prezzo Pz = 95
pattuito in t0 = 0 e pagabile in t2 .
Determinare le strutture per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine,
implicati dalle strutture dei prezzi corrispondenti, indicandoli in forma percentuale e su base annua, rispetto alla durata effettiva dell’anno (360 giorni).
Calcolare il valore di equilibri di un Bullet Bond con valore facciale C = 100,
tasso nominale jn = 6% su base annua, scadenza in s = 1 anno e cedole
semestrali.
Soluzione. Calcoliamo le strutture a pronti :
5
• prezzi a pronti:
98.2
= 0.982;
100
97.5
v(0, t2 ) =
× 0.982 = 0.95745;
100
95
v(0, t3 ) =
× 0.95745 = 0.909578;
100
v(0, t1 ) =
• tassi a pronti:
i(0, t1 ) =
i(0, t2 ) =
i(0, t3 ) =
1
0.982
360
180
− 1 = 0.0369 = 3.69%;
1
0.95745
360
240
1
0.909578
− 1 = 0.0674 = 6.74%;
360
360
− 1 = 0.0994 = 9.94%;
Facciamo lo stesso per le strutture a termine:
• prezzi a termine:
v(0, 0, t1 ) = 0.982;
0.95745
= 0.975;
v(0, t1 , t2 ) =
0.982
0.909578
v(0, t2 , t3 ) =
= 0.95;
0.995745
• tassi a termine:
i(0, 0, t1 ) = 3.69%;
360
240−180
1
i(0, t1 , t2 ) =
− 1 = 0.16405 = 16.405%;
0.975
360
360−240
1
i(0, t2 , t3 ) =
− 1 = 0.1663 = 16.63%;
0.95
Il Bullet Bond ammette cedola semestrale
0.06 × 100
I=
=3
2
dunque il valore di equilibrio è dato da
Ve = 3v(0, 180) + 103v(0, 360) = 3 × 0.982 + 103 × 0.909578 = 96.93
6