Regime dinamico nel dominio del tempo

Regime dinamico nel dominio del tempo
Appunti a cura dell’Ingg. Basoccu Gian Piero e Marras Luca
Tutors del corso di ELETTROTECNICA per meccanici e chimici
A. A 2003/04 e 2004/05
Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Ultimo aggiornamento 04/02/2009
Appunti a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, tutors del corso di
ELETTROTECNICA per meccanici e chimici
Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
1
Premessa
Regime stazionario
Un sistema elettrico è in regime stazionario
quando le grandezze del sistema non variano
nel tempo
Regime sinusoidale
Un sistema elettrico è in regime sinusoidale
permanente quando le grandezze in esame
variano nel tempo mantenendo costante le
ampiezze e le frequenze.
Regime dinamico
Quando un sistema elettrico reale passa da un
regime stazionario ad un altro o da un regime
regime permanente sinusoidale ad un altro,
questo passaggio non avviene istantaneamente,
ma in un tempo finito durante il quale le
grandezze del circuito possono variare nel
tempo in ampiezza, frequenza e fase.
Il funzionamento che si verifica per un tempo
transitorio caratterizza il regime dinamico.
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2
Lo studio dei transitori in ingegneria elettrica
corrisponde allo studio del comportamento
dinamico delle strutture in altri rami della fisica
e in particolare dell’ingegneria.
In tutti i campi dell’ingegneria come
• la struttura di un ponte,
• di un grattacielo,
• di un albero di una macchina,
• di una diga,
• di un’ala di un aereo
• di una rete elettrica,
• etc…
per dimensionare correttamente, non è
sufficiente definire il comportamento statico
delle strutture, ma è necessario conoscere il
comportamento dinamico.
I metodi matematici con i quali si sviluppa
l’analisi dei sistemi elettrici in regime
transitorio sono quelli trattati in altri testi
specifici ed utilizzabili in tutti i campi
dell’ingegneria, quando si debbano risolvere
problemi di risposta dinamica.
I metodi sperimentali presuppongono la
realizzazione di modelli (modellazione).
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3
Per questi motivi i problemi dinamici relativi a
sistemi non elettrici possono essere risolti con
modelli analoghi a quelli elettrici essendo retti
da equazioni differenziali di uguale struttura.
La modellazione e risoluzione dei sistemi
elettrici in regime dinamico rappresentano delle
metodologie spendibili per lo studio dei sistemi
di natura diversa in regime dinamico.
Esistono delle precise analogie tra i modelli
analitici risolutivi dei:
• sistemi elettrici
• sistemi meccanici
• sistemi idraulici
• sistemi termici
• etc…
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4
ESEMPI
Analogia termica
L'analogia può essere così espressa:
Sistema elettrico
In un corpo materiale l'intensità di corrente fluisce dal
punto a potenziale più alto al punto a potenziale più basso,
è proporzionale alla differenza di potenziale e dipende
dalla natura del corpo materiale. La costante di
proporzionalità corrispondente al rapporto tra la
differenza di potenziale e l'intensità di corrente è chiamata
resistenza elettrica.
sostituendo le parole intensità di corrente con potenza
termica e potenziale con temperatura, elettrico con termico
si ha:
Sistema termico
In un corpo materiale la potenza termica ( o quantità di
calore) fluisce dal punto a temperatura più alta al punto a
temperatura più bassa, è proporzionale alla differenza di
temperatura e dipende dalla natura fisica del corpo. La
costante di proporzionalità corrispondente al rapporto tra
la differenza di temperatura e la potenza termica è
chiamata resistenza termica.
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5
Conduzione termica attraverso una parete piana
Conduzione Elettrica in un conduttore prismatico
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6
Analogia meccanica
La figura e la tabella illustrano l’analogia descritta
Grandezze elettriche
Grandezze meccaniche
Nome
Simbolo U.mis
Nome
Simbolo U.mis
Tensione
U
V Coppia
C
J
corrente
I
A Velocità
W
rad/s
angolare
Resistenza
R
W Coefficiente
Ka
J*s
d’attrito
Induttanza
L
Ω*s Momento di
J
Kg*m2
inerzia
Costante di
t
s
Costante di
t
s
tempo
tempo
Corrente di
Icc
A Velocità a
ω0
rad/s
cortocircuito
vuoto
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Esempio di
analogia tra modelli di sistemi di natura fisica diversi
Il modello del sistema elettrico relativo a un bipolo elettrico
lineare R L C serie, alimentato da un generatore di tensione
e(t):
R
e(t)
L
C
i(t) =
dq
dt
β
x(t)
f(t)
m
k
presenta delle analogie con il sistema meccanico lineare
comprendente la sorgente con forza f(t) e i tre elementi
meccanici:
• lo smorzatore a resistenza viscosa dipendente dalla
velocità, che ha coefficiente di smorzamento β,
• la massa m;
• la molla con la costante elastica k.
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8
Al circuito elettrico è associabile il modello
analitico dell’equazione differenziale, ottenuta
applicando il secondo principio di Kirchhoff alla
maglia costituita dal bipolo R L C alimentato dal
generatore e(t):
di
dq
i(t) =
+ u c + Ri(t)
dt
dt
d 2q
dq 1
e(t) = L 2 + R
+ q
dt
dt C
e(t) = L
Al sistema meccanico corrisponde il modello
analitico dell’equazione differenziale ottenuta
applicando la seconda legge di Newton:
d2x
dx
+ kx
f(t) = m 2 + β
dt
dt
dove x è lo spostamento, che deve essere inteso
misurato rispetto ad un punto fisso (riferimento
inerziale
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9
RETI IN REGIME DINAMICO
Componenti con memoria e componenti senza memoria
I circuiti elettrici sono costituiti da:
COMPONENTI SENZA MEMORIA: come le resistenze
nelle cui relazioni costitutive non intervengono legami
integro differenziali. Per loro il valore assunto da ciascuna
grandezza elettrica (tensione o corrente), non dipende dai
valori assunti in istanti precedenti dalla stessa, o da altre
grandezze elettriche del circuito
R
i(t)
v (t ) = R ⋅ i (t )
v(t)
COMPONENTI CON MEMORIA: come le induttanze e le
capacità nelle cui relazioni costitutive intervengono legami
integro differenziali.
L
i(t)
v(t)
v (t ) = L ⋅
di (t )
dt
1
i ( t ) = ∫ v (t ) + i ( t 0 )
L
i(t)
C
v(t)
dv(t )
i (t ) = C ⋅
dt
1
v(t ) = ∫ i (t ) + v(t0 )
C
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Sono componenti con memoria anche gli induttori
mutuamente accoppiati:
i1(t)
L1
L2
v1(t)
i2(t)
v2(t)
M
di1 (t )
di2 (t )

v
(
t
)
=
L
+
M
1
 1
dt
dt

v (t ) = M di1 (t ) + L di2 (t )
2
 1
dt
dt
La presenza di operazioni di derivazione rispetto al tempo
comporta che le grandezze elettriche dipendano da:
• Valori attuali delle eccitazioni e
• dalla loro rapidità di variazione nel tempo
La presenza di operazioni di integrazione comporta che le
grandezze elettriche dipendano da:
• Valori attuali delle eccitazioni e anche
• da tutti gli istanti precedenti a quello attuale.
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In base a queste considerazioni si può affermare che:
9 Per i circuiti senza memoria
↓
il sistema risolutivo è di tipo algebrico.
9 Per i circuiti con memoria
↓
il sistema risolutivo è di tipo integro-differenziale.
L’analisi di un circuito con memoria richiede l’esecuzione
di due fasi successive:
1. Definizione del sistema integro-differenziale
2. Risoluzione del sistema integro-differenziale
1. DEFINIZIONE DEL SISTEMA INTEGRO-DIFFERENZIALE
L’individuazione del sistema integro-differenziale richiede:
1. Scelta delle grandezze elettriche incognite e scrittura
delle equazioni di equilibrio in base alla prima o alla
seconda legge di Kirchhoff o altri sistemi risolutivi
delle reti;
2. Espressione delle grandezze elettriche note ed
incognite nelle equazioni di equilibrio precedenti,
utilizzando le relazioni costitutive dei componenti.
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12
1
2
Esempio di risoluzione:
ic(t)
C
3
IL GRAFO DEL CIRCUITO
i1(t)
1
iu(t)
2
R1
2
1
i2(t)
coalbero
v(t)
R2
albero
3
Lati=l=4
0
Nodi=n=3
0
Il nodo 0 è collegato a terra e ha potenziale V0= 0V.
Le variabili descrittive del circuito sono 2*l e per risolvere
il circuito occorre scrivere 2*l= 8 equazioni.
EQUAZIONI TOPOLOGICHE (Principio di Kirchhoff)
N=3 e L= 4
iu + i1 + ic = 0
i + i = 0
u 2

 vu − v c − v 2 = 0
v1 − vc = 0
n-1 = 2 EQUAZIONI AI NODI
l-(n-1) = 2 EQUAZIONI ALLE MAGLIE
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EQUAZIONI COSTITUTIVE
 vu = u (t )
v = R ⋅ i
1 1
 1

dv c
=
⋅
i
C
c
dt

v 2 = R2 ⋅ i2
Se, come accade in molti casi si deve determinare una sola
variabile, non è necessario risolvere l’intero sistema, ma
basta ricavare una relazione che lega la variabile desiderata
all’ingresso u (t ) = vu (t ) .
Per esempio se la variabile che si intende determinare è
vc(t):
u (t ) = vc + R2 ⋅ i2

vc
dv c

i2 = −iu = i1 + ic = R + C dt
1

Sostituendo l’espressione della corrente i2(t) in quella della
tensione u(t)
v
dv
u (t ) = vc + R2 ⋅ ( c + C c )
R1
dt
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e ordinando i termini della equazione differenziale così
definita si ha:

dvc  R2
u (t ) = R2 ⋅ C
+
+ 1  ⋅ vc
dt  R1

Si è trovata una relazione tra la causa u(t) e l’effetto vc(t)
ossia:
la relazione ingresso u(t)- uscita vc(t) o relazione
(input/output) I/O
In generale si determina una relazione causa–effetto o
ingresso–uscita, dove l’ingresso e l’uscita possono essere
sia tensioni sia correnti secondo la natura dell’ingresso o
dell’uscita.
INGRESSO u(t)
TENSIONE
TENSIONE
CORRENTE
CORRENTE
USCITA y(T)
TENSIONE
CORRENTE
TENSIONE
CORRENTE
La relazione (input/output) I/O è un’equazione differenziale
ordinaria la cui soluzione può essere ricavata sommando
l’integrale generale dell’omogenea associata, all’integrale
particolare dell’equazione completa.
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La rete è vista come un quadripolo, dove ai morsetti 11’
d’ingresso si inserisce un generatore di segnale u(t), e ai
morsetti di uscita 22’ si inserisce il ramo relativo alla
grandezza in uscita y(t):
RETE
u(t)
y(t)
 y (t ) = vc (t ) = C ⋅ ic (t ) dt
∫

u (t ) = vu (t )
2.Risoluzione del sistema integro-differenziale
Nel caso in esame:
I/O ≡
TENSIONE /TENSIONE
Le condizioni iniziali ci permettono di definire i parametri
incogniti:
per
v (0 + ) = 0 esempio
 c
u (t ) = E
vc (t ) = vc 0 (t ) + vcp (t )
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Per determinare la risposta libera vc0(t) si considera
l’omogenea associata alla equazione differenziale:

dvc  R2
+
+ 1  ⋅ vc
u (t ) = R2 ⋅ C
dt  R1

omogenea associata:

R2
R
C
(
λ
⋅
⋅
+
+ 1) = 0
 2
R1

⇒

R2 + R1
(
)
λ
=
−

R1 ⋅ R2 ⋅ C

la soluzione sarà del tipo:
vc 0 = A ⋅ e −λ t
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Per determinare l’integrale particolare o risposta
forzata vp(t) occorre tener presente che esso sarà della
stessa natura del segnale impresso u(t)=E, per cui:
vcp=K=cost
essendo:
u (t ) = R 2 ⋅ C
E = R2 ⋅ C
dv c
R
+ ( 2 + 1) ⋅ vc
dt
R1
R
dK
+ ( 2 + 1) ⋅ K
dt
R1
R2
E = ( + 1) ⋅ K
R1
R1
K=
⋅E
R1 + R2
Da cui:
v c (t ) = v c 0 + v p = A ⋅ e
− λt
R1
+
⋅E
R1 + R2
Il valore di vc(t) è indeterminato non essendo stato definito
il parametro A.
Per determinare A si devono imporre le condizioni iniziali:
per t=0 ⇒ vc(0+)=0
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0 = A ⋅ e−λ 0 +
R1
⋅E
R1 + R2
R1
0 = A+
⋅E
R1 + R2
⇒
R1
A=−
⋅E
R1 + R2
per cui la tensione vc(t) risulta :
R1 + R2
−
t 

E 
R1 R2 C 
v c (t ) =
1− e


R1 + R2 

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Reti in regime dinamico
In un circuito elettrico ogni volta che una grandezza
elettrica cambia valore, o si modifica in qualche modo la
configurazione della rete, si passa da un regime permanente
relativo alla condizione di funzionamento iniziale, ad un
altro regime permanente attraverso una fase dinamica
transitoria.
Per esempio nel caso semplice di un circuito a maglia
unica, si voglia studiare come si stabilizza la corrente alla
chiusura dell’interruttore:
R
L
C
−
E
Occorre scrivere l’equazione risolutiva del circuito e
definire le condizioni di funzionamento iniziali, assumendo
per t=0 l’istante di chiusura.
L’equazione risolutiva è facilmente deducibile applicando il
secondo principio di Kirchhoff all’unica maglia del
circuito:
t
di ( t ) 1
e (t ) = R ⋅ i ( t ) + L ⋅
+
i ( t ) ⋅ dt + vc (0)
dt
C
0
∫
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Essa é una equazione integro-differenziale nella grandezza
incognita i(t).
Per una rete comunque complessa si possono scrivere un
certo numero di equazioni integro-differenziali applicando i
teoremi risolutivi delle reti.
Quando, come accade in molti casi, si vuole determinare
come varia nel transitorio una grandezza in particolare tra
tutte quelle relative al circuito (una tensione o una corrente
in un solo ramo), il problema si riconduce sempre alla
risoluzione di una equazione integro differenziale di ordine
n.
1.
Definizione della
integro-differenziale
equazione
risolutiva
d n y (t )
d n −1 y (t )
dy (t )
an
+ an −1
+ ... + a1
+ a0 =
1
n
n
−
dt
dt
dt
d m u (t )
d m −1u (t )
du (t )
= bm
+ bm −1
+ ... + b1
+ b0 u (t )
1
m
m
−
dt
dt
dt
Nell’ipotesi di rete tempo-invariante i coefficienti ai e bi
(parametri R, L, C, M…) sono costanti.
Per le reti tempo-varianti occorre tener conto del fatto che
questi parametri variano nel tempo e la risoluzione
diventa più complessa.
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21
Una volta scritta l’equazione integro differenziale si passa
alla seconda fase della risoluzione.
2. Risoluzione della equazione integrodifferenziale
L’integrale generale è pari alla somma dell’integrale
dell’omogenea associata e dell’integrale particolare:
y (t ) = y0 (t ) + y p (t )
con:
- u(t) noto per t>0 e
- siano note le condizioni iniziali: y(t) e le sue n-1 derivate
in t=0+
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22
Per determinare l’integrale generale o risposta libera
dovuta
• alla energia elettromagnetica accumulata precedentemente
dagli induttori e
• alla energia elettrostatica accumulata precedentemente dai
condensatori,
occorre risolvere l’equazione caratteristica della omogenea
associata, che per una equazione differenziale di ordine n
sarà:
an ⋅ λn + a n −1 ⋅ λn −1 + .......... ... + a ⋅ λ + a0 = 0
si possono presentare tre casi:
a) Radici reali distinte λ1, λ2, …..λn
y 0 (t ) = C1 ⋅ e λ1t + C 2 ⋅ e λ2t + ....... + C n ⋅ e λnt
b) k delle n soluzioni, sono coincidenti
y 0 (t) = C1 ⋅ e λ1t + C 2 ⋅ e λ 2 t + ....... + C n - k ⋅ e
λ k −1 t
+e
λkt
⋅ (C n -(k -1) + C n -(k - 2) t + ... + C n t k -1 )
c) m coppie uguali di radici complesse coniugate λ=a+jb
{[
]
[
]
y 0 (t ) = e at A1 + A2 ⋅ t + .... Am ⋅ t m−1 cos bt + B1 + B2 ⋅ t + .... + Bm ⋅ t m−1 sin bt
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}
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per una coppia di radici complesse coniugate:
y0 (t ) = e at {A cos bt + B sin bt}
Ai e Bi sono 2*m costanti di integrazione che si
determinano imponendole condizioni iniziali:
dy
y i (o ) ,
dt
+
dy m −1
,........., m −1
+
dt
t =0
t =0+
Per determinare l’integrale particolare o risposta forzata
dovuta
• alle tensioni impresse dai generatori di tensione o
• alle correnti impresse dai generatori di corrente,
il procedimento è più complicato.
In generale yp(t) dipende dal tipo di u(t) applicato.
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I casi più frequenti sono esprimibili con l’espressioni del
generico ingresso cisoidale
u (t ) = Uoff + Ueσ t cos (ωt + ϕ ) ⋅ u−1(t )
con U > 0
Nell’esempio riportato nel grafico, la tensione di offset, che
comporterebbe una traslazione della curva, è nulla Uoff=0V
u(t)
Da questa espressione, modificando i parametri, sono
ricavabili segnali elementari e composti.
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Esempi
Funzione gradino:
u-1(t)
 0 per t < 0
u −1 (t ) = 
1 per t > 0
per σ = 0; ω = 0 U=1 e ϕ = 0;
9 GRADINO PARI A U cosφ
u-1(t)
u (t ) = U ⋅ cos ϕ ⋅ u−1 (t )
Ucosφ
9 σ = 0; ω ≠ 0; 0<φ>π/2
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COSINUSOIDE
0 < φ < π/2
u(t)
u (t ) = U ⋅ cos(ωt + ϕ ) ⋅ u−1 (t )
t
9 σ = 0; ω ≠ 0;
φ = - π/2
u (t ) = U ⋅ cos(ωt −
SINUSOIDE
π
2
) ⋅ u −1 (t ) = U ⋅ sen (ωt ) ⋅ u −1 (t )
u(t)
U
t
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9 σ < 0; ω = 0;
ESPONENZIALE DECRESCENTE
σt
u (t ) = U ⋅ e cos(ϕ ) ⋅ u −1 (t )
u(t)
U
t
9 σ > 0; ω = 0;
ESPONENZIALE CRESCENTE
u (t ) = U ⋅ eσt cos(ϕ ) ⋅ u −1 (t )
u(t)
U
t
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28
Poiché se u(t) è cisoidale yp(t) è anch’esso cisoidale dello
stesso tipo, nota la natura del segnale impresso l’integrale
particolare avrà una espresione del tipo :
y p (t ) = y p ⋅ e
σ pt
cos(ω t + ϕ p )
dove i parametri incogniti saranno definiti imponendo le
condizioni iniziali.
y (t ) = y0 (t ) + y p (t )
La risposta completa del circuito è dovuta
9 ad un’eccitazione applicata in ingresso a cui
corrisponde una risposta forzata
9 alle condizioni iniziali a cui corrisponde una risposta
libera.
Si dice che sono verificate le ipotesi di stato zero, se le
tensioni iniziali ai capi di condensatori e le correnti iniziali
attraverso gli induttori sono rispettivamente uguali a zero.
y (t ) = y0 (t ) + y p (t )
La risposta completa del circuito è dunque la somma della:
• Risposta con ingresso zero, (risposta libera o termine
transitorio), dovuta alle energie accumulate nelle
capacità e nelle induttanze e mutue induttanze.
• Risposta con stato zero, (risposta forzata o termine
permanente), dovuta alle correnti e alle tensioni
impresse dai generatori.
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In generale durante il transitorio sono presenti sia i termini
dovuti alla risposta libera che quelli dovuti alla risposta
forzata.
Alla fine del transitorio, nella nuova condizione di regime
permanente, è presente la sola risposta forzata dovuta alle
tensioni e alle correnti impresse dai generatori
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3.ESEMPI DI SISTEMI DEL 1° ORDINE
Questo tipo di sistema è realizzato utilizzando solo una
capacità o una induttanza.
Consideriamo ad esempio le fasi di carica e scarica di un
induttore mediante il seguente circuito:
T1
t=0
R
E
T2
I
L
Ipotesi:induttore scarico (ipotesi di stato zero)
Inizialmente l’interruttore T1 è aperto perciò risulta I = 0
(regime iniziale).
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Dopo la chiusura dell’interruttore T1, si ha una fase
transitoria seguita da una nuova condizione di
funzionamento a regime stazionario nella quale
l’induttanza si comporta come un cortocircuito e pertanto
si ha:
I=
E
R
(regime finale)
Passando da una fase di regime stazionario ad un’altra si
ha una fase transitoria durante la quale la corrente I varia
nel tempo, dal valore iniziale I=0 a quello finale I=E/R.
Poiché durante il transitorio, la corrente I varia nel tempo,
occorre considerare anche gli effetti dell’induttanza L,
poiché l’equazione costitutiva di L se la corrente varia è:
di (t )
.
uL = L
dt
Sudiamo quindi separatamente:
A) la prima fase transitoria di carica e
B) la seconda fase transitoria di scarica.
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32
A) Fase di carica: l’interruttore T1 si chiude mentre T2 è
aperto, l’induttore comincia a caricarsi.
L’equazione del circuito, applicando la LKT alla maglia,
é:
L
di
+ Ri = E
dt
a cui corrisponde l’equazione omogenea associata:
λL + R = 0
⇒
λ=−
R
1
=−
τ
L
L
dove τ = R è la costante di tempo del circuito.
L’integrale generale vale quindi:
iO = C1e
−
t
τ
L’integrale particolare è invece del tipo:
i p = C2 E
perciò l’integrale generale o risposta completa
dell’equazione differenziale del circuito è:
i (t ) = io (t ) + i p (t ) = C1e
−
t
τ
+ C2 E
Le due costanti si determinano imponendo le condizioni
iniziali.
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33
Considerando che:
i (0 + ) = 0


E
(
)
∞
=
i

R
⇒
t
i ( t ) = io ( t ) + ip ( t ) = C1 e τ + C2 E
−
C1 + C2 E = 0


E
=
C
E
 2
R
⇒
E

=
−
C
 1
R

C = 1
 2 R
si ottiene:
t 

−
E

i ( t ) = 1 − e τ 
R



Teoricamente il transitorio dura un tempo infinito, ma in
realtà dopo un tempo pari a 4÷5 τ, la corrente assume un
valore circa uguale a E/R e il transitorio si può ritenere
estinto.
Carica induttore
9
8
7
6
5
i=io+ip
4
3
2
1
0
R (Ω) L (H) E
τ
27
1 230 0,037
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34
Le tensioni uR(t) e uL(t) saranno:
u R (t ) = Ri ( t )
t
−
E
⇒ u R (t ) = R  1 − e τ
R
t
− 


τ
 = E 1 − e 



e
di (t )
u L (t ) = L
dt
t
t
−
−

d E

⇒ u L (t ) = L   1 − e τ   = Ee τ
dt  R 

B) Fase di scarica: l’interruttore T1 si apre e
contemporaneamente si chiude T2. L’induttore
inizialmente carico di energia elettromagnetica
accumulata nella fase precedente di carica, comincia
a scaricarsi, e la corrente varia a partire dal valore
iniziale I=E/R fino al valore I=0.
L’equazione del circuito, applicando la LKT alla
maglia, é:
L
di
+ Ri = 0
dt
a cui corrisponde ancora l’omogenea associata:
λL + R = 0
⇒
λ=−
R
1
=−
τ
L
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35
L’integrale dell’equazione differenziale del circuito vale
quindi:
i = iO = C1e
−
t
τ
dove C1 si determina in base alla condizione iniziale
i (0 + ) =
E
⇒
R
C1 =
e quindi:
E
R
Scarica induttore
9
t
E −
i (t ) = e τ
R
8
7
6
5
4
3
2
1
0
In teoria il transitorio dura un tempo infinito.
In realtà dopo un tempo pari a 4÷5 τ, la corrente si può
ritenere nulla e il transitorio estinto.
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36
Le tensioni uR(t) e uL(t) saranno:
u R (t ) = Ri ( t )
E  −τt
⇒ uR (t ) = R  e
R
t
−

τ
 = Ee

e
di (t )
d  E − τt
u L (t ) = L
⇒ u L (t ) = L  e
dt
dt  R
t
−

τ
 = − Ee

Analogamente si determina l’integrale generale relativo alla
carica e alla scarica di un condensatore:
T1
vR
t=0
R
E
vC
I
T2
C
Durante la carica (T1 chiuso e T2 aperto).
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37
L’equazione del circuito è:
 E = Ri + vC


dvC
i
C
=

dt
⇒
E = RC
dvC
+ vC
dt
In maniera analoga a quanto visto per la carica di un
induttore si trova:
omogenea
associata:
RCλ + 1 = 0
⇒
λ=−
−
1
1
=−
τ
RC
t
• integrale generale: vCO (t ) = C1e
• integrale particolare: vCP (t ) = C2 E
τ
−
t
soluzione dell’equazione: vC (t ) = vCO + vCP = C1e τ + C2 E
Il valore delle costanti C1 e C2 si trova considerando che
a regime (istante iniziale e finale) il condensatore si
comporta come un interruttore aperto e quindi i=0.
Risulta pertanto:
per t=0per t=∞
( )
vC 0 − = 0

vC (∞ ) = E
( )
vC 0 − = 0
vC (∞ ) = E
⇒
(essendo Ri=0)
C1 + C2 E = 0

C2 E = E
⇒
C1 = − E

C2 = 1
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e quindi:
Carica condensatore
t
−

τ
vC (t ) = E 1 − e





250
200
150
100
50
0
La corrente e la tensione ai capi del resistore, in base alle
equazioni costitutiva saranno:
i (t ) = C
dvc (t )
d
E
= C ( E (1 − e − t / τ ) ) = e − t / τ
dt
dt
R
e
uR (t ) = Ri (t ) = R
E −t /τ
e = Ee − t / τ
R
La fase di scarica inizia quando si commutano i due
interruttori (T1 apre e T2 chiude).
In questo caso si ottiene:
RC
dvC
+ vC = 0
dt
perciò l’omogenea associata:
RCλ + 1 = 0
⇒
λ=−
1
1
=−
τ
RC
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39
e l’integrale generale: vCO (t ) = C1e
integrale particolare:
−
t
τ
vCP (t ) = 0
soluzione dell’equazione: vC (t ) = vCO = C1e
−
t
τ
Il valore della costante C1 si trova considerando che
inizialmente il condensatore è caricato ad una tensione E.
Risulta pertanto:
vC (0 + ) = E
per t=0+
Scarica condensatore
250
C1 = E
200
150
e quindi:
100
50
vC (t ) = E ⋅ e
−
t
0
τ
La corrente e la tensione ai capi del resistore, in base alle
equazioni costitutiva saranno:
i (t ) = C
dvc (t )
dt
d  E −t /τ 
E −t /τ
 e =− e
dt  R
R

⇒
i (t ) = C
⇒
 E

uR (t ) = R  − e − t / τ  = − Ee − t / τ
 R

e
uR (t ) = Ri (t )
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40
4.ESEMPIO DI SISTEMA DEL 2° ORDINE
t=0
C
E
L
R
Condizioni iniziali: all’istante t=0 la corrente che circola
nel circuito è nulla (I=0).
L’equazione del circuito si ottiene applicando la LKT alla
maglia:
L
1
di
+ Ri + ∫ idt = E
dt
C
dalla quale, derivando, si ottiene:
d 2i
di 1
L 2 +R + i=0
dt
dt C
pertanto l’equazione omogenea associata assume la forma:
Lλ2 + Rλ +
λ2 +
1
=0
C
1
R
λ+
=0
L
LC
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41
Le soluzioni della equazione omogenea associata sono:
2
λ1, 2
R
1
R
− ±   −4
2
L
LC
R
1
 R 
L
=α ±β
=−
±   −
=
2
2L
 2 L  LC
avendo posto:
R
α =−
2L
2
e
1
 R 
β=   −
 2 L  LC
In base ai valori assunti dai tre parametri R, L e C si
possono distinguere i tre casi seguenti:
a) Radici reali e distinte
Si ottengono quando il discriminante dell’equazione è
positivo e cioè quando:
2
2
1
 R 
>0
  −
 2 L  LC
⇔
1
 R 
  >
LC
 2L 
e le soluzioni dell’equazione omogenea sono:
2
R
1
 R 
λ1 = −
=α +β
+   −
2L
2
L
LC
 
2
R
1
 R 
λ2 = −
=α −β
−   −
2L
 2 L  LC
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42
λ2
λ1
L’integrale generale dell’equazione differenziale assume
quindi la forma seguente:
(
iO (t ) = C1e (α + β )t + C2 e (α −β )t = eαt C1e βt + C2 e − βt
)
Radici reali e distinte
120
100
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
io
andamento sovrasmorzato
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43
b) Radici reali e coincidenti
Si ottengono quando il discriminante dell’equazione è
nullo:
2
2
1
 R 
=0
  −
 2 L  LC
⇔
1
 R 
  =
LC
 2L 
Le soluzioni dell’equazione omogenea associata sono:
λ1 = λ2 = −
R
=α
2L
λ1 = λ2
iO (t ) = eαt (C1 + C2t )
Radici reali e coincidenti
10
0
-10
-20
-30
io
-40
-50
-60
-70
-80
andamento sovrasmorzato critico
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44
c) Radici complesse coniugate
Se il discriminante dell’equazione è negativo si ha:
2
2
1
 R 
−
<0
 
 2 L  LC
⇔
1
 R 
<
 
LC
 2L 
e le soluzioni dell’equazione omogenea associata sono:
2
R
1
 R 
λ1 = −
= α + jβ
+j   −
2L
 2 L  LC
2
R
1
 R 
λ2 = −
= α − jβ
−j   −
L
LC
2L
2
 
λ1
λ2
iO (t ) = eαt (C1 cos βt + C2 sin βt )
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45
Radici complesse coniugate
60
40
20
0
-20
io
-40
-60
-80
-100
andamento sottosmorzato
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46
Studiamo ora lo stesso circuito supponendo che il
generatore di tensione sia di tipo sinusoidale:
e(t ) = EM sin (ωt + ϕ )
t=0
e(t )
C
L
(ωt+ϕ)
e(t)=E
sin
M
1 

Z& = R + j  ωL −

ωC 

1

 ωL −
ωC
γ = arctg 
R









All’istante iniziale la corrente è nulla (i=0).
Quando l’interruttore è chiuso si può scrivere:
L
di
1
+ Ri + ∫ idt = EM sin (ωt + ϕ )
dt
C
Derivando rispetto al tempo e dividendo per L si trova:
d 2i R di
1
ωE M
+
+
i
=
cos (ωt + ϕ )
dt 2 L dt LC
L
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47
L’equazione omogenea associata è la stessa del caso di
generatore costante, mentre l’integrale particolare sarà del
tipo:
ip =
EM
sin (ωt + ϕ + γ )
Z
Il termine ip è il segnale che permane dopo che il transitorio
si è esaurito.
A seconda dei valori assunti da R, L, C si potranno
presentare i seguenti casi:
a) Radici reali e distinte
(
)
i (t ) = io1 (t ) + i p (t ) = eαt C1e βt + C2e −βt +
IM
sin (ωt + ϕ + γ )
Z
b) Radici reali e coincidenti
i (t ) = io 2 (t ) + i p (t ) = eαt (C1 + C2t ) +
IM
sin (ωt + ϕ + γ )
Z
c) Radici complesse coniugate
i (t ) = io 3 (t ) + i p (t ) = eαt (C1 cos β t + C2 sin β t ) +
IM
sin (ωt + ϕ + γ )
Z
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48
Per determinare il valore delle costanti C1 e C2 nei tre casi
diversi, si dovranno imporre le condizioni iniziali.
i (0 + ) = 0
a) I° condizione: per t=0
i (0 + ) = C1 + C2 +
EM
sin (ϕ + γ ) = 0
Z
di
(0 + ) = 0
dt
II° condizione: per t=0
(
)
(
)
di
(t ) = αeαt C1e βt + C2e −βt + βeαt C1e βt − C2e −βt + ω E cos(ωt + ϕ + γ )
dt
Z
di
(0 + ) = α (C1 + C2 ) + β (C1 − C2 ) + ω E cos(ϕ + γ ) = 0
dt
Z
quindi le costanti C1 e C2 si determinano dalla risoluzione
del sistema:
EM

C
C
sin (ϕ + γ )
+
=
−
2
 1
Z

(α + β )C + (α − β )C = −ω EM cos(ϕ + γ )
1
2

Z
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49
Radici reali e distinte
250
200
150
100
io
50
ip
i=io+ip
0
-50
-100
-150
R (Ω)
27
L (H)
1
C (mF)
10
EM (V)
230
φ (rad)
1
γ (rad) ω (rad/s)
1,3
70
Si vede che nei primi istanti del transitorio si ha una
sovracorrente rispetto alla risposta permanente i p (t ) che si
annulla dopo il transitorio stesso.
b) I° condizione: per t=0
i (0 + ) = C1 +
EM
sin (ϕ + γ ) = 0
Z
II° condizione: per t=0
di
(0 + ) = 0
dt
di
(t ) = αeαt (C1 + C2t ) + eαt C2 + ω EM cos(ωt + ϕ + γ )
dt
Z
di
(0 + ) = αC1 + C2 + ω EM cos(ϕ + γ ) = 0
dt
Z
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50
Il sistema da risolvere sarà allora il seguente:
EM

C
+
 1 Z sin (ϕ + γ ) = 0

αC + C + ω EM cos(ϕ + γ ) = 0
2
 1
Z
Radici reali e coincidenti
100
50
io
0
ip
-50
i=io+ip
-100
-150
R (Ω)
850
L (H)
10
C (µF)
60
EM (V)
150
φ (rad)
0
γ (rad) ω (rad/s)
1,3
70
Anche in questo caso si può avere una sovracorrente più
elevata e pericolosa, quanto più risultano vicini tra loro i
picchi delle correnti io e ip.
c) I° condizione: per t=0
i (0 + ) = C1 +
EM
sin (ϕ + γ ) = 0
Z
II° condizione: per t=0
di
(0 + ) = 0
dt
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51
di
(t ) = αeαt (C1 cos βt + C2 senβt ) + eαt β (− C1senβt + C2 cos βt ) +
dt
E
+ ω M cos(ωt + ϕ + γ )
Z
di
(0 + ) = αC1 + βC2 + ω EM cos(ϕ + γ ) = 0
dt
Z
Il sistema da risolvere sarà il seguente:
EM

C
+
 1 Z sin (ϕ + γ ) = 0

αC + βC + ω EM cos(ϕ + γ ) = 0
2
 1
Z
Radici complesse coniugate
150
100
50
io
0
ip
i=io+ip
-50
-100
-150
R (Ω)
250
L (H) C (µF)
31
100
EM (V) φ (rad) γ (rad)
150
0,26
1,3
ω (rad/s)
70
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