Stabilire se esistono i seguenti limiti ed in caso affermativo calcolarli

Stabilire se esistono i seguenti limiti ed in caso affermativo calcolarli.
µ
¶x+2
√
4
sin 3x
x−1
lim
lim+ {ln x − ln (sin 2x)}
lim √
5
x→0
x→1
x→0
x
x−1
µ
lim
x→0
1
· ln
x
√
lim
x→0
r
1+x
1−x
2 + x2 −
x2
√
¶
2 − x2
√
x−3
lim
x→9 x − 9
√
5
lim
x→0
1 + x2 − (1 + x2 )
x2
lim+
e−1/x
x
lim+
xx − 1
x
x→0
x→0
x→∞
√
√
2x x + x − 8 x − 4
√
lim
x→4
x+ x−6
√
x−5−2
lim √
x→9
x+7−4
√
1 + 3x2 − (1 + x2 )
lim
x→0
x2
lim
x→2
1
1
− 2
x−2 x −4
√
lim
x→0
lim x−3 · 5−1/x
x→0+
xx − 1
x→1 x − 1
x2 − 2
lim
x→−∞ 5x2 − 3x
xx − 1
x→1 ln x
lim
lim √
x→∞
µ
lim
x→∞
lim
lim
x + 3x3 + 5x5
x→−∞ x4 + x3 + x2 + x + 1
lim
2x − 1
3x2 + 3x + 1
x
x
−
x+1 x−1
¡√
x→−∞
¶
1 + 3x2 − (1 + 5x2 )
1 − cos x
xx − 1
lim+ √
x→0
x
x→0
¢
µ
xx − 1
x ln x
lim+
¡
¢
√
√
x x + 1 1 − 2x + 3
lim
x→∞
7 − 6x + 4x2
x2 − 2x − x
|3x − 1| − |3x + 1|
lim
x→0
x
lim x · e1/x
xx − 1
x→1
x
5 − 2x − 5x2
lim
x→∞ 3x2 + 7x + 1
√
x− x
lim
x→∞ 1 − x
¡√
2x2/3 + 5x3/2 − 4x1/2
lim
x→0+
3x2/5 − x + 4x3
x→0+
lim
lim
1 − ln x
lim
x→e x − e
x2 − 2x + x
lim √
x→−∞
¶
lim
¡√
x→∞
¢
lim
2x − 1
3x2 + 3x + 1
x2 − 2x −
¡√
x→−∞
√
x2 − 4x −
x2 + 2x
√
x2 + 4x
Indicare dove ciascuna delle funzioni che seguono è continua, dove è continua da destra (o
da sinistra) e dove è discontinua. Disegnare un grafico

½
½
 −1 se x > 1
x se x < 0
1 + x2 se x 6= 2
x se |x| ≤ 1
f (x) =
f (x) =
f (x) =
2
x se x ≥ 0
4.987 se x = 2

1 se x < −1
½
f (x) =
½
f (x) =
−3
se x = −1
x2 −x−2
se x 6= −1
x+1
sin x se x ≥ π/4
cos x se x < π/4
(
f (x) =
½
f (x) =
x se x ≥ 0
1
se x < 0
x
ln |x| se |x| ≥ 1
1 − x2 se |x| < 1
1
(
f (x) =
½
f (x) =
¢
0 se x = 0
1
se x 6= 0
x4
ln x se x ≥ 1
ex − e se x < 1
¢
La somma di due numeri (reali) non negativi vale 12. Mostrare che il loro prodotto è limitato.
Assume massimo? Se sì calcolarlo. Assume minimo? Se sì calcolarlo.
• Come sopra, con la condizione che i numeri siano strettamente positivi.
• Come sopra, ma questa volta i numeri sono reali di segno qualunque: il loro prodotto
è superiormente limitato? inferiormente?
• Mostrare che la funzione f (x) = x3 + x − 1 ha uno zero in (0, 1) .
• Mostrare che la funzione f (x) = x3 − 15x + 1 ha almeno tre zeri in (−4, 4) . Può averne
di più?
• Mostrare che la funzione f (x) = (x − a) (x − b) + x assume almeno una volta il valore
a+b
.
2
Calcolare la derivata nel generico punto x0 , applicando la definizione (cioè col limite del
rapporti incrementale, delle funzioni
x2
x9
√
√
3
x
ex
x
3x
1
x
1
x5
1
√
x
√
3
ln x
log10 x
x5
Calcolare, usando le regole di derivazione, le derivate di
√
√
5
3
x3 + x2
x5 + x4
ln (2 + sin x)
p
3
p
3
(2x)3x
2
e(x )
sin (x2 )
sin (x4 )
arctan
1
x
(2 + sin x)cos x
ln |x3 + x2 |
arctan
√
x
|x7 |
e dire in quali punti queste funzioni sono derivabili e in quali no.
Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico della funzione y = e3x prima nel punto
(1, e3 ) , poi nel generico punto (x0 , e3x0 ) . Trovare quindi l’equazione della retta tangente al
grafico di questa funzione che passa per (0, 0) .
Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico della funzione y = ln 5x che passa per
(0, 0) .
Mostrare che la parabola di equazione y = x2 e la retta di equazione x+4y = 18 si intersecano
ad angolo retto in uno dei loro punti di intersezione.
4
(x 6= 0) . Disegnare il grafico di f e dire in quali intervalli f
Sia y = f (x) = x + 1 +
x
è invertibile. Calcolare esplicitamente in ciascuno di questi intervalli la funzione inversa di
f e specificarne il dominio. Per le funzioni x = gk (y) così ottenute che sono definite in un
intorno di y = 6 calcolare g 0 (6) sia direttamente che utilizzando il teorema della derivata
della funzione inversa.
2
Sia y = f (x) = x3 − 3x2 + 3x − 9. Disegnare il grafico di f, mostrare che è invertibile
0
e calcolare (f −1 ) (0) . Calcolare poi esplicitamente la funzione inversa di f ed ottenere lo
stesso risultato.
Sia y = f (x) = x3 − 4x. Disegnare il grafico di f e dire in quali intervalli f è invertibile.
Per ciascuna delle (tre) funzioni inverse x = gk (y) calcolare g 0 (0) .
p
Siano f (x) = ex − 1 e g (x) = x − (1/x). Scrivere l’espressione di f ◦ g e di g ◦
f specificandone i loro domini.
Trovare la funzione inversa di
√
3−x
x−1
f (x) =
di g (x) = √
x+2
x+6
r
e di h (x) =
x−1
.
x+6
Calcolare
n + (−1)n
lim
n
n→∞ n − (−1)
³
lim
n→∞
2
µ
lim
n→∞
n−2
´
√
n2 −1
³
−2
3 + cos n
5
µ
sin n + (−1)n
√
lim
n→∞
n−7
lim
n→∞
¶n
n−2
2
µ
lim
n→∞
√
−2
3 + cos n
5
n2 −n
´
¶n
3 + cos n
lim
n→∞
5
¶n+1
µ
n
lim
n→∞
n−1
¶1/n
lim
n→∞
sin (3/n)
sin (4/n)
Il GF ∞. Avete una somma di 1 milione ed ogni giorno scommettete con il GF ∞ la metà
della somma (che avete quel giorno). La prima volta vincete, la seconda perdete e poi sempre
così: una vittoria e una sconfitta. Come andrà a finire?
Scrivete la successione delle somme in vostro possesso e calcolatene il limite.
Stesso problema e stessa alternanza di successi ed insuccessi, unica differenza: vincete quando
avete scommesso la metà e perdete quando avete scommesso il 40%.
Come sopra, ma questa volta vincete quando avete scommesso la metà e perdete quando
avete scommesso un terzo.
Sia f : R → R tale che
lim f (x) = −2 ,
x→0+
Calcolare
lim f (x3 − x)
x→0+
lim f (x − x3 )
x→0+
lim f (x3 − x)
x→1+
lim f (x2 − x4 )
x→1+
lim f (x3 − x)
lim f (x) = 4.
x→0−
lim f (x2 − x4 )
x→0−
x→0+
lim f (x − x3 )
lim f (x4 − x2 )
x→0−
x→0+
lim f (x3 − x)
lim f (x3 − x)
x→1−
x→−1+
lim f (x2 − x4 )
lim f (x2 − x4 )
x→1−
x→−1+
3
lim f (x2 − x4 )
x→0−
lim f (x4 − x2 )
x→0−
lim f (x3 − x)
x→−1−
lim f (x2 − x4 )
x→−1−
Limiti
lim
sin (5x)
x→0 sin (3x)
lim
sin (5x)
x→π sin (3x)
lim
sin (5x)
x→2π sin (3x)
cos (5x)
x→π/2 cos (3x)
lim
tan (5x)
x→0 sin (3x)
sin (x2 )
x→0 sin2 (x)
sin (x2 )
x→0 1 − cos x
sin (5x2 )
x→0 sin2 (3x)
lim (cos x)1/x
lim (cos x)1/x
x→0
lim x
x→∞
1/x
lim
lim
2
lim (cos x)1/
x→0
lim+ x
x
x→0
√
x
lim
lim
lim (sin x)x
x→0
x→0+
µ ¶x
1
lim+
x→0
x
ln x
x→1 x − 1
lim
Trovare √
gli (eventuali) asintoti√obliqui (a +∞ e a −∞) di
√
f (x) = x2 + x , f (x) = x2 − 2x , f (x) = x2 + 2x − x4 + 4x3
Quali delle funzioni sopra elencate presentano delle simmetrie?
4
,
√
3
x3 + 6x2 .
Approssimare col metodo delle bisezioni successive lo zero della funzione f (x) = x2 − 2 in
[0, 2] .
Si dovrebbe ottenere questo:
√
Il teorema di Bolzano (o degli zeri): si cerca una approssimazione numerica di 2 cioè di
uno zero della funzione f (x) = x2 − 2 in [0, 2] .
Ad ogni passaggio si sceglie l’intervallo [an , bn ] in modo che sia f (an ) < 0 , f (bn ) > 0 : il
segno di f (cn ) dice se nella riga successiva cn deve essere l’estremo di sinistra o quello di
destra del nuovo intervallo.
an
bn
0
1
1
1, 25
1, 375
1, 375
1, 40625
1, 40625
1, 4140625
1, 4140625
1, 4140625
1, 4140625
1, 4140625
1, 4140625
1, 41418457
1, 41418457
1, 41418457
1, 41419983
1, 41420746
1, 41421127
1, 41421318
1, 41421318
1, 41421318
1, 41421342
1, 41421354
1, 41421354
1, 41421354
1, 41421355
1, 41421356
1, 41421356
2
2
1, 5
1, 5
1, 5
1, 4375
1, 4375
1, 421875
1, 421875
1, 41796875
1, 41601563
1, 41503906
1, 41455078
1, 41430664
1, 41430664
1, 41424561
1, 41421509
1, 41421509
1, 41421509
1, 41421509
1, 41421509
1, 41421413
1, 41421366
1, 41421366
1, 41421366
1, 4142136
1, 41421357
1, 41421357
1, 41421357
1, 41421356
cn =
an + bn
2
segno(f (an )) segno(f (bn ))
1
1, 5
1, 25
1, 375
1, 4375
1, 40625
1, 421875
1, 4140625
1, 41796875
1, 41601563
1, 41503906
1, 41455078
1, 41430664
1, 41418457
1, 41424561
1, 41421509
1, 41419983
1, 41420746
1, 41421127
1, 41421318
1, 41421413
1, 41421366
1, 41421342
1, 41421354
1, 4142136
1, 41421357
1, 41421355
1, 41421356
1, 41421356
1, 41421356
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
segno(f (cn ))
−1
1
−1
−1
1
−1
1
−1
1
1
1
1
1
−1
1
1
−1
−1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
Nell’ultima riga sembra che sia an = bn ma non è vero: sono uguali solo le loro prime cifre
decimali, ma se l’approssimazione desiderata era questa ci si può fermare
5