1 Modelli di variabili aleatorie continue

1
1.1
Modelli di variabili aleatorie continue
Variabili aleatorie continue uniformi (o rettangolari)
Una v.a. X è detta uniforme (o rettangolare) sull’intervallo [a, b] se la sua densità è data
da

 1
se x ∈ [a, b]
fX (x) = b − a

0
altrove
Per indicare una variabile aleatoria X rettangolare scriveremo X ∼ U(a, b).
È facile provare che
E[X] =
a+b
,
2
var[X] =
Inoltre, la funzione di ripartizione è data da


0


x − a
FX (x) =

b−a


1
fX
se x < a
se a ≤ x ≤ b
se x > b
FX
1
1
b−a
O
(b − a)2
.
12
a
b
x
O
a
b
x
Esercizio 1.1. Provare che se X ∼ U(0, 1), allora la v.a. Y = a + (b − a)X è uniforme su
(a, b).
1
1.2
Variabili aleatorie esponenziali
Una v.a continua X ha una distribuzione esponenziale con parametro λ (λ > 0), se la sua
funzione densità è

λe−λx se x ≥ 0
fX (x) =
0
altrove
Per indicare una variabile aleatoria X di tipo esponenziale scriveremo X ∼ E(λ).
Le variabili aleatorie con distribuzione esponenziale hanno notevole interesse applicativo.
Di solito esse rappresentano la durata di vita di diversi fenomeni.
È facile verificare che fX è effettivamente una densità e che la funzione di ripartizione di
X vale

0
se x < 0
FX (x) =
1 − e−λx se x ≥ 0
fX
FX
λ
1
O
x
O
x
Inoltre,
E[X] =
1
,
λ
var[X] =
1
.
λ2
Una proprietà caratteristica della v.a. esponenziale è l’assenza di memoria:
P[X > s + t|X > s] = P[X > t],
∀s, t ≥ 0.
Ciò significa che se X è il tempo di vita di una data apparecchiatura fino al primo guasto,
questo tempo non dipende dal fatto che l’apparecchiatura abbia già funzionato per un
dato tempo s.
2
Si può dimostrare che le v.a. esponenziali sono le uniche v.a. continue che godono di
questa proprietà.
Esercizio 1.2. Il signor Rossi è convinto che il tempo di vita di un’automobile (in migliaia
di chilometri percorsi) sia una variabile aleatoria esponenziale di parametro 1/20. Il signor
Bianchi ha un’automobile usata da vendere, che ha percorso circa 10000 chilometri.
1. Se Rossi decide di comprarla, che probabilità ha di far fare all’automobile almeno
altri 20000 chilometri, prima che diventi inservibile?
2. Rispondere alla stessa domanda, nell’ipotesi che il tempo di vita dell’automobile (in
migliaia di chilometri percorsi) abbia distribuzione uniforme sull’intervallo (0, 40).
1.3
Variabili aleatorie normali
Una v.a continua X si dice normale (o gaussiana) di parametri µ e σ 2 , se la sua funzione
densità è
(x−µ)2
1
fX (x) = √ e− 2σ2 .
σ 2π
Il grafico di f ha l’andamento di una campana che ha un massimo in x = µ e due flessi in
x = µ ± σ. Per valori piccoli di σ la campana è stretta e concentrata vicino al valore µ,
viceversa per valori alti di σ appare come una campana aperta e appiattita.
Il termine
√1
σ 2π
ha il significato di fattore di normalizzazione, cioè è quel numero tale che
Z
+∞
fX (x)dx = 1.
−∞
2
La verifica di tale uguaglianza non è un semplice calcolo, perchè la primitiva di e−x non
si esprime in termini di funzioni elementari.
3
La funzione generatrice dei momenti è
Z +∞
(x−µ)2
1 2 2
1
tX
etx · √ e− 2σ2 dx = eµt+ 2 σ t ,
mX (t) = E[e ] =
σ 2π
−∞
da cui ricaviamo che
var[X] = σ 2 .
E[X] = µ,
Per indicare una variabile aleatoria X normale di media µ e varianza σ 2 , scriveremo
X ∼ N(µ, σ 2 ).
Definizione 1.3. Se µ = 0 e σ = 1, la v.a. X si dice normale standard o standardizzata
(X ∼ N(0, 1)) e la sua densità è
x2
1
fX (x) = √ e− 2 .
2π
Denotiamo con Φ la funzione di ripartizione di una v.a. normale standard Z:
Z z
t2
1
√ e− 2 dt.
Φ(z) = FZ (z) =
2π
−∞
Valgono le seguenti proprietà:
• Φ(−∞) = 0;
• Φ(+∞) = 1;
• Φ(0) = 12 ;
• Φ(−z) = 1 − Φ(z).
L’impossibilità di avere una scrittura esplicita della funzione di ripartizione associata alla
densità normale complica il calcolo delle probabilità e bisogna ricorrere all’uso delle tavole.
Esempio 1.4. Sia X ∼ N(0, 1), calcolare
• P[X > 0.7];
• P[X < −0.35];
• P[−3.14 ≤ X < 0.21].
Esercizio 1.5. Sia Z ∼ (0, 1). Determinare zα in modo tale che
4
1. P[Z < zα ] = 0.9953
2. P[Z > zα ] = 0.2743
3. P[0 ≤ Z ≤ zα ] = 0.377
4. P[|Z| < zα ] = 0.5762
5. P[zα < Z < 1.6] = 0.7865
Osservazione 1.6. Se X ∼ N(µ, σ 2 ), la v.a. Z =
X −µ
è una normale standard.
σ
Valgono le seguenti proprietà:
b−µ
a−µ
• P[a ≤ X ≤ b] = Φ
−Φ
;
σ
σ
a−µ
• P[X ≥ a] = 1 − Φ
.
σ
Esercizio 1.7. Il peso di una confezione è una v.a. normale di media µ = 250g e scarto
σ = 3g. Calcolare la probabilità che il peso sia minore di 245g.
Esercizio 1.8. Sia X una v.a. normale con media 19 e varianza 49. Calcolare xα in modo
che P[X > xα ] = 0.20.
1.4
Variabili aleatorie gamma
Una v.a. continua X ha una distribuzione di tipo gamma di parametri λ e r, λ > 0, r > 0,
se la sua funzione densità è

 λr xr−1 e−λx x ≥ 0
fX (x) = Γ(r)
0
altrove
dove Γ è la funzione gamma di Eulero definita da
Z +∞
Γ(x) =
tx−1 e−t dt,
0
5
x > 0.
Osserviamo che per r = 1, la densità coincide con la densità di un’esponenziale. Infatti
Z +∞
Γ(1) =
e−t dt = 1.
0
Per indicare che una variabile aleatoria X è di tipo gamma di parametri λ, r scriveremo
X ∼ Γ(λ, r).
Si può provare che la funzione generatrice dei momenti è
r
λ
tX
,
t<λ
mX (t) = E[e ] =
λ−t
da cui ricaviamo che
E[X] =
1.5
r
,
λ
var[X] =
r
.
λ2
Variabili aleatorie chi-quadro
Sia X ∼ Γ(λ, r), con λ = 12 e r = n2 . Diremo che X ha una distribuzione chi-quadro a n
gradi di libertà (X ∼ χ2n ) e la sua densità è data da:
fX (x) =


n
x
1
x 2 −1 e− 2
n
2 2 Γ( n
)
2

0
x≥0
altrove
Pertanto,
E[X] = n,
var[X] = 2n.
6
1.6
Variabili aleatorie t di Student
Si chiama legge t di Student con n gradi di libertà la legge della v.a. X avente densità
− n+1
2
Γ n+1
1
x2
2
fX (x) =
·√
· 1+
n
n
nπ
Γ 2
Per indicare che X segue una legge t di Student con n gradi di libertà, scriveremo X ∼ t(n).
7
Notiamo che il grafico della densità di una distribuzione t di Student è dello stesso tipo di
quello della densità di una v.a. normale standard, ma con code più pesanti.
Si può provare che
E[X] = 0
Var[X] =
n
n−2
8
n≥2
n≥3