LEGGI GAMMA 1. La legge esponenziale Sia N una v.a. di Poisson

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E. DI NARDO
1. La legge esponenziale
Sia N una v.a. di Poisson, che restituisce il numero di difetti in un sottile filo
di rame. Si assuma che l’intensità dei difetti per unità di misura sia λ. Sia ora X
la v.a. che restituisce la distanza tra l’origine del filo e il primo difetto. Quanto
vale P (X > x)? Dire che fino ad x > 0, non si sono verificati difetti, equivale a
richiedere che la v.a. N (x), che conta il numero di difetti su (0, x), deve assumere
valore 0, ossia
P [N (x) = 0] = P (X > x).
Poiché N (x) ≈ P o(λ x) segue che
P [N (x) = 0] = P (X > x) = exp(−λ x) ⇒ P (X ≤ x) = 1 − exp(−λ x).
Pertanto la funzione di ripartizione della v.a. X ha la forma
Z x
FX (x) =
λ exp(−λx)dx,
−∞
e dunque la v.a. X è assolutamente continua. La v.a. X prende il nome di v.a.
esponenziale.
La densità di probabilità ha dunque la forma
λ exp(−λx) x ≥ 0
f (x) =
0
x<0
Viene lasciato per esercizio la dimostrazione della condizione di normalizzazione.
1.1. La proprietà di assenza di memoria. Poiché il processo di Poisson ha
incrementi indipendenti e distribuiti con legge di Poisson, la v.a. che restituisce la
distanza tra difetti è ancora esponenziale. È dunque evidente la analogia tra la v.a.
geometrica e la v.a. esponenziale. Pertanto è possibile dimostrare che anche la v.a.
esponenziale gode della proprietà di assenza di memoria, come è stato fatto per la
geometrica.
Infatti se X è una v.a. esponenziale allora
(1.1)
P (X > x + y|X > y) = P (X > x) ∀x, y ∈ R.
La dimostrazione è lasciata per esercizio. Vediamo invece in dettaglio il significato.
Assumiamo che X rappresenti il tempo di vita di un sistema sottoposto a stress
casuale fino al suo collasso. La proprietà di assenza di memoria asserisce che la
durata di vita residua ha la stessa distribuzione della durata di vita iniziale, come
se il sistema non si fosse usurato. Per questo motivo la funzione P (X > x) = R(x)
viene denominata funzione di affidabilità.
Ad integrazione della Lezione 9 - Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica II.
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Quando P (X > x) 6= 0, per ogni x ∈ R, la proprietà di assenza di memoria è
equivalente alla seguente condizione
(1.2)
P (X > x + y) = P (X > y)P (X > x) ∀x, y ∈ R
ossia
(1.3)
R(x + y) = R(x)R(y) ∀x, y ∈ R.
Teorema 1.1. La v.a.esponenziale è l’unica v.a.che gode della proprietà (1.1).
Proof. Abbiamo già mostrato che se X è esponenziale soddisfa la proprietà (1.1).
Per dimostrare l’implicazione inversa, faremo vedere che soluzioni dell’equazione
(1.3) definite per x ≥ 0 e continue a destra, sono R(x) = 0 oppure R(x) = exp(−λx)
per ogni λ > 0. La v.a. che ha R(x) = 0 non gode della proprietà (1.1), poiché ci
sarebbero dei valori di y per cui la probabilità condizionata P (X > x + y|X > y)
non può essere definita. A questo punto, l’unica soluzione della (1.3) equivalente a
(1.1) è quella esponenziale. Si osservi che
x
x x
+
= R2
>0
R(x) = R
2
2
2
sicché escluso il caso R(x) = 0 resta solo il caso R(x) > 0. Per induzione risulta
m
1
= Rm
R
m, n = 1, 2, . . . .
n
n
Sempre per induzione si prova che
1
= R1/n (1)
R
n
da cui risulta
n = 1, 2, . . .
m
= Rm/n (1) n = 1, 2, . . . .
n
Per la continuità a destra di R(x) è sempre possibile costruire una successione di
razionali m/n che converge a x sicché per la continuità a destra si ha
R
R(x) = [R(1)]x .
Posto λ = − log R(1), segue che R(x) = exp(−λx). Nel caso in cui R(x) = 1 − F (x)
deve essere limx→∞ R(x) = 0, da cui segue R(1) < 1 e λ = − log R(1) > 0.
In teoria dell’affidabilità la v.a. esponenziale viene usata per indicare il tempo di
vita di un sistema sottoposto a stress casuali fino all’istante del collasso. La funzione
di ripartizione viene pertanto denominata con il termine di funzione di guasto e la
sua derivata con il termine di densità di guasto. Il rapporto tra la densità di guasto
e la funzione di affidabilità viene denominato coefficiente di collasso. Nel caso di
una v.a.esponenziale, il coefficiente di collasso è costante, come si può vedere per
verifica diretta. Il coefficiente di collasso restituisce l’intensità di probabilità che
avendo vissuto fino all’istante t il sistema collassi in un intervallo infinitesimale
successivo. Difatti
f (t)
P [X ∈ (t, t + dt)]
≈
dt.
P [X ∈ (t, t + dt)|X > t] =
P (X > t)
R(t)
Teorema 1.2. Se X è una v.a.esponenziale allora
r!
E[X r ] = r r ≥ 0.
λ
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Proof. Calcolare la funzione generatrice dei momenti e svilupparla in serie di potenze.
2. La legge gamma
Definizione 2.1. La funzione gamma, denotata con Γ(x) è definita come segue:
Z ∞
Γ(r) =
tr−1 exp(−t)dt r > 0.
0
Si può dimostrare che il precedente integrale esiste per ogni r > 0. Integrando
per parti si dimostra che
Γ(r) = (r − 1)Γ(r − 1).
In particolare se r intero, allora Γ(r) = (r − 1)!. Pertanto la funzione Γ può essere
vista come una generalizzazione della funzione fattoriale. Risulta poi
Z ∞
√
1
Γ
=
t−1/2 exp(−t)dt = π
2
0
(si effettui la sostituzione t = u2 /2.) Si consideri la v.a. Y con funzione densità di
probabilità
1 r−1
exp(−x) x > 0
Γ(r) x
f (x) =
0
altrove
La v.a. X = Y /α (vedasi paragrafo precedente) ha funzione densità di probabilità
α
r−1
exp(−αx) x > 0
Γ(r) (αx)
(2.1)
fX (x) =
0
altrove
Definizione 2.2. La v.a. X con funzione densità di probabilità (2.1) è detta v.a.
gamma.
Tale densità dipende da due parametri α e r che devono risultare entrambi
positivi. Verificare per esercizio che sussiste la condizione di normalizzazione.
2.1. Proprietà della v.a.Gamma. Se r = 1, la funzione densità di probabilità
della v.a.gamma coincide con quella della v.a.esponenziale. Pertanto la v.a.esponenziale è un caso particolare della v.a. gamma. In realtà, se il parametro r della
densità di probabilità è un intero maggiore di 1, esiste un legame leggermente
diverso tra la v.a.gamma e quella esponenziale, ma ritorneremo su questo punto
più avanti.
Sempre nel caso in cui il parametro r è un intero, esiste una interessante relazione
tra la v.a.gamma e il processo di Poisson. Supponiamo che la v.a. T rappresenti
il tempo di vita di un dispositivo sottoposto a stress casuale. Immaginiamo che
il numero di stress cui il dispositivo è sottoposto sia una v.a. di Poisson N di
parametro λ per unità temporale. Supponiamo che il sistema collassi quando si
verificano almeno r ≥ 1 stress casuali in un intervallo temporale di lunghezza t.
Pertanto
r−1
X
(λt)j
P (T > t) = P [N (t) ≤ r − 1] =
exp(−λt)
j!
j=0
ossia
FT (t) = 1 −
r−1
X
(λt)j
j=0
j!
exp(−λt)
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dove FT (t) rappresenta la funzione di ripartizione della v.a. T. Mediante integrazione per parti iterata, è facile dimostrare che
Z ∞
r−1
X
λ
(λt)j
(λx)r−1 exp(−λx)dx =
exp(−λt)
(r − 1)!
j!
t
j=0
ossia che la v.a. T segue una legge gamma con parametri λ e r. Con ciò si chiude
il quadro delle analogie tra il processo di Bernoulli e quello di Poisson: la v.a.
binomiale nel primo processo corrisponde alla v.a. di Poisson nel secondo, la v.a.
geometrica nel primo processo corrisponde alla v.a. esponenziale nel secondo ed
infine la v.a. di Pascal nel primo processo corrisponde alla v.a. gamma nel secondo.
Viene lasciato per esercizio il calcolo della funzione generatrice dei momenti della
v.a. gamma e quindi il calcolo della media e della varianza.
2.2. La v.a. chi-quadrato. Un caso speciale della distribuzione gamma, è la v.a.
chi-quadrato che si ottiene scegliendo α = 1/2 e r = n/2 dove n è un intero. Il
parametro n è detto grado di libertà della v.a. Tale v.a. ha numerose applicazioni:
tra queste ricordiamo il test chi-quadrato. Inoltre tale v.a. ha un interessante legame
con la v.a. gaussiana standard, come abbiamo visto nel paragrafo precedente.