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esercitazione
Liceo Scientifico “Severi”
salerno
ESERCITAZIONE FISICA
Docente: Pappalardo Vincenzo
Classe: IVG
1. Problema
Le cariche elettriche puntiformi Q1 = 10,0 nC e Q2 = -20,0 nC sono separate da
una distanza d=5,0m. Determinare sulla retta passante per le due cariche i
punti in cui: 1) il potenziale elettrico è nullo; 2) il campo elettrico è nullo, 3) la
forza elettrica è nulla su un elettrone.
Questo problema è l’insieme di tre esercizi già risolti.
1) Le cariche elettriche puntiformi Q1 = -40,0 nC e Q2 = +20,0 nC sono separate
da una distanza d = 10,0 m. Determinare sulla retta passante per le due cariche i
punti in cui il potenziale elettrico è nullo.
Soluzione
Tenendo presente la definizione di
potenziale elettrico di una carica
puntiforme:
V =
1
Q
⋅
4πε0 r
(1)
notiamo che V1 < 0 in quanto Q1 è negativa e V2 > 0 in quanto Q2 è positiva.
Pertanto il potenziale totale V, che per il principio di sovrapposizione è la somma
algebrica dei singoli potenziali V1 e V2, sarà nullo nei punti in cui V1 e V2 sono
uguali in valore assoluto.
Il potenziale V non si può annullare in nessun punto alla sinistra della carica Q1 in
quanto in questi punti V1 è sempre maggiore di V2 visto che dai dati del
problema Q1 è maggiore di Q2 e dalla (1) il potenziale è direttamente
proporzionale alla carica ed inversamente proporzionale alla distanza.
Pertanto il potenziale si potrà annullare solo nei punti più vicini a Q2, e cioè nei
punti compresi tra le due cariche e a sinistra di Q2.
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Indichiamo con x l’ascissa di un punto a potenziale nullo e supponiamo che si
trovi a destra di Q2 e applichiamo, quindi, il principio di sovrapposizione:
n
V =
∑V
i
= V1 + V2 = 0 ⇒
i =1
Q
Q2
Q
Q2
1
1
⋅ 1 +
⋅
=0⇒ 1 +
=0
4πε0 x
4πε0 x − d
x
x−d
da cui, risolvendo rispetto ad x si ha:
x=
d ⋅ Q1
10,0 ⋅ (−40,0 ⋅ 10 −9 )
=
= 20,0
Q1 + Q2
(−40,0 + 20,0) ⋅ 10 − 9
Vediamo se esiste anche tra le due cariche un punto a potenziale nullo.
Indichiamo ancora con x l’ascissa di tale punto e applichiamo di nuovo il
principio di sovrapposizione:
n
V =
∑V
i
= V1 + V2 = 0 ⇒
i =1
Q
Q2
Q
Q2
1
1
⋅ 1 +
⋅
=0⇒ 1 +
=0
4πε0 x
4πε0 d − x
x
d−x
da cui, risolvendo rispetto ad x si ha:
x=
− d ⋅ Q1
− 10,0 ⋅ (−40,0 ⋅ 10 −9 )
=
= 6,67
− Q1 + Q2
(40,0 + 20,0) ⋅ 10 − 9
m
In definitiva esistono due punti a potenziale nullo sulla retta passante per le due
cariche.
2) Due cariche puntiformi Q1 = 20 µC e Q2 = -40µC distano 1 m l’una dall’altra.
Determinare il punto sulla retta individuata dalle due cariche in cui il campo
elettrico è nullo.
Soluzione
Innanzitutto stabiliamo da che parte è situato il punto:
E1
Q1
+
E2
A
x
B
E1
Q2
E2
-
E2
E1
C
L
Tenendo presente la definizione di campo elettrico, valgono le seguenti
considerazioni:
X
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q
q
q
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se il punto fosse C, in esso agirebbero due campi elettrici opposti, ma E2
sarebbe più grande di E1 in quanto la carica Q2, oltre ad essere più vicina al
punto C, ha un valore più grande della carica Q1;quindi nel punto C il
campo elettrico totale non può essere nullo;
se il punto fosse in B, su di esso agirebbero due campi elettrici concordi, per
cui in B il campo elettrico totale non può essere nullo;
se il punto fosse A, su di esso agirebbero due campi elettrici opposti, ed
essendo la carica Q2 più lontana, la posizione A sarà quella in cui il campo
elettrico totale è nullo.
La condizione per cui nel punto A il campo elettrico totale sia nullo è la
seguente:
(1) E1 - E2 = 0
Se fissiamo l’origine dell’asse X nel punto A e indichiamo con x la posizione del
punto A rispetto a Q1, la (1) diventa:
K/ ⋅
Q1
x
2
= K/ ⋅
Q2
2
(x + L)
⇒
20 ⋅ 10 −6
x
2
=
40 ⋅ 10 −6
2
(x + L)
⇒
1
x
2
=
2
(x + L)2
⇒ (x + L)2 = 2x 2
x 2 + 2x ⋅ L + L2 − 2x 2 = 0 ⇒ −x 2 + 2x ⋅ L + L2 = 0 ⇒ x 2 − 2x ⋅ L − L2 = 0 ⇒ x 2 − 2x − 1 = 0
L’equazione da risolvere è un’equazione di 2° grado le cui soluzioni sono:
x =
− b ± b 2 − 4ac
2± 4+4
2 ± 2.8
2 + 2.82
2 − 2.8
=
=
⇒ x1 =
= 2.41m ⇒ x 2 =
= −0.4m
2a
2
2
2
2
Per come abbiamo fissato l’asse X, la soluzione x2 è da scartare per cui la
soluzione del problema è:
x2 = 2.41 m
il campo elettrico è nullo all’esterno del segmento individuato dalle due cariche
a 2,41 m di distanza da Q1.
3) Due cariche Q1 = + 8e Q2 = -4e sono poste alla distanza L = 20 cm. In che
punto si può collocare un protone in modo che resti in equilibrio?
Soluzione
Innanzitutto stabiliamo da che parte bisogna sistemare il protone:
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Tenendo presente la legge di Coulomb, valgono le seguenti considerazioni:
q
q
q
se il protone fosse nel punto A, su di esso agirebbero due forze opposte, ma
F1 sarebbe più grande di F2 in quanto la carica Q1, oltre ad essere più vicina
al protone, ha un valore più grande della carica Q2;quindi il protone si
sposterà verso sinistra e pertanto la posizione A non può essere quella di
equilibrio.
se il protone fosse nel punto B, su di esso agirebbero due forze concordi, per
cui il protone si sposterà verso sinistra; pertanto la posizione B non può essere
quella di equilibrio.
se il protone fosse nel punto C, su di esso agirebbero due forze opposte, ed
essendo la carica Q1 più lontana, la posizione C sarà quella di equilibrio.
Nella posizione di equilibrio C, le due forze F1 e F2 dovranno essere uguali in
modulo:
(1) F1 = F2
Se poniamo la carica Q1 nell’origine dell’asse X ed indichiamo con x la posizione
del protone rispetto a Q1, la (1) diventa:
K/ ⋅
Q1 ⋅ p/
2
x
= K/ ⋅
Q2 ⋅ p/
(x − L)2
⇒ Q1 ⋅ (x − L)2 = Q2 ⋅ x2 ⇒ 8e ⋅ (x − L)2 = 4e ⋅ x2 ⇒
2x2 − 4L ⋅ x + 2L2 = x2 ⇒ x2 − 4L ⋅ x + 2L2 = 0
L’equazione da risolvere è un’equazione di 2° grado, la cui soluzione ci darà la
posizione di equilibrio del protone:
x2 − 80x + 800 = 0 ⇒ x1 = 68,3 cm
x2 = 11,7 cm
La soluzione x2 = 11,7 cm va scartata in quanto in quella posizione il protone si
troverebbe nella posizione tra Q1 e Q2, che come abbiamo visto, non è una
posizione di equilibrio.
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2. Problema
Una carica puntiforme q, di massa trascurabile, si trova in equilibrio tra una
distribuzione lineare infinita con densità di carica λ=5,6C/m e un piano infinito
di carica con densità σ=4,2C/m2. Determinare a che distanza dal filo si trova
la carica. (risultato: 0,42m).
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3. Problema
Una carica q=0,12C si trova nel centro di una sfera con una superficie di
34,5m2. Calcolare il campo elettrico sui punti della sfera (risultato: 3,9x109N/C).
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4. Problema
Una particella q=+7,2x10-5C e massa m=10g si muove, all’interno di un campo
elettrico uniforme, tra due punti distanti d=10m. La differenza di potenziale tra
i due punti è ΔV=24x103V. Calcolare il tempo impiegato dalla carica a coprire
la distanza. (risultato: t=1,1s).
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5. Problema
Due lastre parallele e cariche di segno opposto distano fra loro 3,0m. Fra le
due lastre una particella q=2,0x10-15C e massa m=1,5x10-12kg è in equilibrio
elettrostatico. Calcolare la differenza di potenziale fra le lastre. (risultato:
ΔV=220V).
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6. Problema
Un condensatore piano è realizzato con due lastre circolari di raggio r=11,0cm
poste, in aria, a una distanza d=2,50mm. Il campo elettrico tra le armature è
E=8,02x104 V/m. Calcolare la differenza di potenziale tra le armature. (risultato:
ΔV=200V).
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7. Problema
Tramite i due elettrodi di un defibrillatore, applicati vicino al cuore, viene
scaricata una energia di 500J. La capacità del dispositivo è di 300μF.
Calcolare la carica accumulata su ciascuna piastra. (risultato: Q=549C).
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