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Lezione 17 IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA` DI MOTO: L
Appunti dei corsi di Idraulica 1 e Idrodinamica 1 Lezione 17 IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO: L’EQUAZIONE DEL MOTO • Nella LEZIONE 14 si è visto che il principio della quantità di moto conduce a ∂ (ρ v ) ∫V ∂t dV 0 + S∫ ρ v (v ⋅ n )dS 0 = V∫ ρ f dV 0 + S∫ tdS 0 0 0 0 0 Applichiamo l’equazione precedente al volume di controllo V0 (vedi figura) individuato dal contorno della corrente al tempo t e dalle sezioni poste all’ascissa s e all’ascissa s + ds (volume tratteggiato). La linea tratteggiata sia il contorno della corrente al tempo t + dt . Infine l’angolo α denoti l’angolo formato dall’asse della corrente con un piano orizzontale e il campo di forze f sia quello gravitazionale. L’equazione considerata è un’equazione vettoriale. Essendo il vettore all’ascissa curvilinea s , proiettiamo l’equazione lungo s I s + M us − M is = G s + Π s - 87 - velocità parallelo LEZIONE 17 Il principio della quantità di moto: l’equazione del moto (Novembre 2007) Il termine I s può essere approssimato dalla relazione ∂ ( ρ U ) Is = (Ω )s ,t ds ∂t s , t dove (Ω )s,t ds , a meno di termini di ordine ds 2 , rappresenta il volume V0 . La derivata rispetto al tempo di ρU può essere valutata al tempo t e all’ascissa s comportando ciò un errore in I s di ordine ds 2 e ds dt . Il fluido entra nel volume di controllo solo attraverso la sezione posta in s . Il flusso di quantità di moto in ingresso, proiettato nella direzione s è quindi M is = ( ρ QU )s ,t Il flusso di quantità di moto in uscita è dato dalla somma di due termini ∂Ω M us = ( ρ QU )s + ds ,t + ( ρ )s ,t ds (U )s ,t ∂t s ,t Il primo termine rappresenta il flusso di quantità di moto in uscita dalla sezione caratterizzata dall’ascissa s + ds , il secondo è legato al flusso di quantità di moto attraverso la superficie laterale. Invero come discusso nella LEZIONE 16 il termine (ρ )s ,t ∂Ω ∂ t s ,t ds è il flusso di massa attraverso la superficie laterale del volume di controllo che trascina con se quantità di moto nella direzione s . Il termine G s è facilmente calcolabile e risulta G s = − (Ω )s ,t ds ( ρ )s ,t g sen α Resta infine da calcolare Πs . Sulla sezione caratterizzata dall’ascissa s , la distribuzione della pressione è idrostatica (vedi LEZIONE 15) così come sulla sezione posta in s + ds . Le tensioni tangenziali agenti sulle sezioni poste in s e s + ds non forniscono alcun contributo a Π s . - 88 - LEZIONE 17 Il principio della quantità di moto: l’equazione del moto (Novembre 2007) Sulla superficie laterale, l’esterno esercita una tensione che ha una componente normale alla superficie e una tangente. Entrambe le componenti forniscono un contributo a Π s . Con riferimento alla figura e denotando con β l’angolo (piccolo) che il contorno forma con l’asse s , si ha Π s = ( pΩ )s ,t − ( pΩ )s + ds ,t + ( p )s ,t S l sen β − (τ )s ,t S lb cos β Nell’espressione precedente mentre S l indica tutta la superficie laterale del volume di controllo, S l b è quella parte a contatto con un contorno solido in grado cioè di esercitare una resistenza al moto del fluido. Analizzando la geometria del problema è possibile dedurre che ∂Ω S l sen β = ds ∂ s s ,t S l b = (B )s ,t ds essendo B la parte del perimetro della generica sezione a contatto con un contorno solido ( B è detto perimetro bagnato). L’equazione della quantità di moto porge dunque ∂ (ρ U ) ∂t (Ω )s ,t ds + ( ρ QU s ,t )s + ds ,t ∂Ω +ρ U ds − ( ρ QU ∂ t s ,t )s ,t =− ∂Ω − ( ρ Ω )s ,t g sen α ds + ( p Ω )s ,t − ( p Ω )s + ds ,t + ( p s ,t ) ds − (τ B )s ,t ds ∂ s s .t dove si è anche assunto che β sia così piccolo da poter considerare cos β ≅ 1 Tenendo conto che (ρ QU )s + ds = (ρ QU )s + ∂ (ρ QU ) ds + O (ds 2 ) ∂s ( pΩ )s + ds = ( pΩ )s + ∂ ( pΩ ) ds ∂s e che il sen α può essere espresso come ∂z ∂s indicando con z la quota dell’asse della corrente si ha ρ ∂ (ρ Q ) ∂z ∂p ∂U ∂ρ ∂U ∂Ω ∂Ω ∂Ω Ω +U Ω +U + ρQ +ρ U = −γ Ω −p −Ω +p −τ B ∂t ∂t ∂s ∂s ∂t ∂s ∂s ∂s ∂s essendo tutte le quantità valutate in s al tempo t . Nell’equazione precedente la somma dei termini sottolineati si annulla in forza dell’equazione di continuità. - 89 - LEZIONE 17 Il principio della quantità di moto: l’equazione del moto (Novembre 2007) Segue, dividendo per γ Ω ∂z 1 ∂ p τ B 1 ∂U 1 ∂U − + U =− − g ∂t g ∂s ∂s γ ∂s γ Ω o ancora ∂z 1 ∂ p ∂ U 2 + + ∂s γ ∂s ∂s 2 g τ 1 ∂U = − − g ∂t γ R i essendo Ri il raggio idraulico della sezione pari al rapporto fra l’area della sezione ed il perimetro bagnato Ri = Ω B Infine per un fluido barotropico (NOTA 1), la cui densità è funzione solo della pressione, è possibile scrivere ∂H 1 ∂U =− −j ∂s g ∂t ove H = z + ∫ dp γ + τ U2 e j= γ Ri 2g L’equazione precedente costituisce l’equazione del moto di una corrente. Essa ci dice che il carico totale (l’energia per unità di peso del fluido) diminuisce nella direzione del moto a causa del termine − j ( j è infatti una quantità sempre positiva) mentre il termine − variazioni o positive o negative del carico. Il termine j corrisponde alle perdite di carico per unità di percorso. NOTA 1 Se il fluido è barotropico, se cioè γ = γ ( p ) , si ha ∂ dp d dp ∂p 1 ∂p = ⋅ = ∫ ∂s γ dp ∫ γ ∂s γ ∂s - 90 - 1 ∂U g ∂t può causare