Lezione 17 IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA` DI MOTO: L

Appunti dei corsi di Idraulica 1 e Idrodinamica 1
Lezione 17
IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO:
L’EQUAZIONE DEL MOTO
• Nella LEZIONE 14 si è visto che il principio della quantità di moto conduce a
∂ (ρ v )
∫V ∂t dV 0 + S∫ ρ v (v ⋅ n )dS 0 = V∫ ρ f dV 0 + S∫ tdS 0
0
0
0
0
Applichiamo l’equazione precedente al volume di controllo V0 (vedi figura) individuato dal
contorno della corrente al tempo t
e dalle sezioni poste all’ascissa s
e
all’ascissa
s + ds
(volume
tratteggiato). La linea tratteggiata
sia il contorno della corrente al
tempo t + dt . Infine l’angolo α
denoti l’angolo formato dall’asse
della
corrente
con
un
piano
orizzontale e il campo di forze f
sia quello gravitazionale.
L’equazione
considerata
è
un’equazione vettoriale. Essendo il
vettore
all’ascissa curvilinea s , proiettiamo l’equazione lungo s
I s + M us − M is = G s + Π s
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velocità
parallelo
LEZIONE 17
Il principio della quantità
di moto: l’equazione del moto
(Novembre 2007)
Il termine I s può essere approssimato dalla relazione
 ∂ ( ρ U )
Is = 
 (Ω )s ,t ds
 ∂t  s , t
dove (Ω )s,t ds , a meno di termini di ordine ds 2 , rappresenta il volume V0 . La derivata rispetto al
tempo di ρU può essere valutata al tempo t e all’ascissa s comportando ciò un errore in I s di
ordine ds 2 e ds dt .
Il fluido entra nel volume di controllo solo attraverso la sezione posta in s . Il flusso di quantità di
moto in ingresso, proiettato nella direzione s è quindi
M is = ( ρ QU )s ,t
Il flusso di quantità di moto in uscita è dato dalla somma di due termini
 ∂Ω 
M us = ( ρ QU )s + ds ,t + ( ρ )s ,t 
 ds (U )s ,t
 ∂t  s ,t
Il primo termine rappresenta il flusso di quantità di moto in uscita dalla sezione caratterizzata
dall’ascissa s + ds , il secondo è legato al flusso di quantità di moto attraverso la superficie laterale.
Invero come discusso nella LEZIONE 16 il termine
(ρ )s ,t  ∂Ω 
 ∂ t  s ,t
ds
è il flusso di massa attraverso la superficie laterale del volume di controllo che trascina con se
quantità di moto nella direzione s .
Il termine G s è facilmente calcolabile e risulta
G s = − (Ω )s ,t ds ( ρ )s ,t g sen α
Resta
infine
da
calcolare
Πs .
Sulla
sezione
caratterizzata dall’ascissa s , la distribuzione della
pressione è idrostatica (vedi LEZIONE 15) così come
sulla sezione posta in s + ds . Le tensioni tangenziali
agenti sulle sezioni poste in s e s + ds non forniscono
alcun contributo a Π s .
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LEZIONE 17
Il principio della quantità
di moto: l’equazione del moto
(Novembre 2007)
Sulla superficie laterale, l’esterno esercita una tensione che ha una componente normale alla
superficie e una tangente. Entrambe le componenti forniscono un contributo a Π s . Con riferimento
alla figura e denotando con β l’angolo (piccolo) che il contorno forma con l’asse s , si ha
Π s = ( pΩ )s ,t − ( pΩ )s + ds ,t + ( p )s ,t S l sen β − (τ )s ,t S lb cos β
Nell’espressione precedente mentre S l indica tutta la superficie laterale del volume di controllo,
S l b è quella parte a contatto con un contorno solido in grado cioè di esercitare una resistenza al
moto del fluido. Analizzando la geometria del problema è possibile dedurre che
 ∂Ω 
S l sen β = 
 ds
 ∂ s  s ,t
S l b = (B )s ,t ds
essendo B la parte del perimetro della generica sezione a contatto con un contorno solido ( B è
detto perimetro bagnato).
L’equazione della quantità di moto porge dunque
 ∂ (ρ U )
 ∂t  (Ω )s ,t ds + ( ρ QU

 s ,t
)s + ds ,t
 ∂Ω 
+ρ
U  ds − ( ρ QU
 ∂ t  s ,t
)s ,t
=−
 ∂Ω 
− ( ρ Ω )s ,t g sen α ds + ( p Ω )s ,t − ( p Ω )s + ds ,t + ( p s ,t )
 ds − (τ B )s ,t ds
 ∂ s  s .t
dove si è anche assunto che β sia così piccolo da poter considerare cos β ≅ 1
Tenendo conto che
(ρ QU )s + ds = (ρ QU )s + ∂ (ρ QU ) ds + O (ds 2 )
∂s
( pΩ )s + ds = ( pΩ )s + ∂ ( pΩ ) ds
∂s
e che il sen α può essere espresso come ∂z ∂s indicando con z la quota dell’asse della corrente si
ha
ρ
∂ (ρ Q )
∂z
∂p
∂U
∂ρ
∂U
∂Ω
∂Ω
∂Ω
Ω +U
Ω +U
+ ρQ
+ρ
U = −γ Ω
−p
−Ω
+p
−τ B
∂t
∂t
∂s
∂s
∂t
∂s
∂s
∂s
∂s
essendo tutte le quantità valutate in s al tempo t . Nell’equazione precedente la somma dei termini
sottolineati si annulla in forza dell’equazione di continuità.
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LEZIONE 17
Il principio della quantità
di moto: l’equazione del moto
(Novembre 2007)
Segue, dividendo per γ Ω
∂z 1 ∂ p τ B
1 ∂U 1 ∂U
−
+ U
=−
−
g ∂t g ∂s
∂s γ ∂s γ Ω
o ancora
∂z 1 ∂ p ∂ U 2
+
+ 
∂s γ ∂s ∂s  2 g

τ
1 ∂U
 = −
−
g ∂t γ R i

essendo Ri il raggio idraulico della sezione pari al rapporto fra l’area della sezione ed il perimetro
bagnato
Ri =
Ω
B
Infine per un fluido barotropico (NOTA 1), la cui densità è funzione solo della pressione, è possibile
scrivere
∂H
1 ∂U
=−
−j
∂s
g ∂t
ove H = z +
∫
dp
γ
+
τ
U2
e j=
γ Ri
2g
L’equazione precedente costituisce l’equazione del moto di una corrente. Essa ci dice che il carico
totale (l’energia per unità di peso del fluido) diminuisce nella direzione del moto a causa del
termine − j ( j è infatti una quantità sempre positiva) mentre il termine −
variazioni o positive o negative del carico.
Il termine j corrisponde alle perdite di carico per unità di percorso.
NOTA 1
Se il fluido è barotropico, se cioè γ = γ ( p ) , si ha
∂ dp
d dp ∂p 1 ∂p
=
⋅
=
∫
∂s γ
dp ∫ γ ∂s γ ∂s
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1 ∂U
g ∂t
può causare