T - SUN Dinamica e controllo dei sistemi meccanici

SUN
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
A.A.
2005-06
ESERCIZI DI
DINAMICA E CONTROLLO DI SISTEMI MECCANICI
MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI
(MECCANICA)
(AEROSPAZIALE)
PROF. ING. DOMENICO DE FALCO
1.1.
Problema
Si consideri una sferetta (puntiforme) che si
muova su un filo giacente in un piano, soggetta
ad una forza esterna impressa di componenti
⎧⎪ Fx ( t ) = sin (ω ⋅ t )
(vd. Figura 1.1-1). L’angolo
⎨
⎪⎩ Fy ( t ) = cos (ω ⋅ t )
che il filo forma con l’asse x è α ( t ) = sin ( ω ⋅ t ) ,
in cui ω è una frequenza di valore fissato.
Scrivere l’ equazione del moto del sistema
vincolato.
1.2.
Figura 1.1-1
Problema
Si consideri il pendolo semplice (piano) di Figura 1.2-1
(massa puntiforme che si muova a distanza fissata dal
punto di sospensione, in un piano verticale, sotto l’ azione
del campo di forza uniforme dovuto alla gravità).
Si scrivano le equazioni del moto del sistema e si determini
la forza di reazione del vincolo sulla massa in modo tale che
rimanga a distanza fissa L dal punto di sospensione.
Si riconsideri il problema precedente nel caso in cui la
suddetta distanza L sia una funzione del tempo t data da
L ( t ) = L0 (1 − µ sin (ω ⋅ t ) ) con µ < 1 . I parametri L0 , µ e
ω
Figura 1.2-1
sono costanti.
1.3.
Problema
Si risolva il problema precedente rimuovendo l’ ipotesi
di moto piano del pendolo (ovvero moto nello spazio
tridimensionale).
Si supponga inoltre che il punto di sospensione si
muova nel piano orizzontale con leggi del moto
rispettivamente
f ( t ) e g ( t ) lungo gli assi (vedi
Figura 1.3-1
Esercizi di Dinamica e Controllo di Sistemi Meccanici - Modellistica di Sistemi Dinamici
Prof. Ing. Domenico de Falco
Figura 1.3-1) e si determini la forza di reazione del vincolo.
1.4.
Problema
Un punto materiale si muove mantenendosi a contatto con una superficie liscia data
dall’ equazione z = f ( x, y ) , in cui z è l’asse verticale su cui agisce la gravità.
a. Trovare l’ equazione del moto della particella.
b. Si
supponga
f ( x, y ) = L0 sin
inoltre
che
la
funzione
f ( x, y )
sia
data
da
nπ x
nπ x
sin
e si determini in tal caso ancora l’ equazione
L1
L2
del moto della particella.
c. Trovare le condizioni iniziali ( t = 0 ) opportune in modo tale che il
problema sia ben posto. In che modo la soluzione dipende dalle
condizioni iniziali ?
1.5.
Problema
Determinare le equazioni del moto del sistema in Figura 1.5-1 costituito dalle due
particelle m1 ed m2 vincolate a stare a
distanza
L e soggette rispettivamente alle
forze esterne F1 ( t ) e F2 ( t )
Determinare le forze di reazione dei vincoli
agenti su ogni particella e dimostrare che
sono uguali ed opposte. Le uniche forze
esterne
applicate
sono
quelle
dovute
all’azione del campo gravitazionale. Cosa
accade se le due particelle non sono più
vincolate ad avere una distanza fissa bensì
L ( t ) = L0 − p ⋅ e −α t ? I parametri L0 , p e α
sono tutte costanti positive e
Figura 1.5-1
p < L0 . Scrivere
le equazioni del moto di questo sistema
vincolato. Assegnare le condizioni iniziali opportune perché il problema sia ben posto.
1.6.
Problema
Si consideri un punto materiale di massa m . Siano x ,
y e z le coordinate
cartesiane che ne individuano la posizione e, rispettivamente siano Fx ( x, y , z ) ,
Fy ( x, y, z ) e Fz ( x, y, z ) le componenti della forza esterna impressa. Il punto
materiale sia soggetto al vincolo di equazione x&
cui
α
è una costante e
2
( t ) + y& 2 ( t ) + z& 2 ( t ) = α ⋅ g ( x, y, z, t ) , in
g un’ assegnata funzione di x, y, z , t .
a. determinare le equazioni del moto del punto materiale vincolato;
b. dimostrare che nel caso in cui sia α = 0 le condizioni necessarie affinchè il
punto materiale sia in equilibrio sono le stesse indipendentemente dal fatto
che agisca o meno il vincolo assegnato.
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c. si escogiti un meccanismo che potrebbe (almeno in via teorica) realizzare un
vincolo non lineare del tipo descritto dall’equazione data.
1.7.
Problema
Si considerino 2 particelle di masse rispettivamente
piano
m1 ed m2 che si muovono nel
xy . Esse siano vincolate a muoversi in modo tale che la linea che le congiunge
passi per un punto fisso prefissato (ad esempio l’ origine) nel piano. Assumendo che
non vi siano forze impresse sul sistema, scrivere le equazioni del moto del sistema
vincolato.
1.8.
Problema
Una sferetta di massa m si muova su un filo liscio disposto ad elica (insomma su una
traiettoria ad elica) sotto l’azione della forza gravitazionale. L’ equazione dell’ elica è
⎧ x 2 + y 2 = L2
⎪
. I parametri µ ed L sono costanti positive. Trovare le forze di
⎨
−1 ⎧ y ⎫
⎪ z = µ ⋅ tan ⎨ x ⎬
⎩ ⎭
⎩
vincolo.
Cosa
accade
µ ( t ) = µ0 + ε ⋅ sin (ω ⋅ t )
1.9.
se
con
l’
µ0 , ε
angolo
e
ω
dell’
Nella figura a lato il carrellino di
M
trasla
massa
orizzontalmente senza attrito.
La molla è lineare di rigidezza
k . Al carrello è sospeso un
pendolo
di
massa
m
e
L . Scrivere le
lunghezza
equazioni del moto nei due casi
in cui I vettori di coordinate del
sistema non vincolato scelti
siano:
x = [ xM
ϑ]
[
xm
b. x = xM
varia
sono costanti, con
Problema
a.
elica
T
ym ]
T
3/3
in
ε < µ0
modo
?
tale
che