Appunti di teoria

Appunti di Meccanica Analitica
Contents
1 Dinamica del punto
1.1 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Equazioni differenziali del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Caso di forze posizionali: soluzione per quadrature . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Oscillatore armonico smorzato e forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Forze di richiamo e forze viscose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Oscillatore armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Oscillatore armonico smorzato e forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Analisi qualitativa del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Studio del moto alla Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Diagramma delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Analisi del moto alla Weierstrass per l’oscillatore armonico . . . . . . . . . . .
1.3.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Pendolo semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Equazione differenziale del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Piccole oscillazioni del pendolo semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Analisi del moto alla Weierstrass per il pendolo semplice . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Moto di un punto soggetto ad una forza centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Integrali primi del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Forza centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Integrazione delle equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Stabilità delle orbite circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Appendice: composizione di moti periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.6 Esempio di forza centrale attrattiva direttamente proporzionale alla distanza .
1.5.7 Analisi del moto alla Weierstrass per il problema di Keplero . . . . . . . . . .
1.5.8 Orbite chiuse e condizione sul potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Moto di un punto su una superficie prestabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Considerazioni preliminari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Moto di un punto pesante sopra una superficie di rotazione ad asse verticale e
priva di attrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Pendolo sferico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Dinamica relativa del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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36
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1.7.1
1.7.2
1.7.3
Influenza della rotazione terrestre sul moto dei gravi nel vuoto . . . . . . . . .
Pendolo di Focault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nozioni elementari di meccanica celeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Equazioni di Lagrange
2.1 Principio del d’Alembert e relazione simbolica della Dinamica
2.2 Equazioni differenziali del moto di un sistema olonomo . . . .
2.3 Funzione Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Coordinate cicliche e Lagrangiana ridotta . . . . . . . . . . . .
2.5 Esempio: problema di Keplero. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Integrazione per quadrature del giroscopio pesante . . . . . . .
3 Piccole oscillazioni
3.1 Teorema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Moto delle piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . .
3.3 Caso unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Coordinate normali e frequenze proprie . . . . . . . .
3.5 Schema riassuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Pendoli accoppiati: esempio di calcolo di modi
3.6.2 Bipendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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normali e battimenti
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4 Equazioni canoniche di Hamilton
4.1 Forma hamiltoniana dei sistemi lagrangiani . . . . . . . . .
4.2 Trasformata di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Funzione Hamiltoniana nel caso dinamico . . . . . . . . . .
4.4 Esempi di funzione Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Punto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Solido con punto fisso . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Significato fisico dei momenti coniugati . . . . . . . . . . .
4.5.1 Significato fisico della costante del moto ph quando
una coordinata cartesiana . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Significato fisico della costante del moto ph quando
un angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Flusso Hamiltoniano e teorema di Liouville . . . . . . . . .
4.6.1 Flusso Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Flusso Hamiltoniano per l’oscillatore armonico . . .
4.6.3 Teorema di Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Coordinate cicliche — formalismo Hamiltoniano . . . . . .
4.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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la coordinata ciclica qh è
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la coordinata ciclica qh è
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5 Principio variazionale di Hamilton.
5.1 Premesse . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Principio variazionale di Hamilton .
5.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Moto di un grave . . . . . .
5.3.2 Oscillatore armonico . . . .
5.4 Equazioni di Eulero . . . . . . . . .
5.5 Esercizi (risolti) . . . . . . . . . . .
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90
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6 Trasformazioni canoniche
6.1 Struttura canonica delle equazioni di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Trasformazioni che conservano la struttura canonica . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Determinazione della nuova Hamiltoniana per effetto di una trasformazione che
conserva la struttura canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Trasformazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Generatrice di una trasformazione canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Esempio: trasformazione canonica per l’oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . .
100
100
100
7 Parentesi di Poisson
7.1 Definizione della parentesi di
7.1.1 Esempio . . . . . . .
7.2 Proprietà principali . . . . .
7.3 Applicazioni . . . . . . . . .
Poisson
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8 Equazione di Hamilton-Jacobi
8.1 Equazione di Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Hamiltoniana indipendente da t ed azione ridotta . . . . . . . . . . . .
8.3 Esempio: l’oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Metodo di separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 L’equazione di Hamilton-Jacobi per il moto centrale di un punto
8.5.2 Il metodo di Hamilton-Jacobi applicato al problema di Keplero .
A Complementi
A.1 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Serie di Fourier in forma trigonometrica
A.1.2 Serie di Fourier in forma esponenziale . .
A.1.3 Stima dei coefficienti cn . . . . . . . . .
A.2 Teorema di annullamento degli integrali . . . . .
3
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in un piano
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111
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116
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119
119
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121
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Chapter 1
Dinamica del punto
1.1
1.1.1
Dinamica del punto su traiettoria prestabilita
Equazioni differenziali del moto
La dinamica di un punto P si fonda sull’equazione che deve essere soddisfatta durante il moto
⃗
m⃗a = F⃗ + ϕ
(1.1)
⃗ la risultante
dove m è la massa del punto, F⃗ è la risultante di tutte le forze attive agenti sul punto e ϕ
di tutte le reazioni vincolari.
Supponendo nota la traiettoria γ del punto P soggetto alla (1.1) allora per caratterizzare il moto
non rimane che da determinare la legge oraria. Più precisamente, se s (ascissa curvilea di P ) è la
lunghezza dell’arco γ fra una arbitraria origine e P , misurata positivamente in un prefissato verso,
la (1.1) proiettata, in ciascun punto della γ, sulla rispettiva tangente, orientata nel verso delle s
crescenti, diventa:
ms̈ = Ft + Φt
(1.2)
⃗ è, per lo più, incognita. Tuttavia vi sono dei casi in cui la Φt
dove la componente tangenziale Φt di Φ
è preventivamente assegnabile. In particolare: un punto vincolato a restare su di una curva
priva di attrito si muove su di essa come se fosse esclusivamente soggetto all’azione della
forza attiva (tangenziale), cioé Φt = 0. In tal caso la (1.2) prende la forma
ms̈ = Ft
(1.3)
dove la componente tangenziale Ft della forza totale è una funzione f (ṡ, s; t) nota, quindi la (1.3)
assumerà la forma
ms̈ = f (ṡ, s; t)
(1.4)
e, nell’ipotesi di limitatezza, continuità e derivabilità nei tre argomenti della f , la (1.4) ammette una,
ed una sola, soluzione (nel dominio considerato) soddisfacente alle condizioni iniziali assegnate. La
(1.3) (più precisamente nella forma (1.4)) prende il nome di equazione differenziale del moto ed è
sufficiente per caratterizzare univocamente il moto di un punto vincolato a percorrere una traiettoria
assegnata in assenza di attrito.
4
1.1.2
Caso di forze posizionali: soluzione per quadrature
Nel caso di forze posizionali Ft = f (s) la (1.3) assume la forma
ms̈ = f (s)
(1.5)
Per mostrare come la (1.5) si riduca con una quadratura ad una equazione del I ◦ ordine ricordiamo
che l’energia cinetica T del punto è qui definita da 21 mṡ2 , da cui risulta: dT
= mṡs̈. Osservando che,
dt
essendo f funzione della sola s, esiste un’altra funzione U della sola s tale che
dU
= f (s).
ds
(1.6)
In virtù della (1.5) segue che dT
= dU
ṡ. Il secondo membro, in quanto si consideri U come funzione
dt
ds
di t tramite s(t), non è altro che la derivata di U = U [s(t)] rispetto a t. Integrando rispetto a t e
designando con E la costante di integrazione, si ricava:
T − U = E.
(1.7)
Questa relazione in termini finiti, tra la energia cinetica T del punto P e la sua posizione sulla curva
(caratterizzata dalla funzione U (s)), si chiama integrale delle forze vive. Esso fornisce, in ultima
analisi, una relazione fra s e ṡ.
Nota. Nel caso in cui si suppone prestabilita la traiettoria si perviene alla (1.7) senza bisogno di
introdurre l’ipotesi che la forza totale F⃗ sia conservativa, basta infatti che essa sia posizionale
perchè la (1.6) valga limitatamente alla mobilità del punto sopra la curva γ.
Nota. Dalla (1.7) deriva che:
T1 − T0 = U1 − U0 ,
essendo T0 e U0 , T1 e U1 i valori di T e di U in due generici istanti t0 e t1 . In particolare, consideriamo
due punti materiali distinti di egual massa che siano fatti partire con la medesima velocità da una
medesima posizione, oppure da due posizioni appartenenti alla medesima superficie U = cost.. Se
questi due punti si muovono sotto l’azione di una forza derivante dal potenziale U , l’uno libero e
l’altro costretto a restare sopra una curva priva di attrito, essi attraversano ciascuna superficie
equipotenziale con equale velocità. Cosı̀, ad esempio, se due punti pesanti cadono, a partire dalla
quiete, uno liberamente, l’altro sopra un sostegno prestabilito (privo di attrito), dopo essere discesi
di una stessa quota, hanno la stessa velocità.
Torniamo al problema dell’integrazione della equazione (1.5) del moto; ponendo
u(s) =
2
[U (s) + E] ,
m
(1.8)
l’equazione delle forze vive (1.7) si può scrivere
(
ds
dt
)2
= u(s),
da cui
5
√
ds
= ± u(s),
dt
(1.9)
dove va preso il segno positivo o negativo secondo che la velocità scalare ds
sia positiva o negativa. La
dt
◦
(1.9) è una equazione differenziale del I ordine, sostanzialmente equivalente all’originaria equazione
(1.5) 1 , che può essere integrata mediante una quadratura e fornisce la cercata relazione
in termini finiti tra s e t. Le due costanti arbitrarie da cui essa deve dipendere sono date l’una
dalla costante additiva dell’ultima quadratura, l’altra dall’integrale E delle forze vive.
1.2
Oscillatore armonico smorzato e forzato
In questo paragrafo studieremo il moto del punto risolvendo esplicitamente le equazioni del moto.
Questo è possibile poiché tali equazioni sono lineari. Nel caso generale, non essendo possiblie risolvere
le equazioni, si ricorre allo studio qualitativo del moto reso possibile dall’integrale primo dell’energia.
1.2.1
Forze di richiamo e forze viscose
Fra le forze posizionali meritano speciale attenzione le cosiddette forze di richiamo, verso un’assegnata
posizione O della curva γ. La proprietà caratteristica di tali forze è di annullarsi in O, detta posizione di richiamo, e di esplicarsi, in ogni altro punto della γ, come attrazioni (tangenziali) verso
O, crescenti quanto più ci si allontana da O lungo la curva. In particolare si ha che sf (s) < 0,
supponendo che O abbia ascissa curvilinea s = 0 e dove f (s) = Ft (s). È questo il comportamento
tipico delle forze elastiche. Una espressione tipica di una forza elastica di richiamo è data da:
f (s) = −λs
(1.10)
dove λ è una assegnata costante positiva.
Le forze viscose dipendono, invece, dalla velocità del punto e tendono, sempre, ad opporsi al
moto del punto. La più semplice espressione di una forza viscosa ha la forma
F⃗ = −b⃗v
dove ⃗v è la velocità del punto e b è una assegnata costante positiva.
1.2.2
Oscillatore armonico smorzato
Si usa designare con questo nome un sistema meccanico costituito da un punto materiale di massa
m soggetto ad una forza elastica e ad una forza viscosa. L’equazione differenziale del moto prende
la forma
ms̈ + bṡ + λs = 0.
1
Due osservazioni. La prima riguarda l’equivalenza fra (1.9) e (1.5). Si deve notare che la (1.5) implica la (1.9),
tuttavia non è sempre vero il viceversa. Infatti la (1.9), che è una riscrittura di (ms̈ − f (s))ṡ = 0, implica la (1.5) in
tutti gli istanti di tempo t tali che ṡ(t) ̸= 0. Negli istanti t0 di arresto ṡ(t0 ) = 0, questa implicazione non vale e lo
studio del moto fa vatto in base all’equazione del moto. Seconda osservazione: l’equazione (1.9) non descrive tutti i
moti possibili, ma solo quelli di energia meccanica E. Solo facendo assumere ad E tutti i valori possibili si ottengono
tutti i moti.
6
Ponendo poi h =
b
2m
√
eω=
λ
m
allora questa si scrive
s̈ + 2hṡ + ω 2 s = 0,
(1.11)
che è una equazione differenziale del II ordine, lineare, a coefficienti costanti e omogenea.
soluzione generale è, tranne un caso particolare (in cui z1 = z2 ), data da
La
s(t) = C1 ez1 t + C2 ez2 t
dove
z1,2 = −h ±
√
h2 − ω 2
sono le soluzioni, reali o complesse, della equazione di secondo grado
z 2 + 2hz + ω 2 = 0.
Ai fini della discussione che segue conviene porre la soluzione generale nella forma
s(t) = C1 e−β1 t + C2 e−β2 t ,
dove β1,2 = −z1,2 .
(1.12)
Nota. Mettiamo in luce la seguente proprietà: qualunque siano h e ω 2 , purché sia h > 0, allora
ℜz1,2 < 0,
cioé ℜβ1,2 > 0.
(1.13)
Infatti, essendo z1,2 soluzioni dell’equazione di secondo grado, segue che
z1 + z2 = −2h e z1 z2 = ω 2 .
(1.14)
Se z1,2 sono numeri reali allora, dalla seconda condizione (1.14), essi hanno segno concorde e questo,
dalla prima condizione (1.14), è negativo. Se, invece, z1,2 sono numeri complessi allora, essendo i
coefficienti della equazione reali, essi sono tra loro complessi coniugati, cioé z2 = z̄1 , e la condizione
(1.14) si traduce in
2ℜz1 = −2h e |z1 |2 = ω 2
(1.15)
che pone immediatamente al risultato cercato.
In virtù della proprietà (1.13) e ricordando che
e−β1,2 t = e−ℜβ1,2 t e−iℑβ1,2 t
dove e−iℑβ1,2 t ha modulo 1, segue che la soluzione (1.12) s(t) della equazione (1.11), per assegnate
condizioni iniziali, tende asintoticamente a zero, per t crescente, in modo esponenziale.
Premesso questo risultato generale (e di importanza rilevante nello studio della stabilità dei
sistemi) andiamo a discutere in dettaglio la forma della soluzione generale in funzione dei valori dei
parametri. Si hanno i seguenti tre casi:
7
0.2
0.1
0
–0.1
–0.2
1
2
3
4
5
6
t
Figure 1.1: Grafico della legge oraria nel caso di moto aperiodico smorzato.
Moto aperiodico smorzato: h2 > ω 2 .
In questo caso abbiamo che β1,2 ∈ R+ ed il moto ha, al più, una sola inversione del moto (Figura
1.1).
Moto oscillatorio smorzato: h2 < ω 2 .
√In questo caso β1,2 sono complessi coniugati e si possono scrivere come β1,2 = h ± ik dove k =
ω 2 − h2 ; con tale posizione la soluzione generale prende la forma (prendendo le costanti arbitrarie
C1 e C2 complesse coniugate tra loro e facendo un po’ di conti)
(
s(t) = C1 e−ht e−ikt + C2 e−ht eikt = e−ht C1 e−ikt + C2 eikt
)
= Ce−ht cos(kt + γ).
Risulta quindi essere un moto oscillatorio, di pulsazione k, con ampiezza data da Ce−pt che decresce
esponenzialmente. Il numero T = 2π/k prende il nome di pseudo-periodo (Figura 1.2). Osserviamo che nel caso limite di assenza di smorzamento h = 0 allora la soluzione generale prende la ben
nota forma s(t) = C cos(kt + γ) caratteristica delle oscillazioni armoniche di periodo 2π/k.
Moto aperiodico smorzato con smorzamento critico: h2 = ω 2 .
In questo caso z1,2 = −h sono reali e coincidenti; la soluzione generale non ha più la forma (1.12)
bensı̀
s(t) = C1 e−ht + C2 te−ht .
L’andamento della funzione s(t) presenta, sostanzialmente, le stesse caratteristiche del primo caso
(Figura 1.1).
8
1
0.5
0
–0.5
–1
1
2
3
4
5
6
t
Figure 1.2: Grafico della legge oraria nel caso di moto oscillatorio smorzato.
1.2.3
Oscillatore armonico smorzato e forzato
Se ammettiamo la presenza di un termine forzante che dipende, in modo periodico, dal tempo t allora
l’equazione differenziale da studiare risulta essere la seguente:
ms̈ + bṡ + λs = Q(t)
(1.16)
dove Q(t) è una funzione periodica assegnata e dove b ≥ 0 e λ ̸= 0. L’equazione differenziale (1.16)
del II ordine, lineare, a coefficienti costanti e completa ha soluzione generale della forma
s(t) = s0 (t) + s⋆ (t)
dove s0 (t) è la soluzione generale della omogenea associata (1.11) e dove s⋆ (t) è una soluzione particolare della completa.
Nota. In virtù delle osservazioni fatte in precedenza possiamo affermare che, a regime, la funzione
s(t) è data solamente dalla soluzione particolare; infatti, comunque siano state assegnate le costanti
arbitrarie, la funzione so (t) decresce esponenzialmente e quindi, dopo un certo intervallo di tempo
(detto transitorio), segue che s(t) ≈ s⋆ (t).
Caso di forzante di tipo armonico
Supponendo, al momento, che il termine forzante Q(t) sia una funzione armonica di periodo T1 =
data da
2π
Ω
Q(t) = q sin(Ωt + α),
dove q > 0, Ω > 0 e α sono costanti assegnate. Ricerchiamo la soluzione particolare della forma
s⋆ (t) = p sin(Ωt + φ)
9
(1.17)
dove p e φ sono da determinarsi sostituendo la (1.17) nella equazione completa (1.16) e richiedendo
che questa sia identicamente soddisfatta. Operando la sostituzione si ottiene
(ω 2 − Ω2 )p sin(Ωt + φ) + 2hΩp cos(Ωt + φ) = q sin(Ωt + α)/m
che, in virtù delle formule trigonometriche di addizione, si trasforma nella
a sin(Ωt + α) + b cos(Ωt + α) = 0
dove, ponendo ϕ = α − φ,
a = p[(ω 2 − Ω2 ) cos ϕ + 2hΩ sin ϕ] − q/m
e
b = p[−(ω 2 − Ω2 ) sin ϕ + 2hΩ cos ϕ].
Deve quindi essere verificato il seguente sistema
{
{
a = 0
b = 0
⇒
p[(ω 2 − Ω2 ) cos ϕ + 2hΩ sin ϕ]
= q/m
.
−p[(ω 2 − Ω2 ) sin ϕ + 2hΩ cos ϕ] = 0
Quadrando e poi sommando si ottiene immediatamente:
p=
A(Ω2 )q
1
dove A(Ω2 ) = √
m
(ω 2 − Ω2 )2 + 4h2 Ω2
(1.18)
mentre dalla seconda si ottiene immediatamente che deve essere
tan(ϕ) =
2hΩ
,
− Ω2
ω2
con che l’angolo ϕ (ritardo di fase) risulta individuato subordinatamente alla condizione −π/2 <
ϕ ≤ π/2. Risulta che tan(ϕ) è positiva o negativa, e quindi ϕ è maggiore o minore di 0, secondo che
Ω2 < ω 2 o Ω2 > ω 2 .
Nota. È immediato verificare che
lim A(Ω2 ) =
Ω→0+
1
ω2
lim A(Ω2 ) = 0.
e
Ω→+∞
Energia fornita al sistema vibrante
Osserviamo che nelle oscillazioni forzate viene fornita energia al sistema vibrante per effetto della
sollecitazione addizionale Q(t). In particolare l’energia e fornita durante un intero periodo T1 = 2π/Ω
è data dal lavoro svolto dal termine forzante:
∫
t+T1
e=
t
⃗ ′ ) · ⃗v (t′ )dt′ =
Q(t
∫
10
t+T1
t
Q[s(t′ )]ṡ(t′ )dt′ ;
(1.19)
e, sostituendo a Q l’equazione del moto (1.16), segue
∫
t+T1
e =
[
]
mṡs̈ + bṡ2 + λsṡ dt′
t
∫ t+T1
]t+T1
m[ 2
=
ṡ + ω 2 s2
+ 2hm
ṡ2 dt′ .
t
2
t
A regime stabilito si ha che s = s0 + s⋆ ≈ s⋆ e, per la periodicità di s⋆ , la parte integrata va a zero e
da ciò
e ≈ 2hm
∫
t+T1
(ṡ⋆ )2 dt′ .
t
Questa formula mostra che l’energia fornita e risulta essenzialmente positiva, ossia che, per mantenere le oscillazioni forzate, bisogna comunicare energia al sistema vibrante. Si può,
infine, aggiungere che a regime stabilito la soluzione è data dalla s⋆ (t) (vedi (1.17)) e quindi e non
dipende dall’istante t considerato ma, solamente, dal periodo T1 = 2π/Ω. Più precisamente:
e ≈ 2hm
∫
∫
T1
T1
⋆ 2
(ṡ ) dt = 2hm
0
∫
= 2hmp2 Ω
p2 Ω2 [cos(Ωt + φ)]2 dt
0
2π−φ
−φ
[cos(θ)]2 dθ = 2πhmp2 Ω.
Caso ideale di uno smorzamento nullo
Mettiamoci nel caso dell’ipotesi ideale dell’assoluta assenza di ogni resistenza passiva (h = 0) e
cerchiamo di determinare per la corrispondente equazione
s̈ + ω 2 s = q sin(Ωt)/m
(1.20)
una soluzione periodica della forma (1.17) (è sempre possibile assumere la fase iniziale α nulla in
virtù di una opportuna scelta dell’origine dei tempi t → t − α/Ω). Sostituendo e uguagliando si
ottiene
ϕ=0 e
p=
q
m(ω 2 − Ω2 )
purchè ω ̸= Ω.
Se poi si ha Ω = ω, cioé se il periodo della forza addizionale è identico a quello delle vibrazioni
spontanee del sistema, si ha una contraddizione nel ricercare una soluzione periodica del tipo (1.17);
ma si verifica che la (1.20), per ω = Ω, ammette l’integrale particolare
s⋆ (t) =
q
t sin(ωt),
2mω 2
il quale corrisponde ad oscillazioni del medesimo periodo ma che sono di ampiezza indefinitamente
crescente col tempo.
11
Risonanza
Tenendo fisse le costanti h e ω caratteristiche del sistema vibrante e l’intensità massima q della forza
addizionale e facendone variare la frequenza Ω vediamo come vari conseguentemente l’ampiezza p
dell’oscillazione forzata corrispondente o, equivalentemente, il fattore di amplificazione A(Ω2 ). In
particolare la A(Ω2 ) ammetterà un unico massimo raggiunto, se h è piccola, per |Ω| in prossimità di
|ω|. Da qui segue la spiegazione del fenomeno della risonanza.
Per studiare il fenomeno della risonanza riprendiamo la (1.18) ponendo
Ω2
4h2
=
x,
= ϵ2 ,
ω2
ω2
da cui
A(Ω2 ) =
1
1
√
f
(x),
f
(x)
=
.
ω2
(1 − x)2 + ϵ2 x
(1.21)
La funzione f (x) ammette punti di stazionarietà x > 0 quando
−2(1 − x) + ϵ2 = 0, cioé x = 1 − ϵ2 /2.
In particolare questo risulta essere un punto di massimo relativo per f (x) (poiché la derivata seconda
del radicando al denominatore è positiva e quindi il radicando ha un punto di minimo relativo).
Quindi A(Ω2 ) ammette un unico punto di massimo per Ω2 = ω 2 − 2h2 avente valore (Figura 1.3)
Amax = A(ω 2 − 2h2 ) = √
1
4h4 + 4h2 (ω 2 − 2h2 )
=
1
√
.
2h ω 2 − h2
12
10
ε=0.08
ε =0.1
ε=0.2
ε=0.4
8
6
4
2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
Figure 1.3: Grafico della funzione (1.21) per diversi valori di ϵ.
12
Nota. Nel caso di smorzamento lieve (h ≪ 1) il punto di massimo relativo si ha in corrispondenza
di Ω2 ≈ ω 2 , cioé quando la frequenza del termine forzante è prossima alla frequenza naturale del
sistema, ed inoltre
Amax ≈
1
≫ 1.
2ωh
Battimenti
Il fenomeno noto con il nome di battimenti si verifica per la sovrapposizione di oscillazioni armoniche
con frequenze diverse. Tale caso si verifica, ad esempio, quando consideriamo il caso ideale di
smorzamento nullo (cioé h = 0) e soggetto ad un termine forzante oscillatorio. In questo frangente
non posiamo più affermare che s(t) ≈ s⋆ (t) perché il termine s0 (t) ha ampiezza che rimane costante
nel tempo. Più precisamente, volendo studiare il termine
s(t) = s0 (t) + s⋆ (t),
dove
s0 (t) = A1 cos(ωt + α1 ) e s⋆ (t) = A2 cos(Ωt + α2 )
dove prendiamo A1 = A2 = A (altrimenti poniamo A1 = A2 + Ã2 e isoliamo il termine con coefficiente
Ã2 ). Con tale ipotesi allora dalle formule di prostaferesi segue che
s(t) = 2A cos(ϵt + β) cos(ω̄t + ᾱ)
dove
ω̄ =
Ω+ω
Ω−ω
α1 + α2
α1 − α2
, ϵ=
, ᾱ =
, β=
.
2
2
2
2
Il fenomeno diventa particolarmente evidente nel caso in cui Ω ≈ ω; infatti si osserva che il fattore
cos(ω̄t+ ᾱ) produce una oscillazione che ha una frequenza molto vicina a quella dei moto componenti.
L’ampiezza di tale oscillazione risulta però modulata (lentamente) dal fattore cos(ϵt + β) la cui
frequenza è molto minore di quella precedente (Figura 1.4).
Caso di forzante periodica
Ai fini della ricerca della soluzione particolare nel caso generale in cui il termine forzante sia una
generica funzione periodica, consideriamo inizialmente il caso h(t) = ρeiΩt , dove ρ ∈ C e Ω = 2π
. In
T1
⋆
iΩt
tal caso cerchiamo una soluzione (se esiste) della forma s (t) = re , da cui
ṡ⋆ (t) = iΩreiΩt
e s̈⋆ (t) = −Ω2 reiΩt .
La sostituzione di s⋆ nella equazione differenziale (1.11) porta a
−Ω2 reiΩt + i2hΩreiΩt + ω 2 reiΩt = ρeiΩt /m
13
1
0.5
0
–0.5
–1
20
40
60
80
100
t
Figure 1.4: Battimenti.
che, dovendo essere identicamente soddisfatta per ogni t (affinché s⋆ sia soluzione dell’equazione
differenziale), implica
r=
ω2
ρ/m
− Ω2 + 2ihΩ
da cui
ρ
1
eiΩt .
2
2
m ω − Ω + 2ihΩ
Prima di passare al caso generale consideriamo il caso in cui la funzione periodica Q(t) ammetta
sviluppo in serie di Fourier di tipo esponenziale finito:
s⋆ (t) =
N
∑
Q(t) =
cn eiΩnt
n=−N
dove cn = c̄−n affinché Q(t) sia a valori reali. Una soluzione particolare, periodica di periodo T , è
quindi data da
s⋆ (t) =
N
∑
s⋆n (t), s⋆n (t) =
n=−N
dove
s⋆n (t)
1
cn
eiΩnt
2
2
m ω − n Ω2 + in2hΩ
è soluzione particolare della equazione differenziale
s̈ + 2hṡ + ω 2 s = cn eiΩnt /m
da quanto abbiamo appena dimostrato. La verifica è immediata:
⋆
⋆
2 ⋆
s̈ + 2hṡ + ω s
=
N
(
∑
s̈⋆n + 2hṡ⋆n + ω 2 s⋆n
)
n=−N
=
N
∑
n=−N
14
cn eiΩnt /m = Q(t)/m.
Rimane da trattare il caso in cui Q(t) ammette sviluppo in serie infinita di Fourier
Q(t) =
+∞
∑
cn eiΩnt .
(1.22)
n=−∞
Come nel caso precedente prendiamo come possibile soluzione particolare la serie di Fourier (per il
momento formale):
s⋆ (t) =
+∞
∑
s⋆n (t), s⋆n (t) =
n=−∞
1
cn eiΩnt
m ω 2 − n2 Ω2 + i2nhΩ
(1.23)
e cerchiamo di stabilire se questa serie converge e, nel caso in cui converga, se è una soluzione
della equazione differenziale. Come nel caso precedente si verifica facilmente che questa serie è una
soluzione purché converga abbastanza velocemente in modo da poterne calcolare la derivata prima
e seconda derivando la serie termine a termine. Ricordiamo che per potere derivare k volte la serie
termine a termine, deve convergere la serie
+∞
∑
∑
dk s⋆n (t)
1 +∞
cn (iΩn)k
=
eiΩnt
k
2
2
2
dt
m n=−∞ ω − n Ω + i2nhΩ
n=−∞
(1.24)
uniformemente rispetto a t; ricordiamo inoltre la seguente stima dei coefficienti della serie di Fourier:
|cn | ≤ cn−r quando la funzione Q(t) è di classe C r . In virtù di queste considerazioni abbiamo che il
termine n—esimo della serie (1.24) può essere stimato come
c (iΩn)k eiΩnt /m n
2
≤
ω − n2 Ω2 + i2nhΩ √
cΩk nk
nr (ω 2 − n2 Ω2 )2 + 4n2 h2 Ω2
≤ Cnk−r−2
per una qualche costante C > 0 indipendente da n. Troviamo quindi che la serie (1.24) converge
uniformemente rispetto a t se r + 2 − k > 1; in particolare si ha che la serie (1.23) è soluzione
dell’equazione differenziale (1.16) se r + 2 − 2 > 1 (k = 2), cioé se la funzione Q(t) è, almeno, di
classe C 2 .
Possiamo riassumere questo risultato nel seguente teorema:
Teorema: Sia data la equazione (1.16) dell’oscillatore armonico smorzato e forzato, sia Q(t) una
funzione periodica, di periodo T1 , di classe C 2 e avente sviluppo di Fourier in forma esponenziale
(1.22) dove Ω = 2π/T1 . Allora la serie di Fourier (1.23) converge uniformemente per ogni t ∈ [0, T1 ]
ed è una soluzione della equazione (1.16).
Nota. Analizziamo ora in cosa si traduce il fenomeno della risonanza nel caso generale in cui
Q(t) ammette uno sviluppo di Fourier del tipo (1.22). Sotto l’ipotesi che Q ∈ C 2 si è provato
che la soluzione particolare ha forma (1.23). Allora si[ vede
subito che, prendendo anche qui h
]
ω
sufficientemente piccolo, le armoniche di indice n± = ± Ω , dove [−] denota il numero intero più
vicino, vengono amplificate, infatti per tali valori di n il denominatore assume valore minimo, mentre
le altre armoniche sono smorzate.
15
1.3
Analisi qualitativa del moto
Si ricorre allo studio qualitativo quando non sia possibile risolvere l’equazione del moto oppure nel
caso in cui dalla soluzione, anche se nota, non sia facile dedurre le proprietà.
1.3.1
Studio del moto alla Weierstrass
Consideriamo il caso in cui la forza F⃗ applicata al punto libero P è conservativa (o, almeno nel
caso uni-dimensionale, sia posizionale); allora le equazioni (1.1) ammettono l’integrale (primo)
delle forze vive
T − U = E,
dove E è l’energia totale costante. Riprendiamo la corrispondente equazione delle forze vive (1.9)
ṡ2 = u(s),
(1.25)
dove
u(s) =
2
dU
[U (s) + E] e
= f (s) = Ft (s).
m
ds
(1.26)
La (1.25) è una conseguenza necessaria della equazione fondamentale (1.5) ms̈ = f (s). Perciò
l’andamento del moto si può desumere dalla (1.25) anziché dalla originaria (1.5).
Circa l’equazione (1.25) supponiamo, per fissare le idee, che la funzione u(s), per tutti i valori
di s che volta a volta considereremo, sia finita e continua insieme con le sue derivate di tutti gli
ordini. Denotiamo con s0 e ṡ0 la ascissa curvilinea e la velocità scalare del punto all’istante iniziale.
Osserviamo che queste quantità, avendo fissato l’energia meccnica totale E, non sono indipendenti
poiché ṡ0 = u(s0 ).
Dalla (1.25) distinguiamo, in ordine alle condizioni iniziali, due casi:
a) se ṡ0 = 0, ovvero ṡ20 = u(s0 ) = 0;
b) se ṡ0 ̸= 0, ovvero ṡ20 = u(s0 ) > 0.
Caso di velocità iniziale nulla: ṡ0 = 0.
Consideriamo inizialmente il caso a) ṡ0 = 0. In questo caso il moto, al suo inizio, non è completamente caratterizzato dall’equazione delle forze vive (1.25) ed è necessario fare un ditinguere due
casi:
a1) s0 è radice semplice di u(s), cioé
du(s0 )
f (s0 )
=2
̸= 0.
ds
m
In virtù della legge del moto incipiente (in base alla quale, per l’annullarsi della velocità iniziale,
il mobile segue il verso della forza attiva Ft = m2 du
che, per s = s0 , è non nulla) si ha che il
ds
mobile si mette in moto e, subito dopo l’istante iniziale, ci troviamo nella condizione b).
16
a2) s0 è una radice multipla di u(s), cioé
du(s0 )
f (s0 )
=2
= 0.
ds
m
In questo caso s ≡ s0 soddisfa l’equazione del II ◦ ordine (1.5) con le condizioni iniziali s(t0 ) = s0
e ṡ(t0 ) = 0. Quindi il mobile rimane in equilibrio nella posizione iniziale s0 .
Caso di velocità iniziale non nulla: ṡ0 ̸= 0.
Consideriamo ora il caso b) ṡ0 ̸= 0. In questo caso il moto, al suo inizio, è completamente caratterizzato dall’equazione delle forze vive (1.25) scritta nella forma
√
ṡ = ± u(s)
(1.27)
Possiamo sempre assumere, senza perdere in generalità, che sia ṡ0 > 0 (altrimenti è sufficiente
cambiare orientazione alla traiettoria) e quindi:
√
ṡ0 = + u(s0 ).
Prestabilito questo segno, resta determinato anche quello della equazione differenziale del I ◦ ordine
(1.27) che caratterizza il moto fino a tanto che la velocità non si annulla, cioé fino a quando s non
raggiunge una radice di u(s). Qui si presentano due sottocasi distinti:
b1) a partire da s0 fino a +∞, nel verso della velocità ṡ0 , non si incontra mai una radice di
u(s):
u(s) ̸= 0, ∀s > s0 ;
b2) esiste, dalla parte indicata di ṡ0 , una prima radice s⋆ di u(s):
∃s⋆ > s0 : (u(s⋆ ) = 0 ∧ u(s) > 0 ∀s ∈ [s0 , s⋆ )) .
Nel caso b1) l’equazione è integrabile per separazione di variabili ottenendo
ds
,
dt = √
u(s)
∫
s
da cui t(s) =
s0
dξ
√
u(ξ)
+ t0
(1.28)
funzione continua, monotona crescente al crescere di s e definita per ogni s > s0 . Essa rappresenta
il tempo che il mobile impiega ad arrivare in s > s0 .2 Si ricava che per ogni s > s0 il mobile
passa in s in un tempo finito, in questo caso si parla di moto diretto (o retrogrado se ṡ0 < 0)
2
Si deve osservare che in questo punto b1) e nel seguente b2) in sostanza si assume che il punto mobile raggiunga
una qualunque posizione s > s0 (e minore di s∗ , nel caso b2) ). Questa assunzione è naturale ma dovrebbe essere
dimostrata usando le tecniche di prolungamento delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinrie.
17
aperiodico. La funzione inversa s(t), pur essa monotona, fornisce l’equazione oraria del moto
considerato.
Nel caso b2) si ha, come per il caso b1), la scomposizione (1.28) che fornisce t(s) monotona
crescente definita per ogni s0 < s < s⋆ . Quindi il mobile, se s⋆ è la prima radice di u(s) nel verso
indicato da ṡ0 , va, sempre muovendosi in un medesimo senso, dalla posizione iniziale s0 ad ogni
posizione s < s⋆ in un tempo finito:
∫
s
t(s) =
dξ
√
s0
u(ξ)
+ t0 , s0 ≤ s < s⋆ .
(1.29)
Analizziamo il tempo impiegato per raggiungere s⋆ . Si distinguono due casi:
b21) s⋆ è radice semplice di u(s);
b22) s⋆ è radice multipla di u(s).
Nel caso b21) avremo, per il Teorema di Lagrange, che in un intorno (sinistro) di s⋆ è definita
una funzione ξ(s) ∈ (s, s⋆ ) tale che
u(s) = (s⋆ − s)u′ [ξ(s)]
(1.30)
dove u′ (s) > 0 per s in un intorno di s⋆ poiché u(s) > 0 per ogni s ∈ (s0 , s⋆ ) e s⋆ è radice semplice
di u(s). L’integrale generalizzato
∫
⋆
⋆
s⋆
t = t(s ) =
s0
ds
√
u(s)
∫
+ t0 =
s⋆
s0
√
ds
√
s⋆ − s u′ [ξ(s)]
+ t0
converge poiché u′ [ξ(s)] ̸= 0 in un intorno di s⋆ . La funzione
t(s) : [s0 , s⋆ ] → [t0 , t⋆ ]
è monotona crescente (e continua) e quindi essa è invertibile e la sua inversa
s(t) : [t0 , t⋆ ] → [s0 , s⋆ ]
⋆
è la legge
Per t = t⋆ si ha che s(t⋆ ) = s⋆ e
√ del moto del mobile per t nell’intervallo [t0 , t ].
ṡ(t⋆ ) = u(s⋆ ) = 0 e quindi nell’istante t⋆ il mobile è nelle condizioni di tipo a). Più precisamente,
essendo nelle condizioni di tipo a1) poiché u′ (s⋆ ) < 0, allora il mobile si mette in moto per t > t⋆
di moto retrogrado. In conclusione: nel caso in cui s⋆ è una radice semplice allora per ogni
s ∈ (s0 , s⋆ ) il mobile passa in s in un tempo finito, arriva in s⋆ all’istante finito t⋆ ; in
corrispondenza ad s⋆ il mobile ha velocità nulla e si ha una inversione del moto.
Nel caso b22) avremo, per il Teorema di Lagrange, che in un intorno (sinistro) di s⋆ è definita
una funzione ξ(s) ∈ (s, s⋆ ) tale che
1
u(s) = (s⋆ − s)2 u′′ [ξ(s)]
2
18
e quindi l’integrale generalizzato
∫
s⋆
⋆
t(s ) =
∫
ds
√
u(s)
s0
+ t0 =
s⋆
√
s0
2
ds
+ t0
u′′ [ξ(s)] s⋆ − s
non converge. Quindi, se s⋆ è radice multipla il mobile, pur sempre con moto costantemente progressivo, si avvicina indefinitamente a questa posizione, senza mai raggiungerla (moto a meta asintotica).
Caso di moto periodico
Merita particolare attenzione il caso in cui la posizione iniziale s0 sia compresa fra due radici semplici
s+ > s− consecutive di u(s):
u(s± ) = 0, s0 ∈ (s− , s+ ) e u(s) ̸= 0 ∀s ∈ (s− , s+ ).
In tal caso si dimostra la periodicità del moto e si calcola il periodo come:
∫
s+
ds
√
T =2
.
(1.31)
u(s)
s−
Infatti, una volta arrivato il punto in s+ in un tempo
∫
t+ =
s+
ds
√
+ t0
u(s)
s0
qui si arresta e poi si inverte il moto; quindi il mobile si rimette in moto a partire da s+ nel verso delle
ascisse√decrescenti. Ripetendo l’analisi appena svolta prendendo il segno negativo nella equazione
ṡ = ± u(s) si ottiene che il mobile arriva in s− all’istante
∫
t− =
s−
ds
√
− u(s)
s+
+ t+ .
Infine in s− il mobile inverte nuovamente il moto ed arriva in s0 all’istante
∫
T + t0 =
s0
s−
∫
s0
=
s−
ds
√
u(s)
ds
√
u(s)
∫
+ t− =
∫
+
s−
s+
s0
s−
+
u(s)
ds
√
∫
ds
√
− u(s)
∫
s−
− u(s)
ds
√
+ t0
u(s)
s+
s+
+
s0
ds
√
+ t+
da cui segue l’espressione (1.31)
√ per T . Si osserva che in s0 per t = t0 + T il mobile ha la stessa
velocità iniziale data da ṡ = u(s0 ) e quindi, per il Teorema di unicità della soluzione del problema
di Cauchy, il moto si riproduce con le stesse modalità.
19
1.3.2
Diagramma delle fasi
Ripartiamo dal Teorema di conservazione dell’energia meccanica, più precisamente si ha che la
grandezza meccanica
1 2
mṡ + V (s) = E
2
(1.32)
si conserva durante il moto dove
1
E = mṡ20 + V (s0 )
2
e dove
V (s) = −U (s) = −
∫
f (s)ds
denota l’energia potenziale. Dalla (1.32) segue immediatamente che il moto del punto P su una
curva γ prestabilita avviene nei tratti di γ per i quali vale la condizione V (s) ≤ E; cioé le regioni
{s ∈ R : V (s) > E}
sono interdette al moto del punto P dovendo essere ṡ2 ≥ 0. Osserviamo inoltre che durante il moto
t → s(t) non si può passare tra due regioni distinte per la proprietà di continuità della legge di moto.
I valori s, per i quali V (s) = E, dividono le diverse regioni e sono cruciali per la discussione sul tipo
di moto.
Figure 1.5: Il moto del punto P può avvenire solamente all’interno delle regioni per le quali E ≥ V (s). Nell’esempio
in questione abbiamo associato ad E due moti possibili, uno dei quali è un moto periodico tra s− < s+ .
Definiamo spazio delle fasi l’insieme R2 avente elementi (s, ṡ). Ad ogni punto (s, ṡ) nel piano
delle fasi si associa, in modo univoco, una posizione ed una velocitá del punto materiale sulla traiettoria. Possiamo quindi identificare il moto del punto materiale con la traiettoria del punto (non
materiale) nel piano della fasi.
20
Sia definita ora la funzione nello spazio delle fasi
1
E(s, ṡ) = mṡ2 + V (s).
2
Per il teorema di conservazione dell’energia meccanica ogni traiettoria {(s(t), ṡ(t)) ∈ R2 , t ∈ R} nel
piano delle fasi (s coincide con il parametro lagrangiano) è contenuta in una curva di livello di
equazione
E(s, ṡ) = E
dove E = E(s0 , ṡ0 ) si determina in base alle condizioni iniziali. Lo studio del mobile P su γ viene
effettuato studiando l’andamento del corrispondente punto (immaginario) sulle curve di livello nello
spazio delle fasi. Le curve di livello sono simmetriche rispetto all’asse delle ascisse s ed è importante
individuare gli eventuali punti critici, cioé le coppie (s, ṡ) in cui non è ben definito il vettore tangente
alla curva di livello, cioé tali che
∂E
∂E
=0 e
=0 ⇒
∂s
∂ ṡ
{
dV
V ′ (s) = 0
, V ′ (s) =
= −f (s)
ṡ
= 0
ds
Si nota quindi che tutti i punti critici sono le coppie del piano delle fasi (s, 0) dove s è un punto
di massimo, di minimo o di flesso dell’energia potenziale V ; questi punti si dicono anche punti
stazionari. In corrispondenza a tali punti, poiché ⃗v = 0 e Ft = 0, abbiamo traiettorie stazionarie
per il mobile. Notiamo che al di fuori di questi punti non esistono traiettorie stazionarie poiché
⃗v ̸= 0 o Ft ̸= 0 e quindi la configurazione corrispondente non è di equilibrio.
Nota. Ogni arco di curva di livello, non contenente punti critici, è percorso dalla evoluzione
(s(t), ṡ(t)), t ∈ R. Più precisamente la curva è percorsa da sinistra verso destra nel semipiano
superiore ṡ > 0, nel semipiano inferiore ṡ < 0 è invece percorsa da destra verso sinistra.
Nota. Se, inoltre, la curva è chiusa allora il moto è periodico ed il periodo del moto è
∫
s+
T =2
s−
√
dξ
2
[E
m
− V (ξ)]
dove s± sono tali che V (s± ) = E (osserviamo che i punti (s± , 0) sono l’intersezione tra la curva chiusa
e l’asse delle ascisse).
Nota. Se la curva di livello contiene un punto critico (s̄, 0) con s̄ corrispondente ad un punto di
minimo per il potenziale, allora le traiettorie possibili sulla curva di livello (almeno in un intorno
finito di (s̄, 0)) si riducono alla sola traiettoria stazionaria (s̄, 0).
Nota. Se la curva di livello contiene un punto critico (s̄, 0) con s̄ corrispondente ad un punto
di massimo o di flesso per il potenziale, allora, essendo tale punto critico, esso stesso sarà una
traiettoria stazionaria, ma la curva di livello consterà di più traiettorie: una traiettoria stazionaria e
almeno due asintotiche, cioé tali che
(s± (t), ṡ± (t)) → (s̄, 0) per t → ±∞.
Vediamo ora in dettaglio come si dispongono le traiettorie nell’intorno di un punto critico corrispondente ad un minimo ed a un massimo.
21
Caso I: s̄ è un punto di minimo per il potenziale V
Assumendo che V ′′ (s̄) non sia nulla, avremo che V ′′ (s̄) > 0, allora
1 2
mṡ + V (s̄) +
2
1 2
≈
mṡ + V (s̄) +
2
E(s, ṡ) =
1 ′′
V (s̄)(s − s̄)2 + O((s − s̄)3 )
2
1 ′′
V (s̄)(s − s̄)2
2
(1.33)
dove O((s− s̄)3 ) rappresenta il resto ed è un infinitesimo di ordine superiore al secondo per s− s̄ → 0.
Quindi per E = E(s̄, 0) = V (s̄) l’equazione E = E si riduce a
1 2 1 ′′
mṡ + V (s̄)(s − s̄)2 ≈ 0, V ′′ (s̄) > 0;
2
2
quindi abbiamo {(s̄, 0)} come unica curva di livello. Mentre per E > V (s̄) la (1.33) è, a meno di
infinitesimi d’ordine superiore, l’equazione di un ellisse di centro (s̄, 0):
1 2 1 ′′
mṡ + V (s̄)(s − s̄)2 ≈ E − V (s̄) > 0.
2
2
Abbiamo quindi una traiettoria periodica corrispondente alla curva di livello chiusa approssimata da
un ellisse (Figura 1.6) e il mobile oscilla tra i due valori s± tali che V (s± ) = E, dove V ′ (s− ) < 0 e
V ′ (s+ ) > 0, con periodo
∫
s+ (E)
T (E) = 2
√
s− (E)
dξ
2
[E
m
− V (ξ)]
.
(1.34)
Caso II: s̄ è un punto di massimo per il potenziale V
Assumendo che V ′′ (s̄) non sia nulla, avremo che V ′′ (s̄) < 0, allora
1
1
E(s, ṡ) = mṡ2 + V (s̄) + V ′′ (s̄)(s − s̄)2 + O((s − s̄)3 )
2
2
dove O((s− s̄)3 ) rappresenta il resto ed è un infinitesimo di ordine superiore al secondo per s− s̄ → 0.
Quindi la curva di livello per E = E(s̄, 0) = V (s̄) contiene 4 traiettorie asintotiche a (s̄, 0) oltre che
a quella stazionaria {(s̄, 0)}:
1
E(s, ṡ) = E =⇒ 0 = E2 − V (s̄) ≈ m[ṡ2 − c2 (s − s̄)2 ],
2
dove
c2 =
1 ′′
|V (s̄)|.
m
22
Figure 1.6: Comportamento delle curve di livello in un intorno di un punto di minimo relativo. Per energia E1
minore del minimo relativo V (s̄) dell’energia potenziale non sono ammessi moti (in un intorno del punto di minimo);
per energia E2 coincidente con il minimo relativo dell’energia potenziale è ammesso solamente il moto stazionario
s(t) = s̄; per energia E3 maggiore del minimo relativo dell’energia potenziale si ha un moto periodico tra s− < s+
attorno alla configurazione di equilibrio s̄.
Per E ̸= V (s̄) (e comunque prossima sufficientemente ad V (s̄)) si tratta di rami di iperbole (a meno
di infinitesimi di ordine superiore)
]
1 [ 2
m ṡ − c2 (s − s̄)2 = E − V (s̄) ̸= 0
2
corrispondenti a due traiettorie con inversione del moto se E < V (s̄) e a due traiettorie che superano
il colle se E > V (s̄) (Figura 1.7).
Nel caso di punto di massimo o di flesso ci si può rendere conto della presenza di traiettorie
asintotiche (s(t), ṡ(t)) → (s̄, 0) per t → +∞ o per t → −∞ poiché l’integrale generallizato
t(s̄) − t(s0 ) = ±
∫
s̄
s0
√
dξ
2
[V
m
(s̄) − V (ξ)]
,
che esprime il tempo impiegato dal mobile per andare da s0 a s̄ (supponendo V (s̄) − V (s) > 0,
∀s ∈ [s0 , s̄)), risulterà non convergente a causa dell’ordine infinito dell’integrando (ad esempio: di
ordine almeno 1 per punti di massimo e 3/2 per punti di flesso).
1.3.3
Analisi del moto alla Weierstrass per l’oscillatore armonico
Studiamo il moto di un punto vincolato a scorrere senza attrito su una retta e soggetto ad una forza
elastica. L’equazione del moto è mẍ = −kx, m, k > 0. Dimostriamo, attraverso la formula (1.34)
che il periodo del moto è indipendente da E. Sia
1
V (x) = kx2 + c
2
23
Figure 1.7: Comportamento delle curve di livello in un intorno di un punto di massimo relativo. Per energia E2
coincidente con il massimo relativo dell’energia potenziale sono ammessi, oltre al moto stazionario s(t) = s̄, moti
asintotici; per energie E1 e E3 , rispettivamente, minori e maggiori del massimo relativo dell’energia potenziale si
hanno, rispettivamente, due traiettorie con e senza inversione del moto.
l’energia potenziale della forza attiva. L’equazione per determinare i punti critici V ′ (x) = 0 ha
soluzione x̄ = 0. Scegliendo la costante c tale che V (x̄) = 0 (cioé c = 0) abbiamo il seguente
diagramma delle fasi (Figura 1.8):
- per E = V (x̄) = 0 abbiamo un minimo e quindi l’unica traiettoria è la traiettoria stazionaria
{(0, 0)};
- per E < 0 tutti i valori di x sono non ammessi al moto poiché si avrebbe E − V (x) < 0 per
ogni x ∈ R;
- per E > 0 il moto della particella avviene nella regione (classicamente permessa) x− (E) ≤
x ≤ x+ (E) dove x± (E) sono soluzioni della equazione E = V (x± ):
√
x± = ± 2E/k.
Le traiettorie (s(t), ṡ(t)) nello spazio delle fasi sono ellissi per ogni valore positivo dell’energia;
infatti l’equazione per le curve di livello è esattamente
1
1
E = mṡ2 + ks2 ,
2
2
cioé l’equazione di un ellisse con assi coincidenti con gli assi coordinati e di lunghezza
√
2E/m rispettivamente. Quindi per ogni E > 0 abbiamo un moto periodico di periodo
√
√
∫ x+ (E)
dx
2m ∫ + 2E/k
dx
√
√
=
T (E) = 2
√
2
E − 2E/k
x− (E)
[E − V (x)]
1 − kx2 /2E
m
24
√
2E/k e
Figure 1.8: Comportamento delle curve di livello dell’oscillatore armonico.
√
√
√
m ∫ +1
dx
m
m
+1
√
= 2
=
2
[
arcsin
x]
=
2π
.
−1
k −1
k
k
1 − x2
1.3.4
Esercizi
1) Studiare qualitativamente il moto uni-dimensionale di equazione mẍ = −kx3 , m, k > 0, e
dimostrare che il periodo T (E) del moto è tale che
lim
E→min V (x)+0
T (E) = +∞.
2) Studiare qualitativamente il moto uni-dimensionale di equazione mẍ = −αx − βx2 , per (in
grandezze adimensionali) m = 1, α = 2 e β = 3g, g > 0. Più precisamente, disegnare il
diagramma delle fasi e, per i diversi possibili livelli di energia, discutere quali sono i moti
possibili.
3) Calcolare il periodo del moto di un punto soggetto alla forza peso e vincolato a scorrere, senza
attrito, su un arco di cicloide. La cicloide appartiene al piano verticale Oxz Dimostrare il
perfetto isocronismo.
4) Discutere il problema dei due corpi introducendo il potenziale efficace e impostando la discussione del moto alla Weierstrass.
5) Sia dato un corpo puntiforme P di massa m vincolato a scorrere senza attrito lungo una
circonferenza di centro O e raggio ℓ posta in un piano verticale che ruota attorno all’asse
verticale (O; z) con velocità angolare ⃗ω = θ̇k̂ con θ = θ(t) nota. Sia (O1 ; x1 , y1 , z1 ) il sistema
di riferimento relativo con O ≡ O1 , l’asse (O1 ; z1 ) coincidente con l’asse di rotazione e con il
piano (O1 ; x1 , z1 ) contenente la circonferenza; il sistema è ad un grado di libertà ed assumiamo
come parametro lagrangiano l’angolo formato dal segmento P − O ed il semi-asse verticale
discendente. Si domanda:
25
i) calcolare il potenziale e l’energia cinetica rispetto all’osservatore relativo;
ii) calcolare le configurazioni di equilibrio relativo e studiarne la stabilità;
iii) disegnare il diagramma delle biforcazioni per le configurazioni di equilibrio relativo in
funzione del parametro positivo adimensionale γ = ωg2 ℓ ;
iv) assegnando, ad esempio, γ = 2.3 disegnare il diagramma delle fasi e per i diversi possibili
livelli di energia, discutere quali sono i moti possibili.
1.4
1.4.1
Pendolo semplice
Equazione differenziale del moto
Trascurando il peso dell’asta possiamo assimilare il pendolo semplice ad un punto pesante vincolato
a restare su una circonferenza (Figura 1.9) non orizzontale. Sia α l’angolo formato tra il piano
contenente la circonferenza ed il piano orizzontale e si fissi sul piano inclinato un sistema di riferimento
(O; x, y) dove O coincide con il centro della circonferenza, l’asse x è diretto normale alla verticale e
l’asse y ha la direzione della massima pendenza.
Il sistema è a un grado di libertà e possiamo assumere come parametro lagrangiano l’angolo θ che
l’asta forma con il semiasse delle y negative, orientato verso il basso. L’equazione del moto diventa,
Figure 1.9: Il pendolo semplice.
essendo s = ℓθ e Ft = −mg sin α sin θ,
θ̈ = −
g sin α
sin θ
ℓ
(1.35)
dove ℓ è la lunghezza dell’asta. Questa è una equazione differenziale del II ordine (non lineare) e
non è possibile ottenere in modo semplice una sua soluzione. Si può procedere studiando il moto
delle piccole oscillazioni linearizzando l’equazione (1.35) oppure effettuando l’analisi del moto alla
Weierstrass.
26
1.4.2
Piccole oscillazioni del pendolo semplice
Considerando il moto del pendolo semplice in un intorno della configurazione θ = 0 possiamo, in
prima approssimazione, assumere sin θ ≈ θ. Con questa approssimazione (linearizzazione attorno
ad una configurazione di equilibrio stabile) l’equazione (1.35) prende la forma lineare
θ̈ = −
g sin α
θ
ℓ
(1.36)
√
α
e dove A e φ dpendono dalle
che ammette soluzione geneale θ(t) = A cos(ωt + φ) dove ω = g sin
ℓ
condizioni iniziali. Nel limte di piccole oscillazioni si ottiene quindi un moto periodico con periodo
T = 2π/ω indipendente dall’ampiezza delle oscillazioni (isocronismo approssimato del pendolo
semplice).
1.4.3
Analisi del moto alla Weierstrass per il pendolo semplice
L’integrale delle forze vive assume la forma T +V = E dove T = 12 mℓ2 θ̇2 e V (θ) = −mgℓ sin α cos θ+c,
scegliamo c = mgℓ sin α in modo che sia V (0) = 0. Da ciò segue che:
1 2 2
mℓ θ̇ − mgℓ sin α(cos θ − 1) = E
2
ovvero
θ̇2 =
2g sin α
(cos θ + e),
ℓ
(1.37)
dove la costante e = E/(mgℓ sin α) − 1 viene determinata in base alle condizioni iniziali. In base ai
valori di e abbiamo i diversi moti possibili (Figura 1.10).
Figure 1.10: Diagramma delle fasi per il pendolo semplice.
27
Moti rotatori o rivolutivi
Per E > 2mgℓ sin α, ovvero e > 1, sarà sempre θ̇ ̸= 0. Quindi il punto passa infinite volte per
ciascun punto della circonferenza con velocità angolare mai nulla. Si tratta di un moto rivolutivo.
Essendo la posizione del pendolo definita da θ modulo 2π, risulta però essere un moto periodico.
Stati di equilibrio
Per E = 2mgℓ sin α (rispettivamente E = 0), ovvero e = 1 (risp. e = −1) il secondo membro
della (1.37) ammette l’unica radice doppia θ = 0 (per e = −1) o θ = π (per e = +1). Quindi il
punto P , abbandonato senza velocità iniziale (θ̇0 = 0) sia nella posizione più bassa sia nella posizione
diametralmente opposta vi permane indefinitamente. Si noti che il valore e = −1 è compatibile
soltanto con l’equilibrio (stabile) nella posizione più bassa. Invece per e = +1 il moto può avvenire
a partire dalla posizione iniziale P0 , sempre nello stesso senso della velocità iniziale, verso il punto
corrispondente a θ = π, meta asintotica cui il mobile tende al crescere indefinito del tempo.
Moti oscillatori
Passiamo ad esaminare il caso in cui si ha 0 < E < 2mgℓ sin α, ovvero −1 < e < 1. L’espressione a
destra della (1.37) ammette le due radici semplici θ+ = arccos(−e) e θ− = −θ+ . Perciò il pendolo
oscilla periodicamente fra le posizioni estreme P0 e P0′ di anomalia, rispettivamente, θ+ e −θ+ con
periodo dato da
√
2ℓ ∫ θ+
dθ
√
T =2
.
g sin α 0
cos θ − cos θ+
Per calcolare il periodo T si sostituisce sin(θ/2) = u sin(θ+ /2) e ponendo k = sin(θ+ /2) < 1 si avrà
√
ℓ ∫1
du
√
T =4
g sin α 0
(1 − u2 )(1 − k 2 u2 )
si riduce quindi ad un integrale ellittico di prima specie che si risolve sviluppando in serie
di Taylor il termine (1 − k 2 u2 )−1/2 essendo k 2 u2 < 1 su tutto l’intervallo di integrazione. Più
precisamente si osservi che
(1 − k 2 u2 )−1/2 =
∞
∑
cn (ku)2n
n=0
dove
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
.
2 · 4 · 6 · · · 2n
Sostituendo questa espressione all’interno dell’integrale e integrando per serie si ottiene:
c0 = 1, cn =
√
T = 4
∫ 1
∞
ℓ ∑
u2n du
√
cn k 2n
g sin α n=0
0
(1 − u2 )
√
√
∞
∞
ℓ ∑
ℓ ∑
θ+
c2n k 2n = 2π
c2n sin2n
= 2π
g sin α n=0
g sin α n=0
2
28
(1.38)
essendo
∫
1
0
u2n du
π
= cn .
2
(1 − u2 )
√
(1.39)
Se l’anomalia θ+ è piuttosto piccola allora possiamo ottenere con buona approssimazione
√
(
)
ℓ
1
θ+
4
T = 2π
1 + sin2
+ O(θ+
) .
g sin α
4
2
Cioé il termine principale dello sviluppo asintotico è dato dal periodo dell’oscillatore armonico ottenuto linearizzando la (1.35) attorno alla configurazione di equilibrio stabile θ = 0. Da questo
risultato appare chiaro che, in generale, il periodo del pendolo semplice dipende dall’ampiezza delle
oscillazioni; solamente nel limite di piccole oscillazioni possiamo sostenere la legge (approssimata)
dell’isocronismo del pendolo semplice: il periodo di oscillazione è indipendente dall’ampiezza
di oscillazione.
1.4.4
Esercizi
1) Dimostrare le formule (1.38) e (1.39).
1.5
1.5.1
Moto di un punto soggetto ad una forza centrale
Integrali primi del moto
Designamo con integrale primo ogni equazione della forma
g(x, y, z, ẋ, ẏ, ż; t) = costante arbitraria
(1.40)
la quale sia conseguenza necessaria della (1.1), cioé risulti identicamente verificata (per un opportuno valore della costante) da ogni terna di funzioni x(t), y(t), z(t) soddisfacenti alle (1.1).
Esempi di integrali primi.
a) Consideriamo il caso di una forza, applicata ad un punto materiale P libero, costantemente
perpendicolare ad una retta fissa. Assumendo l’asse z quale retta si ha Fz = 0, da ciò
mz̈ = 0 e quindi mż = c1 detto integrale della quantità di moto rispetto all’asse z.
b) Consideriamo il caso di una forza, applicata ad un punto materiale P libero, costantemente
incidente ad una retta fissa. Quindi il vettore F⃗ , pensato applicato nel punto, ha momento nullo rispetto alla retta fissa. In particolare, assumendo z quale retta (avente direzione
individuata dal versore k̂), si avrà
m⃗a × (O − P ) · k̂ = m(xÿ − yẍ) = 0,
29
(1.41)
da cui
m(xẏ − y ẋ) = cost.
Questo integrale primo prende il nome di integrale delle aree o del momento della quantità di moto. In particolare se la forza F⃗ è centrale di centro O (una forza centrale è una
forza sempre diretta verso un punto fisso detto centro), sarà
⃗v × (O − P ) = ⃗c = cost.
(1.42)
c) Consideriamo il caso in cui la forza F⃗ applicata al punto libero P è conservativa; allora le
equazioni (1.1) ammettono l’integrale (primo) delle forze vive
T − U = E,
dove E è l’energia totale costante.
1.5.2
Forza centrale
Consideriamo il moto di un punto P , libero di muoversi nello spazio tridimensionale R3 , soggetto
unicamente ad una forza centrale (P, F⃗ ). Ricordiamo che una forza (P, F⃗ ) si dice centrale se il
vettore F⃗ della forza è sempre diretto verso un punto fisso, detto centro della forza, e se inoltre
l’intensità della forza dipende solo dalla distanza del punto P dal centro. Quindi, denotando con O
il centro della forza, segue che ogni forza centrale si può scrivere come
(P − O)
F⃗ = f (r)
, r = |P − O|
|P − O|
(1.43)
dove f : R+ → R è una funzione assegnata.
Nel caso di un punto libero P soggetto ad una forza centrale, di centro O, sussiste l’integrale
primo vettoriale (1.42). Quindi il moto avviene in un certo piano passante per il centro O della
forza e ortogonale al vettore ⃗c definito nella (1.42), identificato mediante le condizioni iniziali ⃗v0 e P0
(è possibile il caso particolare in cui ⃗v0 è parallelo a P0 − O, in tale caso ⃗c = 0 ed il moto avviene su
una retta). Scegliendo il sistema di riferimento con centro in O in modo opportuno identifichiamo
tale piano con il piano z = 0 e la (1.42) si riduce alla
xẏ − y ẋ = c e z ≡ 0
(1.44)
fornendo una effettiva relazione fra le due coordinate incognite di P e le loro derivate.
Inoltre ogni forza
centrale (1.43) è conservativa definendo, a meno di una costante additiva, il
∫
potenziale U (r) = rr0 f (r′ )dr′ e da ciò segue l’integrale primo delle forze vive
1 2
mv − U (r) = E.
2
(1.45)
Come vedremo in seguito dalle (1.44) e (1.45) segue l’integrabilità per quadrature del problema
(ridotto al piano xy).
30
Nota. Osserviamo che è stato possibile derivare le (1.44) e (1.45) dalle leggi di Newton; viceversa,
escludendo il caso di traiettorie circolari, dalle (1.44) e (1.45) seguono le equazioni differenziali del
moto. Infatti dall’integrale primo delle aree derivato si ottiene che deve essere
xÿ − ẍy = 0
mentre dall’integrale primo dell’energia meccanica derivato si ottiene che deve essere
ẋẍ + ẏ ÿ = u(x, y, ẋ, ẏ)
per una qualche funzione u. Queste due equazioni si possono risolvere rispetto a ẍ e ÿ (cosı̀ da
pervenire alle equazioni newtoniane del moto), purché non sia identicamente nullo il determinante
dei coefficienti di ẍ e ÿ nelle due equazioni. Questo determinante è dato da
−xẋ − y ẏ = −
1 dr2
2 dt
che risulta diverso da zero ad esclusione del caso r = cost. che corrisponde appunto alle eventuali
traiettorie circolari. Da ciò si desume che, quando di un punto soggetto ad una forza centrale si
vogliono studiare le eventuali orbite circolari, non basta tener conto degli integrali primi delle
aree e della energia cinetica, ma bisogna riprendere le originarie equazioni del moto.
Nota. Disponendo della costante additiva possiamo, se U (r) tende ad un limite finito per r → ∞,
assumere tale valore 0. Se l’energia totale è negativa, allora dalla (1.45), sarà U (r) ≥ −E > 0
durante il moto; quindi U non si annulla mai ed r deve ammettere un limite superiore finito. Cioé:
se il potenziale U (r) di una forza centrale si mantiene regolare all’infinito (annullandosi
all’infinito) e l’energia totale del mobile è negativa, l’orbita si svolge tutta a distanza
finita.
1.5.3
Integrazione delle equazioni del moto
Passiamo ora alla integrazione del sistema (1.44), (1.45) riferendolo a coordinate polari r e θ, aventi
il polo in O e l’asse polare secondo l’asse orientato delle x. Queste diventano:
{
r2 θ̇ = c
.
1
m(ṙ2 + r2 θ̇2 ) = U (r) + E
2
Si distinguono due casi:
a) c = 0;
b) c ̸= 0.
Il caso a) corrispondente a c = 0 (costante delle aree nulla) darà luogo a due possibilità:
a1) r ≡ 0 stato di quiete nel punto O;
31
(1.46)
a2) θ̇ ≡ 0 moto rettilineo (lungo la retta avente inclinazione θ0 = θ(0)) e la determinazione di r(t)
si ridurrà allo studio dell’equazione uni-dimensionale delle forze vive, che assume la forma
ṙ2 =
2
[U (r) + E] .
m
Nel caso b) corrispondente a c ̸= 0 si ha che θ̇ mantiene sempre lo stesso segno, che potremo
supporre (senza perdere in generalità) positivo; quindi θ(t) cresce con t. Da ciò potremo procurarci
l’equazione differenziale della traiettoria eliminando dalle (1.46) il tempo e assumendo come
variabile indipendente, in luogo di t, l’anomalia θ, il che è lecito, in quanto θ è funzione
monotona (crescente) di t. Integrando poi l’equazione differenziale cosı̀ ottenuta, si determina
la traiettoria r = r(θ), allora la legge temporale del moto verrà infine completamente determinata
risolvendo l’equazione differenziale del primo ordine θ̇ = cr−2 dove r = r(θ).
Per dedurre dalle (1.46) l’equazione differenziale che caratterizza l’incognita r = r(θ) dell’orbita
si elimina θ̇ per mezzo dell’equazione delle aree, dove
ṙ = θ̇
dr
d(1/r)
d(1/r)
= −θ̇r2
= −c
,
dθ
dθ
dθ
ottenendo l’equazione differenziale del I ◦ ordine
(
mc2  d 1r
2
dθ
)2

1
+ 2  = U (r) + E.
r
(1.47)
Eseguendo il cambiamento di variabile u = r−1 e ponendo
[
( )
]
1
2
Φ(u) =
U
+ E − u2 ,
2
mc
u
(1.48)
la (1.47) assume la forma
(
du
dθ
)2
= Φ(u).
(1.49)
Essa è quindi integrabile con una sola quadratura. Pertanto il problema del moto di un punto
libero, sollecitato da una forza centrale, è sempre integrabile con due quadrature.
In particolare, nel caso più interessante in cui il valore iniziale u0 = r0−1 , r0 = r(0), sia compreso
(estremi inclusi) fra due radici semplici u1 < u2 della Φ(u), fra le quali Φ(u) si mantenga regolare e
positiva, la funzione u(θ), al crescere di θ, andrà indefinitamente oscillando, in modo periodico, fra i
valori estremi u1 , u2 e ad ogni passaggio θ si accrescerà di
∫
u2
Θ=
u1
√
du
.
(1.50)
Φ(u)
L’orbita si svolge quindi tutta nella corona circolare, compresa fra le due circonferenze concentriche in
O, di raggi r2 = 1/u2 e r1 = 1/u1 e tocca, alternativamente, l’una o l’altra. Questi punti di contatto
32
Figure 1.11: Nel caso in cui l’angolo apsidale è commensurabile con 2π allora l’orbita è chiusa (grafico a sinistra).
Nel caso opposto, in cui l’angolo absidale è non commensurabile con 2π, allora l’orbita riempie densamente una regione
dello spazio (grafico a destra); cioé ogni introno di ogni punto della corona circolare viene, prima o poi, visitato dalla
traiettoria.
si dicono apsidi e l’angolo Θ che li separa si dice angolo apsidale. Quando Θ è commensurabile
con 2π, l’orbita è chiusa (Figura 1.11 a sinistra), mentre, nel caso opposto, si avvolge infinite volte
intorno al centro riempiendo densamente la corona circolare (Figura 1.11 a destra).
Nel caso particolare, in cui il valore iniziale u0 di u sia radice multipla della Φ(u), la u conserva,
comunque varii θ, il valore u0 e si ha il caso semplice di un’orbita circolare di raggio r0 = 1/u0 , la
quale, in virtù della legge delle aree, risulta percorsa con velocità angolare costante c/r02 , e quindi di
moto circolare uniforme.
1.5.4
Stabilità delle orbite circolari
Scrivendo che l’accelerazione (radiale) per un moto centrale deve essere uguale alla analoga corrispondente della forza, cioé a f (r), e applicando la formula del Binet otteniamo l’equazione del II ◦
ordine
mc2
− 2
r
(
d2 1r
1
+
2
dθ
r
)
= f (r).
(1.51)
La (1.51), mediante il cambio di variabili u = 1/r, diventa
( )
1
d2 u
1
= Ψ(u), dove Ψ(u) = −
f
−u
2
2
2
dθ
mu c
u
(1.52)
Perché esista un’orbita circolare soddisfacente a questa equazione, la quale sia un cerchio di raggio r0 ,
occorre e basta che la (1.52) sia soddisfatta dalla soluzione costante u0 = r0−1 , cioé si abbia Ψ(u0 ) = 0.
Ammessa l’esistenza di una tal radice u0 di Ψ(u) allora questa orbita sarà stabile se Ψ′ (u0 ) < 0 e
instabile se Ψ′ (u0 ) ≥ 0. Infatti, consideriamo una orbita prossima all’orbita circolare:
u(θ) = u0 + ϵ(θ),
con ϵ(θ) funzione incognita che possiamo assumere infinitesima. Essendo
Ψ(u) = Ψ(u0 ) + ϵΨ′ (u0 ) + O(ϵ2 ) = ϵΨ′ (u0 ) + O(ϵ2 )
33
(1.53)
allora l’equazione linearizzata a partire dalla (1.52) ha forma
d2 ϵ
= ϵΨ′ (u0 )
dθ2
che ha soluzione del tipo ϵ = p cos(ωθ + q) dove abbiamo posto ω 2 = −Ψ′ (u0 ) assumendo Ψ′ (u0 ) < 0.
Osserviamo infine che in tale caso l’orbita (1.53) ha una angolo absidale dato da
Θ=
π
π
.
=√
ω
−Ψ′ (u0 )
(1.54)
Esempio
Se f (r) = kr−ν , k < 0, allora le orbite circolari sono stabili se, e solo se, ν < 3. La verifica è
immediata: la funzione Ψ(u) prende la forma Ψ(u) = k ′ uν−2 − u dove k ′ è una costante positiva.
L’equazione Ψ(u) = 0 ha almeno una soluzione per ν ̸= 3, infatti:
a) se ν > 3 allora limu→0+ Ψ(u) = 0− e limu→+∞ Ψ(u) = +∞;
b) se ν < 3 allora limu→0+ Ψ(u) = 0+ e limu→+∞ Ψ(u) = −∞.
Abbiamo poi che Ψ′ (u) = k ′ (ν − 2)uν−3 − 1 e quindi Ψ′ (u0 ) = ν − 3 da cui segue la tesi.
1.5.5
Appendice: composizione di moti periodici
Consideriamo nel piano (O; x, y) la composizione di due moti periodici di periodo T1 e T2 . Possiamo
ricondurci, senza perdere in generalità, al caso del moto di un punto P nel piano (O; x, y) avente
leggi di moto:
x(t) = cos(ω1 t), y(t) = cos(ω2 t)
dove abbiamo posto ωj =
2π
.
Tj
Vale il seguente risultato:
Teorema. Il moto del punto P è:
i) periodico se, e solo se, T1 e T2 sono commensurabili, cioé esistono m, n ∈ N primi tra loro tali
; il periodo T del moto vale
che TT12 = m
n
T = nT1 = mT2 ;
ii) aperiodico se, e solo se, T1 e T2 sono incommensurabili e, in tal caso, la traiettoria di P ricopre
densamente il quadrato Q = [−1, +1] × [−1, +1]; cioé per ogni P0 = (x0 , y0 ) ∈ Q e per ogni
ϵ > 0 esiste t ∈ R+ tale che |P (t) − P0 | ≤ ϵ.
34
Dimostrazione: Dimostriamo la prima parte dove, inizialmente, supponiamo P (t) periodico di
periodo T . Dovrà essere
x(t + T ) = cos(ω1 t + ω1 T ) = cos(ω1 t) = x(t)
e
y(t + T ) = cos(ω2 t + ω2 T ) = cos(ω2 t) = y(t)
per ogni t. Pertanto deve essere ω1 T = 2nπ e ω2 T = 2mπ per un qualche n, m ∈ N. Vale
immeditamente anche il viceversa. Da ciò segue la prima proposizione. Per ciò che riguarda la
seconda proposizione da quanto detto prima segue che il moto è aperiodico se, e solo se, T1 e T2
sono incommensurabili. Per dimostrare che la traiettoria di P riempe densamente il quadrato Q
consideriamo le funzioni
θ(t) = ω1 t e ϕ(t) = ω2 t
definite modulo 2π, ovvero sul toro bidimensionale. Fissato P0 in Q esso corrisponde a due angoli
θ0 e ϕ0 andiamo ora a determinare in quale istante t il punto P , individuato dalle due funzioni θ(t) e
ϕ(t), ha θ(t) coincidente con il valore iniziale θ0 . Se in tale istante anche ϕ(t) coincide con ϕ0 allora
P (t) coincide con P0 . Se invece ϕ è diversa da ϕ0 ma sufficientemente vicino allora P (t) è prossimo
a P0 . L’equazione
θ(t) = θ0 (mod2π)
ha infinite soluzioni
tn =
θ0
1
+ nT1 = (θ0 + 2nπ).
ω1
ω1
Consideriamo ora la dinamica discreta sul toro unidimensionale (che, ricordiamo, è un insieme compatto) rappresentata dalla successione di punti
[
]
ω2
ω2
ϕn = ϕ(tn )(mod2π) =
θ0 + 2nπ
(mod2π).
ω1
ω1
Questi punti sono tutti distinti tra loro poiché le due frequenze sono incommensurabili. Poiché il
toro unidimensionale T 1 è un insieme compatto, esisterà almeno un punto di accumulazione ϕ̄ per
tale successione e quindi possiamo estrarre da ϕn una sottosuccessione di Cauchy . Quindi, per ogni
ϵ > 0 esistono n1 e n2 (n2 > n1 ) tali che
0 < |ϕn2 −n1 | = |ϕn2 − ϕn1 | = d ≤ ϵ.
Cioé il punto ϕn2 −n1 sul toro uni-dimensionale ha distanza minore di ϵ dall’origine del toro (posta in
corrispondenza di ϕ = 0). Abbiamo cioé[ effettuato
una rotazione sul toro T 1 di apertura angolare
]
d < ϵ. Ripetendo questa rotazione n̄ = ϕd0 volte allora il punto ϕn̄(n2 −n1 ) disterà da ϕ0 a meno di
d < ϵ e da ciò la tesi.
35
1.5.6
Esempio di forza centrale attrattiva direttamente proporzionale
alla distanza
In questo caso f (r) = −kr dove k > 0 è una costante positiva assegnata. L’orbita è un ellisse avente
il centro coincidente con il centro O di forza (o, caso degenere, il moto avviene su due rette passanti
per l’origine). La verifica è immediata. Basta risolvere il sistema di equazioni differenziali
ẍ = −ω 2 x, ÿ = −ω 2 y, ω 2 =
k
,
m
che ammette soluzione generale
x(t) = A cos(ωt + α) e y(t) = B cos(ωt + β)
dove A, B, α e β sono costanti da determinarsi a partire dalle condizioni iniziali.
In questo caso si osserva anche che l’angolo apsidale vale
∫
u2
Θ =
√
u1
udu
2E 2
u
mc2
−
k2
mc2
− u4
=
dρ
1 ∫ ρ2
√
=
2 ρ1
−(ρ − ρ1 )(ρ − ρ2 )
1
2
∫
ρ2
ρ1
√
dρ
2E
ρ
mc2
−
k2
mc2
− ρ2
dove ρ1,2 sono le radici del radicando date da

ρ1,2
mc2  2E
=
±
2k 2 mc2
√

4E 2
4k 2 
−
.
m2 c4 mc2
2
si ottiene
Facendo il cambio di variabili z = 1 + 2 ρρ−ρ
2 −ρ1
1
Θ =
2
∫
1
−1
√
dρ
1
π
= [arcsin(z)]+1
.
−1 =
2
2
2
1−z
Quindi l’angolo apsidale è commensurabile con 2π ed il moto è periodico. Questo risultato era
evidente sapendo che il moto avviene su ellissi e sull’ellisse si passa dal punto corrispondente al semiasse maggiore a quello corrispondente sul semi-asse minore dopo un incremento di π/2 dell’anomalia
(Figura 1.12).
1.5.7
Analisi del moto alla Weierstrass per il problema di Keplero
In questo caso la forza ha intensità che dipende inversamente dal quadrato della distanza del punto
P dal centro: f (r) = − rk2 dove k > 0 è una opportuna costante positiva.
36
Figure 1.12: Nel caso forza centrale attrattiva direttamente proporzionale alla distanza allora l’orbita è sempre un
ellisse (tranne il caso degenere in cui si riduce ad un segmento rettilineo) e l’angolo absidale vale sempre 12 π.
Potenziale efficace
La legge di conservazione dell’energia meccanica può essere riscritta come
ṙ2 =
2
[E − Vef f (r)]
m
dove Vef f (r) =
mc2 mk
−
2r2
r
prende il nome di energia potenziale efficace. Si verifica immediatamente che il potenziale efficace
è tale che
lim Vef f (r) = +∞,
r→0+
lim Vef f (r) = 0−
r→+∞
2 2
ed ha minimo in rmin = c2 /k di valore V (rmin ) = − m2ck2 . Dal grafico del potenziale efficace (Figura
1.13) appare che quando E < 0 il moto del punto avviene con r(t) che oscilla periodicamente tra due
valori r− < r+ finiti e non nulli (detti rispettivamente perelio e afelio) tali che Vef f (r± ) = E.
Orbite circolari
Il caso in cui una orbita è circolare (r = cost.) si esaurisce con considerazioni dirette ed elementari.
In tal caso la legge delle aree implica la costanza della velocità orbitale (θ̇ = costante), cosicché
si tratta di un moto uniforme. In particolare si hanno orbite circolari per E corrispondente al
2 2
minimo del potenziale efficace: E = V (rmin ) = − m2ck2 .
Orbite degeneri
Consideriamo come caso particolare quello in cui si annulla la costante c delle aree: c = 0. Escluso
il caso r ≡ 0 si ha θ̇ = 0 e quindi il moto ha luogo lungo una retta passante per il centro di forza S.
37
V(r)
0
E
0
r-
r+
r
Figure 1.13: Grafico del potenziale efficace Vef f . Nel caso in cui l’energia E è negativa allora il moto avviene
all’interno della corona circolare di raggio r± .
La legge temporale, secondo cui varia r su tale retta è definita dall’integrale delle forze vive, che qui
si riduce a:
1 2 mk
mṙ =
+ E.
2
r
(1.55)
Distinguiamo due casi:
a) E < 0, il moto si svolge tutto a distanza finita r ≤ −k/Em cadendo, con al più una inversione
del moto, nel centro di forza S.
b) E ≥ 0, in questa ipotesi il secondo membro della (1.55), per r > 0, non si annulla mai e si
mantiene sempre positivo, quindi il moto non può presentare inversioni di senso. Se la velocità
iniziale è diretta verso il centro (ṙ0 < 0) il mobile, dopo un tempo finito, andrà a cadere nel
centro di forza con la sua velocità intensiva cresce oltre ogni limite (come nel caso a)). Se
invece ṙ0 > 0 il mobile, sulla sua traiettoria rettilinea, si allontana indefinitamente dal centro.
Orbite generali
Supponiamo ora c ̸= 0 e ricaviamo dalla seconda delle (??) (integrale delle aree) che la θ è funzione
monotona, e quindi univocamente invertibile, del tempo, e quindi si può assumere come variabile
indipendente. Si perviene cosı̀ all’equazione differenziale
(
d 1r
dθ
)2
=
2k 1
1
2E
+
−
,
mc2
c2 r r2
che caratterizza l’equazione polare r = r(θ) dell’equazione generale del moto essendo
ṙ =
dr
dr c
d1/r
θ̇ =
= −c
.
2
dθ
dθ r
dθ
38
(1.56)
Qui è particolarmente comodo porre u =
che la (1.56) assume la forma
(
du
dθ
1
r
−
)2
=
k
c2
(anziché r = 1/u come nella teoria generale), con
2E
k2
+
− u2 ,
2
4
mc
c
(1.57)
2
k
2E
ma la costante mc
2 + c4 , per la (1.57) stessa, è somma di due quadrati e quindi risulta necessariamente
positiva, salvo quando si annulla identicamente la u, il che si ha solamente nel caso di orbite circolari
(caso già discusso).
2E
k2
Ponendo q 2 = mc
2 + c4 , con q > 0, si ottiene l’equazione differenziale dell’orbita sotto la forma
definitiva
(
du
dθ
)2
= q 2 − u2 .
Il suo integrale generale, come si verifica immediatamente per separazione di variabili, è dato da
u = q cos(θ − θ0 ) dove θ0 è la costante di integrazione; quindi, sostituendo a u la sua espressione
otteniamo per l’orbita l’equazione polare
1
k
= 2 + q cos(θ − θ0 ) ossia r =
r
c
1+
c2
k
c2 q
k
cos(θ − θ0 )
.
(1.58)
Si osservi che ora è possibile determinare con una quadratura la legge oraria θ(t) soluzione della
equazione di fferenziale del primo ordine
c
c
θ̇ = 2 = 2 (1 + e cos θ)2 .
r
p
L’equazione (1.58) è l’equazione polare di una conica avente un fuoco nel centro di
2
forza, l’asse inclinato di θ0 sull’asse polare, il parametro p = ck e l’eccentricità
c2 q
e=
=
k
√
1+
2Ec2
.
mk 2
(1.59)
Pertanto: nel moto di un punto soggetto ad una forza centrale, inversamente proporzionale al quadrato della distanza, (esclusi i casi di moto rettilineo caratterizzati dall’annullarsi
della costante delle aree), l’orbita è sempre una conica; e fra le costanti meccaniche di integrazione E e c (energia totale e doppio della velocità areolare) e gli elementi geometrici
caratteristici dell’orbita e e p (eccentricità e parametro) intercedono le relazioni sopra descritte. Per dimostrare che è una conica passiamo dalle coordinate polari a quelle cartesiane. Dalla
relazione (possiamo assumere θ0 = 0 con una opportuna scelta degli assi coordinati)
{
p
x = r cos θ
, r=
y = r sin θ
1 + e cos θ
si ottiene
cos θ =
x
y
, sin θ =
p − ex
p − ex
39
e quindi, usando la relazione cos2 θ + sin2 θ = 1, si ottiene
y 2 + (1 − e2 )x2 + 2pex = p2
che risulta essere l’equazione di una conica dipendente dal parametro e. Se ci restringiamo al caso
e < 1 allora è un ellisse che può essere scritto nella forma
(
y 2 + (1 − e2 ) x +
pe
1 − e2
)2
=
p2
1 − e2
ovvero
(x − x0 )2 y 2
pe
+ 2 = 1, x0 = −
2
a
b
1 − e2
(1.60)
con
a2 =
p2
p2
2
,
b
=
(1 − e2 )2
(1 − e2 )
La (1.59) mette in luce il risultato fondamentale che la specie della conica descritta dal mobile
dipende esclusivamente dal segno della energia totale E. In particolare, essendo c ̸= 0, risulta, per
la (1.59), e < 1 o e = 1 o e > 1 secondo che E < 0 o E = 0 o E > 0. In altre parole l’orbita è
ellittica, parabolica o iperbolica secondo che l’energia totale è negativa, nulla o positiva.
Si noti che questo criterio risulta applicabile anche nel caso c = 0 inteso come criterio limite c → 0.
Noi siamo arrivati alla determinazione della traiettoria (1.58) risolvendo una equazione differenziale del primo ordine data dall’integrale primo dell’energia (facendo anche uso dell’integrale primo
delle aree); è possibile determinare la traiettoria risolvendo una equazione differenziale del secondo
ordine che deriva dalla equazione di Newton dove facciamo uso delle formule di Binet.
Caso Kepleriano
Fissiamoci sul moto ellittico proprio, caratterizzato da E < 0 e c ̸= 0 per cui e < 1. È facile
riconoscere che, in questo caso, il moto del punto attratto dal centro P0 è un moto Kepleriano,
cioé un moto soddisfacente alle prime due leggi di Keplero. Infatti: il moto è centrale rispetto ad
0, essendo tale la forza; l’orbita è un ellisse avente un fuoco in 0; ed infine sussiste la legge delle
aree. Che la conica sia un ellisse segue dalle (1.60) che danno 0 < b < a. Per verificare che P0
sia in √
uno dei fuochi ricordiamo che per un ellisse
(1.60) allora i fuochi sono posti in
√ di equazione
pe
pe
2
2
2
2
(x0 ± a − b , 0) e nel nostro caso si ha x0 + a − b = − 1−e2 + 1−e
2 = 0 e quindi 0 coincide con
uno dei due fuochi.
√
3
Infine, si tratta di un moto periodico di periodo T , dove T = 2π ak . Infatti, il periodo, per
la legge di conservazione del momento angolare di modulo K = mc (ovvero per la costanza della
velocità areolare), si ha che 2mA = T K dove A = πab è l’area dell’ellisse e dove è noto che
√
p
a
p
√
= pa = c
e b= √
a=
2
2
1−e
k
1−e
e quindi
T =
2mπca3/2
a3/2
2mπab
=
=
2π
.
K
k 1/2 K
k 1/2
40
1.5.8
Orbite chiuse e condizione sul potenziale
Da quanto mostrato segue che anche nel caso di potenziale Newtoniano tutte le orbite (limitate) sono
chiuse. Questa proprietà osservata per il potenziale elastico e per il potenziale Newtoniano non è
verifica da altri tipi di forze centrali. Più precisamente è possibile dimostrare che:
Teorema. In un campo centrale tutte le orbite limitate sono chiuse se, e solo se, l’energia
potenziale V (r) ha una delle seguenti forme
V (r) = kr2 o V (r) = −
k
r
con k costante positiva.
1.6
1.6.1
Moto di un punto su una superficie prestabilita
Considerazioni preliminari.
Consideriamo il moto di un punto materiale P che, sotto la sollecitazione di forze attive di risultante
F⃗ , sia costretto a muoversi su di una superficie σ priva di attrito avente equazione
f (x, y, z; t) = 0.
(1.61)
⃗
m⃗a = F⃗ + Φ
(1.62)
L’equazione del moto è data da
⃗ è la reazione vincolare esercitata dalla superficie al punto.
dove Φ
Si osserva che se la superficie è fissa e priva di attrito allora vale il teorema delle forze
vive: dT = dL dove dL è il lavoro infinitesimo compiuto dalle sole forze attive (in caso di attrito si
dovrebbe tenere conto anche del lavoro infinitesimo compiuto dalle reazioni vincolari). Inoltre, se la
forza sollecitante è conservativa ed U è il suo potenziale, segue che dT = dU e, per integrazione:
1 2
mv − U = E;
2
cioé l’energia totale del mobile rimane costante durante il moto, ovvero essa è un integrale
primo del moto. In particolare, denotando con v0 e U0 i valori delle velocità e del potenziale in una
generica posizione P0 , l’equazione precedente dà:
)
1 ( 2
m v − v02 = U − U0 .
2
(1.63)
Nota. Dalla (1.63) segue che se si fanno partire due punti materiali dotati di egual massa da
una stessa posizione P0 con la medesima velocità e sotto l’azione di una stessa forza conservativa,
anche se uno si suppone libero e l’altro vincolato ad una superficie priva di attrito, essi giungono
in punti, nei quali il potenziale ha lo stesso valore, con la medesima velocità.
41
Nella ipotesi che σ sia priva di attrito (sia poi σ indipendente o no dal tempo) allora la reazione
⃗
Φ = ΦN̂, incognita, sarà ortogonale alla superficie, pertanto avrà componenti
Φ
⃗ = λ ∂f ı̂ + λ ∂f ȷ̂ + λ ∂f k̂, λ =
Φ
∈R
∂x
∂y
∂z
|grad f |
dove λ designa un fattore di proporzionalità a priori incognito. Proiettando la (1.62) sugli assi si
ottengono le tre equazioni

∂f

 mẍ = Fx + λ ∂x


mÿ = Fy + λ ∂f
∂y
mz̈ = Fz + λ ∂f
∂z
F⃗ = Fx ı̂ + Fy ȷ̂ + Fz k̂
(1.64)
che insieme alla (1.61) formano un sistema di quattro equazioni nelle quattro incognite x, y, z (fondamentali) e λ (ausiliaria).
Moto spontaneo e geodetiche
Se si suppone che le forze attive siano nulle, cioé il moto di P avviene su σ per effetto della
velocità iniziale v0 , ed in assenza di attrito allora la traiettoria del punto è una geodetica,
descritta con velocità costante. Infatti dalla (1.63) segue che v è costante e quindi s̈ = 0; da ciò
segue che l’accelerazione ha solo componente normale: ⃗a∥n̂. D’altra parte la (1.62) impone che sia
⃗a∥N̂, essendo F⃗ = 0, e quindi deve essere n̂ = N̂ (o n̂ = −N̂) che è la proprietà caratteristica delle
geodetiche sulle superfici immerse in R3 .
1.6.2
Moto di un punto pesante sopra una superficie di rotazione ad
asse verticale e priva di attrito.
Sia data una superficie di rotazione ad asse verticale definita, in coordinate polari, attraverso la
funzione ρ = f (z), con f (z) ≥ 0 assegnata, e sia il punto pesante P mobile su questa superficie
senza attrito. Nel caso in cui sul mobile sia applicata la sola forza peso è possibile studiare il moto
del punto attraverso l’uso di integrali primi invece che ricorrere alle equazioni (1.64) che introducono
una incognita λ ausiliaria. Orientando l’asse z verso la verticale ascendente l’integrale delle forze
vive assume la forma
1 2
mv + mgz = E.
2
D’altra parte, la forza peso è sempre parallela all’asse z, e quindi sussiste sempre l’integrale delle
aree relativo al piano z = 0:
xẏ − y ẋ = c.
Questi due integrali primi, espressi in coordinate cilindriche (θ, ρ, z), assumono la forma


]
[
ż 2 (1 + f ′ 2 ) + f 2 θ̇2 + mgz = E
 f θ̇ = c
1
m
2
2
42
(1.65)
dove ρ = f (z) definisce la superficie di rotazione ed essendo
v 2 = (ρ̇2 + ρ2 θ̇2 + ż 2 ) = (ż 2 f ′2 + f 2 θ̇2 + ż 2 ).
Se si suppone c = 0, escludendo gli eventuali stati di equilibrio in punti della superficie situati
sull’asse (ρ = 0), si ha θ = cost. e quindi si tratta di un moto su una curva piana di equazione
2(E/m − gz)
,
1 + f ′2
ż 2 =
che risulta integrabile per quadrature.
Sia c ̸= 0, in particolare possiamo sempre supporre c > 0, e la legge temporale si deduce con una
quadratura dall’integrale delle aree, non appena si è determinata la traiettoria, per es. esprimendo z
in funzione di θ (cosa sempre possibile poiché θ̇ > 0 per ogni t e quindi la funzione θ(t) è monotona
crescente e, in particolare, invertibile) dove
ż =
dz
dz c
θ̇ =
.
dθ
dθ f 2
Per questa funzione z(θ) si trova la equazione differenziale
(
dz
dθ
)2
=
f 2 [2(E/m − gz)f 2 − c2 ]
(
c2 1 + f ′ 2
)
(1.66)
integrabile con una quadratura.
1.6.3
Pendolo sferico.
Il caso particolare in cui f (z) è definita dalla equazione ρ2 = ℓ2 − z 2 si denota con pendolo sferico
ed è il √
caso di un punto pesante vincolato (o appoggiato) ad una sfera di raggio ℓ. Ponendo
f (z) = ℓ2 − z 2 la (1.65) assume la forma


[
]
2 ż 2
1
m ℓℓ2 −z
2
2
2
2
+ (ℓ2 − z 2 )θ̇2 + mgz = E
.
 (ℓ − z )θ̇ = c
(1.67)
Nell’ipotesi c > 0, assumendo come variabile indipendente la θ in luogo della t, la funzione
z(θ), che basta a determinare sulla sfera la traiettoria del pendolo, è caratterizzata dall’equazione
differenziale ricavata dalla (1.66), integrabile con una quadratura,
(
2 2
cℓ
dove 1 + f ′ 2 =
ℓ2
ℓ2 −z 2
dz
dθ
)2
= Φ(z)
e dove
Φ(z) = (ℓ2 − z 2 )2 Φ1 (z), Φ1 (z) = 2(−gz + E/m)(ℓ2 − z 2 ) − c2 .
43
Per lo studio quantitativo della soluzione z(θ) giocano un ruolo importante le radici della funzione
Φ1 (z). Più propriamente, studiamo l’equazione
(
dz
dt
)2
(
=
dz
dθ
)2
θ̇2 =
c2
1
1
Φ(z)
=
Φ1 (z).
(ℓ2 − z 2 )2 c2 ℓ2
ℓ2
Osservando che Φ1 (z) è un polinomio in z di grado 3 tale che (Figura 1.14)
Φ1 (±ℓ) = −c2 < 0 e
lim Φ1 (z) = +∞
z→+∞
allora esiste z3 > +ℓ tale che Φ1 (z3 ) = 0. Le altre due radici z1 e z2 sono comprese in (−ℓ, +ℓ).
Infatti notiamo che deve essere |z0 | ≤ ℓ; più precisamente, poiché si è escluso il caso c = 0, sarà
|z0 | < ℓ, dove z0 è la quota della posizione iniziale. In particolare la condizione di realtà del moto
Φ(z0 ) ≥ 0 implica Φ1 (z0 ) ≥ 0. Discutiamo separatamente i due casi Φ1 (z0 ) > 0 e Φ1 (z0 ) = 0.
-l
z
l
z1
z2
z3
Figure 1.14: Grafico del polinomio Φ1 (z). Le 3 radici sono tali che z3 > +ℓ mentre −ℓ < z1 ≤ z2 < +ℓ.
a) Φ1 (z0 ) > 0, in questa ipotesi la funzione z(θ) oscilla periodicamente tra due paralleli di quote
z1 e z2 comprese nell’intervallo (−ℓ, +ℓ) dove z1 e z2 sono radici semplici di Φ1 (z). Si osserva
che il piano equidistante dai due paralleli di quote z1 e z2 è sempre al di sotto
dell’equatore (di equazione z = 0). Infatti la funzione Φ1 può essere scritta come
Φ1 (z) = 2gz 3 − 2Eℓ/mz 2 − 2gℓ2 z − c2 + 2Eℓ2 /m
= 2g(z − z1 )(z − z2 )(z − z3 )
da cui segue che deve essere
z1 z2 + z2 z3 + z1 z3 = −ℓ2
cioé (z1 + z2 )z3 = −(ℓ2 + z1 z2 ).
Ricordando che z3 > 0 e che |zj | < ℓ, j = 1, 2, segue z1 + z2 < 0, cioé la tesi.
44
b) Φ1 (z0 ) = 0, in questo caso se la radice è semplice allora rientriamo nel caso a) ed il punto si
trova inizialmente su uno dei due paralleli che limitano la zona entro cui serpeggia la traiettoria.
Se, infine, z0 non è radice semplice (e quindi non può essere che doppia) allora è ben noto che
durante il moto si conserva z = z0 , cioé la traiettoria è il parallelo di quota z0 (situato sotto
l’equatore); in quest’ultimo caso si ha anche θ̇ = cost., cioé si ha un moto rotatorio uniforme.
Il fatto che sia z0 < 0 segue dal fatto che Φ1 (z) = 2g(z − z3 )(z − z0 )2 da cui dovrà essere (poiché
z0 ≡ z1 = z2 ) 2z0 z3 = −(ℓ2 z02 ) < 0 e quindi z0 < 0.
In ultima analisi segue che il moto del punto P avviene, ad esclusione del moto rotatorio uniforme,
tra due quote z1 e z2 e la funzione z(θ) è periodica ed impiega un angolo Θ per raggiungere la quota
più bassa partendo dalla quota più alta (Figura 1.15
∫
z2
Θ = cℓ
√
dz
.
Φ(z)
z1
Figure 1.15: Il moto del pendolo sferico avviene, in generale, tra due quote z1 e z2 ruotando sempre nello stesso
verso e toccando, in modo periodico, i due paralleli.
Come osservazione finale notiamo che il moto di P sulla superficie sferica è periodico se e solo
se Θ e π sono commensurabili tra loro.
Calcolo dei periodi
Escludendo il caso particolare di moto rotatorio uniforme si è stabilito che il moto del punto sulla
superficie sferica avviene tra due quote z1 e z2 e la funzione z(t) è una funzione periodica. Per
calcolarne il periodo ripartiamo dalla relazione
(
dz
dt
)2
= Uc,E (z) dove Uc,E (z) =
45
1
Φ1 (z);
ℓ2
questa equivale a studiare un moto su una retta con potenziale Uc,E al livello di energia E ′ = 0.
2
2
Equivalentemente, poiché ℓ ℓ−z
> 0 ∀z ∈ (−ℓ, ℓ), si può studiare dal punto di vista qualitativo il
2
2
problema con energia potenziale efficace 2gz + ℓ2c−z2 al livello di energia 2E/m. In ogni caso la
funzione z(t) risulta essere una funzione periodica di periodo
T1 ≡ T1 (c, E) = 2
∫
z2
z1
∫
z2
= 2
√(
dz
2E
m
− 2gz −
dz
√
c2
ℓ2 −z 2
)
ℓ2 −z 2
ℓ2
.
Uc,E (z)
z1
Supponendo poi nota z(t) si ottiene
∫
θ(t) =
t
0 ℓ2
c
dτ + θ0 .
− z 2 (τ )
Osserviamo che la funzione ℓ2 −zc 2 (t) è una funzione periodica di periodo T1 e quindi ammetterà uno
sviluppo in serie di Fourier; quindi, portando la serie fuori dall’integrale, otteniamo
θ(t) = θ0 + c0 t + ϕ(t).
Ponendo ω1 = 2π/T1 allora la funzione
ϕ(t) =
∑∫
t
n̸=0 0
cn eiω1 nτ dτ =
∑ cn ω1 [
n̸=0
n
eiω1 nt − 1
]
è una funzione periodica di periodo T1 . Inoltre la costante c0 vale
c0
1 ∫ T1
c
=
dt
2
T1 0 ℓ − z 2 (t)
2
=
T1
=
∫
z2
z1
c
2
ℓ − z2
√
ℓ2 − z 2
dz
√
2
2E
ℓ
− 2gz −
m
cℓ
2 ∫ z2
√
T1 z1 (ℓ2 − z 2 )3/2 2E − 2gz −
m
c2
ℓ2 −z 2
c2
ℓ2 −z 2
dz.
Quindi θ(t) (definito modulo 2π) è dato dalla composizione di due moti periodici; uno di periodo T1
ed uno di periodo T2 = 2π/c0 . Di conseguenza il moto del pendolo fisico è periodico se, e solo se, T1
e T2 sono commensurabili.
1.7
1.7.1
Dinamica relativa del punto
Influenza della rotazione terrestre sul moto dei gravi nel vuoto
Prescindiamo dalla resistenza dell’aria e degli altri corpi celesti (es. il sole, la luna, etc.) e consideriamo il moto, rispetto alla Terra, di un punto materiale P di massa m in prossimità di essa. Sotto
46
tali ipotesi la forza (assoluta) totale agente su P si riduce alla attrazione terrestre che, assumendo
⃗ Perciò rispetto ad un riferimento galileiano l’accelerazione ⃗a di P è data
m = 1, designeremo con G.
da
⃗
⃗a = G.
(1.68)
Però a noi normalmente interessa il moto relativo di P rispetto alla Terra, cioé più precisamente
la sua accelerazione relativa ⃗a1 :
⃗ − ⃗aτ − ⃗ac .
⃗a1 = G
(1.69)
In −m⃗aτ riconosciamo quella forza F⃗τ chiamata forza di trascinamento, mentre la −m⃗ac dicesi
⃗ − m⃗aτ = mG
⃗ + F⃗τ non è altro che il peso del grave P ,
forza di Coriolis. Ricordiamo che mG
cioé la forza m⃗g che si può definire come direttamente opposta a quella che occorrerebbe applicare
al grave (in quiete) per impedirne la caduta.
Per intervalli di tempo piccoli, rispetto ad un anno, possiamo ridurre F⃗τ alla forza centrifuga
dovuta al moto diurno, la cui velocità angolare ⃗ω è costante e diretta secondo l’asse polare della
⃗ + F⃗τ , come ben sappiamo, è effettivamente variabile,
Terra, da Sud a Nord. La forza peso m⃗g = mG
di intensità e di direzione, da luogo a luogo ma, entro un raggio di pochi chilometri, è lecito ritenerla
costante sia in grandezza che in direzione. Più in dettaglio, consideriamo l’effetto della rotazione
della Terra sugli esperimenti in un laboratorio. Dato che la terra ruota praticamente uniformemente,
2π
si può supporre che ⃗ω˙ = 0 dove ω = 24·3600
. Il rapporto tra la forza centrifuga e la forza peso assume
il massimo valore all’equatore, dove vale
Fτ (P )
ω2R
(7.3 · 10−5 )2 · 6.4 · 106
3
=
=
≈
g
g
9.8
1000
dove R è la distanza del punto dal centro della terra (cioé R coincide con il raggio della terra).
Questo rapporto varia di poco nei limiti di un usuale laboratorio. Più precisamente si ha che
Fτ (P + ∆P )
Fτ (P )
=
(1 + O(∆P/R)) .
g
g
Quindi è lecito, in prima approssimazione, ritenere la forza centrifuga costante e la forza peso avente
intensità costantemente uguale a mg. Concludiamo quindi che all’equazione vettoriale (1.69) del
moto di P rispetto alla Terra si può dare la forma definitiva
⃗a1 = ⃗g − 2⃗ω × ⃗v1 .
(1.70)
Moto dei gravi e deviazione verso oriente
Supponiamo che il moto avvenga nell’emisfero boreale e adottiamo come riferimento terrestre la terna
destra che si ottiene assumendo:
a) L’origine in un punto O solidale con la Terra, in prossimità del luogo dove avviene il moto;
47
b) L’asse z sulla linea di azione della forza peso in O (verticale del luogo) orientata verso l’alto,
cioé la verticale ascendente;
c) L’asse x nel piano meridiano di O, orientato verso il Nord.
L’asse y risulta cosı̀ univocamente determinato; proiettando l’equazione vettoriale (1.70) su tali
assi abbiamo ⃗g = (0, 0, g) e, se γ è l’angolo (acuto) formato da ⃗g con il piano equatoriale (latitudine
geodetica), le componenti del vettore ⃗ω sono date da
p = ω cos γ, q = 0, r = ω sin γ;
(1.71)
cosicché dalla (1.70) risulta


 ẍ
= 2ẏω sin γ
ÿ = 2ω (−ẋ sin γ + ż cos γ) .


z̈ = −g − 2ẏω cos γ
(1.72)
Sono queste, nella schematizzazione appena precisata, le equazioni differenziali del moto di un
grave (di massa qualunque) nel vuoto, ove si tenga conto della rotazione della Terra. Queste equazioni
sono integrabili elementarmente e, restringendoci al caso più interessante, assumiamo le condizioni
iniziali
x0 = y0 = z0 = 0 e ẋ0 = ẏ0 = ż0 = 0.
Sotto queste condizioni dalla prima e dalla terza delle (1.72) si deduce che
ẋ = 2yω sin γ, ż = −gt − 2yω cos γ
(1.73)
che sostituite nella seconda delle (1.72) segue che
ÿ + 4ω 2 y = −2gωt cos γ
che è una equazione differenziale lineare completa, a coefficienti costanti, del II ◦ ordine il cui integrale
generale vale
y(t) = −
g cos γ
t + r cos(2ωt + θ0 ).
2ω
Imponendo le condizioni iniziali si determinano infine r e θ0 ottenendo
(
)
g cos γ
sin 2ωt
y(t) = −
t−
.
2ω
2ω
Sostituendo questa nelle (1.73) si perviene infine alle
(
)
1 2 1 − cos 2ωt
t −
,
x(t) = −g sin γ cos γ
2
4ω 2
(
)
1 2
1 2 1 − cos 2ωt
2
z(t) = − gt + g cos γ
t −
.
2
2
4ω 2
48
Prendendo intervalli di tempo tali che ωt ≪ 1 e sviluppando in serie di Taylor le soluzioni trovate e
trascurando i termini di ordine superiore (o uguale) in ωt al primo si trova
1
x(t) = O(ω 2 t4 ), y(t) = O(ωt3 ), z(t) = − gt2 + O(ω 2 t4 ),
2
cioé si ritrovano le equazioni del moto dei gravi nel vuoto. Se invece si prendono in considerazione
i termini d’ordine superiore in ωt si ha che
x(t) = O(ω 2 t4 )
]
g cos γ [
1
3
5 5
y(t) = −
(2ωt)
/6
+
O(ω
t
)
= − gωt3 cos γ + O(ω 3 t5 )
2
4ω
3
1 2
z(t) =
gt + O(ω 2 t4 ).
2
Quindi rimane inalterata la legge per la quota del mobile ma il moto avviene nel piano (O; y, z)
secondo la legge
y2 = −
8 ω 2 cos2 γ 3
z .
9
g
Si osservi infine che y < 0 per ogni t > 0; si prova quindi la deviazione di un grave verso Est.
Quindi, nell’emisfero settentrionale, la forza di Coriolis spinge verso oriente ogni corpo che cade sulla
Terra; nell’emisfero meridionale la forza di Coriolis spinge verso la parte opposta.
Esempio
Un sasso viene gettato (senza velocità iniziale) dalla cima di una torre alta 250 mt. alla latitudine
60◦ . Calcoliamo di quanto si allontana dalla verticale:
y=
2ω cos γ √
7.3 · 10−5 √
2|z|3 /g =
2 · 0.253 /9.8 ≈ 0.04345 metri.
3
3
Invece, quanto si allontana dalla verticale una secchia viene gettata (senza velocità iniziale) dalla
cima della torre Ghirlandina di Modena.
1.7.2
Pendolo di Focault
Discutiamo ora il pendolo sferico considerando il contributo della rotazione della terra. In particolare,
il punto P , di massa m, si muove come se fosse libero e sollecitato simultaneamente dalla forza peso
⃗ quindi, a partire da quanto stabilito in merito al pendolo sferico nel
e dalla reazione vincolare Φ;
paragrafo 1.6.3 la equazione differenziale del moto assume la forma vettoriale:
⃗ + m⃗g − 2m⃗ω × ⃗v1
m⃗a1 = Φ
(1.74)
dove riguardiamo il vettore ⃗g come costante in grandezza e direzione e dove assumiamo costante il
contributo della accelerazione di trascinamento (questa attitudine è giustificata poiché, assumendo
49
solamente il contributo della rotazione terrestre e assunto questo uniforme, allora la variazione della
forza di trascinamento all’interno di un laboratorio è trascurabile). Proiettando sugli assi aventi
origine nel centro M della sfera (assi scelti come nel caso (1.72) orientando l’asse z diretto come la
verticale ascendente) e introducendo per le componenti della reazione il moltiplicatore di Lagrange
λ otteniamo le tre equazioni scalari:


 mẍ
= λx + 2mẏω sin γ
mÿ = λy + 2mω(−ẋ sin γ + ż cos γ)


mz̈ = λz − mg − 2mẏω cos γ
(1.75)
dove il punto è obbligato a muoversi sulla sfera di raggio ℓ e centro M = (0, 0, 0) e γ è la latitudine
geodetica del luogo. Assumendo piccole oscillazioni, quindi z ≈ −ℓ e ż ≈ z̈ ≈ 0 e 2ẏω cos γ
trascurabile di fronte a g poiché ω ≪ 1, si ha dalla terza delle (1.75)
−λℓ − mg = 0, λ = −mg/ℓ
dando alle prime due la forma
{
ẍ = −gx/ℓ + 2ẏω sin γ
.
ÿ = −gy/ℓ − 2ẋω sin γ
(1.76)
Ponendo ω1 = −ω sin γ si conclude che le piccole oscillazioni del punto P o, meglio, della sua
proiezione Q sul piano orizzontale z = 0, son definite dalle due equazioni lineari
{
ẍ = −gx/ℓ − 2ẏω1
.
ÿ = −gy/ℓ + 2ẋω1
(1.77)
Denotando con ⃗a = ẍı̂ + ÿȷ̂ e ⃗v = ẋı̂ + ẏȷ̂ l’accelerazione e la velocità (orizzontali) di Q e con k̂ il
versore verticale ascendente, possiamo riassumere la (1.77) nell’unica equazione vettoriale:
⃗a = −g(Q − M )/ℓ + 2ω1 k̂ × ⃗v .
(1.78)
Si consideri allora, nel piano z = 0, per l’origine M una coppia di assi ortogonali x1 y1 , congruente
agli assi xy e che ruotino attorno ad M con velocità angolare costante ω1 k̂. L’accelerazione ⃗a1 ,
rispetto a x1 y1 della proiezione Q di P è legata alla accelerazione ⃗a, rispetto a xy della proiezione Q
di P , secondo il teorema di composizione delle accelerazioni:
⃗a1 = ⃗a + (−⃗ω ) × [−⃗ω × (Q − M )] + 2(−⃗ω ) × ⃗v
(
)
g
= ⃗a − ω12 (Q − M ) − 2ω1 k̂ × ⃗v = −
+ ω12 (Q − M ).
ℓ
Quindi il moto della proiezione Q di P , nel piano x1 y1 , è un moto armonico in due dimensioni avente
integrale generale
( √
)
( √
g
g
+ ω12 + φ ≈ a cos t
+φ
x1 (t) = a cos t
l
l
50
)
e
( √
)
( √
)
g
g
y1 (t) = b cos t
+ ω12 + ϕ ≈ b cos t
+ϕ .
l
l
Imponendo le codizioni iniziali ẋ(0) = ẏ(0) = 0 e x(0) = x0 e y(0) = 0, facendo coincidere gli assi
x e y con gli assi x1 e y1 all’istante t = 0 si ottiene ẋ1 (0) = 0 e ẏ1 (0) = −ω1 x0 e quindi
√
( √ )
( √ )
g
l
g
x1 (t) = x0 cos t
, y1 (t) = −ω1 x0
sin t
.
l
g
l
Cioé la traiettoria del punto Q sul piano
orizzontale
z = 0 (caso del Pendolo del Focault) è un ellisse
√
avente i semi-assi a = |x(0)| e b = ω1 a ℓ/g ≪ a; si tratta quindi di un’ellisse molto schiacciata
e quindi assimilabile ad un segmento dell’asse x1 . Quindi il moto del punto è sensibilmente quello
di un moto oscillatorio ordinario del piano zx1 ; ma questo piano non è fisso bensı̀ animato di una
velocità angolare ω1 = ω sin γ variabile con la latitudine che, per quanto piccola, col tempo finisce a
rendersi manifesta.
Nota. Possiamo giungere alle stesse conclusiosi risolvendo la equazione (1.77) nel seguente modo.
Se poniamo w = x + iy allora il sistema (1.77) prende forma
g
ẅ − 2iω1 ẇ + w = 0.
ℓ
Per determinare la soluzione generale siano
√
√
λ1,2 = iω1 ± i ω12 + g/ℓ ≈ iω1 ± i
g
l
e la soluzione generale ha forma
(
√
√ )
w = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t ≈ eiω1 t c1 eit g/ℓ + c2 e−it g/ℓ .
Quindi, per ω1 = 0 si ottengono le consuete oscillazioni armoniche del pendolo sferico e l’effetto della
forza di Coriolis consiste in una rotazione uniforme di tutto il sistema con una velocità angolare pari
a ω1 .
1.7.3
Nozioni elementari di meccanica celeste
Le leggi di Keplero
Per i moti dei pianeti intorno al Sole valgono le tre leggi di Keplero determinate sperimentalmente:
1) Le orbite dei pianeti sono degli ellissi e il Sole ne occupa uno dei fuochi.
2) Le aree descritte dal raggio vettore, che va dal Sole ad un pianeta, sono proporzionali ai tempi impiegati a percorrerli.
3) I quadrati dei tempi impiegati dai vari pianeti a percorrere le loro orbite (durante
le rivoluzioni) sono proporzionali ai cubi dei semi-assi maggiori (nel senso che la
costante di proporzionalità non dipende dal pianeta).
51
Problema diretto di Newton
A causa della enorme distanza tra la stella più vicina e il sistema solare e a causa della proponderanza della massa solare rispetto agli altri pianeti si può ritenere che l’attrazione sulla Terra sia
sostenzialmente quella che proviene dal Sole. Trascurando le altre si riguarda la coppia Terra-Sole
come isolata nell’Universo. Per il principio di azione e reazione le accelerazioni del Sole e della Terra
sono inversamente proporzionali alle loro masse; si può pertanto trascurare la piccolissima
accelerazione solare dovuta alla Terra, il che equivale a considerare, in prima approssimazione, il Sole
come fisso. Perveniamo pertanto a schematizzare, in prima approssimazione, il moto della Terra
intorno al Sole come quello di un punto materiale P attratto da un centro fisso S con una forza di
intensità k mr02m , dove m0 ed m denotano le masse del Sole e della Terra, r la loro distanza e k é una
costante positiva. Il moto soggetto a questa legge dà luogo, nel nostro caso (poiché il moto si svolge
tutto a distanza finita dal Sole) ad una traiettoria ellittica avente un fuoco nel Sole. Quindi la legge
di Newton implica la validità delle prime due leggi di Keplero. Quanto alla terza risulta
4π 2
a3
= km0
T2
(1.79)
da cui si vede che il rapporto a3 /T 2 dipende solamente dalla costante k e dalla massa del Sole.
Problema dei due corpi
Più in generale, consideriamo due corpi P0 e P , di masse m0 , m, che noi consideriamo isolati
nell’Universo; indichiamo con F⃗ il vettore della forza che P0 esercita su P , per il III ◦ principio di
Newton allora il vettore della forza esercitata da P su P0 sarà −F⃗ ed entrambi saranno diretti sulla
congiungente. L’equazione di Newton sui due punti, rispetto ad un osservatore inerziale, sarà data
da
m0
2
d2 P0
⃗ , m d P = F⃗
=
−
F
dt2
dt2
da cui emerge immediatamente che la quantità di moto (m0 + m)⃗vG si conserva e da cui segue che il
baricentro dei due punti si muove di moto rettilineo uniforme. Per determinare poi il moto dei due
punti rispetto al loro baricentro o, equivalentemente, il moto di un punto rispetto all’altro (ad esempio
il moto di P rispetto a P0 ), introduciamo un osservatore relativo centrato (in P)0 e traslante; allora
2
= F⃗ − m⃗aτ (P ).
la equazione del moto di P rispetto al nuovo osservatore è data da m ddtP2
ricordando che il nuovo osservatore trasla allora ⃗aτ (P ) =
mm0
m + m0
(
d2 P
dt2
d2 P0
dt2
P0
e quindi la equazione prende la forma
)
= F⃗ .
(1.80)
P0
Questa equazione differenziale del moto relativo di uno dei due corpi rispetto all’altro si identifica,
come si vede, con quella che reggerebbe il moto di P , se P0 fosse fisso (o animato di moto
rettilineo uniforme rispetto ad un osservatore assoluto), e, pur attraendo P secondo la legge F⃗ ,
mm0
. Questo problema rientra, come caso
avesse, anziché la massa effettiva m, la massa ridotta m+m
0
52
particolare di moto centrale, in quello generale discusso nella Sezione precedente; quindi abbiamo
che si tratta di un moto piano, per il quale sussistono simultaneamente l’integrale delle forze
vive e quello delle aree rispetto al centro di forza P0 .
Si dimostra che, nel caso in cui la forza di vettore F⃗ coincida con la forza di attrazione gravitazionale, qualunque sia l’ordine di grandezza di m rispetto a m0 l’orbita (relativa) di P rispetto a P0
è una conica; perciò nel caso dell’orbita ellittica valgono per il moto di P rispetto a P0 le prime due
leggi di Keplero. Se poi, in tal caso, si introducono il semi-asse maggiore a dell’orbita e la durata T
della rivoluzione, sussiste la relazione
4π 2
a3
= k(m0 + m);
T2
(1.81)
e per un altro corpo P ′ di massa m′ , che, come P , descriva, sotto la esclusiva azione di P0 , un’orbita
(relativa) ellittica, si ha analogamente, con ovvio significato dei simboli,
4π 2
a′ 3
= k(m0 + m′ ).
T ′2
(1.82)
In conclusione, quando nella trattazione newtoniana del moto dei corpi celesti, si spinge la schematizzazione fino al problema dei due corpi, si mantengono valide, in generale, soltanto le prime due
leggi di Keplero. La terza può sussistere solo in via approssimata.
53
Chapter 2
Equazioni di Lagrange
2.1
Principio del d’Alembert e relazione simbolica della Dinamica
Distinguendo tra forze attive e vincolari durante il moto varranno le equazioni fondamentali
⃗ s , s = 1, . . . , N,
m⃗as = F⃗s + ϕ
(2.1)
⃗s.
F⃗s − m⃗as = −ϕ
(2.2)
che si possono scrivere
Per sistemi a vincoli perfetti la relazione
N
∑
⃗ s · δPs ≥ 0 =⇒
ϕ
s=1
N (
∑
)
F⃗s − ms⃗as · δPs ≤ 0
(2.3)
s=1
è da considerarsi valida per tutti e soli gli spostamenti virtuali δPs , a partire dalla configurazione
assunta dal sistema, durante il suo moto, nel generico istante che si considera. La (2.3) prende il
nome di relazione simbolica della Dinamica; nel caso di spostamenti invertibili va sostituita alla
corrispondente equazione
N (
∑
)
F⃗s − ms⃗as · δPs = 0
(2.4)
s=1
detta equazione simbolica della Dinamica.
2.2
Equazioni differenziali del moto di un sistema olonomo
Riferiamo il nostro sistema olonomo ad una n−upla qualsiasi di coordinate lagrangiane indipendenti
qh , dove n denota il grado di libertà del sistema. Le relazioni Ps = Ps (q; t) derivate rispetto al tempo
danno le velocità
n
∑
∂Ps
∂Ps
⃗vs =
q̇h +
(2.5)
∂t
h=1 ∂qh
54
e gli spostamenti virtuali
δPs =
n
∑
∂Ps
h=1
∂qh
δqh ,
(2.6)
dove le n componenti δqh sono arbitrarie e indipendenti. Riprendendo la equazione simbolica
della Dinamica, considerata valida per tutti gli spostamenti virtuali invertibili, si ha:
N
∑
ms⃗as · δPs =
s=1
N
∑
F⃗s · δPs .
(2.7)
s=1
Il secondo membro è il lavoro virtuale δL delle forze attive e vale l’identità
N
∑
F⃗s · δPs =
s=1
n
∑
Qh δqh
h=1
dove
Qh =
N
∑
∂Ps
F⃗s ·
∂qh
s=1
(2.8)
è la componente della sollecitazione attiva secondo la coordinata Lagrangiana qh . Quanto
al primo membro della (2.7) esso si può scrivere, dalla (2.6), come
N
∑
ms⃗as · δPs =
s=1
n
∑
τh δqh ,
dove τh =
N
∑
ms⃗as ·
s=1
h=1
∂Ps
.
∂qh
(2.9)
In base alla arbitrarietà dei termini δqh e alle due identità (2.8) e (2.9) l’equazione simbolica della
Dinamica (2.4) equivale alle n equazioni:
τh = Qh ,
h = 1, 2, . . . , n.
(2.10)
Si conclude cosı̀ che per ogni sistema olonomo, a vincoli lisci e bilateri le n equazioni (2.10)
equivalgono alla equazione simbolica della Dinamica e devono essere soddisfatte durante
il moto.
Le (2.10) si possono poi scrivere nella seguente forma, dette equazioni di Lagrange:
d ∂T
∂T
−
= Qh , h = 1, 2, . . . , n.
dt ∂ q̇h ∂qh
La dimostrazione è immediata e segue ricordando che
T =
N
1∑
ms⃗vs · ⃗vs
2 s=1
e notando che dalla (2.5) risulta
∂⃗vs
∂Ps
=
∂ q̇h
∂qh
e
d ∂Ps
∂ dPs
∂⃗vs
=
=
,
dt ∂qh
∂qh dt
∂qh
55
(2.11)
allora
N
∑
∂T
∂⃗vs
ms⃗vs ·
=
∂qh s=1
∂qh
e
N
N
∑
∂T
∂⃗vs ∑
∂Ps
=
ms⃗vs ·
=
ms⃗vs ·
.
∂ q̇h s=1
∂ q̇h s=1
∂qh
Derivando quest’ultima rispetto al tempo si ottiene che
d
dt
(
∂T
∂ q̇h
)
=
N
∑
s=1
ms⃗as ·
N
∂Ps ∑
∂⃗vs
∂T
+
ms⃗vs ·
= Qh +
.
∂qh s=1
∂qh
∂qh
Notiamo che, nelle (2.11), tutto ciò che dipende dalla sollecitazione attiva è riassunto nelle sue
componenti lagrangiane Qh , tutto quello che attiene alla struttura materiale del sistema è sintetizzato
nell’unico elemento globale T , cioé nella forza viva. Esse danno la completa impostazione del
problema del moto di un sistema olonomo; sotto l’aspetto analitico, costituiscono un sistema
differenziabile del II ◦ ordine nelle n funzioni incognite qh (t), riducibile a forma normale.
Noti i valori qh0 e q̇h0 di qh e q̇h in un determinato istante, cioé assegnate la configurazione iniziale del
sistema e le velocità iniziali dei singoli punti, allora avremo, per i noti teoremi di esistenza ed unicità
delle equazioni differenziali, una unica soluzione qh = qh (t) delle (2.11) che darà, necessariamente,
il moto del sistema. Cioé: assumendo i vincoli perfetti, bilateri e olonomi e le necessarie
condizioni di regolarità sulle forze e sulle relazioni che definiscono le configurazioni del sistema a
partire dalle coordinate lagrangiane, dai teoremi di esistenza e unicità delle soluzioni delle equazioni
differenziali segue che le soluzioni delle equazioni di Lagrange, assegnate le condizioni iniziali, sono
uniche e quindi devono necessariamente coincidere con le leggi del moto; ovvero le soluzioni delle
equazioni di Lagrange danno il moto del sistema.
2.3
Funzione Lagrangiana
Supponiamo che le forze attive F⃗s derivino da un potenziale U ; quindi, in coordinate lagrangiane,
∂U
Qh = ∂q
. Da ciò, e dalla indipendenza di U da q̇h , le equazioni di Lagrange assumono la forma
h
∂L
d ∂L
−
= 0, h = 1, 2, . . . , n,
dt ∂ q̇h ∂qh
(2.12)
L(q̇, q; t) = L = T + U = T − V.
(2.13)
dove si è posto
Alla funzione L si dà il nome di funzione Lagrangiana.
56
2.4
Coordinate cicliche e Lagrangiana ridotta
.
Assegnata la funzione Lagrangiana L = L(q̇, q; t), definiamo momenti cinetici le derivate ph = ∂∂L
q̇h
Se supponiamo che la funzione Lagrangiana L sia indipendente da una (o più) delle variabili qh ,
per esempio dalla q1 , allora l’equazione (2.12) di indice h = 1 fornisce immediatamente l’integrale
primo
p1 =
∂L
= Cost..
∂ q̇1
(2.14)
Gli integrali di questo tipo si dicono integrali primi dei momenti e le coordinate qh , che
non comparendo nella funzione Lagrangiana danno luogo a tali integrali, si chiamano ignorabili o
cicliche.
Se nella funzione Lagrangiana L alcune (per fissare le idee le prime m) coordinate qk , k = 1, . . . , m,
sono cicliche, cioé
L = L(q̇1 , . . . , q̇n , qm+1 , . . . , qn ; t) = L(q̇, q′ ; t), q′ = (qm+1 , . . . , qn )
allora il corrispondente sistema lagrangiano ammette gli m integrali primi dei momenti
pk =
∂L
= ck = cost., k = 1, 2, . . . , m.
∂ q̇k
(2.15)
Supponiamo che il sistema delle m equazioni (2.15) sia risolubile rispetto ad m delle q̇; ciò è sempre
vero quando il rango della matrice Hessiana
(
∂2L
∂ q̇h ∂ q̇k
)
h=1,...,n, k=1,...,m
è uguale a m. Nel caso particolare in cui L = T + U allora l’Hessiano è una matrice definita positiva
e quindi il minore formato dalle prime m righe e colonne ha determinante non nullo; cosicché le
equazioni (2.15) sono risolubili rispetto alle derivate q̇k delle m coordinate cicliche qk ottenendo
q̇k = q̇k (q̇′ , q′ ; t), q′ = (qm+1 , . . . , qn ).
(2.16)
Le ultime n − m equazioni di Lagrange
∂L
d ∂L
−
= 0, h = m + 1, . . . , n,
dt ∂ q̇h ∂qh
che già per ipotesi non contengono le q1 , . . . , qm , si possono quindi rendere indipendenti anche dalle
componenti q̇k , q̈k , k = 1, . . . , m, sostituendo a ciascuna di queste l’espressione in termini delle qh ,
q̇h , q̈h (h > m) e delle ck fornita dalle (2.16). Si perviene cosı̀ ad un sistema differenziale del secondo
ordine, che coinvolge soltanto le n − m incognite qh (h = m + 1, . . . , n).
È possibile provare che questo sistema nelle residue n − m coordinate lagrangiane conserva ancora
la forma Lagrangiana dove per Lagrangiana si ha la funzione Lagrangiana ridotta data da
L⋆ = L −
m
∑
k=1
57
ck q̇k ,
(2.17)
dove alle q̇k vanno sostituite le loro espressioni in termini delle qh , q̇h , h = m + 1, . . . , n e ck , k =
1, . . . , m, date dalla (2.16). Le verifica è immediata, per fissare le idee assumiamo m = 1 e la sola
prima coordinata ciclica in modo che sia (esprimendo la dipendenza)
L⋆ = L⋆ (q̇′ , q′ , c1 ; t)
= L [q̇1 (q̇′ , q′ , c1 ; t), q̇′ , q′ ; t] − c1 q̇1 (q̇′ , q′ , c1 ; t)
dove q′ = (q2 , . . . , qm ) e quindi
∂L⋆
∂L
∂L ∂ q̇1
∂ q̇1
∂L
=
+
− c1
=
, h > 1,
∂qh
∂qh ∂ q̇1 ∂qh
∂qh
∂qh
in virtù delle (2.15). Analogamente si ottiene
∂L⋆
∂L
∂L ∂ q̇1
∂L
∂ q̇1
=
+
− c1
=
, h > 1.
∂ q̇h
∂ q̇h ∂ q̇1 ∂ q̇h
∂ q̇h
∂ q̇h
Il caso m > 1 è perfettamente analogo.
Una volta risolte le equazioni di Lagrange per la Lagrangiana ridotta e quindi determinate le
n − m funzioni qh (t), h > m, la determinazione delle rimanenti qk (t), k ≤ m, funzioni avviene per
quadratura delle equazioni differenziali
q̇k = −
∂L⋆
.
∂ck
Infatti, assumendo ancora m = 1,
∂L⋆
∂L ∂ q̇1
∂ q̇1
=
− c1
− q̇1 = −q̇1
∂c1
∂ q̇1 ∂c1
∂c1
in virtù delle (2.15).
2.5
Esempio: problema di Keplero.
Consideriamo il moto, rispetto ad un osservatore assoluto, di un sistema costituito da 2 punti liberi.
Poiché l’energia potenziale d’interazione di due particelle dipende soltanto dalla distanza tra di loro
allora la funzione Lagrangiana è data da
1
1
L = m1 v12 + m2 v22 + U (|⃗u|), ⃗u = P2 − P1 .
2
2
Volendo utilizzare fra i parametri lagrangiani anche le coordinate del baricentro G, determiniamo la
posizione dei punti rispetto a G. Essendo, per definizione di baricentro
G−O =
m2
m1
(P1 − O) +
(P2 − O),
m1 + m2
m1 + m2
58
si ha subito
m1 (P1 − G) + m2 (P2 − G) = 0
da cui segue che deve essere
(P1 − G) =
m
m2
⃗u =
⃗u
m1 + m2
m1
e
(P2 − G) = −
m
m1
⃗u = − ⃗u
m1 + m2
m2
m2
dove abbiamo introdotto la massa ridotta m = mm11+m
e dove abbiamo posto ⃗u = P2 − P1 il vettore
2
aventi estremi coincidenti con i due punti. Introducendo, invece che le coordinate dei due punti
quali parametri lagrangiani, la posizione del baricentro ed il vettore ⃗u, allora, in virtù del teorema di
König e di quanto detto la Lagrangiana assume la forma
1
2
L =
(m1 + m2 )vG
+
2
1
2
=
(m1 + m2 )vG
+
2
1
2
=
(m1 + m2 )vG
+
2
)2
(
(
)2
1
1
d(P1 − G)
d(P2 − G)
+ m2
+ U (u)
m1
2
dt
2
dt
1
m22
1
m21
2
m1
u̇
+
m
u̇2 + U (u)
2
2 (m1 + m2 )2
2 (m1 + m2 )2
1
mu̇2 + U (u) .
2
dove u = |⃗u|. Osserviamo che la Lagrangiana è indipendente dalle coordinate (xG , yG , zG ) del
baricentro e quindi queste sono coordinate cicliche. Avremo quindi
∂L
= (m1 + m2 )ẋG = costante
∂ ẋG
∂L
=
= (m1 + m2 )ẏG = costante
∂ ẏG
∂L
=
= (m1 + m2 )żG = costante
∂ żG
px =
py
pz
da cui segue che il baricentro si muove di moto rettilineo uniforme. La Lagrangiana ridotta diventa
L⋆ = L − px ẋG − py ẏG − pz żG
1
1
(p2x + p2y + p2z ) + mu̇2 + U (u).
= −
2(m1 + m2 )
2
In conclusione, essendo il potenziale sempre definito a meno di una costante additiva, si ha che la
Lagrangiana ridotta diventa
1
L⋆ = mu̇2 + U (u)
2
59
che corrisponde al problema del moto di un punto P di massa m in un campo esterno
dato da U (u) dove ⃗u = P − O1 con O1 fisso. Una volta determinata ⃗u(t) è possibile determinare
poi il moto dei due punti.
Introducendo poi le coordinate polari sferiche (r, θ, φ) la Lagrangiana ridotta assume la forma
1
L⋆ = m(ṙ2 + r2 θ̇2 + r2 sin2 θφ̇2 ) + U (r)
2
da cui segue immediatamente che φ è una coordinata ciclica e quindi
pφ =
∂L⋆
= mr2 sin2 θφ̇ = costante
∂ φ̇
(2.18)
dove questa costante viene calcolata in virtù delle condizioni iniziali. Ora, assegnata la posizione
iniziale e la velocità iniziale di P , possiamo sempre scegliere il sistema di riferimento centrato in O1
in modo che sia ⃗v (0) incidente sull’asse z e quindi φ̇0 = 0. Con questa scelta e dalla relazione (2.18)
segue che deve essere
pφ = mr2 sin2 θφ̇ ≡ 0
e quindi φ ≡ φ0 , cioé il moto avviene in un piano fisso contenente O1 (e quindi anche il
baricentro tra i due punti).
Riducendo ulteriormente la Lagrangiana otteniamo, dove ora θ e r hanno il significato di coordinate polari su tale piano, che la nuova Lagrangiana (denotata sempre nello stesso modo) diventa
1
L⋆ = m(ṙ2 + r2 θ̇2 ) + U (r) ,
2
da cui risulta una ulteriore coordinata ciclica (per questa Lagrangiana ridotta) data da θ e avremo
che
pθ =
∂L⋆
= mr2 θ̇ = costante.
∂ θ̇
(2.19)
Questo integrale primo coincide con l’integrale primo dei momenti e dà la costanza della velocità areolare. È infine possibile ridurre ulteriormente la Lagrangiana ottenendo come (ultima) Lagrangiana
ridotta la seguente
1
m(ṙ2 + r2 θ̇2 ) + U (r) − pθ θ̇
2 (
)
2
1
pθ
2
2 pθ
=
m ṙ + r 2 4 + U (r) − pθ 2
2
mr
mr
2
1 2 1 pθ
1 2
=
mṙ −
+
U
(r)
=
mṙ + Uef f (r),
2
2 mr2
2
L⋆ =
dove abbiamo introdotto il potenziale efficace
Uef f (r) = U (r) −
60
1 p2θ
.
2 mr2
Per completare lo studio di questo problema non utiliziamo le equazioni di Lagrange. Facendo,
invece, uso dell’integrale primo della energia meccanica
1
E = mṙ2 − Uef f (r)
2
si ottiene
√
ṙ =
√
2
[E + Uef f (r)] =
m
2
p2
[E − U (r)] − 2θ 2
m
mr
da cui, per separazione di variabili,
∫
dr
√
t=
2
[E
m
− U (r)] −
p2θ
m2 r 2
+ costante,
che, integrata, dà r = r(t). Per la determinazione di θ(t) si integra per quadrature la equazione
θ̇ = −
∂L⋆
pθ
=
∂pθ
mr2
∫
cioé θ(t) =
pθ
dt
mr2 (t)
che, con il cambio di variabili t → r per il quale dr = ṙdt, si ottiene la equazione delle traiettorie
∫
θ(r) =
pθ
√
mr2 (t) 2
m
2.6
1
[E − U (r)] −
p2θ
m2 r 2
dr.
Integrazione per quadrature del giroscopio pesante
Studiamo ora il problema facendo uso delle equazioni di Lagrange invece che degli integrali primi del
moto dedotti attraverso le equazioni cardinali della Dinamica.
Calcolo della Lagrangiana e coordinate cicliche
Introduciamo la funzione Lagrangiana che, in virtù delle (??) assume la seguente forma:
)
1
1 (
′
cos θ
L = T + U = A p2 + q 2 + Cr2 + P zG
2
2
)
)2
1 ( 2
1 (
′
=
cos θ.
A θ̇ + ψ̇ 2 sin2 θ + C ψ̇ cos θ + φ̇ − mgzG
2
2
Appare quindi immediatamente che le coordinate φ e ψ sono cicliche e quindi abbiamo i due integrali
primi
pφ =
∂L
= C(ψ̇ cos θ + φ̇) = Cr = Kz′ ,0
∂ φ̇
61
(2.20)
e
pψ =
(
)
∂L
= A sin2 θψ̇ + C cos θ ψ̇ cos θ + φ̇ = Kz,0 .
∂ ψ̇
(2.21)
Osserviamo che tali integrali primi coincidono con le componenti del momento della quantità di moto
relativa all’asse (O′ ; z ′ ) e (O′ ; z). Come terzo integrale primo abbiamo, al solito, l’energia meccanica
totale (??) che scriveremo in coordinate lagrangiane come
)
)2
A( 2
C(
′
θ̇ + ψ̇ 2 sin2 θ +
ψ̇ cos θ + φ̇ + mgzG
cos θ = E.
2
2
(2.22)
Dalle (2.20) e (2.21) si ricava immediatamente
ψ̇ =
pψ − pφ cos θ
A sin2 θ
e φ̇ =
pφ
pψ − pφ cos θ
− cos θ
C
A sin2 θ
(2.23)
che eliminate in (2.22) permettono di ottenere
1 2
Aθ̇ + Vef f (θ) = E ′
2
′
dove E ′ = E − mgzG
− p2φ /2C e
Vef f (θ) =
(pψ − pφ cos θ)2
′
− mgzG
(1 − cos θ)
2A sin2 θ
da cui risulta che il problema è solubile mediante 3 quadrature.
Escludendo i casi particolari pψ = ±pφ andiamo a discutere la regione di variazione dell’angolo di
nutazione θ; questa regione sarà definita dalla condizione E ′ ≥ Vef f (θ). Poich´‘e la funzione Vef f (θ)
tende a +∞ per i valori θ = 0, π e passa per un minimo nell’intervallo (0, π) allora l’equazione
Vef f (θ) = E ′ avrà due radici θ1 e θ2 (eventualmente coincidenti) che danno gli angoli limite d’inclinazione
dell’asse della trotola rispetto alla verticale. La discussione delle due radici θ1 e θ2 è già stata effettuata nel paragrafo precedente.
62
Chapter 3
Piccole oscillazioni
3.1
Teorema di Dirichlet
Ricordiamo che per un sistema meccanico a n gradi di libertà, con vincoli perfetti, bilateri, olonomi
(e nel seguito supporremo anche scleronomi) e soggetto ad un sistema di forze conservative valgono
le equazioni di Lagrange
d ∂L
∂L
=
, k = 1, . . . , n
dt ∂ q̇k
∂qk
(3.1)
dove L = T +U è la funzione Lagrangiana. Cioé le soluzioni qk = qk (t), k = 1, . . . , n, di tali equazioni
soddisfacenti ad assegnate condizioni iniziali sono le equazioni del moto del sistema, e viceversa. Le
configurazioni di equilibrio sono le soluzioni stazionarie qk (t) ≡ qk⋆ del sistema (3.1), dove i valori qk⋆
sono le soluzioni del sistema
∂U
= 0, k = 1, . . . , n.
∂qk
In generale le equazioni (3.1) costituiscono un sistema di n equazioni differenziali del II ordine
non integrabile; con il metodo delle piccole oscillazioni si propone un approccio che, mediante
un’approssimazione, vuole determinare le caratteristiche principali del moto prossimo ad una soluzione
stazionaria qk (t) ≡ qk⋆ corrispondente ad una configurazione C ⋆ ≡ q⋆ = (q1⋆ , . . . , qn⋆ ) di equilibrio stabile. Premettiamo il seguente risultato:
Teorema di Dirichlet: Sia dato un sistema meccanico a vincoli perfetti, bilateri, olonomi e
scleronomi e soggetto ad un sistema di forze conservative; sia C ⋆ = q⋆ un punto di minimo relativo
in senso stretto per l’energia potenziale V = −U (supposta regolare a sufficienza), cioé esiste un
intorno I di q⋆ tale che
∀q = (q1 , . . . , qn ) ∈ I, q ̸= q⋆
⇒ V (q) > V (q⋆ ).
(3.2)
Sotto tali ipotesi si ha che
∀ϵ > 0 ∃δ > 0 : |qk (t0 ) − qk⋆ | + |q̇k (t0 )| ≤ δ
63
(3.3)
allora il moto avviene in un intorno della configurazione di equilibrio:
|qk (t) − qk⋆ | + |q̇k (t)| ≤ ϵ ∀t ,
(3.4)
dove t0 è l’istante iniziale e qk (t0 ) e q̇k (t0 ) le condizioni inziali del moto qk (t).
Ricordando che un punto di minimo relativo per l’energia potenziale corrisponde ad una configurazione di equilibrio stabile allora il significato meccanico della (3.4) è evidente: se inizialmente
prendiamo il sistema prossimo alla configurazione di equilibrio stabile e con velocità sufficientemente
piccole allora il moto del sistema a partire da tali configurazione iniziale rimane prossimo indefinitamente alla configurazione di equilibrio stabile e con velocità che si mantegono piccole.
Una condizione sufficiente affinché l’ipotesi (3.2) sia soddisfatta è che l’energia potenziale abbia
∂V
tutte le derivate parziali ∂q
nulle in q⋆ = (q1⋆ , . . . , qn⋆ ) e che la matrice Hessiana di V calcolata in q⋆ sia
k
definita positiva (cioé abbia tutti gli n autovalori strettamente maggiori di zero). La dimostrazione
generale di questo teorema si basa sul principio di conservazione dell’energia meccanica. Sia E
l’energia meccanica del sistema che, in virtù delle condizioni iniziali e per continuità, è prossima al
valore dell’energia potenziale in corrispondenza al punto di minimo relativo: E ≈ V (q⋆ ) per δ sufficientemente piccolo. Se V ha un punto di minimo relativo in q⋆ allora V si può approssimare, almeno
localmente, con un paraboloide in n dimensioni avente vertice nella configurazione di equilibrio; se il
sistema si allontana troppo dalla configurazione di equilibrio o se le velocità diventano grandi allora
l’energia potenziale o l’energia cinetica aumentano e la somma T + V non può mantenersi uguale a
E.
Dimostrazione: Possiamo sempre assumere, senza perdere in generalità, qk⋆ = 0 e U (q⋆ ) = 0.
Poiché q⋆ = (q1⋆ , . . . , qn⋆ ) è un punto di massimo effettivo per U , cioé di minimo relativo effettivo per
V = −U , segue che esiste un δ > 0 tale che per ogni q = (q1 , . . . , qn ) ̸= (0, . . . , 0) e tale che |qk | ≤ δ
allora V (qk ) > 0. Se consideriamo poi l’espressione dell’energia totale
E(q1 , . . . , qn , q̇1 , . . . , qn ) = T + V
e se ricordiamo che T > 0 se almeno una delle q̇h è non nulla allora segue che E(q1 , . . . , qn , q̇1 , . . . , qn ) >
0 se almeno una delle q̇k e qk è non nulla (subordinatamente alla condizione |qk | ≤ δ) e che
E(0, . . . , 0) = 0. Cioé l’energia totale E(q1 , . . . , qn , q̇1 , . . . , qn ) ha un minimo effettivo in M =
(0, . . . , 0) ∈ R2n . Fissato 0 < ϵ0 < δ sufficientemente piccolo e data la sfera B(M, ϵ0 ) nello spazio
delle fasi R2n avremo, per quanto detto,
E(q, q̇) > 0 ∀(q, q̇) ∈ B(M, ϵ0 ) − {(0, . . . , 0)}
e inoltre, essendo ∂B un insieme compatto e E(q, q̇) una funzione continua, segue che esiste non nullo
il minimo
E ⋆ = m(ϵ0 ) =
min
(q,q̇)∈∂B(M,ϵ0 )
E(q, q̇) > 0.
Inoltre, sempre per la continuità di E(q, q̇) esisterà 0 < δ0 < ϵ0 tale che
E ⋆ > M (δ0 ) =
max
(q,q̇)∈B(M,δ0 )
64
E(q, q̇) > 0.
Quindi, se all’istante iniziale (q0 , q̇0 ) ∈ B(M, δ0 ) allora E(q0 , q̇0 ) = E0 ≤ M (δ0 ) < E ⋆ e quindi il
moto (q(t), q̇(t)) avviene sempre all’interno della sfera B(M, ϵ0 ) perché, dovendo conservarsi l’energia
meccanica totale, non potrà mai aversi E(q, q̇) ≥ E ⋆ , condizione che si verifica quando il punto (q, q̇)
è sul bordo di B(M, ϵ0 ).
3.2
Moto delle piccole oscillazioni
Nel seguito, per semplicità supporremo, senza perdere in generalità, che sia qk⋆ = 0 (altrimenti
operiamo la traslazione qk → qk − qk⋆ ). Ricordando che nel caso di un sistema a vincoli fissi
T =
n
1 ∑
ai,k (q)q̇i q̇k
2 i,k=1
per sistemi scleronomi, scriviamo la funzione Lagrangiana mettendo in evidenza i termini di secondo
grado nelle qk e q̇k :
L = T + U = L̃ + R, dove L̃ = T̃ + Ũ .
Più precisamente poniamo
T =
n
1 ∑
ai,k (q)q̇i q̇k = T̃ + RT ,
2 i,k=1
T̃ =
n
1 ∑
ãi,k q̇i q̇k , ãi,k = ai,k (0)
2 i,k=1
dove
è ottenuto calcolando lo sviluppo in serie di Taylor delle funzioni ai,k attorno a q⋆ = 0, e
U = U (0) +
n
∑
∂U (0)
k=1
∂qk
= Ũ + RU , Ũ =
qk +
n
1 ∑
∂ 2 U (0)
qk qi + R U
2 i,k=1 ∂qk ∂qi
n
n
1 ∑
1 ∑
∂ 2 U (0)
qk qi ≡ −
bi,k qk qi
2 i,k=1 ∂qk ∂qi
2 i,k=1
dove
bi,k = −
∂ 2 U (0)
∂ 2 V (0)
=
∂qk ∂qi
∂qk ∂qi
(essendo V = −U l’energia potenziale) è ottenuto calcolando lo sviluppo in serie di Taylor della
funzione U attorno a q⋆ = 0. Ricordiamo che, essendo l’energia potenziale sempre definita a meno
di una costante additiva, possiamo assumere U (0) = 0 e che, essendo q⋆ = 0 una configurazione di
(0)
= 0. Il termine RT è un resto di ordine 1 nelle qk e di ordine 2 nelle q̇k , il termine
equilibrio, ∂U
∂qk
65
RU è un resto di ordine 3 nelle qk ; complessivamente, il resto totale R = RT + RU è di ordine 3 nelle
qk e q̇k . La funzione L̃(q̇, q) = T̃ (q̇) + Ũ (q) prende il nome di Lagrangiana ridotta.
Definizione: Si chiama moto delle piccole oscillazione del sistema meccanico attorno alla
configurazione di equilibrio stabile q⋆ un qualunque moto associato alla Lagrangiana linearizzata L̃.1
Si osserva immediatamente che il grande vantaggio di operare con la Lagrangiana linearizzata,
invece che con la Lagrangiana iniziale, è che le equazioni di Lagrange risultano essere lineari e a
coefficienti costanti, e quindi risolubili con metodi elementari:
n
n
∑
d ∂ T̃
d ∑
d ∂ L̃
=
=
ãi,k q̇i =
ãi,k q̈i
dt ∂ q̇k
dt ∂ q̇k
dt i=1
i=1
e
n
∑
∂ L̃
∂ Ũ
=
=−
bi,k qi
∂qk
∂qk
i=1
da cui le (3.1) per la Lagrangiana ridotta assumono la forma desiderata:
n
∑
ãi,k q̈i = −
i=1
n
∑
bi,k qi , k = 1, . . . , n.
(3.5)
i=1
Si osserva anche che la validità di questa approssimazione è giustificata dal Teorema di Dirichlet,
il quale garantisce, a priori, che qk (t) e q̇k (t) rimangono piccole indefinitamente (ricordiamo che
abbiamo preso qk⋆ = 0 per semplicità) e quindi il contributo del resto R é trascurabile.
3.3
Caso unidimensionale
Nel caso unidimensionale (n=1) allora, denotando con q l’unico parametro lagrangiano e supponendo
che q ⋆ sia una configurazione di equilibrio stabile tale che U ′′ (q ⋆ ) < 0, si ha
1
T = a(q)q̇ 2
2
e U = U (q)
da cui (non facciamo qui la posizione di comodo q⋆ = 0)
1
T̃ = a(q ⋆ )q̇ 2
2
1
e Ũ = U ′′ (q ⋆ )(q − q ⋆ )2 .
2
Le (3.5) diventano semplicemente
a(q ⋆ )q̈ = U ′′ (q ⋆ )(q − q ⋆ ) ⇒ z̈ + ω 2 z = 0
′′
)
dove si è posto z = q − q ⋆ e ω 2 = −Ua(q(q
> 0, e questa si riconosce essere l’equazione dell’oscillatore
⋆)
armonico che ha soluzione generale data da
⋆
z(t) = A cos(ωt + α) ⇒ q(t) = q ⋆ + A cos(ωt + α)
Attenzione all’abuso di linguaggio che si commette chiamando L̃ Lagrangiana linearizzata. Ovviamente la L̃ non
è lineare ma quadratica nei suoi argomenti. Risultano invece lineari le equazioni di Lagrange con lagrangiana L̃.
1
66
dove A e α sono costanti che si determinano mediante le condizioni iniziali. T = 2π/ω e ω rappresentano il periodo e la pulsazione delle piccole oscillazioni. Riassumendo quanto detto possiamo
concludere che:
Teorema: Per un sistema meccanico (a vincoli perfetti, olonomi, bilateri, scleronomi e soggetto
ad un sistema di forza conservative) ad un grado di libertà il periodo delle piccole oscillazioni attorno
ad una configurazione di equilibrio stabile q ⋆ , in cui si suppone sia U ′′ (q ⋆ ) < 0, è dato da
v
u
u a(q ⋆ )
2π
T =
= 2π t− ′′ ⋆ .
Ω
3.4
U (q )
Coordinate normali e frequenze proprie
Vediamo ora come determinare nella pratica l’integrale generale del sistema (3.5) nel caso in cui esso
derivi da una Lagrangiana linearizzata L̃ = T̃ + Ũ rispetto a un punto di equilibrio stabile q⋆ = 0.
A tal fine è utile adottare la notazione matriciale:
1
1
T̃ = q̇t Aq̇ e Ũ = − qt Bq,
(3.6)
2
2
(
2
)
dove le matrici A = (T̃i,k ), B = − ∂∂qUi ∂q(0)k sono entrambe simmetriche ed A è definita positiva;
la matrice B, nel caso in cui (come supporremo) q⋆ è di equilibrio stabile, è, in generale, definita
positiva. A differenza delle notazioni adottate in precedenza qui è più comodo denotare con q
il vettore colonna di componenti qk e qt il suo trasposto, cioé qt è il vettore riga con gli stessi
componenti. Con tale notazione la Lagrangiana linearizzata si scrive
]
1[ t
q̇ Aq̇ − qt Bq
2
e le equazioni di Lagrange, lineari per costruzione, si scrivono in modo sintetico come:
L̃(q, q̇) =
Aq̈ + Bq = 0.
(3.7)
(3.8)
Come suggerisce la teoria dei sistemi di equazioni lineari ordinarie a coefficienti costanti, cerchiamo
una soluzione della (3.8) della forma
q = [C cos(ωt + γ)]w,
(3.9)
dove w è un vettore (colonna) di Rn da determinarsi e ω ∈ C dipende dalle caratteristiche del
sistema, C e γ sono costanti da determinarsi in funzione delle condizioni iniziali. Sostituendo (3.9)
in (3.8) questa diventa
[C cos(ωt + γ)](−ω 2 A + B)w = 0
che risulta identicamente soddisfatta se ω e w sono tali che (B − ω 2 A)w = 0; siamo quindi indotti a
studiare il seguente problema generalizzato agli autovalori
det(B − λA) = 0.
67
(3.10)
Richiamiamo il seguente risultato dell’algebra lineare (che per completezza dimostro):
Lemma: L’equazione (3.10) definisce gli autovalori di B rispetto ad A ed ammette esattamente n soluzioni λi , i = 1, . . . , n, reali e positive.
Dimostrazione del Lemma: L’esistenza degli autovalori reali di B rispetto ad A (con i corrispondenti autovettori w) si ottiene sfruttando il fatto che la matrice A è simmetrica e definita positiva
(è una matrice cinetica) e che la matrice B è simmetrica e definita positiva (è la matrice Hessiana
di U relativa ad un punto di massimo relativo per U ). Essendo la matrice A simmetrica e positiva,
esiste un’unica matrice simmetrica e positiva il cui quadrato è uguale ad A e che pertanto può essere
1
a buon diritto indicata con A 2 (la radice quadrata di A). Infatti, poiché A è simmetrica esiste una
matrice ortogonale M (cioé M t = M −1 ) che diagonalizza A:


α1 0 . . .

 0 α2 . . .
dove α = 
...

 0
0
M AM −1 = M AM t = α,
0
0
0
0 



(3.11)
0 
. . . αn
dove appunto α1 , α2 , . . . , αn sono gli autovalori di A. La positività di A assicura che gli autovalori
α1 , α2 , . . . , αn sono tutti strettamente positivi, quindi possiamo definire
 √

α1
0
...
0
√

α2 . . .
0 
 0

1
1
−1 12

.
2
2
A = M α M, dove α = 
(3.12)
..

.
 0
0
0 
√
0
0
...
αn
1
1
ed è immediato verificare che (A 2 )2 = A e che A 2 è simmetrica e positiva. Infatti
(A 2 )2 = A 2 A 2 = M −1 α 2 M M −1 α 2 M = M −1 α 2 α 2 M
= M −1 αM = A
1
1
1
1
1
1
1
e
(
1
(A 2 )t =
M −1 α 2 M
1
)t
1
(
1
= M tα 2 M
)t
1
= M t (α 2 )t (M t )t
1
= M tα 2 M = A 2
1
poiché α 2 è diagonale. Infine, dato un qualunque vettore q si ha che
1
1
1
qt A 2 q = qt M t α 2 M q = (M q)t α 2 (M q)
1
1
da cui segue la positività di A 2 come immediata conseguenza della positività di α 2 .
cambiamento di variabili
y = A 2 q ⇔ q = [A 2 ]−1 y
1
1
Mediante il
(3.13)
la (3.8) prende la forma
A 2 ÿ + B[A 2 ]−1 y = 0 ⇔ ÿ + [A 2 ]−1 B[A 2 ]−1 y = 0
1
1
1
68
1
(3.14)
per cui la (3.10) equivale a
det [C − λI] = 0.
(3.15)
dove si è posto C = [A 2 ]−1 B[A 2 ]−1 . Essendo C simmetrica e definita positiva (la verifica di ciò è,
1
sostanzialmente, analoga a quell’effettuata per A 2 ) segue che i suoi autovalori λi sono reali e positivi
dimostrando cosı̀ il Lemma.
1
1
In tal modo otteniamo l’esistenza di un sistema fondamentale di soluzioni Qi (t)wi , dove Qi (t) =
Ci cos(ωi t + γi ), detti modi normali, e la soluzione generale del sistema (3.5) è data da una loro
combinazione lineare.
3.5
Schema riassuntivo
Per risolvere le equazioni di Lagrange linearizzate (3.8) intorno a una configurazione di equilibrio
stabile q⋆ (non poniamo ora la condizione q⋆ = 0), si risolve il problema agli autovalori
(B − λA)w = 0
dove
(
⋆
A = (ãi,k ), ãi,k = ai,k (q ),
)
∂ 2 U (q⋆ )
e B= −
.
∂qi ∂qk
Gli autovalori λi , i = 1, . . . , n, di B rispetto ad A √
sono, nel caso di configurazioni di equilibrio
stabile, numeri reali positivi; le rispettive radici ωi = λi prendono il nome di pulsazioni proprie
o normali del sistema e 2π/ωi prendono il nome di frequenze proprie o normali del sistema.
Per avere gli n modi normali si determinano gli autovettori wi , di componenti wki , k = 1, . . . , n,
soluzioni di
(B − λi A)wi = 0, i = 1, ..., n.
(3.16)
Allora, ad ogni pulsazione normale ωi corrisponde una particolare oscillazione del sistema, detta
oscillazione normale data da Qi (t) = Ci cos(ωi t − γi ). La n-upla di coordinate originarie q(t)
risulta dal sovrapporsi di tutte le oscillazioni proprie:
⋆
n
∑
Ci cos(ωi t + γi )wi ,
(3.17)
wki Ci cos(ωi t + γi ), k = 1, . . . , n.
(3.18)
q(t) = q +
i=1
cioé
qk (t) = qk⋆ +
n
∑
i=1
Le 2n costanti Ci e γi vengono determinate a partire dalle condizioni iniziali qk◦ e q̇k◦ .
69
3.6
3.6.1
Esempi
Pendoli accoppiati: esempio di calcolo di modi normali e battimenti
Due pendoli A e B di massa m e lunghezza ℓ, in un campo di gravità g, hanno i punti di sospensione
PA e PB alla stessa quota; la distanza tra PA e PB è d. Una molla di costante elastica k 2 e lunghezza
a riposo d, collega le due masse. Come parametri lagrangiani assumiamo i due angoli θ1 e θ2 tra i
pendoli e le rispettive verticali. Studiamo i seguenti punti:
a) Trovare una configurazione di equilibrio stabile;
b) Calcolare le corrispondenti pulsazioni proprie;
c) Determinare i modi normali;
d) Nel caso k 2 << mg/ℓ, evidenziare il fenomeno dei battimenti ovvero del trasferimento
d’energia.
a) Ponendo un sistema di riferimento avente origine in PA , con l’asse y verticale ascendente e con
il punto PB sull’asse x avremo le seguenti relazioni cinematiche:
{
xA = ℓ sin θ1
,
yA = −ℓ cos θ1
{
xB = d + ℓ sin θ2
yB = −ℓ cos θ2
da cui
B − A = ℓ(− sin θ1 + sin θ2 + d)ı̂ + ℓ(− cos θ2 + cos θ1 )ȷ̂.
Segue che l’energia potenziale del sistema è:
V
1
= mgyA + mgyB + k 2 (|A − B| − d)2 = −mgℓ(cos θ1 + cos θ2 ) +
2
(
)2
1 2 √ 2
+ k
d + 2dℓ(sin θ2 − sin θ1 ) + 2ℓ2 − 2ℓ2 cos(θ2 − θ1 ) − d .
2
Come ci si aspetta, la funzione V (θ1 , θ2 ) ha un minimo relativo nella configurazione (0, 0) in corrispondenza al quale ha il valore V (0, 0) = −2mgℓ.
b) L’approssimazione quadratica di V (θ1 , θ2 ) in un intorno di (0, 0) è:
(
Ṽ
)
(
)
√
2
1
1
1
= −mgℓ 1 − θ12 + 1 − θ22 + k 2
[d + ℓθ2 − ℓθ1 ]2 − d
2
2
2
1 2 2
1
2
2 2
mgℓ (θ1 + θ2 ) + k ℓ (θ2 − θ1 )2 + costante
=
2
2
]
1[ 2
2 2
=
θ1 (mgℓ + k ℓ ) + θ22 (mgℓ + k 2 ℓ2 ) − 2k 2 ℓ2 θ1 θ2 + costante.
2
70
D’altra parte l’energia cinetica è
1
T = mℓ2 (θ̇12 + θ̇22 ) ≡ T̃ .
2
Quindi le matrici A e B sono:
(
A = mℓ
2
1 0
0 1
)
(
, B=
mgℓ + k 2 ℓ2
−k 2 ℓ2
−k 2 ℓ2
mgℓ + k 2 ℓ2
)
.
L’equazione secolare det(B − λA) = 0 assume la forma (mgℓ + k 2 ℓ2 − mℓ2 λ )2 − k 4 ℓ4 = 0. Da ciò si
ottengono gli autovalori e le pulsazioni proprie:
λ1 = g/ℓ, λ2 = g/ℓ + 2k 2 /m ⇒ ω1 =
√
√
g/ℓ + 2k 2 /m.
g/ℓ, ω2 =
c) Per avere i due modi normali determiniamo i due autovettori wj , j = 1, 2, tali che (B −λA)w =
0. Avremo il sistema (per semplicitá poniamo ℓ = m = g = 1)
{
(1 + k 2 − λ)w1 − k 2 w2 = 0
.
−k 2 w1 + (1 + k 2 − λ)w2 = 0
Sostituendo λ1 = 1 avremo
(
k w − k w = 0, cioé w1 =
2
1
2
2
1
1
)
.
Sostituendo λ2 = 1 + 2k 2 avremo
(
−k w − k w = 0, cioé w2 =
2
1
2
2
1
−1
)
.
Allora nel primo modo normale si ha
(
θ1 (t)
θ2 (t)
)
(
=
1
1
)
(
Q1 (t) =
1
1
)
C1 cos(ω1 t + γ1 )
ovvero
θ1 (t) = θ2 (t) = C1 cos(ω1 t + γ1 )
cioè i pendoli oscillano in fase (la molla non lavora). Nel secondo modo normale:
(
θ1 (t)
θ2 (t)
)
(
=
1
−1
)
(
Q2 (t) =
1
−1
)
C2 cos(ω2 t + γ2 )
ovvero
θ1 (t) = −θ2 (t) = C2 cos(ω2 t + γ2 )
71
cioè i pendoli oscillano in opposizione di fase.
d) Supponiamo che per t = 0 sia (θ10 , θ20 ) = (0, 0), θ̇20 = 0, e che ad uno dei due pendoli sia impressa
una velocità θ̇10 = v. Proviamo che dopo qualche istante T il primo pendolo è quasi immobile
e tutta l’energia passa al secondo. Dalle relazioni precedenti i dati iniziali si traducono come:
v
Q1 (0) = 0, Q2 (0) = 0, Q̇1 (0) = Q̇2 (0) = √ .
2
Ora, le posizioni iniziali implicano:
Q1 (t) = c1 sin t, Q2 (t) = c2 sin ωt
dove
ω=
√
1 + 2k 2 ∼ 1 + k 2 + O(k 4 ) per k 2 << 1
e le velocità inziali comportano: c1 =
√v
2



 θ1 =
√1
2


 θ =
2
√1
2
e c2 =
(
(
v
√
.
ω 2
√v
2
sin t +
√v
2
sin t −
Allora la soluzione ha la forma
ω
v
√
)
sin ωt
2
v
√
ω 2
) .
sin ωt
Ora ω ∼ 1 + k 2 e quindi ω −1 ∼ 1 − k 2 e quindi si ottiene



 θ1 ≈
v
2


 θ ≈
2
v
2
(sin t + sin ωt) = v cos
(
)
ω−1
t
2
sin
(
)
(sin t − sin ωt) = −v cos
ω+1
t
2
(
)
ω+1
t
2
sin
(
) .
ω−1
t
2
2
∼ k2 e ω+1
∼ 1. Quindi θ1 oscilla con pulsazione ω+1
che è dell’ordine di 1 e con ampiezza
con ω−1
2
2
2
2
che varia lentamente secondo la legge v cos(k t/2). L’oscillazione del primo pendolo sarà quasi nulla
dopo un tempo T = kπ2 , allorché oscillerà praticamente solo il secondo pendolo. Dopo un tempo 2T
oscillerà praticamente solo il primo pendolo, e cosı̀ via (battimenti, ovvero trasferimento periodico
dell’energia da un pendolo all’altro).
3.6.2
Bipendolo
Consideriamo il sistema meccanico costituito da due aste rigide AB e BC di uguale massa m e
lunghezza 2ℓ, incernierate in B. Il punto A è fisso e il sistema oscilla in un piano verticale soggetto alla
sola forza peso. Andiamo a studiare le piccole oscillazioni di questo sistema, usualmente denominato
bipendolo, attorno alla sua posizione di equilibrio stabile. Il sistema ha due gradi di libertà e
possiamo assumere come parametri lagrangiani gli angoli θ1 e θ2 che formano le due aste con il
semiasse verticale discendente. L’energia cinetica ed il potenziale, di cui tralasciamo il calcolo
dettagliato, sono date da
[
4
16 2
1
θ̇1 + 4 cos(θ1 − θ2 )θ̇1 θ̇2 + θ̇22
T = mℓ2
2
3
3
72
]
e
U = mgℓ(3 cos θ1 + cos θ2 ).
È immediato verificare che il sistema ammette le 4 configurazioni di equilibrio (0, 0), (0, π), (π, 0)
e (π, π) in cui la sola (θ1 = 0, θ2 = 0) è stabile. Seguendo l’analisi appena esposta scriviamo la
Lagrangiana linearizzata dove
[
4
1
16 2
θ̇1 + 4θ̇1 θ̇2 + θ̇22
T̃ = mℓ2
2
3
3
]
e
1
Ũ = − mgℓ(3θ12 + θ22 ).
2
Introducendo le matrici A e B abbiamo che
(
A=
16
mℓ2
3
2
2mℓ
2mℓ2
4
mℓ2
3
)
(
, B=
3mgℓ 0
0
mgℓ
)
.
L’equazione che fornisce gli autovalori della matrice B rispetto alla matrice A è data da
)
 (

mℓ2 λ
3mgℓ − 16
3

det
(−2mℓ2 λ)
(−2mℓ2 λ)
(
)  = 0,
mgℓ − 43 mℓ2 λ
ossia
28 2 28 2
λ − ω λ + 3ω 4 = 0, ω 2 = g/ℓ
9
3
che ha soluzioni
[
λ1,2 = ω 2
√ ]
3
(7 ± 2 7)
14
da cui le due frequenze proprie sono dunque
v (
)
u
u
1
1
t
λj = ω 3
± √ , j = 1, 2.
√
ωj =
2
7
Denotate con Q1 (t) e Q2 (t) le coordinate normali, le oscillazioni proprie sono date da
Qj (t) = Cj cos(ωj t + γj ), j = 1, 2
dove le costanti Cj e γj sono da determinarsi attraverso le condizioni iniziali. Volendo infine tornare
alle coordinate iniziali θ1 e θ2 siano
(
w1 =
√
7+2 7
3
√
−35 − 16 7
)
(
e w2 =
√
7−2 7
3
)
√
−35 + 16 7
gli autovettori associati agli autovalori λ1 e λ2 . Allora si ottiene
√
√
7−2 7
θ1 (t) = C1 7+23 7 cos(ω
√1 t + γ1 ) + C2 3 cos(ω2 t + γ2 );√
θ2 (t) = C1 (−35 − 16 7) cos(ω1 t + γ1 ) + C2 (−35 + 16 7) cos(ω2 t + γ2 ).
73
Chapter 4
Equazioni canoniche di Hamilton
4.1
Forma hamiltoniana dei sistemi lagrangiani
Sia dato un sistema lagrangiano, cioé un sistema di n equazioni differenziali del II ◦ ordine
d ∂L
∂L
−
= 0, h = 1, 2, . . . , n,
dt ∂ q̇h ∂qh
(4.1)
in n funzioni incognite q = q(t) della variabile indipendente t, q = (q1 , q2 , . . . , qn ); dove L =
L(q̇, q, t) = T − V è la funzione Lagrangiana. Sostituiamo ora al sistema (4.1) un sistema di 2n
equazioni differenziali del I ◦ ordine avente come incognite le n funzioni qh e n funzioni indipendenti
ph , h = 1, . . . , n. Il nuovo sistema si ottiene sostituendo al sistema (4.1) la relazione che lega le
p, q, q̇ e t attraverso la relazione implicita
ph =
∂L
, h = 1, 2, . . . , n.
∂ q̇h
(4.2)
Le ph si dicono variabili coniugate o anche momenti.
Quando la funzione Lagrangiana proviene da un problema di moto di un sistema olonomo e a
vincoli ideali (eventualmente dipendenti dal tempo), soggetto a forze conservative , si ha
L = T + U, T = T2 + T1 + T0
con
n
n
∑
1 ∑
T2 =
ah,k q̇h q̇k , T1 =
ah q̇h ,
2 h,k=1
h=1
(4.3)
mentre T0 e il potenziale U , al pari dei coefficienti ah,k , ah , dipendono soltanto dalle q ed, eventualmente, dal tempo t. La (4.2) assume la forma
ph =
n
∑
ah,k q̇k + ah , h = 1, 2, . . . , n,
k=1
74
(4.4)
che, risolta rispetto alle q̇, diventa
q̇h = uh =
n
∑
ah,k (pk − ak ), h = 1, 2, . . . , n.
(4.5)
k=1
dove ah,k indica il generico elemento della inversa (ah,k ) della matrice (ah,k ).
visto, forniscono n equazioni risolubili rispetto alle q̇ sotto la forma
Le (4.2), da quanto
q̇h = uh (p, q, t), h = 1, 2, . . . , n;
(4.6)
mentre d’altra parte, le (4.1), in base alle (4.2) e alle loro equivalenti (4.6), danno le
(
ṗh =
∂L
∂qh
)
, h = 1, 2, . . . , n,
(4.7)
q̇=u(p,q,t)
con che le derivate delle nuove incognite p risultano espresse in termini delle p, q e t. Si perviene
cosı̀ al sistema normale del primo ordine nelle 2n funzioni incognite p, q, costituito dalle (4.7) e (4.6).
In particolare si ha che i secondi termini delle (4.6) e (4.7) si possono esprimere nel seguente
modo:
{
∂H
ṗh = − ∂q
h
, h = 1, 2, . . . , n,
∂H
q̇h = ∂p
h
(4.8)
dove
n
∑
∂L
H=
h=1
∂ q̇h
q̇h − L
(4.9)
va qui considerata espressa in termini delle p, q, t tramite le (4.2) e (4.6):
H(p, q, t) =
n
∑
ph q̇h − L(q̇, q, t),
(4.10)
h=1
interpretandovi le q̇ come simboli delle corrispondenti funzioni di p, q, t fornite dalle (4.6).
Ogni sistema del primo ordine che soddisfa alle (4.8), qualunque sia la funzione H(p, q, t), si
dice canonico o Hamiltoniano e le p e q si chiamano variabili canoniche. Nello studio dei
sistemi canonici si interpretano le 2n variabili canoniche p, q come coordinate cartesiane ortogonali
in uno spazio lineare a 2n dimensioni chiamato spazio delle fasi. In questo spazio ogni soluzione
p = p(t), q = q(t) del sistema canonico è rappresentata da una curva (integrale), che spesso,
considerando la t come misura del tempo, si chiama pur essa traiettoria.
Per dimostrare le (4.8) consideriamo le p, q e t come variabili indipendenti e le q̇ come espresse
in funzione di esse dalle (4.6); effettuando il differenziale di H rispetto alle sole variabili p e q, cioé
immaginando di tenere fissa la t, si ha che
δH =
n
∑
h=1
[
]
∂H
∂H
δph +
δqh .
∂ph
∂qh
75
D’altra parte, in base alle (4.10) questa variazione si può scrivere
δH =
n
∑
[
h=1
(
)
]
∂L
∂L
q̇h δph −
δqh + ph −
δ q̇h .
∂qh
∂ q̇h
Confrontando queste due espressioni, ricordando le (4.2) e (4.7) e in forza della arbitrarietà di δqh e
δph si trova che devono essere verificate le (4.8).
Osserviamo anche che differenziando la (4.10) tenendo ora variabile t si ottengono le relazioni
dH =
n
∑
h=1
e
dH =
n
∑
h=1
[
[
]
∂H
∂H
∂H
dph +
dqh +
dt
∂ph
∂qh
∂t
(
)
]
∂L
∂L
∂L
dqh + ph −
dq̇h −
dt
q̇h dph −
∂qh
∂ q̇h
∂t
che, oltre a dare nuovamente le equazioni canoniche, implicano la relazione
∂H
∂L
=− .
∂t
∂t
4.2
(4.11)
Trasformata di Legendre
La trasformazione (4.9) che fa passare dalla funzione Lagrangiana L alla funzione Hamiltoniana H
è un caso particolare di trasformazione più generale che prende il nome di trasformata di Legendre.
Consideriamo, inizialmente, il caso n = 1. Sia f (x) una funzione di classe C 2 (a, b), dove (a, b) è
eventualmente non limitato, e convessa, cioé tale che f ′′ (x) > 0 per ogni x. L’equazione f ′ (x) = y,
per y in un opportuno intervallo (c, d), ammette una unica soluzione x = x(y). Tale funzione x(y)
ha una interpretazione geometrica elementare: introduciamo la funzione d(x, y) = xy − f (x) che
corrisponde alla distanza (con segno) tra il punto sulla curva di ascissa x ed il punto sulla retta,
passante per l’origine e con coefficiente angolare y; il punto x(y) è quello che rende, localmente,
massima tale distanza.
Per costruzione il grafico di f (x) è tangente alla retta con coefficiente angolare y in x(y).
Definizione. Si chiama trasformata di Legendre di f (x) la funzione
g(y) = d[x(y), y] = x(y)y − f [x(y)].
Si prova ora che:
Teorema. La trasformata di Legendre è involutiva; cioè la trasformata di Legendre di g è la f .
Dimostrazione: per prima cosa dimostriamo che g ′′ (y) > 0 per ogni y ∈ (c, d); infatti:
g ′ (y) = x(y) + yx′ (y) − f ′ [x(y)]x′ (y) = x(y)
e quindi
g ′′ (y) = x′ (y) = {f ′′ [x(y)]}−1 > 0.
76
Figure 4.1: Interpretazione geometrica della trasformata di Legendre.
La trasformata di Legendre di g(y) sarà definita a partire dalla soluzione della equazione g ′ (y) = x
che, essendo g ′ (y) = x(y), ci dice che y(x) altro non è che l’inversa della funzione x(y). Premesso
ciò calcoliamo la trasformata di Legendre h(x) di g(y):
h(x) = xy(x) − g[y(x)] = xy(x) − [xy(x) − f (x)] = f (x).
Le considerazioni precedenti si estendono al caso di una funzione f (x), x = (x1 , . . . , xn ) di classe
2f
C (Rn ) e tali che la forma quadratica associata alla matrice Hessiana ∂x∂h ∂x
sia definita positiva (o
j
negativa) in modo da invertire il sistema
2
∂f
= yh
∂xh
definendo la funzione vettoriale y = y(x). Si definisce la trasformata di Legendre di f (x) come
g(y) = y · x − f [x(y)].
È immediato verificare che se la funzione f dipende anche da m parametri α = (α1 , . . . , αm ):
f = f (x, α) = f (x1 , . . . , xn ; α1 , . . . , αm )
allora sarà y = y(x; α) e x = x(y; α), inoltre anche g dipende dagli stessi parametri e
∂f ∂g =−
, h = 1, . . . , m.
∂αh y=y(x)
∂αh x=x
77
(4.12)
Infatti si avrà che x = x(y, α) e quindi g(y, α) = x(y, α)y − f [x(y, α), α] da cui
[
]
n
∑
∂g ∂xj
∂f ∂xj
∂f
∂f
−
=
yj −
=−
.
∂αh y=y(x) j=1 ∂αh
∂xj ∂αh
∂αh
∂αh
Il passaggio tra la Lagrangiana e la Hamiltoniana si ottiene effettuando la trasformata di Legendre
della Lagrangiana sulle solo variabili cinetiche q̇h e lasciando invariate le altre qh . Infatti basta porre
x = q̇ e y = p e prendere come parametri α0 = t e αh = qh , inoltre f (x; α) = L(q̇, q, t). La
trasformazione x = x(y) è implicitamente definita dalla relazione
yh =
∂f
∂L
, ovvero ph =
∂xh
∂ q̇h
e la trasformazione di Legendre sarà definita come
H=
n
∑
q̇h (p, q, t)ph − L[q̇(p, q, t), q, t].
h=1
∂H
∂L
Se applichiamo poi la relazione (4.12) allora segue ∂q
= − ∂q
e ∂H
= − ∂L
. Da questa relazione,
∂t
∂t
h
h
∂L
∂H
∂H
e tenendo conto che ṗh = ∂qh dalle equazioni di Lagrange, segue ṗh = − ∂qh . La relazione q̇h = ∂p
h
vale poiché la trasformata di Legendre è involutiva. In questo modo si sono ritrovate le equazioni
canoniche di Hamilton.
4.3
Funzione Hamiltoniana nel caso dinamico
Per il Teorema di Eulero applicato alla (4.3) sussiste l’identità
n
∑
∂L
h=1
∂ q̇h
q̇h =
n
∑
∂T2
h=1
∂ q̇h
q̇h +
n
∑
∂T1
h=1
∂ q̇h
q̇h = 2T2 + T1 = T + T2 − T0 ,
e quindi la (4.10) assume la forma
H = (T2 ) − T0 − U,
(4.13)
n
1 ∑
(T2 ) =
ah,k (pk − ak )(ph − ah )
2 h,k=1
(4.14)
dove
denota la funzione delle p, q, t che dalla T2 si deduce sostituendovi al posto delle q̇ le loro espressioni
(4.5).
Se, in particolare, i vincoli non dipendono dal tempo allora l’energia cinetica si riduce alla
sua parte quadratica T2 e si ha più semplicemente
H = (T ) − U ;
78
(4.15)
cioé la funzione Hamiltoniana non è altro che l’energia meccanica totale del sistema (espressa nelle
coordinate p e q). In particolare si ha che
(T ) =
n
1 ∑
ah,k pk ph .
2 h,k=1
(4.16)
Se poi T nelle q̇ è di forma diagonale
T =
n
1∑
ah,h q̇h2 ,
2 h=1
tutto si riduce, oltre che alla sostituzione delle variabili, al cambiamento di ciascun coefficiente ah,h
nel suo reciproco 1/ah,h :
n
1∑
1 2
(T ) =
ph .
h,h
2 h=1 a
Quando i vincoli non dipendono dal tempo, sostituendo la (4.16) nella (4.15) si riconosce che la
funzione Hamiltoniana è una funzione quadratica nelle p definita positiva, omogenea e a coefficienti
dipendenti dalle q.
4.4
Esempi di funzione Hamiltoniana
4.4.1
Punto libero
1) Punto libero di massa m riferito ad un sistema di coordinate cartesiane (x, y, z). Abbiamo che
T =
)
1( 2
mẋ + mẏ 2 + mż 2 .
2
La corrispondente energia cinetica riferita nelle variabili coniugate, vale
1
(T ) =
2
(
)
p2x p2y p2z
+
+
.
m m m
2) Punto libero di massa m riferito ad un sistema di coordinate polari sferiche (r, θ, φ). Abbiamo
che
T =
)
1( 2
mṙ + mr2 θ̇2 + mr2 sin2 θφ̇2 .
2
La corrispondente energia cinetica riferita nelle variabili coniugate, vale
1
(T ) =
2
(
)
p2φ
p2θ
p2r
.
+
+
m mr2 mr2 sin2 θ
79
3) Punto libero di massa m riferito ad un sistema di coordinate polari cilindriche (r, θ, z). Abbiamo che
)
1( 2
T =
mṙ + mr2 θ̇2 + mż 2 .
2
La corrispondente energia cinetica riferita nelle variabili coniugate, vale
1
(T ) =
2
4.4.2
(
)
p2r
p2
p2
+ θ2 + z .
m mr
m
Solido con punto fisso
Consideriamo un solido fissato in un punto O e assumiamo come parametri lagrangiani gli angoli
di Eulero θ, φ e ψ. Con una scelta opportuna del sistema di riferimento solidale con origine in O
l’energia cinetica ha la forma
T =
)
1( 2
Ap + Bq 2 + Cr2
2
dove si ricorda (??)


 p
= ψ̇ sin θ sin φ + θ̇ cos φ = α3 ψ̇ + θ̇ cos φ
q = ψ̇ sin θ cos φ − θ̇ sin φ = β3 ψ̇ − θ̇ sin φ


r = ψ̇ cos θ + φ̇
= γ3 ψ̇ + φ̇
essendo


 α3


β3
γ3
= sin θ sin φ
= sin θ cos φ
= cos θ
i coseni direttori dell’asse fisso (O; z) rispetto agli assi solidali. I momenti coniugati valgono


pθ







=
∂T
∂ θ̇
= Ap cos φ − Bq sin φ,
pφ =
∂T
∂ φ̇
= Cr,
=
∂T
∂ ψ̇
= Apα3 + Bqβ3 + Crγ3







 pψ
.
Da tale relazione si trae


 Ap


Bq
Cr
= pθ cos φ + σ sin φ
= −pθ sin φ + σ cos φ
= pφ
dove σ =
pψ − pφ cos θ
sin θ
e quindi
[
]
1 (pθ cos φ + σ sin φ)2 (pθ sin φ − σ cos φ)2 p2φ
(T ) =
+
+
.
2
A
B
C
80
4.5
Significato fisico dei momenti coniugati
Supponiamo che una coordinata qh sia ciclica, cioé L non dipende esplicitamente da qh . In questo
caso il momento coniugato ph = ∂∂L
si conserva poiché
q̇h
ṗh =
∂L
d ∂L
=
=0
dt ∂ q̇h
∂qh
e esse assumono, sotto alcune circostanze, un significato fisico notevole.
4.5.1
Significato fisico della costante del moto ph quando la coordinata
ciclica qh è una coordinata cartesiana
Consideriamo la Hamiltoniana nel caso dinamico. Si prova il seguente risultato:
Teorema. Se qh è tale che una sua variazione rappresenti una traslazione rigida del sistema
meccanico in una data direzione â allora ph è proporzionale alla componente della quantità
di moto lungo la direzione â:
ph = c
N
∑
ms⃗vs · â,
(4.17)
s=1
dove c è un fattore moltiplicativo.
Dimostrazione: Per ipotesi ogni variazione di qh causa una traslazione rigida di ogni punto Ps
s
= câ, s = 1, . . . , N , dove c è indipendente da s poiché si tratta
lungo la direzione â, cioé si ha: ∂P
∂qh
di una traslazione rigida. Usiamo ciò per trovare il significato di ph :
ph =
N
∑
∂T
∂⃗vs
=
ms⃗vs ·
∂ q̇h s=1
∂ q̇h
(4.18)
dove
[
]
n
∂Ps
∂⃗vs
∂ ∑
∂Ps
∂Ps
=
q̇i +
=
= câ
∂ q̇h
∂ q̇h i=1 ∂qi
∂t
∂qh
(4.19)
che sostituita nella precedente ci permette di ottenere la (4.17); ovvero ph è proporzionale alla
componente della quantità di moto lungo la direzione di traslazione.
Se il sistema meccanico è invariante per traslazioni in una certa direzione, cioé la
Lagrangiana (o, in modo equivalente, la Hamiltoniana) resta immutata dopo aver traslato tutti i
punti materiali in tale direzione come se fossero un corpo rigido, allora si conserva la componente
della quantità di moto totale in tale direzione. Infatti, se il sistema meccanico è invariante
per traslazioni in una direzione â, le coordinate si possono scegliere in modo tale che sia ciclica una di
esse, qh , quella di traslazione nella direzione â. Allora si conserva il momento coniugato ph e quindi
la quantità di moto lungo â. Ad esempio: sia L = m2 (ẋ2 + ẏ 2 ) + U (x) invariante per traslazioni
(dell’unico punto) parallele all’asse y, quindi mẏ = costante.
81
4.5.2
Significato fisico della costante del moto ph quando la coordinata
ciclica qh è un angolo
si prova il seguente risultato:
Teorema. Se qh è tale che una sua variazione rappresenti una rotazione rigida del sistema
meccanico attorno ad un dato asse (O; â) allora ph è proporzionale alla componente del
momento della quantità di moto lungo la direzione â:
N
∑
⃗
ph = cK(O)
· â = câ ·
ms⃗vs × (O − Ps ),
s=1
dove c è un fattore moltiplicativo.
Dimostrazione: Per ipotesi la variazione di qh causa una rotazione rigida di ogni punto Ps attorno
s
a un asse (O, â). Quindi, dalla cinematica rigida: ∂P
= câ × (Ps − O), s = 1, . . . , N , per una
∂qh
opportuna costante c indipendente da Ps , da cui segue
∂⃗vs
∂Ps
=
= câ × (Ps − O) .
∂ q̇h
∂qh
Sostituendo tale relazione nella (4.19) otteniamo
ph = c
N
∑
ms⃗vs · â × (Ps − O) = c
s=1
N
∑
ms⃗vs × (O − Ps ) · â.
s=1
Da questo teorema segue che se il sistema meccanico è invariante per rotazioni rigide
intorno a un certo asse, allora si conserva la componente del momento angolare totale
rispetto a quell’asse. Ad esempio: nel moto per inerzia di un corpo rigido con punto fisso O,
si conserva il momento angolare rispetto a un qualunque asse. Infatti, facendo uso degli
angoli di Eulero
′
⃗ω = ψ̇ k̂ + θ̇N̂ + φ̇k̂
si hanno le componenti della velocità angolare rispetto ad assi solidali


 p
= ψ̇ sin θ sin φ + θ̇ cos φ
q = ψ̇ sin θ cos φ − θ̇ sin φ


r = ψ̇ cos θ + φ̇.
(4.20)
Nel moto per inerzia L = T = 12 (Ap2 + Bq 2 + Cr2 ) è indipendente da ψ e quindi invariante per
rotazioni intorno all’asse (O; z) poiché l’angolo ψ individua le rotazioni rigide attorno a tale asse.
Dunque si conserva il momento angolare rispetto all’asse z. Per l’assenza di forze esterne in realtà
z si può scegliere a piacere, dunque si conserva il momento angolare.
82
4.6
4.6.1
Flusso Hamiltoniano e teorema di Liouville
Flusso Hamiltoniano
Sarà utile nel seguito introdurre una notazione vettoriale per le equazioni canoniche di Hamilton
(4.8). Sia
(
x=
p
q
)
(
e J=
On −In
In On
)
dove In e On sono, rispettivamente, la matrice identità e la matrice nulla di ordine n; nella notazione
matriciale conviene assumere p e q come vettori colonna.
Nota
(
)bene: Con abuso di notazione indichiamo indifferentemente x = (p, q), vettore riga, o
p
x=
, vettore colonna, a seconda delle circostanze.
q
Le equazioni canoniche di Hamilton assumono quindi la seguente forma:
(
ẋ = J grad H(p,q) = J
)
∂H
∂p
∂H
∂q
(4.21)
dove il gradiente è effettuato facendo prima le derivate rispetto alle p e poi alle q.
J grad (p,q) viene talvolta chiamato gradiente simplettico.
Osserviamo che questa notazione suggerisce la seguente interpretazione:
(
J grad
(p,q) H
=
− ∂H
∂q
L’operatore
)
(4.22)
∂H
∂p
definisce un campo vettoriale sullo spazio delle fasi e le (4.21) sono le equazioni per le linee di
flusso di tale campo. Questo campo prende anche il nome di campo Hamiltoniano. Si dimostra
che tale campo vettoriale è solenoidale:
Teorema. Se H ammette derivata continua fino al secondo ordine nelle q e p allora
[
div J grad
]
(p,q) H = 0.
Dimostrazione: La dimostrazione è immediata, infatti
[
div J grad
(p,q) H
]
=
n
∑
h=1
[
]
∂ 2H
∂2H
−
=0
∂ph ∂qh ∂qh ∂ph
in virtù delle ipotesi e del Teorema di Schwartz sullo scambio dell’ordine di derivazione.
Vale inoltre la seguente proprietà:
Teorema. Se H = H(p, q) è indipendente dal tempo, il campo Hamiltoniano (4.22) è tangente
ad ogni punto regolare della superficie di energia costante H(p, q) = E.
Dimostrazione: Infatti il gradiente di H è sempre ortogonale al gradiente simplettico di H:
grad
(p,q) H · J grad
(p,q) H =
n
∑
∂H ∂H
h=1
83
∂qh ∂ph
−
∂H ∂H
= 0.
∂ph ∂qh
Da cui segue la tesi poiché grad
(p,q) H(è
Definizione. Ad ogni punto x0 =
(
)
normale alla superficie H(p, q) = costante.
)
p0
∈ R2n dello spazio delle fasi si può associare il punto
q0
p(t)
x(t) =
, ottenuto integrando le equazioni canoniche di Hamilton con la condizione iniziale
q(t)
x(0) = x0 , per ogni t appartenente ad un dato intervallo (t1 , t2 ) contenente t0 = 0 (e dipendente da
x0 ). Questa trasformazione viene denotata
S t : R2n →
R2n
x0 7→ x(t) = S t (x0 )
e prende il nome di flusso nello spazio delle fasi associato alla Hamiltoniana H.
L’intervallo (t1 , t2 ) sarà il massimo intervallo di definizione della soluzione delle equazioni canoniche di Hamilton, in alcuni casi esso coincide con l’intero asse reale e, per semplicità, pensiamo di
essere sempre in questo caso.
Si può dimostrare che se la funzione Hamiltoniana è indipendente dal tempo allora S t
è un gruppo ad un parametro di trasformazioni dello spazio delle fasi su se stesso, in
particolare si ha che
(
)
[
(
=
4.6.2
]
S t ◦ S s (x0 ) = S t [S s (x0 )] = S t+s (x0 ) = S s S t (x0 )
)
S s ◦ S t (x0 ).
Flusso Hamiltoniano per l’oscillatore armonico
Sia n = 1, quindi lo spazio delle fasi è il piano (p, q) ∈ R2 , e sia H = H(p, q) = 21 (p2 + ω 2 q 2 ) la
funzione Hamiltoniana per l’oscillatore armonico. In ogni punto del piano delle fasi è applicato il
campo Hamiltoniano
(
J grad
(p,q) H
=
∂H
∂p
− ∂H
∂q
)
(
=
p
−ω 2 q
)
che è il secondo membro delle equazioni canoniche:
{
ṗ = −ω 2 q
.
q̇ = p.
(4.23)
(
Per ω = 1 la curva di livello H(p, q) = E è un cerchio.
Ebbene: mentre grad
(
)
(p,q) H
=
p
q
)
è
−q
ortogonale al cerchio, il campo Hamiltoniano J grad H(p,q) =
è tangente al cerchio, che è
p
effettivamente la traiettoria dell’oscillatore armonico nel piano delle fasi. Se ω ̸= 1, la curva di
livello di H è un’ellisse, alla quale risulta tangente il campo J grad (p,q) H. Per calcolare il flusso
84
Figure 4.2: Gradiente e gradiente simplettico per l’oscillatore armonico.
dell’oscillatore armonico conviene derivare la prima delle (4.23) e sostituirvi la seconda ottenendo
q̈ = −ω 2 q. Alla soluzione generale:
{
q(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt)
p(t) = −Aω sin(ωt) + Bω cos(ωt)
si impone (p(0), q(0)) = (p0 , q0 ) e si ottiene il flusso di fase:
(
S
t
p0
q0
)
(
→
p(t)
q(t)
)
(
=
cos(ωt)
ω −1 sin(ωt)
−ω sin(ωt) cos(ωt)
)(
p0
q0
)
.
(4.24)
Esso è, per ogni t, una trasformazione lineare. Nel caso speciale ω = 1 è una rotazione di angolo t
intorno all’origine. Osserviamo che la S t è la mappa di evoluzione al tempo t. Non dipendendo poi
esplicitamente H dal tempo, allora anche il campo vettoriale J grad (p,q) H dipende solo dal punto
(p, q). Quindi S s , applicata al punto S t (p0 , q0 ), dà risultato uguale a quello della mappa S t+s applicata
a (p0 , q0 ).
4.6.3
Teorema di Liouville
Il flusso Hamiltoniano (4.24) per l’oscillatore armonico è definito attraverso la trasformazione lineare
associata alla matrice
(
cos(ωt)
ω −1 sin(ωt)
−ω sin(ωt) cos(ωt)
85
)
Figure 4.3: Flusso Hamiltoniano e trasformazione del dominio Ω(t).
Si osserva facilmente che questa matrice ha determinante 1, ciò significa che la trasformazione lineare
del piano su sé stesso lascia inalterate le misure dei volumi. Questa è una notevole proprietà generale
del flusso Hamiltoniano valida per ogni sistema. Infatti, vale il seguente:
Teorema di Liouville: Il flusso Hamiltoniano nello spazio delle fasi conserva i volumi.
Dimostrazione: Dobbiamo fare vedere che per ogni t l’immagine Ω(t) = S t (Ω) di un qualsiasi
dominio Ω ⊂ R2n di frontiera regolare ha la stessa misura di Ω. A tal fine introduciamo la funzione v(t) = volume[Ω(t)] e consideriamo la funzione v̇(t). La variazione di volume nell’intervallo
infinitesimo dt è data, a meno di infinitesimi di ordine superiore, da
∫
[
dv =
∂Ω(t)
J grad
(p,q) H
∫
]
n
[
dσdt =
Ω(t)
div J grad
]
(p,q) H dV dt
da cui segue
∫
[
v̇ =
Ω(t)
[
]
[
div J grad
(p,q) H
]
]
dV
dove J grad (p,q) H = J grad (p,q) H · N̂ essendo N̂ la normale esterna; pertanto v̇(t) è il flusso del
n
campo uscente attraverso la superficie
∂Ω(t). Da
[
] ciò, dal teorema della divergenza e dal fatto che
la divergenza del campo vettoriale J grad (p,q) H è nulla segue v̇ = 0.
Da questo Teorema si ha la seguente proprietà: chiamando punti singolari le soluzioni costanti
della equazione
ẋ = J grad
(p,q) H
86
[
]
allora si dimostra che ogni punto singolare del sistema ẋ = J grad (p,q) H con div J grad (p,q) H =
0 non può essere asintoticamente stabile. Infatti se x0 fosse asintoticamente stabile allora esisterebbe una sfera di centro x0 tale che le traiettorie in essa originate tenderebbero asintoticamente
a x0 ; il volume dell’immagine della sfera tenderebbe quindi a zero per t → ∞ contraddicendo il
Teorema di Liouville.
Osserviamo che il teorema di Liouville asicura la conservazione dei volumi, non della forma.
Infatti si possono presentare situazioni diverse che, per analogia, possono essere simili a quanto
succede quando misceliamo due liquidi diversi. Ad esempio, se versiamo dell’olio in un bicchiere
d’acqua e mescoliamo il composto (immaginiamo, per analogia, che l’operazione di mescolamento
eequivalga alla trasformazione indotta dal flusso Hamiltoniano nel piano delle fasi) si ha che i due
liquidi rimangono separati e quindi abbiamo sia la conservazione del volume dell’olio (ovvia) che,
sostanzialmente, della forma. Se invece misceliamo due vernici di tinta diversa (ad esempio una tinta
rossa su una base bianca) e mescoliamo il composto abbiamo ancora la conservazione del volume delle
due vernici, ma non della forma; infatti le molecole della vernice rossa sono, approssimativamente,
uniformemente distribuite all’interno della vernice bianca. Tornando alle trasformazioni nello spazio
delle fasi si denotano come ergodiche o mixing le trasformazioni che soddisfano caratteristiche del
secondo tipo.
4.7
Coordinate cicliche — formalismo Hamiltoniano
Una coordinata qh è detta ciclica o ignorabile quando non figura nella Hamiltoniana. Ciò equivale
a non figurare nella Lagrangiana, come si vede dal fatto che:
∂H
d
= −ṗh = −
∂qh
dt
(
∂L
∂ q̇h
)
=−
∂L
.
∂qh
(4.25)
Oppure, ricordando che
H=
n
∑
pj q̇j (p, q, t) − L[q̇(p, q, t), q, t]
j=1
si ha immediatamente che
n
n
∑
∂H
∂ q̇j ∑
∂L ∂ q̇j
∂L
∂L
=
pj
−
−
=−
.
∂qh j=1 ∂qh j=1 ∂ q̇j ∂qh ∂qh
∂qh
In particolare si possono avere i risultati già noti nella meccanica Lagrangiana nel caso di variabili
cicliche; infatti se la funzione L(q̇, q, t) di un sistema lagrangiano non dipende da una data qh ,
altrettanto accade nelle (4.2) e nelle (4.6) (che derivano dalle (4.2) risolvendole rispetto alle q̇).
Si ha il seguente risultato:
Teorema. Se vi è una coordinata ciclica qh allora il momento coniugato ph è un integrale primo
del moto; inoltre il problema si riconduce a equazioni di Hamilton di un sistema ad n − 1 gradi di
libertà.
87
∂H
∂q1
Dimostrazione: Supponiamo per semplicità h = 1, cioé sia H indipendente da q1 , quindi si ha
= 0, e risulta dalla corrispondente equazione (4.8) che sussiste l’integrale
p1 = Cost. = α.
(4.26)
Se ne consegue che la funzione Hamiltoniana H(p, q, t) dipenderà dalle 2(n−1) variabili (p2 , . . . , pn , q1 , . . . , q
da t (eventualmente) e dal parametro α. Le equazioni (4.8) si riducono ad un sistema di 2(n − 1)
equazioni e, una volta risolto questo, la residua equazione q̇1 = ∂H
può essere risolta per quadrature
∂α
ottenendo
∫
q1 (t) = q1 (t0 ) +
t
t0
∂H[p2 (t), . . . , pn (t), q2 (t), . . . , qn (t); α, t]
dt.
∂α
Osserviamo che nel formalismo lagrangiano il fatto che q1 sia ciclica non diminuisce il numero di
gradi di libertà: in generale la Lagrangiana resta funzione della velocità generalizzata q̇1 e restano
da risolvere n equazioni in n incognite (a meno di non introdurre la Lagrangiana ridotta con che
si riduce il sistema di un grado di libertà). Nel formalismo hamiltoniano, invece, la coordinata
ciclica è davvero ”ignorabile”. Infatti:
q1 ciclica ⇒ p1 (t) ≡ α ⇒ H = H(p2 , ..., pn , q2 , ..., qn , α, t).
Di fatto ora la Hamiltoniana descrive un sistema con n − 1 gradi di libertà: la coordinata ciclica è
tenuta in considerazione solo tramite la costante α, da determinare in base ai dati iniziali.
4.8
Esercizi
1) Sia data un’asta AB rigida omogenea, di lunghezza ℓ e massa m, mobile nel piano (O; x, y),
(O; y) verticale ascendente, e vincolata in A a scorrere senza attrito sull’asse (O; x). Sull’asta
agisce, oltre che alla forza peso, una forza costante (B, F⃗ = Fı̂), F > 0. Assumendo come
parametri lagrangiani la coordinata ascissa di A e l’angolo che l’asta forma con l’asse orizzontale,
si domanda:
i) la funzione Lagrangiana;
ii) la funzione Hamiltoniana;
iii) le equazioni canoniche di Hamilton.
3) Consideriamo un oscillatore accoppiato costituito da due punti materiali P1 e P2 di massa m,
vincolati a scorrere lungo l’asse x e collegati tra loro mediante 3 molle con la prima e ultima
molla avente estremi fissati in due punti A e B distanti ℓ tra loro:
A − molla − P1 − molla − P2 − molla − B.
Denotando con k la costante di elasticità delle due molle esterne e con K quella della molla
interna e assumendo quali parametri lagrangiani le distanze tra A e P1 e tra P2 e B si domanda:
88
i) la funzione Lagrangiana;
ii) la funzione Hamiltoniana;
iii) le equazioni canoniche di Hamilton.
89
Chapter 5
Principio variazionale di Hamilton.
5.1
Premesse
Si è già visto come tutte le leggi della Meccanica dei sistemi materiali a vincoli privi di attrito siano
sostanzialmente sintetizzate nel principio dei lavori virtuali o nella conseguente relazione simbolica della Dinamica. È comunque possibile ottenere formulazioni sostanzialmente equivalenti
in modo diverso richiedendo che le leggi della Meccanica soddisfino a certe principi variazionali. In
questo capitolo studieremo il principio di minima azione di Hamilton. In ogni caso supporremo
che si tratti di sistemi materiali soggetti esclusivamente a vincoli bilaterali e privi di attrito.
5.2
Principio variazionale di Hamilton
Consideriamo un arbitrario sistema olonomo con coordinate indipendenti q = (q1 , q2 , . . . , qn ) e la
funzione Lagrangiana L(q̇, q, t). L’integrale
∫
t2
A=
t1
L[q̇(t), q(t), t]dt
(5.1)
è detto azione (nel senso di Hamilton) durante un intervallo di tempo (t1 , t2 ) prefissato. L’azione
A è un funzionale che dipende dalle funzioni q(t) = (q1 (t), q2 (t), . . . , qn (t)).
Se specifichiamo arbitrariamente le funzioni qh (t), h = 1, . . . , n, otteniamo una traiettoria cinematicamente possibile, cioè un compatibile con i vincoli. Tuttavia questa traiettoria può non essere
un moto del sistema.1 Nello spazio delle configurazioni q ∈ Rn consideriamo tutte queste possibili
curve, o ”traiettorie”, passanti per due determinati punti dello spazio q1 e q2 , fissati i tempi iniziale e finale t1 e t2 . Diversamente i moti sono arbitrari. Questa classe di moti viene denominata
M(t1 ,t2 ,q1 ,q2 ) ed è definita come
M(t1 ,t2 ,q1 ,q2 ) = {q ∈ C 2 ([t1 , t2 ], Rn ) : q(t1 ) = q1 , q(t2 ) = q2 }.
1
In altri termini: nella definizione del funzionale Azione non è richiesto che le qh (t), h = 1, . . . , n soddisfino le
equazioni del moto e dunqe rappresentino un moto vero. Anzi, il principio variazionale di Hamilton, che stiamo per
enunciare, consiste nel confrontare il moto vero con traiettorie che non rappresentano un moto del sistema, ma sono
solo cinematicamente possibili.
90
Figure 5.1: Esempio di due ”traiettorie” ammissibili, cioé tali che all’istante iniziale e all’istante finale sono in punti
prefissati.
Quindi
A : M(t1 ,t2 ,q1 ,q2 ) → R
ovvero il funzionale azione A ha M(t1 ,t2 ,q1 ,q2 ) come dominio e dipende dalla legge q = q(t):
A = A(q).
Nella impostazione classica si sono determinate le equazioni di Lagrange come conseguenza delle
leggi di Newton e del principio dei lavori virtuali. È tuttavia possibile fare derivare le equazioni di
Lagrange partendo dal seguente postulato:
Postulato (principio variazionale di Hamilton): Sia dato un sistema meccanico olonomo
ad n gradi di libertà con Lagrangiana L(q̇, q, t). Ogni legge del moto q(t) nell’intervallo di tempo
[t1 , t2 ] con prescritti valori agli estremi q(t1 ) = q1 = (q11 , . . . , qn1 ) e q(t2 ) = q2 = (q12 , . . . , qn2 ) rende
stazionaria l’azione di Lagrangiana L in M(t1 ,t2 ,q1 ,q2 ) :
∫
t2
A(q) :=
t1
L [q̇(t), q(t), t] dt.
(5.2)
Quindi: fra tutte le traiettorie cinematicamente possibili durante [t1 , t2 ] che il sistema potrebbe
scegliere e che hanno gli stessi valori agli estremi, viene selezionata quella che rende stazionaria (ad
es. minima) l’azione di Lagrangiana L.
Andiamo a precisare meglio questa osservazione: consideriamo i moti variati sincroni
q(t; α) = q(t) + αη(t)
91
dove α ∈ R è un parametro reale e η = (η1 , . . . , ηn ) ∈ M(t1 ,t2 ,0,0) , cioé
η ∈ C 2 ([t1 , t2 ], Rn ) e η(t1 ) = η(t2 ) = 0
(5.3)
e si calcola su di essi il funzionale azione:
∫
t2
A[q(·; α)] =
t1
L[q̇(t; α), q(t; α), t]dt.
Osserviamo che il nuovo termine che otteniamo dipende dal numero reale α e dalle funzioni q ed
η; se pensiamo che queste funzioni sono fissate allora abbiamo costruito una funzione
I: R →
R
α 7→ I(α) = A[q(·; α)]
che dipende da q ed η intesi come parametri. In quanto funzione dipendente da una variabile reale
ne possiamo calcolare la derivata ed il differenziale:
dI dI :=
dα
dα α=0
che sarà dipendente da q e η.
Definizione. Si dice che il funzionale A(q) è stazionario per una dato q se
dI = 0, ∀η ∈ M(t1 ,t2 ,0,0) .
(5.4)
Il principio variazionale di Hamilton può quindi essere formulato nel seguente modo: q = q(t) è
la legge del moto se, e solo se, q soddisfa alla (5.4).
In particolare se q risulta un minimo per il funzionale allora il funzionale è stazionario in q e
quindi q è la legge del moto.
5.3
Esempi
Questa postulato (come tutti i postilati) si basa su osservazioni empiriche.
esempi significativi per i quali si osserva la validità del postulato.
5.3.1
Consideriamo alcuni
Moto di un grave
Scegliamo il riferimento in modo che il moto naturale abbia equazioni
1
x0 (t) = vx t, y0 (t) = 0, z0 (t) = − gt2 + vz t
2
avendo assegnata la velocità iniziale ⃗v = (vx , 0, vz ). I moti variati sincroni sono definiti da
1
xα (t) = vx t + αηx (t), yα (t) = αηy (t), zα (t) = − gt2 + vz t + αηz (t)
2
92
dove η = (ηx , ηy , ηz ) ∈ C 2 ([t1 , t2 ], R3 ) tale che η(t1 ) = η(t2 ) = 0 per assegnati t1 e t2 .
Hamiltoniana è data da
∫
t2
A=
t1
L(q̇, q, t)dt =
∫
t2
t1
[
l’azione
]
1 2
mv − mgz dt.
2
Determiniamo ora la differenza dell’azione tra due moti: quello naturale e quello variato sincrono; è
immediato verificare che risulta
∫ t2 [
]
1
2
I(α) − I(0) = mα
η̇x2 + η̇y2 + η̇z2 dt
2
t1
che dà dI = 0 e che risulta positiva per ogni perturbazione non nulla. Quindi, in questo esempio, i
moti naturali risultano non solo stazionari per l’azione ma rendono minima l’azione.
5.3.2
Oscillatore armonico
Scegliamo il riferimento in modo che il moto naturale abbia equazioni
x0 (t) = a sin(ωt) e y0 (t) = z0 (t) = 0
avendo assegnata la velocità iniziale ⃗v = (vx , 0, 0) e avendo operato una opportuna scelta dell’origine
dei tempi, a è una costante reale. I moti variati sincroni sono definiti da
xα (t) = a sin ωt + αηx (t), yα (t) = αηy (t), zα (t) = αηz (t)
dove η = (ηx , ηy , ηz ) ∈ C 2 ([0, t0 ], R3 ) tale che η(0) = η(t0 ) = 0 per un assegnato t0 .
Hamiltoniana è data da
∫
t2
A=
t1
l’azione
]
1 ∫ t0 [ 2
L(q̇, q, t)dt = m
v − ω 2 (x2 + y 2 + z 2 ) dt
2
0
dove L = 12 mv 2 − 12 mω 2 (x2 + y 2 + z 2 ). Determiniamo ora la differenza dell’azione tra due moti:
quello naturale e quello variato sincrono; è immediato verificare che risulta
I(α) − I(0) = I1 + I2
dove
∫ t2 [
]
1
(η̇x2 + η̇y2 + η̇z2 ) − ω 2 (ηx2 + ηy2 + ηz2 ) dt
I1 = mα2
2
t1
e
∫
I2 = mα
t2
t1
(ẋ0 η̇x − ω 2 x0 ηx )dt
dove il secondo integrale si annulla essendo, per integrazione per parti,
∫
I2 = mα
t2
t1
(ẋ0 η̇x − ω x0 ηx )dt = −mα
2
93
∫
t2
t1
(ẍ0 + ω 2 x0 )ηx dt = 0.
Si può quindi concludere che la variazione I(α) − I(0) valutata sul moto naturale è di ordine 2
rispetto alla perturbazione, da cui segue la stazionarietà di A. Osserviamo infine che, assumendo
per semplicità t1 = 0:
∫
|η(t)| = 0
t
√
∫
√
′
′
η̇(t )dt ≤ t
t
0
η̇ 2 (t′ )dt′ ≤
√
√
∫
t2
t
η̇ 2 (t)dt
0
da cui segue
∫
)
t2 (
1
mα2
I(α) − I(0) =
η̇ 2 − ω 2 η 2 dt
2
0
(
) ∫ t2
1 22
1
2
mα 1 − ω t2
η̇ 2 (t)dt.
≥
2
2
0
√
Quindi l’azione Hamiltoniana risulta minima sul moto naturale se t2 < 2/ω; per t2 maggiori non è
necessariamente minima l’azione. Ad esempio si consideri la variazione data da ηx = sin2 (πt/t2 ) e
ηy = ηz = 0; per prima cosa si osservi che
∫ t2 (
)
1
mα2
η̇ 2 − ω 2 η 2 dt
2
0
∫ t2 (
)
1
= − mα2
η̈ + ω 2 η ηdt
2
0
I(α) − I(0) =
integrando per parti, sostituendo ora l’espressione di η si ottiene
1
I(α) − I(0) = − mCα2 ,
2
dove
∫
C=
0
t2
[
(
(
)
)
che risulta necessariamente negativa quando ω 2 −
variazione è negativa.
5.4
(
πt
2π 2
2π 2
2 πt
2
cos
+ ω − 2 sin2
2
t2
t2
t2
t2
2π 2
t22
)]
(
sin
2
)
πt
dt ,
t2
√
> 0, ovvero t2 > π/ 2ω ed in questo caso la
Equazioni di Eulero
Teorema (equazioni di Eulero-Lagrange dedotte dal principio variazionale di Hamilton):
Condizione necessaria e sufficiente affinché l’azione (5.2) di Lagrangiana L assuma un valore estremo
q(t) è che q(t) sia soluzione delle equazioni di Eulero-Lagrange
d
dt
(
∂L
∂ q̇h
)
−
∂L
= 0, h = 1, ..., n.
∂qh
94
(5.5)
Dimostrazione: Consideriamo i moti variati sincroni
q(t; α) = q(t) + αη(t) , −1 ≤ α ≤ 1 ,
tali che η(t1 ) = η(t2 ) = 0. Se q(t) è estremale allora deve essere
dI(α) dα, ∀η ∈ M(t1 ,t2 ,0,0)
0 = dI ≡
dα α=0
(5.6)
dove
∫
t2
I(α) =
t1
L[q̇(t; α), q(t; α), t]dt.
Derivando questa relazione rispetto a α e portando la derivata sotto il segno di integrale (assumendo
siano valide le condizioni di regolarità per potere fare ciò) si ottiene
]
[
n ∫ t2
∑
dI(α) ∂L ∂ q̇h
∂L ∂qh
+
dt.
=
dα α=0 h=1 t1 ∂qh ∂α
∂ q̇h ∂α
Osservando che
che
∂ q̇h
∂α
= η̇h , integrando per parti e ricordando che ηh (t) si annulla agli estremi, segue
∫
t2
[
t1
∫
]
∂L ∂qh
∂L ∂ q̇h
dt =
+
∂qh ∂α
∂ q̇h ∂α
t2
=
t1
∫
t2
[
∂L ∂qh
∂L ∂qh
dt +
∂qh ∂α
∂ q̇h ∂α
[
=
t1
∂L
d
−
∂qh dt
(
∂L
∂ q̇h
)]
]t2
−
t1
∫
t2
t1
∂qh d
∂α dt
(
)
∂L
dt
∂ q̇h
ηh (t)dt.
Da cui segue che
[
n ∫ t2
∑
d
dI(α) ∂L
−
=
dα α=0 h=1 t1 ∂qh dt
(
∂L
∂ q̇h
)]
ηh (t)dt.
(5.7)
Ora, dovendo essere valida la (5.6) ed essendo le funzioni ηh (t) indipendenti, otteniamo n integrali
uguali a 0 e, essendo ogni ηh (t) arbitraria, per il teorema di annullamento degli integrali (si veda
in Appendice A.2) si annulla identicamente ogni espressione
d
∂L
−
∂qh dt
(
∂L
∂ q̇h
)
= 0, ∀t ∈ [t1 , t2 ], h = 1, ..., n,
(5.8)
quando L sia calcolata in q(t). Si osservi che l’affermazione inversa è banale: se una q = q(t)
soddisfa le equazioni di Eulero-Lagrange, automaticamente la variazione del funzionale (5.7) è nulla.
Infatti basta percorrere a ritroso la stessa dimostrazione, ma senza bisogno di applicare il teorema
di annulamento degli integrali.
95
Dunque, nel caso dinamico, le equazioni di Lagrange si possono riguardare come equazioni di
Eulero per il calcolo variazionale. Si noti che la proprietà di curva di essere estremale di
un funzionale non dipende dal sistema di coordinate.
Poiché dal principio di Hamilton derivano le equazioni di Lagrange in coordinate indipendenti
(e viceversa), il principio di Hamilton può essere posto a fondamento della dinamica dei
sistemi olonomi. Ad ogni modo c’è una differenza fondamentale tra le equazioni differenziali del
moto e i principi variazionali. Le prime, essendo equazioni differenziali, caratteriazzano localmente il
moto mentre il principo variazionale, essendo una relazione integrale, caratterizza l’intera traiettoria
nel suo complesso.
5.5
Esercizi (risolti)
1. Moto di un mobile vincolato su una sfera in assenza di campo di forze (moto inerziale su una
sfera).
Soluzione: la Lagrangiana, in coordinate sferiche (dove r è il raggio della sfera), prende la forma
1
1
L = mv 2 = mr2 (θ̇2 + sin2 θφ̇2 ).
2
2
Le equazioni di Lagrange sono
d ∂L ∂L
∂L
−
=0 e
= cost
dt ∂ θ̇
∂θ
∂ φ̇
poiché φ è una coordinata ciclica; esplicitando (e semplificando per mr2 ) si ottiene
θ̈ − sin θ cos θφ̇2 = 0, sin2 θφ̇ = sin2 θ0 φ̇0 = 0
dove abbiamo assunto φ̇0 = 0 (ipotesi sempre lecita poiché possiamo scegliere il sistema di riferimento
in modo che la velocità iniziale ⃗v0 sia diretta lungo un meridiano φ = costante). Quindi segue
dalla prima equazione θ̇ = costante e v0 = costante, in particolare quindi la traiettoria equivale al
moto uniforme lungo un arco di circonferenza. Questo risultato si traduce nel dire che l’azione ha
un ”punto” di stazionarietà lungo gli archi di circonferenza. Per discutere se questo ”punto” di
stazionarietà corrisponde, o no, ad un minimo denotiamo con A0 il moto lungo un dato arco γ0 di
circonferenza e con A1 il moto lungo un arco γ1 qualunque sulla superficie sferica avremo
A1 − A0 =
1 ∫ t1 2
m
(v − v02 )dt
2
t0
∫
t1
∫
t0
t1
= mv0
≥ mv0
t0
1 ∫ t1
(v − v0 )dt + m
(v − v0 )2 dt
2
t0
(v − v0 )dt = mv0 (ℓ1 − ℓ0 )
dove ℓ1 è la lunghezza di γ1 e ℓ0 è la lunghezza di γ0 . È immediato osservare che la lunghezza
dell’arco di circonferenza γ0 è minore della lunghezza γ1 di ogni altra curva sulla sfera congiungente
96
due stessi punti vicina (in un certo senso) a γ0 ; per tale ragione A1 > A0 , cioé il moto rende
minimo il funzionale. Osserviamo che ciò è valido solo quando ℓ0 < πr. Se ℓ0 > πr allora ℓ0
non sarà sempre minore di ℓ1 e il valore minimo dell’azione A sarà ottenuto su un arco ausiliario di
circonferenza.
2. Trovare le curve t → q(t) tali che q(0) = 0, q(π/2) = 1 e che rendono stazionario il funzionale
di lagrangiana L(q̇, q, t) = q̇ 2 − q 2 .
Soluzione: consideriamo il seguente funzionale
∫
π/2
A(q) =
[
0
]
q̇(t)2 − q(t)2 dt.
definito sul dominio M0,π/2,0,1 dove
{
}
Mt1 ,t2 ,x1 ,x2 = q ∈ C 2 ([t1 , t2 ], R) : q(t1 ) = q1 e q(t2 ) = q2 .
L’equazione di Eulero-Lagrange assume la forma
d
[2q̇(t)] = −2q(t),
dt
cioé q̈ + q = 0.
La soluzione generale è quindi q(t) = c1 cos t + c2 sin t; i dati al bordo determinano le costanti:
{
q(0) = 0
q(π/2) = 1
quindi c1 = 0
;
quindi c2 = 1
pertanto q(t) = sin t.
3. Determinare le curve t → q(t), q ∈ M0,1,0,1 , di stazionarietà per il funzionale di Lagrangiana
L(q̇, q, t) = q̇ 2 + 12tq.
Soluzione: il funzionale risulta essere
∫
1
[q̇(t)2 + 12tq(t)]dt, q ∈ M0,1,0,1 .
A(q) =
0
L’equazione di Eulero-Lagrange ha la forma
d
[2q̇(t)] = 12t,
dt
cioé q̈ − 6t = 0.
La soluzione generale è quindi q(t) = t3 + c1 t + c2 ; i dati al bordo determinano le costanti:
{
q(0) = 0
q(1) = 1
quindi c2 = 0
;
quindi c1 = 0
pertanto q(t) = t3 .
4. Esempio di un problema che non ammette minimo.
Soluzione: non è detto che esistano sempre soluzioni del problema variazionale assegnato, come
nel seguente esempio: sia
∫
t2
A=
t1
q(t)2 dt,
x ∈ Mt1 ,t2 ,q1 ,q2 .
97
L’equazione di Eulero-Lagrange assume la seguente forma 2q(t) = 0. Quindi se q1 = q2 = 0 allora
q(t) ≡ 0 è nel dominio Mt1 ,t2 ,q1 ,q2 e minimizza il funzionale. Se, invece, q1 ̸= 0 o q2 ̸= 0 allora
il funzionale non si minimizza con funzioni di classe C 2 ([t1 , t2 ], R). Ciò è evidente perché si può
scegliere una successione qn ∈ Mt1 ,t2 ,q1 ,q2 tale che


 q1 ,
t = t1
t1 < t < t2
t = t2
0,


q2 ,
lim qn (t) =
n→∞
Allora,
inf A(qn ) = 0,
n
ma il funzionale non ammette minimo perché A(q) > 0, ∀q ∈ Mt1 ,t2 ,q1 ,q2 .
5. Lunghezza di una arco di curva nel piano.
Soluzione: sia data una curva γ nel piano R2 avente rappresentazione cartesiana x = x(t) (invece
della notazione più usuale y = y(x)) con t ∈ [t1 , t2 ] e congiungente i punti (t1 , x1 ) e (t2 , x2 ), cioé tale
che x(t) ∈ Mt1 ,t2 ,x1 ,x2 . Determiniamo la curva x ∈ Mt1 ,t2 ,x1 ,x2 di lunghezza minima. Il funzionale
da minimizzare (denotato ora L poiché ora indica la lunghezza di una curva) è quello che ad ogni
curva t → x(t) ne associa la lunghezza:
∫
t2
√
1 + ẋ(t)2 dt.
L(x) =
t1
L’equazione di Eulero-Lagrange è:
2ẋ
d
√
= 0 da cui
dt 2 1 + ẋ(t)2
√
ẋ
1 + ẋ(t)2
= costante
che ha come soluzione generale x(t) = c1 t + c2 . Quindi, nel piano, le curve di lunghezza minima
sono i segmenti di retta.
6. Superficie di rotazione di area minima.
Soluzione: avendo prefissato i due estremi (t1 , x1 ) e (t2 , x2 ) con t2 > t1 e x1 , x2 > 0, determinare
la curva t → x(t) la cui rotazione attorno all’asse delle ascisse t genera una superficie di area minima.
L’area della superficie di rotazione generata da t → x(t), x ∈ Mt1 ,t2 ,x1 ,x2 , è
∫
t2
A(x) = 2π
√
x(t) 1 + ẋ(t)2 dt.
(5.9)
t1
√
Abbiamo quindi un funzionale di Lagrangiana L(ẋ, x) = x 1 + ẋ2 . L’equazione di Eulero-Lagrange
associata è
d ∂L ∂L
−
= 0.
dt ∂ ẋ
∂x
Osserviamo che quando L è indipendente da t l’equazione di Eulero-Lagrange può essere scritta come
∂2L
∂ 2L
∂L
ẍ
+
ẋ −
= 0,
2
∂ ẋ
∂ ẋ∂x
∂x
98
ossia, moltiplicando per ẋ ambo i membri (riconosciamo la funzione Hamiltoniana):
d
dt
(
)
∂L
∂L
ẋ − L = 0 cioé
ẋ − L = c1 , ∀t.
∂ ẋ
∂ ẋ
Nel nostro caso si ha:
c1 = √
√
xẋ2
xẋ2 − x − xẋ2
2 =
√
−
x
1
+
ẋ
1 + ẋ2
1 + ẋ2
e quindi
√
x = c1 1 + ẋ2 .
È facile verificare che una soluzione generale di questa equazione differenziale è data da x(t) =
c1 cosh[(t − c2 )/c1 ] dove c1 e c2 sono due costanti da determinare; questa è una famiglia di catenarie,
la rotazione delle quali genera una superficie dette catenoidi. Le costanti sono determinate dalle
condizioni:
{
c1 cosh[(t1 − c2 )/c1 ] = x1
.
c2 cosh[(t2 − c2 )/c1 ] = x2
A seconda dei valori di (x1 , x2 ) si avranno 1, 2 o 0 soluzioni.
7. La Catenaria. Consideriamo il seguente problema: data una catena pesante fissata agli
estremi e di lunghezza L assegnata, determinare la curva della catena.
Soluzione: supponiamo la catena omogenea e flessibile, in modo che la curva abbia rappresentazione x → y(x) regolare con la condizione y(x1 ) = y1 e y(x2 ) = y2 , cioé y ∈ Mx1 ,x2 ,y1 ,y2 . È
immediato osservare che la curva della catena sarà tale da minimizzare il funzionale
y → A(y) = altezza del baricentro,
dove A(y) ha, a meno di una costante moltiplicativa, la seguente espressione simile alla (5.9):
A(y) =
√
1 ∫ x2
y(x)ρ 1 + y ′ (x)2 dx,
m x1
√
infatti 1 + y ′ (x)2 dx rappresenta la lunghezza dell’elemento infinitesimo di curva, ρ = m
è la densità
L
costante e y(x) l’altezza di tale elemento di catena. Poiché in questo caso A(y + c) = A(y) + c dove
c è una costante allora la traiettoria è definita a meno di una costante additiva e quindi la soluzione
generale è
y(x) = c + c1 cosh[(x − c2 )/c1 ]
dove c, c1 e c2 si determinano imponendo le condizioni ai bordi e fissando la lunghezza della corda:
L = c1 {sinh[(x2 − c2 )/c1 ] − sinh[(x1 − c2 )/c1 ]} ,
99
x1 < x2 .
Chapter 6
Trasformazioni canoniche
6.1
6.1.1
Struttura canonica delle equazioni di Hamilton
Trasformazioni che conservano la struttura canonica
Un cambio di coordinate X = X(x, t) trasforma un sistema di equazioni differenziali ẋ =( f (x,
) t) in
∂X
un altro sistema Ẋ = F (X, t) in un modo che è determinato dalla matrice jacobiana Ψ = ∂x . Nel
caso delle equazioni di Hamilton, con
(
x=
)
p
q
e campo
(
J grad
(
(p,q) H
=
− ∂H
∂q
)
∂H
∂p
(
)
(
,
p
P
→ X =
una trasformazione x =
q
Q
x = x(X, t), produce un sistema corrispondente
Ẋk =
2n
∑
∂Xk
h=1
∂xh
ẋh +
dove J =
0in −In
In 0in
)
)
definita dalla mappa X = X(x, t), con inversa
2n
∑
∂Xk
∂Xk
=
Ψk,h ẋh +
∂t
∂t
h=1
(6.1)
ovvero
Ẋ = ΨJ gradx H[x(X, t), t] +
(
)
∂X
∂t
(6.2)
che, in generale, non è Hamiltoniano, dove Ψ = ∂X
è la matrice Jacobiana della trasformazione
∂x
X = X(x, t). Tra le trasformazioni di coordinate possibili ne caratteriziamo quelle che conservano
la struttura canonica.
Definizione. Una trasformazione
Qh = Qh (p, q, t), Ph = Ph (p, q, t)
100
(6.3)
diffeomorfa (ovvero biunivoca e bidifferenziabile), in qualche aperto, delle variabili canoniche q =
(q1 , . . . , qn ) e p = (p1 , . . . , pn ) conserva la struttura canonica delle equazioni di Hamilton
se, comunque scelta una funzione Hamiltoniana H(p, q, t) esiste una corrispondente funzione
K(P, Q, t), detta nuova Hamiltoniana, tale che il sistema di equazioni di Hamilton per H
{
∂H
ṗh = − ∂q
h
,
∂H
q̇h = ∂p
h
(6.4)
equivalga al sistema:
{
∂K
Ṗh = − ∂Q
h
.
∂K
Q̇h = ∂P
h
La definizione individua quelle trasformazioni tali che il nuovo campo è Hamiltoniano, cioè esiste
una funzione K(X, t) tale che
ΨJ gradx H[x(X, t), t] +
∂X
= J gradX K(X, t).
∂t
(6.5)
Osserviamo che questa proprietà è intrenseca della trasformazione x → X e non deve dipendere
invece dalla Hamiltoniana H che è arbitraria.
Quando X(x, t) conserva la struttura canonica delle equazioni e dipende esplicitamente da t, ∂X
∂t
è un campo Hamiltoniano relativo a una certa funzione K0 tale che:
∂X
= J gradX K0 ,
∂t
(6.6)
che dipende solo dalla trasformazione stessa e si può pensare come la nuova Hamiltoniana corrispondente ad H ≡ 0.
6.1.2
Determinazione della nuova Hamiltoniana per effetto di una trasformazione che conserva la struttura canonica
Osserviamo che, anche quando X = X(x) è una trasformazione indipendente dal tempo che conserva
la struttura canonica delle equazioni canoniche di Hamilton, non è detto che la nuova Hamiltoniana
K(X, t) sia uguale alla H vista nelle nuove variabili: H[x(X), t]. Vediamo il seguente esempio: sia
n qualunque e sia (p, q) → (αp, βq) = (P, Q). A talfine consideriamo si conserva la struttura delle
equazioni canoniche, ma con nuova Hamiltoniana K = αβH. Infatti si verifica immediamente che
K(P, Q) = αβH(α−1 P, β −1 Q) è tale che

 Q̇ = ∂K
∂P
 Ṗ = − ∂K
∂Q
= αβ ∂H
α−1
∂p
= −αβ ∂H
β −1
∂q
{
⇐⇒
β q̇ = β ∂H
∂p
αṗ = −α ∂H
∂q
Cosı̀ in questo esempio esiste una costante c = αβ tale che K(X) = cH[x(X)]. Si può provare che
questa è la situazione usuale in forza del seguente Teorema:
101
Teorema. Sia X = X(x, t) un diffeomorfismo che conserva la struttura canonica delle
equazioni di Hamilton. Allora esiste un fattore c (dipendente al più da t) tale che la Hamiltoniana K corrispondente ad H è data da
K(X, t) = cH[x(X, t), t] + K0 (X, t)
(6.7)
dove K0 è la Hamiltoniana corrispondente ad H ≡ 0, ossia tale che J gradX K0 = ∂X
. In particolare
∂t
K(X, t) = cH[x(X), t] se la trasformazione è indipendente dal tempo. Il termine c è tale che
(
−ΨJ ΨT J = cI.
)
(6.8)
dove Ψ = ∂X
è la matrice Jacobiana della trasformazione.
∂x
Dimostrazione: Se X(x, t) conserva la struttura canonica allora la K(X, t) è legata alla H tramite
la (6.5). Una volta verificata che vale la (6.8) con c dipendente al più da t, verifichiamo che la (6.7)
soddisfa la (6.5); infatti
J gradX K = cIJ (ΨT )−1 gradx H[x(X, t), t] + J gradX K0 (X, t)
∂X
= cIJ (ΨT )−1 gradx H[x(X, t), t] +
∂t
e, dalla (6.5), deve essere
cIJ (ΨT )−1 = ΨJ, cioé cI = −ΨJ ΨT J
poiché J J = −I. Rimane quindi da dimostrare la (6.8), a tal fine introduciamo il seguente Lemma:
Lemma: Sia A(x, t), (x, t) ∈ R2n × R, una funzione regolare a valori nello spazio delle matrici
quadrate reali 2n × 2n. Se il campo Agradx f è irrotazionale, cioé il rotore di tale campo è nullo,
per ogni funzione f : R2n → R regolare allora esiste una funzione c : R → R tale che A = c(t)I.
Dimostrazione del Lemma: Se Agradx f è irrotazionale allora dovrà essere
∂(Agradx f )h
∂(Agradx f )j
=
, ∀h, j = 1, . . . , 2n,
∂xj
∂xh
(6.9)
per ogni f . In particolare per f (x) = xj questa relazione implica la seguente relazione sui coefficienti
della matrice A:
∂Ah,j
∂Aj,j
=
, ∀h, j = 1, . . . , 2n;
∂xj
∂xh
per f (x) = x2j si ottiene l’ulteriore relazione sui coefficienti della matrice A:
∂Aj,j xj
∂Ah,j xj
=
, ∀h, j = 1, . . . , 2n.
∂xj
∂xh
Da queste due relazioni segue necessariamente che deve essere Ah,j = Aj,j δjh , cioé la matrice A è
j,j
diagonale. Pertanto dovrà anche essere ∂A
= 0 se h ̸= j e quindi potremo scrivere Ah,j (x, t) =
∂xh
h
ch (xh , t)δj . Con questa posizione la (6.9) prende la forma
ch
∂ 2f
∂ 2f
= cj
, h ̸= j,
∂xj ∂xh
∂xh ∂xj
102
da cui segue (in virtù del Teorema di Schwartz sull’invertibilità delle derivate) che deve necessariamente essere
ch (xh , t) ≡ cj (xj , t) ⇒ ch (t) ≡ cj (t) ≡ c(t)
da cui segue la dimostrazione del Lemma.
Siamo ora in grado di completare la dimostrazione del Teorema.
quella corrispondente a H ≡ 0 si ottiene la relazione
Infatti sottraendo alla (6.5)
gradX (K − K0 ) = −J ΨJ gradx H[x(X, t), t]
= −J ΨJ ΨT gradX Ĥ(X, t)
dove abbiamo posto Ĥ(X, t) = H[x(X, t), t]. Per l’arbitrarietà di H e poiché il termine gradX (K −
K0 ) è manifestamente irrotazionale allora il Lemma prova la (6.8).
Esempio: Nel caso della trasformazione canonica (p, q) → (αp, βq) considerata in precedenza
segue che
(
ψ=
∂P
∂p
∂Q
∂p
)
∂P
∂q
∂Q
∂q
(
=
α 0
0 β
)
e quindi
(
−ψJψ T J = −
(
= −
(
= +
α 0
0 β
)(
0 −α
β 0
αβ 0
0
αβ
0 −1
1 0
)(
)
)(
0 −α
β 0
)
α 0
0 β
)(
0 −1
1 0
)
= αβI
da cui si ottiene c = αβ.
6.2
Trasformazioni canoniche
Il Teorema consente di circoscrivere l’interesse al caso c = 1, cioè di trattare le trasformazioni
canoniche vere e proprie:
Definizione. Un diffeomorfismo X = X(x, t) che conserva la struttura canonica delle equazioni
di Hamilton si dice trasformazione canonica se e solo se l’Hamiltoniana K corrispondente a un
arbitraria Hamiltoniana H si scrive
K(X, t) = H[x(X, t), t] + K0 (X, t)
(6.10)
. Una trasformazione canonica X = X(x) indipendente dal
dove K0 è tale che J gradX K0 = ∂X
∂t
tempo si dice completamente canonica.
103
6.3
Generatrice di una trasformazione canonica
In una trasformazione canonica, tra le 4n variabili p, q, P, Q, solo 2n saranno indipendenti proprio a
causa di (6.3). Una trasformazione canonica, che per ogni t agisce da un aperto di R2n ad un aperto
di R2n , è quindi assegnata se sono assegnate 2n funzioni (sotto alcune proprietà) di 2n variabili. È
conveniente disporre di una funzione generatrice della trasformazione canonica. Ad esempio:
∂ 2 F1
̸= 0 in un aperto di R2n , allora una
1. Se, per ogni t, una data funzione F1 (q, Q, t) ha det ∂Q∂q
trasformazione è individuata implicitamente dalle 2n equazioni
ph =
∂F1
∂F1
e Ph = −
, h = 1, 2, . . . , n.
∂qh
∂Qh
(6.11)
2
∂ F1
Infatti, risolvendo la prima rispetto alle Qh (essendo det ∂Q∂q
̸= 0) si ottiene Qh = Qh (pk , qk , t) che
sostituete nelle seconde dà Ph = Ph (pk , qk , t). Nel caso particolare in cui F1 (Q, q, t) sia lineare nelle
qh allora si trova Q = Q(p, t) e P = P(p, q, t). In questo caso la trasformazione canonica è detta
libera; cioé le Q e q sono indipendenti. Tra le funzioni del primo tipo (F1 è funzione delle vecchie
∑
e nuove coordinate) vi è quella che scambia il ruolo tra coordinate e impulsi: F1 = nh=1 qh Qh .
∂ 2 F2
2. Se, per ogni t, una data funzione F2 (q, P, t) ha det ∂q∂P
̸= 0 in un aperto di R2n , allora una
trasformazione è individuata implicitamente dalle 2n equazioni
∂F2
∂F2
e Qh =
, h = 1, 2, . . . , n.
∂qh
∂Ph
ph =
(6.12)
2
∂ F2
̸= 0) si ottiene Ph = Ph (pk , qk , t)
Infatti, risolvendo la prima rispetto alle Ph (essendo det ∂P∂q
che sostituendo nelle seconde dà Qh = Qh (pk , qk , t). In questo rientra, come vedremo tra poco, la
trasformazione identità Q = q e P = p: l’identità è necessariamente non libera perché Q = q implica
che Q e q non sono indipendenti. Le funzioni generatrici del secondo tipo (dove F2 è funzione delle
vecchie coordinate e dei nuovi impulsi) comprendono la trasformazione identità; infatti, a partire da
F2 (q, P) =
n
∑
qh Ph
h=1
segue che
ph =
∂F2
∂F2
= Ph , Qh =
= qh , K = H.
∂qh
∂Ph
2
∂ F3
3. Se, per ogni t, una data funzione F3 (p, Q, t) ha det ∂p∂Q
̸= 0 in un aperto di R2n , allora una
trasformazione è individuata implicitamente dalle 2n equazioni
qh = −
∂F3
∂F3
e Ph = −
, h = 1, 2, . . . , n.
∂ph
∂Qh
2
(6.13)
∂ F3
Infatti, risolvendo la prima rispetto alle Qh (essendo det ∂Q∂p
̸= 0) si ottiene Qh = Qh (pk , qk , t) che
sostituendo nelle seconde dà Ph = Ph (pk , qk , t).
104
2
∂ F4
4. Se, per ogni t, una data funzione F4 (p, P, t) ha det ∂p∂P
̸= 0 in un aperto di R2n , allora una
trasformazione è individuata implicitamente dalle 2n equazioni
qh = −
∂F4
∂F4
e Qh =
, h = 1, 2, . . . , n.
∂ph
∂Ph
(6.14)
2
∂ F4
Infatti, risolvendo la prima rispetto alle Ph (essendo det ∂P
̸= 0) si ottiene Ph = Ph (pk , qk , t) che
∂p
sostituendo nelle seconde dà Qh = Qh (pk , qk , t).
Il numero di tipi di funzioni generatrici non si riduce a 4, ma è molto maggiore; tante quante
sono le collezioni di n nuove coordinate Qi1 , . . . , Qik , Pj1 , . . . , Pjn−k , in modo tale che, con le vecchie
coordinate p, q si ottengano 2n coordinate indipendenti.
Queste quattro trasformazioni definite implicitamente dalle relazioni (6.11)—(6.14) si dimostrano
essere canoniche. A tal fine è stata fatta la scelta del segno negativo nelle (6.11) e (6.13).
Nel seguito, per semplicità, limitiamo la nostra analisi alle trasformazioni con funzione generatrice
del tipo F1 anche se il risultato che segue, del quale ne omettiamo la dimostrazione, vale per gli altri
tipi di trasformazione.
Teorema su funzioni generatrici di tipo F1 : Sia F1 (q, Q, t) una funzione regolare definita
in un aperto Aq × BQ di R2n , ∀t ∈ R, e tale che
(
∂ 2 F1
det
∂q∂Q
)
̸= 0, ∀(q, Q) ∈ Aq × BQ , ∀t ∈ R .
(6.15)
Allora F1 (q, Q, t) è la funzione generatrice di una trasformazione canonica. La trasformazione
canonica si ottiene per esplicitazione dalle 2n equazioni
ph =
∂F1
∂F1
, Ph = −
∂qh
∂Qh
(6.16)
con nuova Hamiltoniana
K(P, Q, t) = H[p(P, Q, t), q(P, Q, t), t] +
∂F1 [q(P, Q, t), Q, t]
.
∂t
Osserviamo che se F1 è indipendente da t allora la trasformazione è completamente canonica.
Osserviamo anche che la funzione generatrice F1 è definita a meno di un termine additivo
funzione di t (e per il resto arbitrario). Infatti, questo termine non cambia la trasformazione
generata da F1 .
6.4
Esempio: trasformazione canonica per l’oscillatore armonico
Per l’oscillatore armonico uni-dimensionale, dove assumiamo la massa unitaria, di Hamiltoniana
1
H(p, q) = [p2 + ω 2 q 2 ], p, q ∈ R,
2
105
(6.17)
ecco una trasformazione canonica (p, q) → (P, Q) che rende Q ciclica. La trasformazione è generata
dalla funzione di primo tipo:
1
F1 (q, Q) = ωq 2 cot Q
2
da cui segue
p=
√
Ricavando q =
2P
ω
∂F1
∂F1
1 ωq 2
= ωq cot Q, P = −
=
∂q
∂Q
2 sin2 Q
sin Q e p =
√
(6.18)
2ωP cos Q, troveremo H in funzione di Q, P :
[
1
2P
K(P, Q) = H[p(P, Q), q(P, Q)] =
2ωP cos2 Q + ω 2
sin2 Q
2
ω
= ωP.
]
Quindi Q è coordinata ciclica. Le equazioni canoniche di Hamilton nelle nuove coordinate prendono
la forma:
Ṗ = −
∂K
= 0 ⇒ P = α = cost.
∂Q
e
∂K
= ω ⇒ Q = ωt + β.
∂P
Q̇ =
Riportando alle coordinate originarie:
√
q(t) =
2α
sin(ωt + β).
ω
Le costanti di integrazione sono due e hanno il significato atteso: α determina l’ampiezza e β la fase
iniziale dell’oscillazione armonica.
Da questo esempio segue che è molto utile trovare una trasformazione canonica che renda una o
più coordinate cicliche. Quando si riescono a rendere cicliche tutte le coordinate, esse sono spesso
interpretabili come variabili angolari. Quando H(p, q) ammette una trasformazione canonica tale
che i nuovi momenti risultano costanti e le nuove coordinate risultano lineari rispetto al tempo
K =ω·P=
n
∑
ωh Ph , Ph = αh , Qh = ωh t + βh
h=1
allora, le variabili Ph si dicono azioni e le variabili Qh si dicono angoli.
106
Chapter 7
Parentesi di Poisson
7.1
Definizione della parentesi di Poisson
Definizione. Una quantità osservabile è una funzione g(p, q, t) delle coordinate, dei momenti
generalizzati ed eventualmente del tempo (ad esempio l’energia, il momento angolare rispetto a un
asse, etc.). La parentesi di Poisson tra due osservabili f, g è definita come:
n
∑
{f, g} :=
h=1
7.1.1
(
)
∂f ∂g
∂f ∂g
−
.
∂ph ∂qh ∂qh ∂ph
(7.1)
Esempio
Consideriamo un punto materiale libero e, denotando con Kj e pj , j = 1, 2, 3, le componenti del suo
momento della quantità di moto (rispetto ad un dato polo coincidente con l’origine) e dei momenti
coniugati si osserva immediatamente che
{p1 , K3 } = p2 , {p2 , K3 } = −p1 , {p3 , K3 } = 0
e analogamente per K1 e K2 . Infatti, ricordando che per un punto libero pj = mq̇j , da cui K3 =
m(q1 q̇2 − q2 q̇1 ) = q1 p2 − p1 q2 . Quindi
{p1 , K3 } =
n
∑
j=1
Inoltre si prova che
{K1 , K3 } =
=
n
∑
j=1
(
n
∑
j=1
(
(
∂p1 ∂K3 ∂p1 ∂K3
−
∂pj ∂qj
∂qj ∂pj
∂K1 ∂K3 ∂K1 ∂K3
−
∂pj ∂qj
∂qj ∂pj
)
= p2 .
)
∂(q2 p3 − p2 q3 ) ∂(q1 p2 − p1 q2 ) ∂(q2 p3 − p2 q3 ) ∂(q1 p2 − p1 q2 )
−
∂pj
∂qj
∂qj
∂pj
∂(q2 p3 − p2 q3 ) ∂(q1 p2 − p1 q2 ) ∂(q2 p3 − p2 q3 ) ∂(q1 p2 − p1 q2 )
−
∂p2
∂q2
∂q2
∂p2
= q3 p 1 − p 3 q1 = K2
=
107
)
e analogamente si prova che
{K1 , K2 } = −K3
e {K2 , K3 } = −K1 .
Infine segue che
{Kj , K 2 } = 0 dove K 2 = K12 + K22 + K23 .
7.2
Proprietà principali
È immediato osservare che la parentesi di Poisson è una forma bilineare antisimmetrica:
{λ1 f1 + λ2 f2 , g} = λ1 {f1 , g} + λ2 {f2 , g},
{f, g} = −{g, f },
{f, f } = 0.
(7.2)
(7.3)
(7.4)
Inoltre, si controlla facilmente che:
{qh , qk } = 0, {ph , pk } = 0, {ph , qk } = δhk
(7.5)
e, assegnata una funzione H = H(p, q, t),
{H, qh } =
∂H
∂H
, {H, ph } = −
;
∂ph
∂qh
quindi le equazioni di Hamilton, dove H rappresenta una funzione Hamiltoniana, si scrivono in modo
simmetrico:
{
ṗh = {H, ph }
.
q̇h = {H, qh }
Valgono, inoltre le seguenti ulteriori proprietà:
1) Regola di Liebniz: {f1 f2 , g} = f1 {f2 , g} + f2 {f1 , g};
2) Identità di Jacobi: {f, {g, h}} + {h, {f, g}} + {g, {h, f }} = 0;
3) Vale la seguente relazione:
∂{f1 ,f2 }
∂t
{
}
{
}
2
1
= f1 , ∂f
− f2 , ∂f
.
∂t
∂t
La regola di Liebniz e la proprietà 3) sono una conseguenza immediata della definizione della
parantesi di Poisson e dell’usuale proprietà relativa alla derivata del prodotto. Per dimostrare
l’identità di Jacobi osserviamo che tale termine è costituito da somme di prodotti tra la derivata
(parziale) seconda di un osservabile per le derivate prime delle altre due e svolgiamo poi il calcolo
esplicito del termine



∂g ∂h 
−
=
{f, {g, h}} = f,

∂qj ∂pj 
j=1 ∂pj ∂qj
=
n
∑
j,ℓ=1
[
∂f ∂
∂qℓ ∂pℓ
n
∑
∂g ∂h
(
∂g ∂h
∂g ∂h
−
∂pj ∂qj
∂qj ∂pj
108
)
∂f ∂
−
∂pℓ ∂qℓ
(
∂g ∂h
∂g ∂h
−
∂pj ∂qj
∂qj ∂pj
)]
.
Se consideriamo il termine che contiene le derivate seconde di g esso è dato da
n
∑
[
j,ℓ=1
∂f ∂ 2 g ∂h
∂f ∂ 2 g ∂h
∂f ∂ 2 g ∂h
∂f ∂ 2 g ∂h
−
−
+
∂qℓ ∂qj ∂pℓ ∂pj
∂qℓ ∂pj ∂pℓ ∂qj
∂pℓ ∂qℓ ∂qj ∂pj ∂pℓ ∂qℓ ∂pj ∂qj
]
ed il termine che contiene le derivate seconde di h sarà analogo mentre la funzione f compare
esclusimante attraverso le sue derivate prime. Le derivate seconde di g compaiono anche nell’altro
termine {h, {f, g}} = −{h, {g, f }} che è simile a quello appena calcolato a meno del segno e dello
scambio tra f e h, più precisamente si ha che questo contributo è dato da
−
n
∑
j,ℓ=1
[
∂h ∂ 2 g ∂f
∂h ∂ 2 g ∂f
∂h ∂ 2 g ∂f
∂h ∂ 2 g ∂f
−
−
+
∂qℓ ∂qj ∂pℓ ∂pj
∂qℓ ∂pj ∂pℓ ∂qj
∂pℓ ∂qℓ ∂qj ∂pj ∂pℓ ∂qℓ ∂pj ∂qj
]
cioé è uguale ed opposto al termine precedentemente calcolato (in virtù del Teorema di Schwartz
sullo scambio di derivate). Da ciò segue che il termine {f, {g, h}} + {h, {f, g}} + {g, {h, f }} non
contiene derivate seconde di g e, in modo analogo, di f e h e quindi deve essere necessariamente
nullo.
7.3
Applicazioni
Il seguente Teorema riguarda l’evoluzione temporale di una osservabile:
Teorema. La parentesi di Poisson tra l’Hamiltoniana H ed un’osservabile arbitraria g = g(p, q, t)
determina la variazione nel tempo dell’osservabile quando essa è calcolata sulle orbite p(t) e q(t)
generate da H. Più precisamente:
dg[p(t), q(t), t]
∂g[p(t), q(t), t]
=
+ {H, g}.
dt
∂t
(7.6)
Dimostrazione: Basta derivare rispetto a t su un’orbita t → (p(t), q(t)):
n
n
∑
dg
∂g ∑
∂g
∂g
=
+
q̇h +
ṗh
dt
∂t h=1 ∂qh
h=1 ∂ph
(
n
∂g ∂H
∂g ∂H
∂g ∑
+
−
=
∂t h=1 ∂qh ∂ph ∂ph ∂qh
)
=
∂g
+ {H, g}.
∂t
come immediato corollario segue che:
Corollario: Se g = g(p, q) allora ġ = {H, g}.
Segue inoltre che:
Teorema di Poisson: Se f1 e f2 sono due integrali primi allora anche la loro parentesi di
Poisson {f1 , f2 } è un integrale primo.
Dimostrazione: La dimostrazione del Teorema è, di fatto, una immediata conseguenza dell’identità
di Jacobi. Infatti, essendo f1 e f2 integrali primi segue che durante il moto
0=
∂f1
df2
∂f2
df1
=
+ {H, f1 } e 0 =
=
+ {H, f2 }.
dt
∂t
dt
∂t
109
(7.7)
Si tratta ora di provare che
d{f1 , f2 }
∂{f1 , f2 }
=
+ {H, {f1 , f2 }} = 0
dt
∂t
(7.8)
Ora, dall’identità di Jacobi, e dalla proprietà 3) segue che la (7.8) prende la forma
{
∂f2
f1 ,
∂t
}
{
∂f1
− f2 ,
∂t
}
+ {f1 , {H, f2 }} − {f2 , {H, f1 }}
che è nullo per le (7.7).
Osserviamo che, in generale, il nuovo integrale primo non è indipendente dai due primitivi, anzi
può essere costante o nullo.
110
Chapter 8
Equazione di Hamilton-Jacobi
8.1
Equazione di Hamilton-Jacobi
Sappiamo che la risoluzione delle equazioni di Hamilton diventa elementare se riusciamo, mediante
una opportuna trasformazione canonica, a rendere cicliche tutte le coordinate. Una situazione
speciale in cui ciò avviene si ha quando la nuova Hamiltoniana a seguito di una trasformazione
canonica è identicamente uguale a zero. Quindi, se riusciamo a trovare una trasformazione
canonica (dipendente dal tempo in generale) per effetto della quale la nuova Hamiltoniana si
annulla (o è una costante o, eventualmente, funzione della sola variabile t) allora abbiamo risolto
il problema della soluzione delle equazioni di Hamilton. Se la trasformazione canonica è, ad
esempio, generata a partire da una funzione generatrice (che nel seguito sarà denotata con S invece
che F2 ) del II ◦ tipo dipendente da P, q e t allora cerchiamo, se esiste, una funzione S(P, q, t) tale
che
{
{p, q, H(p, q, t)} →
}
∂S
P, Q, K = H +
≡0
∂t
(8.1)
In tal caso nelle nuove coordinate le equazioni canoniche di Hamilton si risolvono banalmente:
P(t) ≡ P0
e Q(t) ≡ Q0 .
Applicando la trasformazione inversa (P, Q) → (p, q) si risolve il problema originario. Tutto ciò
sembra molto semplice; in realtà abbiamo spostato la difficoltà nella determinazione della generatrice
S che rende vera la (8.1).
Entrando in maggiore dettaglio e ricordando le prescrizioni di una funzione generatrice di secondo
tipo
{
ph =
Qh =
∂S
∂qh
∂S
∂Ph
, da cui q = q(P, Q, t),
la (8.1) si traduce nella seguente equazione
[
]
∂S
∂S
H
, q, t +
= 0.
∂q
∂t
111
(8.2)
Questa è chiamata equazione di Hamilton-Jacobi: è un’equazione differenziale alle derivate
parziali del primo ordine (che ammette tutta una propria trattazione matematica) nell’incognita
S. Osserviamo ancora che se una tale trasformazione esiste allora le equazioni canoniche nelle
nuove variabili si integrano immediatamente e danno
Ph = Ph0 = αh e Qh = Q0h = βh
costanti
poichè
Ṗh = −
∂K
∂K
= 0 e Q̇h =
= 0.
∂Qh
∂Ph
Quindi la funzione S dipenderà da S(α, q, t), cioé da n variabili qh e da n parametri αh più, eventualmente, il tempo.
Definizione. Se S = S(α, q, t) è una funzione delle n + 1 variabili q1 , . . . , qn , t e di n parametri
(costanti) α1 , . . . , αn soddisfacente l’equazione (8.2) e alla condizione
(
∂ 2S
det
∂αh ∂qk
)
̸= 0
allora S si dice una soluzione completa dell’equazione di Hamilton-Jacobi La funzione
S(α, q, t) è detta funzione azione.
Essendo K(P, Q, t) ≡ 0 allora segue che anche le nuove coordinate Qh , costanti poiché Q̇h = 0,
sono legate alla S tramite la:
(
2
)
∂S(α, q, t)
= Qh = βh .
∂αh
(8.3)
S
La condizione det ∂α∂h ∂q
̸= 0 serve precisamente a garantire che l’equazione (8.3) può essere
k
risolta rispetto a q = q(α, β, t) trovando q = q(t). Quindi: trovare una soluzione completa
S dell’equazione di Hamilton-Jacobi equivale a risolvere il sistema delle equazioni di
Hamilton.
Nell’equazione di Hamilton-Jacobi le variabili indipendenti sono il tempo t e i parametri lagrangiani qh . Conseguentemente l’integrale completo di questa equazione dipenderà da n + 1
costanti arbitrarie. D’altra parte, la funzione S è presente nell’equazione soltanto attraverso le
sue derivate e quindi una delle sue costanti arbitrarie appare nell’integrale completo come
una grandezza additiva, cioé l’integrale completo dell’equazione di Hamilton-Jacobi prende la
forma generale S(α, q, t) + c dove α = (α1 , . . . , αn ) e c sono costanti arbitrarie. Poiché la determinazione di c è inessenziale ai fini dello studio del moto (possiamo sempre pensare di inglobarla nelle
βh attraverso le relazioni (8.3)), in generale questa costante sarà assunta nulla.
8.2
Hamiltoniana indipendente da t ed azione ridotta
Teorema. Se l’Hamiltoniana H non dipende esplicitamente dal tempo, allora il problema si riconduce
all’equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi
(
H
)
∂W
, q = α1
∂q
112
(8.4)
dove l’incognita W (α, q) è detta azione ridotta. La funzione generatrice è allora data da S =
W − Et dove α1 ≡ E (energia, determinata dai dati iniziali). Le soluzioni q = q(α, β, t) si ricavano
in termini delle n costanti Ph = αh e di altre n costanti di integrazione βh tramite le seguenti relazioni:
t + β1 =
∂W (α, q)
∂W (α, q)
, βh =
, h = 2, . . . , n,
∂α1
∂αh
(
(8.5)
)
2
supponendo sempre che sia det ∂α∂ hW
̸= 0.
∂qk
Dimostrazione: Se H = H(p, q) allora esiste l’integrale primo dell’energia meccanica E e, ponendo
α1 = E = H[p(t), q(t)], risulta naturale cercare S nella forma
S(P, q, t) = W (P, q) − Et.
Con tale separazione fra variabili spaziali e temporale l’equazione di Hamilton-Jacobi (8.2) prende
la forma:
(
H
)
∂W
,q − E = 0
∂q
(8.6)
da cui risulta la (8.4). Come nel caso precedente risulta Qh = βh e Ph = αh costanti, tra cui
∂S
P1 = α1 = E. Ricordando poi che Q = ∂P
si ottiene
βh = Qh =
∂W
∂S
∂W
, h = 2, . . . , n, e β1 = Q1 =
=
−t
∂αh
∂α1
∂α1
da cui segue la (8.5) completando cosı̀ la dimostrazione.
La risoluzione del moto consiste in due passi distinti. Nel primo passo si risolve l’equazione
caratteristica di Hamilton-Jacobi (8.4) costituita da una equazione differenziale alle derivate parziali
del I ◦ ordine. Nel secondo passo, una volta determinata la W , si risolvono le n equazioni (8.5) (ora
non differenziabili) che determinano il moto del sistema.
, h = 2, . . . , n, nelle n incognite qh permettono di
Osserviamo che le n − 1 equazioni βh = ∂W∂α(α,q)
h
determinare la ”traiettoria” del sistema nello spazio delle configurazioni, cioé definiscono gli aspetti
puramente geometrici del moto. La prima equazione t + β1 = ∂W∂α(α,q)
è invece l’unica che contiene
1
il tempo t ed è quella che caratterizza l’aspetto cinematico del moto, cioé determina la legge oraria
del punto q sulla traiettoria nello spazio delle configurazioni. Osserviamo anche che il parametro β1
è inessenziale in quanto ridefinisce solamente l’origine della scala dei tempi.
8.3
Esempio: l’oscillatore armonico
L’Hamiltoniana dell’oscillatore armonico unidimensionale è
)
k2
1 ( 2
p + m2 ω 2 q 2 , ω 2 =
2m
m
da cui segue che l’equazione di Hamilton-Jacobi ha la forma
H(p, q) =
(

)2
∂S
1  ∂S
+ m2 ω 2 q 2  +
= 0.
2m
∂q
∂t
113
Ponendo S = W (E, q) − Et allora l’equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi (8.4) si riduce a
(
1  ∂W
2m
∂q

)2
+ m2 ω 2 q 2  = E
che ha soluzione (definita a meno di una costante additiva che possiamo sempre assumere nulla)
W (E, q) =
√
∫
q
√
2mE
√
=
q
0
 √
∫ q√
mω 2 x2
1−
dx =
2mE − m2 ω 2 x2 dx
2E
q0
mE 
mω 2 q 2
q 1−
+
2
2E
√
√

2E
mω 2 

arcsin
q
mω 2
2E
dove abbiamo assunto, per semplicità q0 = 0. Quindi
∂W
β = β0 + t =
=
∂E
√
1
arcsin 
ω
=
√
mω 2
2E
2m ∫ q
dx
√
E q0 1 − mω2 x2
2E

q
da cui troviamo
√
q=
2E
sin(ωt + β0 )
mω 2
e
√
√
∂W
mω 2 q 2 √
p=
= 2mE 1 −
= 2mE cos(ωt + β0 ).
∂q
2E
8.4
Metodo di separazione delle variabili
Nel seguito ci limitiamo a considerare solo Hamiltoniane indipendenti dal tempo e mostreremo che
ci sono casi in cui l’equazione di Hamilton-Jacobi sia risolubile mediante quadrature. È il caso delle
variabili separabili.
Definizione. Sia H(p, q) una Hamiltoniana che non dipende esplicitamente dal tempo e sia
(
H
)
∂W
∂W
,...,
, q1 , . . . , qn = E
∂q1
∂qn
la corrispondente equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi.
una funzione del tipo
Le variabili qh sono separabili se
W (α, q) = W1 (α, q1 ) + W2 (α, q2 ) + . . . + Wn (α, qn )
114
(8.7)
decompone l’equazione di Hamilton-Jacobi in n equazioni della forma
(
Hh
)
∂Wh
, qh , α1 , . . . , αn = αh , h = 1, . . . , n.
∂qh
(8.8)
In ogni equazione (8.8) figura solo una coordinata qh , con la corrispondente derivata di W rispetto
a questa qh . Quindi viene separata l’equazione alle derivate parziali in n equazioni ordinarie. Poiché
sono equazioni ordinarie del primo ordine, si possono risolvere per quadratura: basta esplicitare
h
rispetto a ∂W
e poi integrare rispetto a qh .
∂qh
Osserviamo che:
Teorema. Se in una Hamiltoniana indipendente dal tempo tutte le coordinate, tranne una, sono
cicliche, allora si può applicare il metodo di separazione delle variabili, cioé le variabili sono
separabili.
Dimostrazione: Assumendo che sia la prima coordinata lagrangiana la coordinata non ciclica
allora possiamo scrivere H = H(p1 , . . . , pn , q1 ). Da ciò segue, per prima cosa, che W è una soluzione
∑
del tipo W (α, q) = W1 (α, q1 ) + nh=2 Wh (αh , qh ). Infatti, poiché i momenti coniugati ph alle co∂S
ordinate cicliche sono costanti, le equazioni di trasformazione ph = ∂q
= ∂W
per h > 1 possono
∂qh
h
scriversi
∂Wh
∂W
=
= ph = αh , h > 1,
∂qh
∂qh
da cui Wh = αh qh per h > 1 e quindi
W (α, q) = W1 (α, q1 ) +
n
∑
α h qh .
(8.9)
h=2
Allora l’equazione di Hamilton-Jacobi si riduce a:
(
H
)
∂W1
, α2 , . . . , αn , q1 = α1
∂q1
(8.10)
con α1 = E (energia totale). Si è quindi trovata un’equazione ordinaria del primo ordine; ricavando
∂W1
e integrando rispetto a q1 si ottiene W1 (α, q1 ).
∂q1
Osserviamo che questo non è l’unico caso risolubile mediante separazione di variabili. Consideriamo ora il caso in cui l’Hamiltoniana H è indipendente dal tempo e si può scrivere come
n
∑
H(p, q) =
Hh (ph , qh ).
(8.11)
h=1
Allora, ponendo
W (α, q) =
n
∑
Wh (αh , qh )
h=1
l’equazione di Hamilton-Jacobi può essere decomposta nelle n equazioni
(
Hh
)
∂Wh
, qh = eh (αh )
∂qh
con eh funzione (regolare) arbitraria tale che
poi, del problema di Keplero.
∑n
h=1 eh (αh )
115
= E. Questo è il caso, da come vedremo
8.5
8.5.1
Esempi
L’equazione di Hamilton-Jacobi per il moto centrale di un punto
in un piano
Applichiamo il metodo di separazione delle variabili ad un caso particolare: al caso del punto mobile
nel piano e soggetto ad una forza centrale.
Teorema. Per il moto piano in coordinate polari (r, θ) di un punto sottoposto a forza centrale il
metodo di Hamilton-Jacobi fornisce direttamente r = r(t) e l’equazione della traiettoria r = r(θ).
Dimostrazione: La funzione Hamiltoniana, in coordinate polari piane, risulta essere
)
(
H=
1
1
p2r + 2 p2θ + V (r)
2m
r
e quindi l’unica coordinata da cui dipende H è q1 = r, cioé q2 = θ è una coordinata ciclica. Perciò
l’azione ridotta viene ricercata nella forma (8.9)
W (r, θ, α1 , αθ ) = W1 (r, α) + αθ θ
dove αθ = pθ = mr2 θ̇
è il momento angolare Kz rispetto all’asse ortogonale al piano e passante per il centro della forza
(ovvero la velocità areale moltiplicata per 2m). L’equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi (8.10)
assume la forma:
(
1  ∂W1
2m
∂r
)2

α2
+ 2θ  + V (r) = α1 ≡ E
r
da cui
∂W1 √
= 2m[α1 − V (r)] − αθ2 /r2 .
∂r
Da ciò l’espressione dell’azione ridotta:
∫ √
W (α1 , αθ , r, θ) =
2m[α1 − V (r)] − αθ2 /r2 dr + αθ θ.
Senza risolvere tale integrale (d’altra parte non abbiamo ancora definito l’espressione di V (r)) andiamo a determinare il moto del sistema tramite le
∫
∂W
mdr
,
t + β1 =
= √
∂α1
2m[α1 − V (r)] − αθ2 /r2
(8.12)
∫
∂W
αθ dr
√
=θ−
β2 =
.
∂αθ
r2 2m[α1 − V (r)] − αθ2 /r2
(8.13)
e
dove le costanti di integrazione β1 , β2 sono determinate dai dati iniziali.
legge r = r(t) e la (8.13) dà la traiettoria r = r(θ).
116
Ebbene, la (8.12) dà la
Studiamo in dettaglio la (8.13) nel caso Newtoniano (o Coulombiano) dove il potenziale è dato
da V = −k/r dove k è una costante assunta positiva. Sostituendo u = 1/r e pensando β2 come
θ = θ0 all’istante iniziale otteniamo l’equazione di una conica rispetto a uno dei suoi fuochi, infatti:
∫
√
θ = β2 +
∫
= θ0 +
√
∫
du
2m
(α1
α2θ
− V ) − u2
√
= θ0 +
du
= θ0 + arccos
a + bu − u2
(
du
2m
(α1
α2θ
u−c
d
− ku) − u2
)
dove
a=
√
2mα1
2mk
b
, b=− 2 , c=
e d = a + c2 .
2
αθ
αθ
2
Da qui segue che
1
p
= u = c + d cos(θ − θ0 ) e quindi r =
r
1 + e cos(θ − θ0 )
dove
p=
1
d
e e= =
c
c
√
1+
a
c2
È immediato osservare che l’eccentricità |e| risulta minore, uguale o maggiore di 1 a seconda che
l’energia E = α1 sia minore, uguale o maggiore di 0.
8.5.2
Il metodo di Hamilton-Jacobi applicato al problema di Keplero
La possibilità di separare le variabili nell’equazione di Hamilton-Jacobi non si limita ovviamente al
caso di un’unica coordinata non ciclica. Ad esempio per un punto mobile nello spazio e soggetto a
forze centrali allora la funzione Hamiltoniana in coordinate polari sferiche ha la forma
[
]
1
1
1
H=
p2r + 2 p2θ + 2 2 p2φ + V (r)
2m
r
r sin θ
dove solo l’angolo φ è coordinata ciclica. Eppure l’equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi ammette facilmente separazione delle variabili. Cerchiamo la soluzione W (r, θ, φ, α), α = (α1 , α2 , α3 ),
dell’equazione (caratteristica) di Hamilton-Jacobi nella forma
W = W1 (r, α) + W2 (θ, α) + W3 (φ, α) ;
cioé:
(
1  dW1 (r)
2m
dr
)2
1
+ 2
r
(
dW2 (θ)
dθ
+V (r) = α1 ≡ E
)2
1
+ 2 2
r sin θ
(
dW3 (φ)
dφ
)2 
+
(8.14)
117
Notiamo che la (8.14) deve essere identicamente soddisfatta per ogni r, θ e φ e che φ compare solo
nella derivata di W3 . Quindi la derivata di W3 è una costante α3 . Sostituendo tale costante in (8.14)
abbiamo di nuovo un’identità rispetto ad r e θ, dove θ compare solo nel blocco (W2′ )2 + α32 (sin2 θ)−1 .
Quindi anche questo blocco è una costante (che chiameremo α22 ). Ottenendo infine il sistema
 dW
3

= α3 ,


 (dφ )2




dW2
( dθ )2
dW1
dr
+
+
α23
= α22 ,
sin2 θ
α22
= 2m [α1
r2
(8.15)
− V (r)]
da cui si ottiene
W3 = W3 (φ, α3 ), W2 = W2 (θ, α2 , α3 ) e W1 = W1 (r, α1 , α2 )
per quadrature. Si osservi che, dalle tre leggi di conservazione (8.15) si può ricavare la funzione
generatrice W = W1 (r) + W2 (θ) + W3 (φ), mediante tre integrali indefiniti.
Osserviamo poi che le costanti α1 , α2 e α3 hanno un significato fisico notevole:
α1 = E, α22 = K 2 , α3 = Kz .
Infatti, α1 , come sappiamo, è l’energia in quanto è uguale all’Hamiltoniana; α3 = ∂W
è il momento
∂φ
pφ = Kz (a causa della prescrizione della funzione generatrice W di secondo tipo) e, poichè φ è angolo
di rotazione attorno a (O; z), allora α3 è il momento angolare rispetto a tale asse. Osserviamo poi
che, scegliendo in modo opportuno gli assi, abbiamo φ̇0 = 0 e quindi α3 = pφ = Kz = 0, da cui
W3 = cost e quindi φ = φ0 = cost, cioé il moto avviene in un piano e r e θ si riducono alle coordinate
polari in questo piano. Con questa posizione allora α22 = K 2 come abbiamo visto nell’esempio
precedente e il problema, ora nel piano ed in coordinate polari, può essere risolto seguendo quanto
fatto nella sezione precedente.
118
Appendix A
Complementi
A.1
A.1.1
Serie di Fourier
Serie di Fourier in forma trigonometrica
Sia data una funzione f (t) periodica di periodo T . Si definisce serie di Fourier associata a f (t) la
seguente serie (al momento formale):
[
(
)
(
)]
∞
∑
1
2nπ
2nπ
f (t) ∼ a0 +
t + bn sin
t
an cos
2
T
T
n=1
(A.1)
in cui i coefficienti di Fourier an e bn sono dati da
(
)
2∫T
2nπ
an =
f (t) cos
t dt, n = 0, 1, . . . ,
T 0
T
(A.2)
(
)
2∫T
2nπ
f (t) sin
t dt, n = 1, 2, . . . .
T 0
T
(A.3)
e
bn =
La serie (A.1) associata a f (t) è, al momento, solamente formale e per questo motivo utiliziamo il
simbolo ∼; infatti non possiamo ancora dire nulla sulla sua convergenza e, nel caso in cui converga,
a cosa converge. A tal merito vale il seguente:
Teorema di Dirichlet: Sia data una funzione periodica f (t) di periodo T e continua a tratti
insieme alla sua derivata prima f ′ (t). Allora la serie (A.1) associata a f (t) con i coefficienti (A.2)
e (A.3) converge a f (t) nei punti in cui f (t) è continua, nei punti t0 in cui la funzione f (t) è
discontinua allora la serie (A.1) converge a
f (t0 + 0) + f (t0 − 0)
.
2
Si noti che il termine costante nella (A.1), dato da
1∫T
1
a0 =
f (t)dt,
2
T 0
119
corrisponde al valore medio di f (t) in un periodo. Osserviamo poi che, a causa della periodicità
della funzione f (t), possiamo esprimere i valori dei coefficienti di Fourier an e bn scegliendo come
estremi di integrazione c e c + T con c qualunque. Ad esempio, per c = −T /2 segue che
an =
1 ∫ T /2
f (t) cos (2nπt/T ) dt, n = 0, 1, . . . ,
π −T /2
e
1 ∫ T /2
f (t) sin (2nπt/T ) dt, n = 1, 2, . . .
bn =
π −T /2
in virtù dell’osservazione precedente.
A.1.2
Serie di Fourier in forma esponenziale
Facendo uso delle formule di Eulero si può dare una espressione diversa della serie di Fourier. Infatti,
ricordando che
cos α =
)
1 ( iα
e + e−iα ,
2
sin α =
)
1 ( iα
e − e−iα ,
2i
e ponendo
a−n = an , b−n = −bn ,
per n ∈ N,
e b0 = 0
allora la serie di Fourier assume la forma
[
(
)
(
)]
∞
∑
1
2nπ
2nπ
f (t) =
a0 +
t + bn sin
t
an cos
2
T
T
n=1
(
)
(
)]
∞ [
∑
1
2nπ
2nπ
=
a0 +
t + bn sin
t
an cos
2
T
T
n=1
[
∞
∑
an − ibn i 2nπ t an + ibn −i 2nπ t
1
=
a0 +
e T +
e T
2
2
2
n=1
∞
∞
∑
∑
2nπ
an − ibn i 2nπ t
cn ei T t
=
e T =
2
n=−∞
n=−∞
=
∞
∑
cn ei
]
2nπ
t
T
(A.4)
(A.5)
n=−∞
che è detta serie di Fourier in forma esponenziale, dove i coefficienti cn sono dati da
i2nπ
1
1∫T
cn = (an − ibn ) =
f (t)e− T t dt,
2
T 0
n ∈ Z.
Si osserva immediatamente che, se la funzione f (t) è a valori reali, allora cn = c̄−n .
120
(A.6)
A.1.3
Stima dei coefficienti cn
Teorema: Sia la funzione periodica f (t) di classe C r ([0, T ]) con r ≥ 1, cioé sia continua insieme
alle sue derivate fino all’ordine r. Allora si ha che
|cn | ≤ c|n|−r
dove la costante c, indipendente da n, è data da
[
c=
T
2π
]r
max |f (r) (t)|.
t∈[0,T ]
Dimostrazione: Ricordando che la derivata di una funzione periodica (e derivabile) è ancora una
funzione periodica si ottiene, integrando per parti r volte, la seguente espressione per cn :
1
T
1
=
T
1
=
T
∫
cn =
[
T
f (t)e−
i2nπ
t
T
dt
0
]
T
i2nπ
T
1∫T ′
T
− i2nπ
t
T
f (t)
e
−
f (t)
e− T t dt
−i2nπ
T 0
−i2nπ
0
[
]r ∫ T
i2nπ
i2nπ
T ∫T ′
1
T
f (t)e− T t dt =
f (r) (t)e− T t dt.
i2nπ 0
T i2nπ
0
Quindi
[
]r
∫ T
i2nπ T
1
|cn | ≤
|f (r) (t)| e− T t dt
T 2|n|π
0
[
]r ∫ T
c
1 1 T
|f (r) (t)|dt ≤
≤
r
|n| T 2π
|n|r
0
dove c è la costante indipendente da n che vale
[
T
c=
2π
A.2
]r
max |f (r) (t)|.
t∈[0,T ]
Teorema di annullamento degli integrali
∫
Il teorema di annullamento degli integrali dice che se f è continua e se ab f (x)g(x)dx = 0 per ogni g
continua segue che f (x) ≡ 0. Più precisamente:
Teorema. Una funzione f ∈ C([a, b]) è identicamente nulla sull’intervallo considerato se, e solo
se,
∫
b
a
f (x)g(x)dx = 0, ∀g ∈ C([a, b]).
(A.7)
Dimostrazione: in un senso la dimostrazione è ovvia. Assumiamo soddisfatta la (A.7) e supponiamo, per assurdo che f non sia identicamente nulla. Se f non è identicamente nulla allora
121
esiste x0 ∈ (a, b) tale che f (x0 ) ̸= 0, in particolare supponiamo, per fissare le idee e senza perdere in
generalità, che sia f (x0 ) > 0. Per continuità esiste ϵ > 0 tale che
(x0 − 2ϵ, x0 + 2ϵ) ⊂ (a, b)
e
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (x0 − 2ϵ, x0 + 2ϵ)
1
f (x) ≥
f (x0 ), ∀x ∈ (x0 − ϵ, x0 + ϵ).
2
Consideriamo ora una funzione continua 0 ≤ g(x) ≤ 1 tale che
{
g(x) =
1
0
se x ∈ (x0 − ϵ, x0 + ϵ)
se x ∈
/ (x0 − 2ϵ, x0 + 2ϵ)
Per costruzione si ha
∫
∫
b
f (x)g(x)dx =
a
≥
≥
x0 +2ϵ
f (x)g(x)dx
x0 −2ϵ
∫ x0 +ϵ
x0 −ϵ
∫ x0 +ϵ
x0 −ϵ
f (x)g(x)dx
1
f (x0 )1dx = ϵf (x0 ) > 0
2
contraddicendo la (A.7).
122