Del triangolo ABC sono noti i vertici A

Del triangolo ABC sono noti i vertici A(1;1) e B(15;8) e l’incentro F(3;7). Determina le coordinate
del punto C. Verifica poi che il triangolo è rettangolo e trova il circocentro.
Determiniamo solo le coordinate di C, il resto dovrebbe essere banale.
Fornisco qui solo una traccia della soluzione, tutti sono invitati a fare i calcoli per conto loro in
modo da completare le parti mancanti.
i)
Si trova l’equazione della retta AB, che risulta la seguente: x − 2 y + 1 = 0
ii)
Si trova la distanza fra l’incentro F e la retta AB, che risulta d = 2 5 (dopo aver
razionalizzato)
iii)
Si trova l’equazione della retta passante per A e che ha distanza d = 2 5 dal punto F,
ovvero della retta AC. Il che significa:
a. L’equazione della retta generica passante per A è r: y = mx − m + 1 (fascio di rette
per A)
b. La sua distanza dal punto F si determina esprimendo la sua equazione in forma
2m − 6
implicita, risulta d =
m2 + 1
che tale distanza sia uguale a
d =2 5
si ottiene
2m − 6
l’equazione
= 2 5 , elevando al quadrato e semplificando si ha l’equazione
m2 +1
1
in m: 2m 2 + 3m − 2 = 0 , le cui soluzioni sono m1 = −2 e m2 = . Se si sostituiscono
2
c. Imponendo
1
1
x + . La seconda retta è la
2
2
retta AB, la prima è la retta AC che stavamo cercando, quindi
in r si trovano le seguenti rette: y = −2 x + 3 e y =
AC: y = −2 x + 3
iv)
v)
Con un procedimento analogo a quello del punto iii) si trova l’equazione della retta BC,
che risulta
BC: 19 x + 62 y − 781 = 0 (attenzione ai calcoli)
 17 43 
Ora si trova l’intersezione della retta AC e della retta BC, che risulta: C  − ; 
 3 3 