Esercizio 2 - Sito della dottoressa Donatella Cocca

Esercizio 1
Una cassa di 30 kg viene tirata con una corda che forma un angolo di 50° col
pavimento su una superficie liscia. Se inizialmente la cassa è in quiete e la corda
esercita una forza, costante nel tempo, di 150 N in quanto tempo percorrerà 15 m?
– Soluzione –
Scomponiamo la forza F , secondo la regola del parallelogrammo, nelle due forze F1
ed F2 , perché la forza che causa il moto è la componente orizzontale di F cioè è F1
ne calcolo l’intensità: F1 = F cos 50° = 150 ⋅ cos 50° = 96 ,4 N .
F 96 ,4 N
m
= 3,2 2
Dalla IIa legge della dinamica ricavo l’accelerazione: a = 1 =
m 30kg
s
Poiché il moto è uniformemente accelerato sarà:
1
2x
2 ⋅ 15m
=
= 3,1s
x = at 2 ⇒ t =
2
a
3,2 m s 2
Esercizio 2
Tre casse A, B, C di masse, rispettivamente, 5 kg, 4 kg e 3 kg, sono spinte verso
destra da una forza di 20 N. Calcolare:
- la forza di contatto con cui A spinge B
- la forza di contatto con cui B spinge A
- la forza di contatto con cui B spinge C
- la forza di contatto con cui C spinge B.
– Soluzione –
Il sistema delle tre casse, sottoposto alla forza costante di 20 N, si muoverà di moto
a
di
rettilineo
uniformemente
accelerato
con
accelerazione
F
20 N
m
valore: a = tot =
= 1,67 2
m ( 5 + 4 + 3) kg
s
Per la seconda legge di Newton (formula inversa), la forza che A esercita su B,
diciamo FAB , è data dalla massa in movimento (B+C) moltiplicato per
l’accelerazione della massa in movimento, ovvero:
FAB=mB+C·aB+C =(4+3)kg·1,67m/s2 = 11,7 N
Per la terza legge di Newton, la forza con cui B spinge A, diciamo FBA , è della stessa
intensità (11,7 N) ma con il verso contrario (cioè, diretta verso sinistra):
FBA=FAB=11,7 N.
Per la seconda legge di Newton (formula inversa), la forza che B esercita su C,
diciamo FBC , è data dalla massa in movimento (C) moltiplicato per l’accelerazione
della massa in movimento C, ovvero: FBC=mC·aC=3kg·1,67 m/s2=5 N
Per la terza legge di Newton, la forza di contatto con cui C spinge B, diciamo FCB , è
della stessa intensità (5 N) ma con il verso contrario (cioè, diretta verso sinistra):
FCB=FBC=5 N.
Esercizio 3
Una cassa di mele di massa m=30kg viene fatta scivolare lungo un piano inclinato di
30º rispetto al suolo . Quanto tempo impiega la cassa per raggiungere la base del
piano se questo è lungo 3m? Con quale velocità la cassa raggiunge il suolo, se la sua
velocità iniziale è nulla?
– Soluzione –
Consideriamo le equazioni della dinamica per il moto della cassa per l’asse x e l’asse
 mgsenθ = max (1) per l'asse delle x
y: Ftot = m ⋅ a ⇒ 
 −mg cos θ + N = ma y =0 ( 2 ) per l'asse delle y
Dalla (1) ricavo il valore dell’accelerazione: ax = gsenθ
L’ accelerazione ax è costante. Il moto lungo il piano inclinato è quindi
uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla per cui l’equazione del moto è:
1
2l
2l
2 ⋅ 3m
= 1,11s
x ( t ) = l = axt 2 ⇒ t =
=
=
2
ax
gsenθ 9 ,8 m s 2 ⋅ sen30°
La velocità con cui la cassa raggiunge il suolo è data da:
2l
m
v ( t ) = ax ⋅ t = g ⋅ senθ ⋅
= 2 lg senθ = 2 ⋅ 3m ⋅ 9 ,8 m s 2 ⋅ sen30° = 5,42
gsenθ
s
Esercizio 4
Su di un piano un inclinato di 20° rispetto al suolo e privo di attrito, si trova un
blocco di massa m1=3kg. Ad esso è connesso per mezzo di una fune inestensibile e
di una carrucola di massa trascurabile un altro blocco di massa m2=2kg che pende
dall’estremo superiore del piano inclinato. Determinare l’accelerazione dei due
blocchi e la e tensione della fune.
– Soluzione –
Scriviamo l’equazione del moto per ciascuno dei due blocchi, e , cerchiamo poi di
combinarle per ottenere le informazioni cercate.
massa m1
massa m2
Le equazioni del moto sono:
 m1 gsenθ − T = m1a
per la massa m1

m
g
cos
N
0
−
θ
+
=
 1
per la massa m2
−m2 g + T = m2 a
Per rispondere al quesito posto dal problema utilizziamo la componente lungo x
dell’equazione del moto della massa m1 e l’equazione del moto per la massa m2 in
sistema fra di loro:
−( m1 + m2 ) a = m2 g − m1gsenθ
m1gsenθ− T = ma
m1gsenθ− T = ma
m1gsenθ− T = ma
1
1
1
⇒
⇒
⇒
⇒

=
+
T
m
a
g
=
+
T
m
a
g
−
+
=
=
+
m
g
T
m
a
T
m
a
m
g
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2




m 3kg ⋅ 0,342 − 2kg
m

= −1,91 2
m1senθ− m2 a = 9,8 2

s
s
( 3 + 2) kg

a = g
m1 + m2 ⇒ 

 T = 2kg  −1,91 m + 9,8 m  =15,8N

 T = m2 ( a + g )



s2
s2 

la componente dell’accelerazione è negativa. Questo significa che la massa m1 è
trascinata verso l’alto dalla massa m2.
Esercizio 5
Consideriamo un blocco di 2 kg in movimento. Calcolare il lavoro compiuto, dalla
posizione A alla posizione B, distanti 5 m:
a) dalla forza T di 30 N, applicata al corpo con una corda inclinata di 30°
b) dalla forza peso
c) dalla reazione vincolare
d) dalla forza di attrito dinamico Fd =1 N.
– Soluzione –
a) Il lavoro compiuto dalla forza esercitata dalla corda ovvero T è:
Lcorda = F ⋅ s ⋅ cos θ = 30 N ⋅ 5m ⋅ cos 30° = 23,1J
b) Il lavoro compiuto dalla forza peso P è:
Lpeso = F ⋅ s ⋅ cos ϑ = m ⋅ g ⋅ s ⋅ cos 90° = ( 2kg ⋅ 9 ,8 m s 2 ) ⋅ 5m ⋅ 0 = 0
c) Analogamente, anche il lavoro compiuto dalla reazione vincolare è nullo
(essendo l’angolo tra il vettore forza e il vettore spostamento di nuovo ϑ=90° e
il coseno a 90° vale zero): Lvincolare=0
d) Infine, il lavoro compiuto dalla forza d’attrito dinamico risulta:
Lattrito = F ⋅ s ⋅ cos ϕ = 1N ⋅ 5m ⋅ cos180° = 1N ⋅ 5m ⋅ ( −1) = −5 J
infatti, l’angolo φ risulta 180°, come si vede dal seguente diagramma dei
vettori forza-spostamento:
Esercizio 6
Una palla viene lanciata verticalmente verso l’alto con velocità iniziale v0=15 m/s;
essa salirà con velocità che diminuisce gradualmente (si consideri assenza di attrito).
A quale altezza h dalla quota di lancio, la palla avrà velocità nulla?
– Soluzione (energetica) –
In assenza di attrito l’energia meccanica si conserva perché agisce soltanto la forza
peso. Al tempo t=0 l’energia è solo cinetica:
E0=½·m·v02
Alla quota h (velocità nulla) l’energia è solo potenziale (il corpo si ferma per un
istante prima di ricadere): Eh=m·g·h .
v02
2
Per tanto
½·m·v0 = m·g·h ⇒ h =
≅ 11,5m cioè abbiamo ottenuto la stessa
2g
espressione della soluzione cinematica.
Esercizio 7
Una pallina di 100g cade da un’altezza h incognita. Se la resistenza dell’aria compie
un lavoro negativo di -10J e la pallina tocca terra con una velocità di 10m/s, quanto
vale h?
– Soluzione –
Il teorema delle forze vive dice che: L = K fin − K iniz dove per il calcolo dell’energia
cinetica (sia iniziale che finale) dobbiamo considerare sia quella della forza peso che
quella dovuta alla resistenza dell’aria:



 

1
2

 −  0 + mgh  ⇒ −10 = 5 − 0 ,98 ⋅ h ⇒ h = 15,3m
0
−10 = 0,1kg (10 m s ) +

   aria
2
= mgh( forza peso )
forza peso 


 1
= mv 2 ( aria )
iniziale


2
finale
Esercizio 8
Un'automobile di massa 1200 kg, partendo da ferma, raggiunge la velocità di 100
km/h in 12 s.
a) Quanto valgono l'accelerazione e lo spazio percorso (supponendo che il
moto sia uniformante accelerato)?
b) Quanto vale la variazione di energia cinetica? Quanto vale il lavoro
compiuto sull'auto?
c) Quanto varrebbe la potenza media sviluppata dal motore (trascurando
l'attrito)?
– Soluzione –
a) Quanto vale l'accelerazione media?
L'accelerazione media è definita come:
Numericamente:
Quanto vale lo spazio percorso?
Il moto è uniformemente accelerato, quindi l’equazione del moto è:
1
x ( t ) = x0 + v0t + at 2
2
In questo caso la velocità iniziale è nulla quindi:
1
1
m
2
S = at 2 = 2 ,3 2 (12 s ) = 165m
2
2
s
b) Quanto vale la variazione di energia cinetica?
La variazione di energia cinetica è definita come: ∆Ecin = Efincin - Eincin
L'energia cinetica di un corpo è definita come:
Ecin =½·mv2
quindi:
∆Ecin = Efincin - Eincin=½·mv2fin-½·mv2in
Numericamente:
2
1 2 1 2 1
 100 m 
∆Ecin = mv fin − mvin = 1200kg 
 = 460kJ
2
2
2
 3,6 s 
Quanto vale il lavoro compiuto sull'automobile?
Il teorema delle forze vive o teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro è
legato alla variazione di energia cinetica:
L=∆Ecin
Entrambe sono applicabili al caso in questione.
Visto che in questo caso la variazione di energia cinetica è stata appena calcolata:
L=∆Ecin=460KJ
c) Quanto vale la potenza media del motore (trascurando gli attriti?)
La potenza è definita come:
Per calcolare la potenza sviluppata dal motore devo conoscere il lavoro compiuto
dal motore. Nell'ipotesi di poter trascurare gli attriti, il lavoro compiuto dalle forze
di attrito è nullo, quindi il lavoro compiuto sull'automobile è uguale a quello
compiuto dal motore. Quindi la potenza media sarà data da:
Esercizio 9
Una pallina di massa 2 kg, scivola partendo da ferma lungo un piano inclinato e dopo
3 s raggiunge la velocità di 4 m/s.
a) Quanto vale l'accelerazione ?
b) Quanto vale la variazione di energia cinetica della pallina?
c) Di quanto è variata la sua energia potenziale gravitazionale?
d) Quanto vale il dislivello ∆h fra i due estremi del piano inclinato?
Esercizio 10
Un blocco di massa m1=5 kg è appoggiato su una superficie liscia. Su di esso si trova
un altro blocco di massa m2=2 kg. Fra i due blocchi si esercita una forza di attrito
statico di coefficiente µs=0,4. Calcolare l’intensità massima della forza F parallela al
piano che può essere applicata al primo blocco affinché il secondo blocco prosegua
solidale con esso.
– Soluzione –
I due blocchi sono solidali fra loro, essi si comportano come un sistema unico di
massa m1+m2 sul quale agisce la forza F. Il piano inoltre reagirà alla somma delle
forze peso agenti su m1 e m2. Per quanto riguardale forze“esterne” a m1 e m2, le due
masse si comportano come se fossero un oggetto unico. Le corrispondenti equazioni
 F = ( m1 + m2 ) a x
del moto, scritte per componenti, sono le seguenti: 
 − ( m1 + m2 ) g + N = 0
(1)
.
Attenzione: ax è l’accelerazione di entrambi i blocchi.
Il blocco m2 si muove solo perché c’e’ una forza interna che agisce fra i due blocchi:
l’attrito. Dobbiamo pertanto studiare il moto di m2 per vedere quali siano le
condizioni per le quali la sua accelerazione sia ax:
 Fa = µ s N = m2 ax
L’attrito è l’unica forza che può generare il moto … siamo in

 − m2 g + N = 0
contraddizione? La contraddizione è solo apparente: in realtà l’attrito statico si
oppone al moto relativo del blocco m2 rispetto al blocco m1. Possiamo ora usare le
due equazioni scritte finora per trovare la soluzione del problema. Cominciamo con il
determinare il valore massimo di ax tale per cui l’attrito statico impedisce il moto
relativo fra i due blocchi:
 Fa = µ s N12 = m2 ax
 m2 g µ s = m2 ax
⇒ a x = g µ s . Il valore
⇒

 − m2 g + N12 = 0
 N12 = m2 g
dell’accelerazione trovato può essere inserito nella prima equazione della (1) per
trovare il valore massimo del modulo della forza, F:
Fa = ( m1 + m2 ) ax ⇒ Fa = ( m1 + m2 ) g µ s = ( 5 + 2 ) kg ⋅ 9,8 m s 2 ⋅ 0, 4 = 27 , 45 N
Esercizio 11
Supponiamo di avere un punto di massa m che si muove di moto circolare uniforme
legato a un filo ideale inestensibile, passante per un foro nel piano. La velocità
angolare del punto materiale è ω=0,15rad/s, e la sua distanza dal foro è R=1,5m . Ad
un certo punto il filo viene tirato fino a quando la massa raggiunge una distanza dal
foro R′=0,5m . Calcolare la velocità del punto materiale nella nuova orbita.
– Soluzione –
La forza F agente sulla massa ha momento nullo rispetto al polo O (in quanto diretta
radialmente). Possiamo quindi usare la conservazione del momento angolare fra le
2
R2
rad  1,5m 
rad
.
due orbite: mR ω = mR' ω ' ⇒ ω ' = ω 2 = 0,5

 = 4 ,5
R'
s  0 , 5m 
s
2
2
Esercizio 12
Una particella di massa m è legata ad filo di lunghezza l=1m, a sua volta legato
nell’altra estremità ad un piolo. La particella si trova inizialmente in moto rettilineo
uniforme con velocità di modulo v0=0,4m/s su una retta distante d=40cm dal piolo.
Nell’istante in cui la corda si tende, la particella inizia un moto circolare uniforme
intorno al piolo. Determinare la velocità angolare della particella.
– Soluzione –
Nell’ momento in cui il filo si tende, la particella subisce l’ effetto della tensione
della fune, che ne cambia istantaneamente la quantità di moto (che passa da mv0 a
mv). Tuttavia notiamo che la tensione della fune è sempre diretta radialmente rispetto
ad O. Avremo quindi che la quantità di moto non si conserva, mentre si conserva il
momento angolare, in quanto le forze esterne hanno momento nullo rispetto ad O.
Dobbiamo quindi calcolare la quantità di moto della particella prima e dopo l’ istante
in cui la fune si tende:
La traiettoria della particella è rettilinea . Applichiamo
comunque la definizione di momento angolare rispetto al
punto O. Avremo che :
Lin = R × mv0 ⇒ Lin = mRv0 sen ( π − θ ) = mv0 Rsenθ = mv0 d
Il momento angolare rispetto ad O è costante, e dipende solo dalla distanza della
traiettoria dal punto O.
Considerando che il moto della particella dopo che il filo si è teso è circolare
uniforme e , applicando la conservazione del momento angolare otteniamo:
Lin = Lfin ⇒ mv0 d = mR 2ω ⇒ ω =
v0 d
0 , 4 m s ⋅ 0 , 4m
rad
⇒ω =
= 0 ,16
2
2
R
s
(1m )